資源簡介

知識點一：根式、分數指數冪及其運算
1．根式
(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
①當n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號 表示．
②當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數．這時，正數a的正的n次方根用符號 表示，負的n次方根用符號 － 表示．正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成 ±．
③負數沒有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，記作 ＝0．
(2)根式：式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．
(3)根式的性質：n為奇數時，＝a；n為偶數時，＝|a|.
2．冪的有關概念及運算
(1)零指數冪：a0＝1.這里a≠0. (2)負整數指數冪：a－n＝ (a≠0，n∈N*)．
(3)正分數指數冪： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(4)負分數指數冪：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(5)0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義．
(6)有理指數冪的運算性質
①； ②； ③．
知識點二：指數函數及其圖像和性質
1．定義：
一般地，函數（且）叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R，a是指數函數的底數．
2．指數函數的圖象及性質
時圖象 時圖象
圖象
性質 ①定義域，值域
②，即時，，圖象都經過點
③，即時，等于底數
④在定義域上是單調減函數 ④在定義域上是單調增函數
⑤時， 時， ⑤時， 時，
⑥既不是奇函數，也不是偶函數
知識點三：對數及其運算
1．對數
(1)對數：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN.其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
(2)兩類重要的對數
①常用對數：以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記作lgN；
②自然對數：以e為底的對數稱為自然對數，并把logeN記作lnN．
注：(i)無理數e＝2.718 28…；(ii)負數和零沒有對數；(iii)loga1＝0，logaa＝1.
(3)對數與指數之間的關系 當a＞0，a≠1時，ax＝N x＝logaN.
(4)對數運算的性質 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM；
(5)換底公式及對數恒等式 ①對數恒等式：＝N； ②換底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特別地，logab＝.
知識點四：對數函數及其圖像和性質
1．定義：函數（，且）叫做對數函數，其中x是自變量，定義域為．
2．對數函數的圖象與性質
圖象
性質 定義域：
值域：
過定點，即時，
在上增函數 在上是減函數
當時，， 當時， 當時，， 當時，
考點一 根式、分數指數冪及其運算
1．化簡：（1）（）； （2）； （3）.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）因為，所以，所以；
（2）；
（4）.
2．計算：（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）5（2）（3）
【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.
3．用分數指數冪形式表示下列各式（式中）：
（1）； （2）； （3）；
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）（2）；（3）；
4． 化簡下列各式（，，，）：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.
【解析】（1）；（2）；（3）；
（4）.
考點二 指數函數及其圖像和性質
5．函數，，，，其中指數函數的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因為形如的函數稱為指數函數，所以和是指數函數，故選：B．
6．函數是指數函數，則（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【解析】由指數函數定義知，同時，且，所以解得，故選：C
7．已知函數和都是指數函數，則______.
【答案】
【解析】因為函數是指數函數，所以，由是指數函數，所以，所以.
8．已知函數是指數函數，且，則________.
【答案】
【解析】設（且），則，得，故，因此，.
9．若函數（且）的圖像經過定點P，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以當，即時，函數值為定值0，所以點P坐標為.
10．若函數的圖象如圖所示，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】根據圖象，函數是單調遞減的，所以指數函數的底，根據圖象的縱截距，令，解得，即，故選：D.
11．已知，則它們的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，所以.故選：B
12．已知函數，則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可知函數為減函數，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為．故選B.
13．函數的值域為_______.
【答案】
【解析】的值域為，所以函數的值域為，故答案為：.
考點三 對數及其運算
14．使有意義的實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，解得，所以實數a的取值范圍是，故選C.
15．已知方程的兩根為，，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】∵方程的兩根為，，∴，∴，故選D．
16．方程的解是_________．
【答案】
【分析】根據對數的運算法則和運算性質，即可求解.
【詳解】由對數的運算性質，可得，可得，解得．
故答案為：.
17．計算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據指數對數恒等式及對數的運算法則計算可得；
【詳解】解：
；
故選：B
18．已知，，試用，表示.
【答案】
【解析】解：，， ，
．
考點四 對數函數及其圖像和性質
19．下列函數是對數函數的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對數函數（且），其中為常數，為自變量．對于選項A，符合對數函數定義；對于選項B，真數部分是，不是自變量，故它不是對數函數；對于選項C，底數是變量，不是常數，故它不是對數函數；對于選項D，底數是變量，不是常數，故它不是對數函數．
20．對數函數（且）的圖象經過點，則此函數的解析式_____．
【答案】
【解析】由已知條件可得，可得，因為且，所以，，因此，所求函數解析式為，故答案為：.
