資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
24.4 弧長和扇形面積
■重點01 弧長的計算
（1）圓周長公式：C＝2πR． （2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R） ①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位． ②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長． ③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．
【典例1】　（2024秋 四平期中）如圖，點、、在上，，是的中點，若，則的長是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：如圖，連接，
，
，
是的中點，
，
，
，
的長為．
故選：．
【典例2】　（2024秋 啟東市期中）如圖，已知，，為上的三點，且，．點從點出發，沿著逆時針方向運動到點，連接與弦相交于點，當△為直角三角形時，弧的長為　　
A． B． C．或 D．或
【答案】
【解答】解：如圖所示，當時，連接，，
，，
，點為的中點，
，
、、三點共線，
，
△是等邊三角形，
，，
，
弧的長為；
如圖所示，當時，則，
為直徑，
弧的長為；
綜上所述，弧的長為或，
故選：．
【典例3】　（2024秋 海淀區校級期中）如圖，的半徑為12，點、是圓上的兩點，，則的長為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：的長為．
故選：．
【典例4】　（2024秋 梁溪區校級月考）若某圓弧所在圓的直徑為2，弧所對的圓心角為，則這條弧長為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：．
故選：．
弧長公式涉及三個量，分別為弧長l，半徑R，圓心角n．對于這三個量，可以借助弧長公式知二求一．
■重點02 扇形面積的計算
（1）圓面積公式：S＝πr2． （2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形． （3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l為扇形的弧長）．
【典例1】　（2023秋 贛縣區期末）
如圖是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，，長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：
，
故選：．
【典例2】　（2024秋 大慶期中）如果一個扇形的圓心角為，面積是，那么這個扇形的弧長是 　　．
【答案】．
【解答】解：設扇形所在圓的半徑為，
扇形的圓心角為，面積是，
，
（負值已舍去），
這個扇形的弧長．
故答案為：．
【典例3】　（2024秋 南京期中）已知扇形的圓心角為，半徑是10，則扇形的面積為 　　．
【答案】．
【解答】解：扇形的圓心角為，半徑是10，則扇形的面積為，
故答案為：．
【典例4】　（2024秋 樂清市期中）扇形的圓心角是．它的半徑是6，則扇形的面積是　　（結果保留．
【解答】解：，
故答案為．
（1）如果扇形的半徑為R，圓心角為n°，那么扇形面積為． （2）半徑為R，扇形的弧長為l的扇形面積為．
■難點 圓柱、圓錐的有關計算
1．圓柱 （1）圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長． （2）圓柱的側面積＝底面圓的周長×高． （3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側面積． （4）圓柱的體積＝底面積×高． 2．圓錐 （1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高． （2）圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長． （3）圓錐的側面積：S側＝ 2πr l＝πrl． （4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側＝πr2+πrl （5）圓錐的體積＝×底面積×高．
【典例1】　（2023秋 濱湖區期末）用半徑為5的半圓圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面半徑等于　　
A．3 B．5 C． D．
【解答】解：設底面半徑為，則底面周長，半圓的弧長，
．
故選：．
【典例2】　（2024秋 東港區校級期中）如圖已知扇形的半徑為，圓心角的度數為，若將此扇形圍成一個圓錐的側面，則圍成的圓錐底面圓的半徑為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：設圍成的圓錐的底面圓的半徑為，
根據題意得，
解得，
即圍成的圓錐的底面圓的半徑為．
故選：．
【典例3】　（2024 市南區開學）如圖是一個半徑為4厘米，高為4厘米的圓柱體，在它的中間依次向下挖半徑分別為3厘米、2厘米、1厘米，高分別為2厘米、1厘米、0.5厘米的圓柱體，則最后得到的立體圖形表面積是 　　平方厘米．（結果保留
【答案】．
【解答】解：大圓柱表面積：，
最后得到的立體圖形表面積是：
．
故答案為：．
【典例4】　（2022 常山縣模擬）一個圓柱的底面半徑為，母線長為，則這個圓柱的側面積為 　　．
【答案】．
【解答】解：圓柱的底面周長為：，
側面積為．
故答案為：．
注意： （1）圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等． （2）圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．
■易錯點 不規則圖形的面積的計算
求陰影面積常用的方法： （1）直接用公式法； （2）和差法； （3）割補法．
【典例1】　（2024 西安校級模擬）如圖，在半徑為2，圓心角為的扇形內，以為直徑作半圓交于點，連接，則陰影部分的面積是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由題意可知：，，
，
為直徑，
，
，
，
弓形的面積弓形的面積，
陰影部分的面積
扇形的面積的面積
，
故選：．
【典例2】　（2024秋 重慶期中）如圖，△中，，，，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，則陰影部分的面積為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，，，
，，
，
陰影部分的面積為．
