資源簡(jiǎn)介

知識(shí)點(diǎn)一：平面
1．平面的特征和表示
(1)平面的特征
幾何里的“平面”沒有邊界，畫平面的時(shí)候一般用平行四邊形表示平面.
(2)平面的畫法
常常把水平的平面畫成一個(gè)平行四邊形，并且其銳角畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的2倍.
一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來.
(3)平面的表示方法
①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，如平面ABCD.
③用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)表示，如平面AC，平面BD.
(4)點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達(dá)
文字語言 符號(hào)語言 圖形語言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α內(nèi) A∈α
A在α外 A α
l在α內(nèi) l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
2．平面的基本性質(zhì)
公理 文字語言 圖形語言 符號(hào)語言 作用
公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α ①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù) ②判定點(diǎn)在平面內(nèi)
公理2 過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①確定平面的依據(jù) ②判定點(diǎn)線共面
公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定兩平面相交的依據(jù) ②判定點(diǎn)在直線上
知識(shí)點(diǎn)二：直線與直線的位置關(guān)系
1．空間兩條直線的位置關(guān)系
2．公理4及等角定理
(1)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．符號(hào)表示： a∥c．
(2)等角定理：如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．
3．異面直線的判定及其所成的角
(1)異面直線的判定定理
定理 文字語言 符號(hào)表示 圖形語言
異面直線的判定定理 過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線 若l α，A α，B∈α，B l，則直線l與A B是異面直線
(2)異面直線所成的角
①定義：a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角或夾角．
②異面直線所成的角θ的取值范圍：．
③當(dāng)θ＝時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b．
(3)求兩條異面直線所成角的步驟
①恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角．
②證明這個(gè)角就是異面直線所成的角(或補(bǔ)角)．
③把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)．
④若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是兩條異面直線所成的角．
知識(shí)點(diǎn)三：直線與平面的位置關(guān)系
1．直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點(diǎn) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 沒有公共點(diǎn)
符號(hào)表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
2．直線與平面平行
(1)直線與平面平行的判定定理
文字語言 如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號(hào)語言 a∥α
圖形語言
(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語言 一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號(hào)語言 l∥α，l β，α∩β＝m l∥m
圖形語言
3．直線與平面垂直
(1)直線與平面垂直的定義
定義 如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直
記法 a⊥α
有關(guān)概念 直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
注意：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．
(2)直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號(hào)語言 若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m α，n α，則a⊥α
圖形語言
(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
符號(hào)語言 a∥b
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行； ②作平行線
注意：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離．
4．直線與平面所成的角
有關(guān)概念 對(duì)應(yīng)圖形
斜線 一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PQ
斜足 斜線與平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)Q
斜線段 斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段，如圖中線段PQ
射影 如圖，過平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影，線段P1Q就是斜線段PQ在平面α內(nèi)的射影
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的稅角，如圖中∠PQP1 規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角
取值范圍 設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°
知識(shí)點(diǎn)四：平面與平面的位置關(guān)系
　1．兩個(gè)平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 圖形表示 符號(hào)表示 公共點(diǎn)
平面α與 平面β平行 α∥β 沒有公共點(diǎn)
平面α與平面β相交 α∩β＝a 有一條公共直線
2．兩平面平行
(1)平面與平面平行的判定定理
表示 定理 圖形 文字 符號(hào)
兩個(gè)平面平行的判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行 若a α，b α，a∩b＝A， 且a∥β，b∥β， 則α∥β
(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理
表示 定理 圖形 文字 符號(hào)
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理 兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行 a∥b
注意：與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段．我們把公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離．
3．兩面角
概念 一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形
圖示
平面角 定義 一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角
圖示
符號(hào) OA α，OB β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
范圍 [0，π]
規(guī)定 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角
記法 如圖，棱為AB，面為α，β的二面角，記作二面角α－AB－β，也可以記作M－AB－N
4．兩平面垂直
(1)平面與平面垂直的概念
①定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個(gè)平面互相垂直．
②畫法：
③記作：α⊥β.