21．已知對數函數，則______．
【答案】2
【解析】由對數函數的定義，可得，解得．
22．函數的圖象一定過定點__________.
【答案】
【解析】令，則，所以，所以過定點，故答案為：
23．設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，，又由對數函數的性質:當時，底數越大，圖像越低，可得，所以，故選: D.
24．函數是定義在R上的偶函數，且在單調遞增，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由偶函數知，又，，，顯然，又在單調遞增，則.故選：C.
25．已知函數=．
（1）判斷的奇偶性； （2）求在的值域．
【答案】（1）奇函數；（2）
【解析】（1），則，的定義域為，，故是奇函數.
（2），當時，，故，即在的值域為知識點一：根式、分數指數冪及其運算
1．根式
(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
①當n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號 表示．
②當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數．這時，正數a的正的n次方根用符號 表示，負的n次方根用符號 － 表示．正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成 ±．
③負數沒有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，記作 ＝0．
(2)根式：式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．
(3)根式的性質：n為奇數時，＝a；n為偶數時，＝|a|.
2．冪的有關概念及運算
(1)零指數冪：a0＝1.這里a≠0. (2)負整數指數冪：a－n＝ (a≠0，n∈N*)．
(3)正分數指數冪： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(4)負分數指數冪：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(5)0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義．
(6)有理指數冪的運算性質
①； ②； ③．
知識點二：指數函數及其圖像和性質
1．定義：
一般地，函數（且）叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R，a是指數函數的底數．
2．指數函數的圖象及性質
時圖象 時圖象
圖象
性質 ①定義域，值域
②，即時，，圖象都經過點
③，即時，等于底數
④在定義域上是單調減函數 ④在定義域上是單調增函數
⑤時， 時， ⑤時， 時，
⑥既不是奇函數，也不是偶函數
知識點三：對數及其運算
1．對數
(1)對數：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN.其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
(2)兩類重要的對數
①常用對數：以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記作lgN；
②自然對數：以e為底的對數稱為自然對數，并把logeN記作lnN．
注：(i)無理數e＝2.718 28…；(ii)負數和零沒有對數；(iii)loga1＝0，logaa＝1.
(3)對數與指數之間的關系 當a＞0，a≠1時，ax＝N x＝logaN.
(4)對數運算的性質 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM；
(5)換底公式及對數恒等式 ①對數恒等式：＝N； ②換底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特別地，logab＝.
知識點四：對數函數及其圖像和性質
1．定義：函數（，且）叫做對數函數，其中x是自變量，定義域為．
2．對數函數的圖象與性質
圖象
性質 定義域：
值域：
過定點，即時，
在上增函數 在上是減函數
當時，， 當時， 當時，， 當時，
考點一 根式、分數指數冪及其運算
1．化簡：（1）（）； （2）； （3）.
2．計算：（1）；（2）；（3）；（4）.
3．用分數指數冪形式表示下列各式（式中）：
（1）； （2）； （3）；
4． 化簡下列各式（，，，）：
（1）； （2）； （3）； （4）.
考點二 指數函數及其圖像和性質
5．函數，，，，其中指數函數的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函數是指數函數，則（ ）
A．或 B． C． D．且
7．已知函數和都是指數函數，則______.
8．已知函數是指數函數，且，則________.
9．若函數（且）的圖像經過定點P，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
10．若函數的圖象如圖所示，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
11．已知，則它們的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函數，則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
13．函數的值域為_______.
考點三 對數及其運算
14．使有意義的實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
15．已知方程的兩根為，，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
16．方程的解是_________．
17．計算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．已知，，試用，表示.
考點四 對數函數及其圖像和性質
19．下列函數是對數函數的是( )
A． B． C． D．
20．對數函數（且）的圖象經過點，則此函數的解析式_____．
21．已知對數函數，則______．
22．函數的圖象一定過定點__________.
23．設，則（ ）
A． B． C． D．
24．函數是定義在R上的偶函數，且在單調遞增，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
25．已知函數=．
（1）判斷的奇偶性； （2）求在的值域．

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