資源簡介

知識點一：向量的概念
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模).
向量表示方法：向量或；模或.
(2)零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示，特別的：非零向量的單位向量是.
(4)平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；
特別的：與任一向量平行或共線.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.
知識點二：向量的線性運算
1．向量的加法
(1)定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規定.
(2)向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
(3)向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）
已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
2．向量的減法
(1)定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
(2)向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）
已知向量,,在平面內任取一點,作,,則向量.如圖所示
如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.
3．向量的數乘
(1)向量數乘的定義:一般地,我們規定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作.它的長度與方向規定如下：
①
②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.
4．共線向量定理
(1)定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數，.
(2)向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意；特別地，若，實數仍存在，但不唯一．
知識點三：向量的內積
1．兩個向量的夾角
(1)定義：給定兩個非零向量，，在平面內任選一點，作，，則稱內的為向量與向量的夾角，記作．
(2)性質：當時，與同向；當時，與反向．
(3)向量垂直：如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作．由于零向量方向是不確定的，在討論垂直問題時，規定零向量與任意向量垂直。
2．向量數量積的定義
(1)定義：一般地，當與都是非零向量時，稱為向量與的數量積(也稱內積)；
(2)記法：向量與的數量積記作，即；零向量與任一向量的數量積為0；
(3)由定義可知，兩個非零向量與的數量積是一個實數，這與向量的加法、減法及數乘向量的結果仍是一個向量不同。
3．向量的投影及向量數量積的幾何意義
(1)設，是兩個非零向量，，，考慮如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
(2)在平面內任取一點O，作，，過點M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．
(3)幾何意義：數量積等于的長度||與在的方向上的投影的乘積，投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量既可能是非負數，也可能是負數。
四、向量數量積的性質
設，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則
(1)；
(2)；
(3)當與同向時，；當與反向時，；特別地，或；
(4)；
(5)
知識點四：向量的坐標表示
1．平面向量的坐標運算
(1)向量加減：若，則；
(2)數乘向量：若，則；
(3)若，則
(4)任一向量：設，則.
(5)若，則的充要條件為.
(6)向量數量積：若，則；
(7)若向量，則
考點一 向量的概念
1．下面關于向量的說法不正確的是　　
A．單位向量：模為1的向量 B．零向量：模為0的向量
C．平行（共線）向量：方向相同或相反的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量
2．下列命題中正確的是（ ）
A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同
D．若與是共線向量，則點，，，必在同一條直線上
3．下列說法正確的是　　
A．數量可以比較大小，向量也可以比較大小
B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小
C．向量的大小與方向有關
D．向量的模可以比較大小
4． 如圖所示，中，三邊長均不相等，、、分別是，，的中點．
（1）寫出與共線的向量； （2）寫出與長度相等的向量； （3）寫出與相等的向量．
5．若為任一非零向量，為單位向量，下列各式：
（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是與同向的單位向量，則＝.
其中正確的是________.(填序號)
6．已知平面向量、、，下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
考點二 向量的線性運算
7．的化簡結果為（ ）
A． B． C． D．
8．下列計算正確的個數是　　
①；②；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．化簡下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
10．已知，是兩個不共線的向量，向量，，求（用，表示）．
11．在四邊形ABCD中，已知，，，其中，是不共線的向量，試判斷四邊形ABCD的形狀．
考點三 向量的內積
12．已知向量、滿足，，且，那么（ ）
A． B． C． D．
13．設是任意向量，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
14．若的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．2
15．已知等邊三角形ABC的邊長為2，則（ ）
A．2 B． C． D．
16．已知 ，向量 的夾角為，則 （ ）
A． B．1 C．2 D．
17．已知向量，滿足，，且，的夾角為30°，則（ ）
A． B．7 C． D．3
18．已知，與的夾角是.
（1）求的值及的值；
（2）當為何值時，？
考點四 向量的坐標表示
19．已知向量，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．已知向量，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
21．已知，向量，若，則實數（ ）
A． B． C．-2 D．2
22．已知向量,則k=( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
23．已知向量,若,則實數λ= ( )
A. B. C.-2 D.2
24．已知向量.
(1)求的值;
(2)求向量與夾角的余弦值.
25．已知向量,向量.
(1)求向量的坐標;
(2)若,求實數k的值.知識點一：向量的概念
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模).
向量表示方法：向量或；模或.
(2)零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示，特別的：非零向量的單位向量是.
(4)平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；
特別的：與任一向量平行或共線.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.
知識點二：向量的線性運算
1．向量的加法
(1)定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規定.
(2)向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
(3)向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）
已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
2．向量的減法
(1)定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
(2)向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）
已知向量,,在平面內任取一點,作,,則向量.如圖所示
如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.
3．向量的數乘
(1)向量數乘的定義:一般地,我們規定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作.它的長度與方向規定如下：
①
②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.
4．共線向量定理
(1)定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數，.