(2)平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直
符號(hào)語言 l⊥α，l β α⊥β
圖形語言
(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直
符號(hào)語言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
圖形語言
考點(diǎn)一 平面
1．下列命題中是真命題的是（ ）
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面
C．兩條直線確定一個(gè)平面
D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，確定一個(gè)平面
2．下列說法中，正確的是（ ）．
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)
C．兩條直線確定一個(gè)平面 D．三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面
3．在空間，給出下面四個(gè)命題：
① 三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面；
② 一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；
③ 空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；
④ 兩條相交直線確定一個(gè)平面.
其中正確命題的序號(hào)是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4． 給出下列語句：①桌面給人以平面的形象；②一個(gè)平面長(zhǎng)3 m，寬2 m；③平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面可以看成點(diǎn)的集合；④空間圖形是由空間的點(diǎn)、線、面所構(gòu)成的.其中正確的個(gè)數(shù)為
A．1 B．2 C．3 D．4
考點(diǎn)二 直線與直線的位置關(guān)系
5．如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：
①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；
③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________； ④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．
6．下列命題中正確的有________．(填序號(hào))
①兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；
②兩條不重合的直線若不是異面直線，則必相交或平行；
③過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線；
④和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線．
7．如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點(diǎn)，試判斷直線MN與直線EF是否平行．
8．在三棱錐中分別是邊的中點(diǎn)，且，則四邊形是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
考點(diǎn)三 直線與平面的位置關(guān)系
9．下列命題正確的是(　　)
A．如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個(gè)平面平行
B．過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行
C．如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行
D．如果一條直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線與平面平行
10．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′的中心，則正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有(　　)
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.
12．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．求證：MN∥平面PAD.
13．如圖所示，在四面體ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形．
14．下列命題中，正確的是(　　)
A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α
B．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線
C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直
D．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α
15．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．則能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號(hào))
16．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角的大小是________．
17．如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．
(1)求證：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
18．如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，a α，a⊥AB.求證：a∥l.
考點(diǎn)四 平面與平面的位置關(guān)系
19．下列命題正確的是(　　)
A．一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
B．如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
C．平行于同一直線的兩個(gè)平面一定相互平行
D．如果一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
20．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關(guān)系是(　　)
A．異面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
21．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　)
A．有1個(gè) B．有2個(gè) C．有無數(shù)個(gè) D．不存在
22．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
23．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．
求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
24．如圖，在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.
25．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.知識(shí)點(diǎn)一：平面
1．平面的特征和表示
(1)平面的特征
幾何里的“平面”沒有邊界，畫平面的時(shí)候一般用平行四邊形表示平面.
(2)平面的畫法
常常把水平的平面畫成一個(gè)平行四邊形，并且其銳角畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的2倍.
一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來.
(3)平面的表示方法
①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，如平面ABCD.
③用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)表示，如平面AC，平面BD.
(4)點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達(dá)
文字語言 符號(hào)語言 圖形語言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α內(nèi) A∈α
A在α外 A α
l在α內(nèi) l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
2．平面的基本性質(zhì)
公理 文字語言 圖形語言 符號(hào)語言 作用
公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α ①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù) ②判定點(diǎn)在平面內(nèi)
公理2 過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①確定平面的依據(jù) ②判定點(diǎn)線共面
公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定兩平面相交的依據(jù) ②判定點(diǎn)在直線上
知識(shí)點(diǎn)二：直線與直線的位置關(guān)系
1．空間兩條直線的位置關(guān)系
2．公理4及等角定理
(1)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．符號(hào)表示： a∥c．
(2)等角定理：如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．