故選：．
【典例3】　（2024 日照）如圖，在菱形中，，，點是對角線的中點，以點為圓心，長為半徑作圓心角為的扇形，點在扇形內，則圖中陰影部分的面積為　　
A． B． C． D．無法確定
【答案】
【解答】解：過作，，連接．
，
，
，
．
菱形，
平分，
．
在△和△中，
，
△△，
△面積△面積，
四邊形面積四邊形面積△面積，
，
，．
，
，
四邊形面積△面積，
陰影部分的面積扇形面積四邊形面積，
故選：．
【典例4】　（2024 章丘區二模）如圖，在扇形中，，將扇形進行折疊，使點落在弧的中點處．若折痕，則圖中陰影部分的面積為 　　．
【答案】．
【解答】解：如圖所示，連接，交于點，
將扇形折疊，點落在弧的中點處，
，
，且，
，
，
四邊形是正方形，
，
，即，
解得，（負值舍去），
，，
陰影部分的面積為：，
故答案為：．
　
求陰影面積的主要思路是將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積．中小學教育資源及組卷應用平臺
24.4 弧長和扇形面積
■重點01 弧長的計算
（1）圓周長公式：C＝2πR． （2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R） ①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位． ②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長． ③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．
【典例1】　（2024秋 四平期中）如圖，點、、在上，，是的中點，若，則的長是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 啟東市期中）如圖，已知，，為上的三點，且，．點從點出發，沿著逆時針方向運動到點，連接與弦相交于點，當△為直角三角形時，弧的長為　　
A． B． C．或 D．或
【典例3】　（2024秋 海淀區校級期中）如圖，的半徑為12，點、是圓上的兩點，，則的長為　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 梁溪區校級月考）若某圓弧所在圓的直徑為2，弧所對的圓心角為，則這條弧長為　　
A． B． C． D．
弧長公式涉及三個量，分別為弧長l，半徑R，圓心角n．對于這三個量，可以借助弧長公式知二求一．
■重點02 扇形面積的計算
（1）圓面積公式：S＝πr2． （2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形． （3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l為扇形的弧長）．
【典例1】　（2023秋 贛縣區期末）
如圖是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，，長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 大慶期中）如果一個扇形的圓心角為，面積是，那么這個扇形的弧長是 　　．
【典例3】　（2024秋 南京期中）已知扇形的圓心角為，半徑是10，則扇形的面積為 　　．
【典例4】　（2024秋 樂清市期中）扇形的圓心角是．它的半徑是6，則扇形的面積是　　（結果保留．
（1）如果扇形的半徑為R，圓心角為n°，那么扇形面積為． （2）半徑為R，扇形的弧長為l的扇形面積為．
■難點 圓柱、圓錐的有關計算
1．圓柱 （1）圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長． （2）圓柱的側面積＝底面圓的周長×高． （3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側面積． （4）圓柱的體積＝底面積×高． 2．圓錐 （1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高． （2）圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長． （3）圓錐的側面積：S側＝ 2πr l＝πrl． （4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側＝πr2+πrl （5）圓錐的體積＝×底面積×高．
【典例1】　（2023秋 濱湖區期末）用半徑為5的半圓圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面半徑等于　　
A．3 B．5 C． D．
【典例2】　（2024秋 東港區校級期中）如圖已知扇形的半徑為，圓心角的度數為，若將此扇形圍成一個圓錐的側面，則圍成的圓錐底面圓的半徑為　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 市南區開學）如圖是一個半徑為4厘米，高為4厘米的圓柱體，在它的中間依次向下挖半徑分別為3厘米、2厘米、1厘米，高分別為2厘米、1厘米、0.5厘米的圓柱體，則最后得到的立體圖形表面積是 　　平方厘米．（結果保留
注意： （1）圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等． （2）圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．
■易錯點 不規則圖形的面積的計算
求陰影面積常用的方法： （1）直接用公式法； （2）和差法； （3）割補法．
【典例1】　（2024 西安校級模擬）如圖，在半徑為2，圓心角為的扇形內，以為直徑作半圓交于點，連接，則陰影部分的面積是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 重慶期中）如圖，△中，，，，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，則陰影部分的面積為　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 日照）如圖，在菱形中，，，點是對角線的中點，以點為圓心，長為半徑作圓心角為的扇形，點在扇形內，則圖中陰影部分的面積為　　
A． B． C． D．無法確定
【典例4】　（2024 章丘區二模）如圖，在扇形中，，將扇形進行折疊，使點落在弧的中點處．若折痕，則圖中陰影部分的面積為 　　．
　
求陰影面積的主要思路是將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積．

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