(2)向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意；特別地，若，實數仍存在，但不唯一．
知識點三：向量的內積
1．兩個向量的夾角
(1)定義：給定兩個非零向量，，在平面內任選一點，作，，則稱內的為向量與向量的夾角，記作．
(2)性質：當時，與同向；當時，與反向．
(3)向量垂直：如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作．由于零向量方向是不確定的，在討論垂直問題時，規定零向量與任意向量垂直。
2．向量數量積的定義
(1)定義：一般地，當與都是非零向量時，稱為向量與的數量積(也稱內積)；
(2)記法：向量與的數量積記作，即；零向量與任一向量的數量積為0；
(3)由定義可知，兩個非零向量與的數量積是一個實數，這與向量的加法、減法及數乘向量的結果仍是一個向量不同。
3．向量的投影及向量數量積的幾何意義
(1)設，是兩個非零向量，，，考慮如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
(2)在平面內任取一點O，作，，過點M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．
(3)幾何意義：數量積等于的長度||與在的方向上的投影的乘積，投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量既可能是非負數，也可能是負數。
四、向量數量積的性質
設，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則
(1)；
(2)；
(3)當與同向時，；當與反向時，；特別地，或；
(4)；
(5)
知識點四：向量的坐標表示
1．平面向量的坐標運算
(1)向量加減：若，則；
(2)數乘向量：若，則；
(3)若，則
(4)任一向量：設，則.
(5)若，則的充要條件為.
(6)向量數量積：若，則；
(7)若向量，則
考點一 向量的概念
1．下面關于向量的說法不正確的是　　
A．單位向量：模為1的向量 B．零向量：模為0的向量
C．平行（共線）向量：方向相同或相反的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】C
【解析】根據向量的定義可得，模為1的向量為單位向量，所以正確；
模為0的向量為零向量，所以正確；
方向相同或相反的非零向量為共線向量，所以不正確；
模相等，方向相同的向量為相等向量，所以正確；
故選：C．
2．下列命題中正確的是（ ）
A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同
D．若與是共線向量，則點，，，必在同一條直線上
【答案】A
【解析】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點相同時終點必相同，故A正確；
兩個有公共終點的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；
兩個有共同起點且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點未必相同，故C錯誤；
與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤，
故選：A.
3．下列說法正確的是　　
A．數量可以比較大小，向量也可以比較大小
B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小
C．向量的大小與方向有關
D．向量的模可以比較大小
【答案】D
【解析】由向量的定義可知：向量之間不能比較大小，但向量的模可以比較大小．故只有選項說法正確．
故選：D．
4． 如圖所示，中，三邊長均不相等，、、分別是，，的中點．
（1）寫出與共線的向量； （2）寫出與長度相等的向量； （3）寫出與相等的向量．
【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3），．
【解析】解：（1），分別是，的中點，，與共線的向量為，，，，，，；
（2），，分別是，，的中點，，，．
，，均不相等，與長度相等的向量為，，，，；
（3）與相等的向量為，．
5．若為任一非零向量，為單位向量，下列各式：
（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；（5）若是與同向的單位向量，則＝.
其中正確的是________.(填序號)
【答案】（3）
【解析】由題意知，，對（1），當時，，不一定有，故(1)錯誤；
對（2），與方向不一定相同或相反，所以與不一定平行，故(2)錯誤；
對（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正確；
對（4），向量的模非負，故(4)錯誤；
對(5)，與方向不一定相同，所以與方向不一定相同，故(5)錯誤，
綜上可知（3）正確，故答案：（3）.
6．已知平面向量、、，下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
【答案】B
【解析】對于選項A：若、為非零向量，，但不一定等于，故不成立，A錯誤；
對于選項B：可知、同向，于是可知、共線，即，故B正確；
對于選項C：若為零向量，，不一定能推出，故C錯誤；
對于選項D：，但是兩個向量方向不一定相同，故不可以推出，故D錯誤；
故選：B
考點二 向量的線性運算
7．的化簡結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，，故選：B.
8．下列計算正確的個數是　　
①；②；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】，，，①③正確．故選：C．
9．化簡下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
10．已知，是兩個不共線的向量，向量，，求（用，表示）．
【答案】
【解析】解：，,.
11．在四邊形ABCD中，已知，，，其中，是不共線的向量，試判斷四邊形ABCD的形狀．
【答案】四邊形是梯形
【解析】解：如圖所示，
，所以，即，且，所以四邊形是梯形.
考點三 向量的內積
12．已知向量、滿足，，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為向量、滿足，，且，所以，
故選：C
13．設是任意向量，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】向量的數量積是數量，選項A錯誤；
是方向上的向量，是方向上的向量，顯然等式不恒成立，選項B錯誤；
，選項C錯誤；
，向量的數量積滿足乘法的運算法則，選項D正確．故選：D．
14．若的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】，故選：B
15．已知等邊三角形ABC的邊長為2，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因為向量的夾角為，所以，故選：B.
16．已知 ，向量 的夾角為，則 （ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】，故選：C.
17．已知向量，滿足，，且，的夾角為30°，則（ ）
A． B．7 C． D．3
【答案】C
【解析】由題意得：，所以，故選：C.
18．已知，與的夾角是.
（1）求的值及的值；
（2）當為何值時，？
【答案】(1)，；(2).
【解析】解：（1）∵，與的夾角是，∴，
；
（2）由題意，，即，解得，
即時，.
考點四 向量的坐標表示
19．已知向量，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因為，，所以，所以，故選：D.
20．已知向量，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，因為，所以，故選：C.
21．已知，向量，若，則實數（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【解析】由，可得，，，因為，所以，故選：D.
22．已知向量,則k=( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
【答案】D
【解析】,由,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12,故選：D.
23．已知向量,若,則實數λ= ( )
A. B. C.-2 D.2
【答案】C
【解析】因為,所以，又,所以,
即，解得λ=-2，故選：C.
24．已知向量.
(1)求的值;
(2)求向量與夾角的余弦值.
【答案】(1)5；(2)
【解析】解：(1)因為,所以;
(2)由(1)知,
所以.
25．已知向量,向量.
(1)求向量的坐標;
(2)若,求實數k的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)因為,所以，
.
(2)因為,所以,即，解得.

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