3．異面直線的判定及其所成的角
(1)異面直線的判定定理
定理 文字語言 符號(hào)表示 圖形語言
異面直線的判定定理 過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線 若l α，A α，B∈α，B l，則直線l與A B是異面直線
(2)異面直線所成的角
①定義：a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角或夾角．
②異面直線所成的角θ的取值范圍：．
③當(dāng)θ＝時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b．
(3)求兩條異面直線所成角的步驟
①恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角．
②證明這個(gè)角就是異面直線所成的角(或補(bǔ)角)．
③把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)．
④若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是兩條異面直線所成的角．
知識(shí)點(diǎn)三：直線與平面的位置關(guān)系
1．直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點(diǎn) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 沒有公共點(diǎn)
符號(hào)表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
2．直線與平面平行
(1)直線與平面平行的判定定理
文字語言 如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號(hào)語言 a∥α
圖形語言
(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語言 一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號(hào)語言 l∥α，l β，α∩β＝m l∥m
圖形語言
3．直線與平面垂直
(1)直線與平面垂直的定義
定義 如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直
記法 a⊥α
有關(guān)概念 直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
注意：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．
(2)直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號(hào)語言 若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m α，n α，則a⊥α
圖形語言
(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
符號(hào)語言 a∥b
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行； ②作平行線
注意：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離．
4．直線與平面所成的角
有關(guān)概念 對(duì)應(yīng)圖形
斜線 一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PQ
斜足 斜線與平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)Q
斜線段 斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段，如圖中線段PQ
射影 如圖，過平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影，線段P1Q就是斜線段PQ在平面α內(nèi)的射影
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的稅角，如圖中∠PQP1 規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角
取值范圍 設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°
知識(shí)點(diǎn)四：平面與平面的位置關(guān)系
　1．兩個(gè)平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 圖形表示 符號(hào)表示 公共點(diǎn)
平面α與 平面β平行 α∥β 沒有公共點(diǎn)
平面α與平面β相交 α∩β＝a 有一條公共直線
2．兩平面平行
(1)平面與平面平行的判定定理
表示 定理 圖形 文字 符號(hào)
兩個(gè)平面平行的判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行 若a α，b α，a∩b＝A， 且a∥β，b∥β， 則α∥β
(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理
表示 定理 圖形 文字 符號(hào)
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理 兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行 a∥b
注意：與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段．我們把公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離．
3．兩面角
概念 一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形
圖示
平面角 定義 一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角
圖示
符號(hào) OA α，OB β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
范圍 [0，π]
規(guī)定 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角
記法 如圖，棱為AB，面為α，β的二面角，記作二面角α－AB－β，也可以記作M－AB－N
4．兩平面垂直
(1)平面與平面垂直的概念
①定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個(gè)平面互相垂直．
②畫法：
③記作：α⊥β.
(2)平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直
符號(hào)語言 l⊥α，l β α⊥β
圖形語言
(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直
符號(hào)語言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
圖形語言
考點(diǎn)一 平面
1．下列命題中是真命題的是（ ）
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面
C．兩條直線確定一個(gè)平面
D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，確定一個(gè)平面
【答案】D
【解析】A：根據(jù)公理2知，必須是不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；
B：一條直線和直線外的一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；
C：兩條直線不可以確定一個(gè)平面，比如兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；
D：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，則三個(gè)交點(diǎn)不共線，故它們確定一個(gè)平面，
由公理1知，三條直線都在此平面內(nèi)，故D正確，故選：D.
2．下列說法中，正確的是（ ）．
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)
C．兩條直線確定一個(gè)平面 D．三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面
【答案】B
【解析】若三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；
過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)，B正確；
兩條直線若異面，則兩條直線無法確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；
三條兩兩相交的直線若過同一個(gè)點(diǎn)，則三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面或一個(gè)平面，D錯(cuò)誤.
故選：B
3．在空間，給出下面四個(gè)命題：
① 三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面；
② 一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；
③ 空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；
④ 兩條相交直線確定一個(gè)平面.
其中正確命題的序號(hào)是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】①，不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤.
②，直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，故②錯(cuò)誤.
③，空間兩兩相交的三條直線不一定確定一個(gè)平面，可以多個(gè)，故③錯(cuò)誤.
④，兩條相交直線確定一個(gè)平面，故④正確，故選：D
4． 給出下列語句：①桌面給人以平面的形象；②一個(gè)平面長(zhǎng)3 m，寬2 m；③平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面可以看成點(diǎn)的集合；④空間圖形是由空間的點(diǎn)、線、面所構(gòu)成的.其中正確的個(gè)數(shù)為
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根據(jù)平面的特征，絕對(duì)的平，無限延展，不計(jì)大小和厚薄，即可知，①對(duì)，②錯(cuò)；再根據(jù)點(diǎn)線面的關(guān)系可知，③④正確．故選：C．
考點(diǎn)二 直線與直線的位置關(guān)系
5．如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：
①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；
③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________； ④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．
【答案】①平行　②異面　③相交　④異面
【解析】直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1，B，B1在一個(gè)平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面，所以②④都應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C顯然相交于點(diǎn)D1，所以③應(yīng)該填“相交”．
6．下列命題中正確的有________．(填序號(hào))
①兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；
②兩條不重合的直線若不是異面直線，則必相交或平行；
③過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線；
④和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線．
【答案】②
【解析】對(duì)于①，空間兩直線無公共點(diǎn)，則可能平行，也可能異面，因此①不正確；對(duì)于②，因?yàn)榭臻g兩條不重合的直線的位置關(guān)系只有三種：平行、相交或異面，所以②正確；對(duì)于③，過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和過平面內(nèi)這點(diǎn)的直線是相交直線，因此③不正確；對(duì)于④，和兩條異面直線都相交的兩直線可能是相交直線，也可能是異面直線，因此④不正確．
7．如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點(diǎn)，試判斷直線MN與直線EF是否平行．
【答案】平行
【解析】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點(diǎn)，則有MN//AC，而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直線MN與直線EF平行．
8．在三棱錐中分別是邊的中點(diǎn)，且，則四邊形是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【解析】因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，所以；同理可得，所以四邊形是平行四邊形；又因?yàn)椋裕此倪呅问蔷匦危蔬x：B.
考點(diǎn)三 直線與平面的位置關(guān)系
9．下列命題正確的是(　　)
A．如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個(gè)平面平行
B．過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行
C．如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行
D．如果一條直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線與平面平行
【答案】B
【解析】不在平面內(nèi)的直線還可與平面相交，故A錯(cuò)誤；一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，故C錯(cuò)誤；直線也可能在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤．
10．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′的中心，則正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有(　　)
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【解析】由題圖知正方體的前、后、左、右四個(gè)面都與EF平行．
11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.
【答案】證明見解析
【解析】證明：連接BC1(圖略)，在△BCC1中，∵E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.
12．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．求證：MN∥平面PAD.
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接GA，GN.
∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點(diǎn)，∴GN∥DC，GN＝DC，
∵M(jìn)為平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，∴AM＝DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.
又MN 平面PAD，AG 平面PAD，∴MN∥平面PAD.
13．如圖所示，在四面體ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形．
【答案】證明見解析
【解析】證明：因?yàn)锳B∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB∥MN，同理AB∥PQ，所以MN∥PQ，同理可得MQ∥NP，所以截面MNPQ是平行四邊形．
14．下列命題中，正確的是(　　)
A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α
B．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線
C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直
D．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α
【答案】C
【解析】當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以A不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；若l在α內(nèi)，l也可以和α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故D錯(cuò)誤，選C．
15．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．則能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號(hào))
【答案】①③④
【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩條直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件．
16．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角的大小是________．
【答案】　30°
【解析】　由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，
∴∠PCA＝30°.
17．如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．
(1)求證：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
【答案】證明見解析
【解析】證明　(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM，
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，∴BM⊥平面PAM，
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN，
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，∴AN⊥PB，
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ，
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
18．如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，a α，a⊥AB.求證：a∥l.
【答案】證明見解析
【解析】證明　∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l，同理PB⊥l，
∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，∴l(xiāng)⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a，
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，∴a⊥平面PAB，∴a∥l.
考點(diǎn)四 平面與平面的位置關(guān)系
19．下列命題正確的是(　　)
A．一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
B．如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
C．平行于同一直線的兩個(gè)平面一定相互平行
D．如果一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
【答案】B
【解析】如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，即兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則兩平面平行．
20．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關(guān)系是(　　)
A．異面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
【答案】B
【解析】因?yàn)槠矫鍭1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因?yàn)锳1B1∥AB，所以DE∥AB.
21．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　)
A．有1個(gè) B．有2個(gè) C．有無數(shù)個(gè) D．不存在
【答案】C
【解析】由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個(gè)．
22．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】如圖，由正方體的性質(zhì)易知AB⊥平面ADD′A′，則AB⊥AD，AB⊥AD′，
則∠D′AD為二面角D′－AB－D的平面角，又因?yàn)樗倪呅蜛DD′A′為正方形，
所以∠D′AD＝45°，即二面角D′－AB－D的大小是45°，故選B.
23．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．
求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【答案】證明見解析
【解析】證明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1，又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．
(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB，
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG，
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.
24．如圖，在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.
【答案】證明見解析
【解析】證明　∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD，
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
∵BD 平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
25．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點(diǎn)D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.

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