資源簡(jiǎn)介

知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的概念
1．函數(shù)的有關(guān)概念
函數(shù)的定義 設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
函數(shù)的記法 ，
定義域 x叫做自變量，x的取值范圍A的集合叫做函數(shù)的定義域
值域 函數(shù)值y的集合叫做函數(shù)的值域
2．同一個(gè)函數(shù)
一般地，函數(shù)的三要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系與值域，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．
3．函數(shù)定義域的求法
當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮
(1)分母不為零；
(2)偶次根號(hào)的被開方數(shù)、式大于或等于零；
(3)零次冪的底數(shù)不為零，以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件.
注意：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.
4．分段函數(shù)
(1)一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．
(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．
(3)作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象．
5．復(fù)合函數(shù)
一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的表示方法
(1)解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值.
(2)圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì).
(3)列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值.
知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)的性質(zhì)
1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)增函數(shù)與減函數(shù)的定義
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I：
①如果 x1，x2∈D，當(dāng)x1②如果 x1，x2∈D，當(dāng)x1f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們稱它是減函數(shù)．
(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
(3)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
第一步：取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量，且；
第二步：變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
第三步：定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；
第四步：得出結(jié)論．
(4)常見函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù) 單調(diào)性
一次函數(shù)（） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減
反比例函數(shù)（） 當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增
二次函數(shù)（） 對(duì)稱軸為 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減； 在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞減
2．函數(shù)的奇偶性
(1)函數(shù)奇偶性的概念
①偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱為偶函數(shù)．
②奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱為奇函數(shù)．
(2)奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)
①偶函數(shù)：函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；偶函數(shù)必滿足；偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反.
②奇函數(shù)：函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；若奇函數(shù)在處有意義，
則有；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．
(3)用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟
第一步：求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下一步；
第二步：求，若，則 是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).
考點(diǎn)一 函數(shù)的概念
1．下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】B中，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)值和對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)y的唯一性，A，C，D滿足函數(shù)的定義，故選：B.
2．函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意且，所以函數(shù)的定義域是，故選 ：B．
3．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)? )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．
4． 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
①與； ②與；
③與； ④與
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】①與的定義域是，而，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，，這兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則不同，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；③與的定義域是，并且，對(duì)應(yīng)法則也相同，故這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)；④與是同一函數(shù)；所以是同一函數(shù)的是③④，故選：C.
5．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，因此該函數(shù)的對(duì)稱軸為：，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，而，所以最大值為，因此值域?yàn)椋蔬x：C.
6．已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方法一（配湊法）∵，∴.
方法二（換元法）令，則，∴，∴.
故選：A.
7．已知函數(shù)為一次函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，解得，，，故選：A.
8．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，成立，當(dāng)時(shí)，成立，即，當(dāng)時(shí)，，解得，因此得，所以的范圍是，故選：A.
9．已知，求的解析式．
【答案】
【解析】用－x替換中的x，得，由，
解得．
考點(diǎn)二 函數(shù)的表示方法
10．某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案的投入不少于方案的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】經(jīng)過年后，方案的投入為，則“經(jīng)過年之后，方案的投入不少于方案的投入”可以用不等式表示為，故選：D.
11．已知是反比例函數(shù)，且，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，∵，，∴，故選：B.
12．若函數(shù)和分別由下表給出，則不等式的解集為（ ）
x －1 0 1
1 0 －1
x 1 2 3
0 1 －1
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)x＝1時(shí)，；當(dāng)x＝2時(shí)，；當(dāng)x＝3時(shí)，，綜上，不等式的解集為，故選：C．
13．設(shè)為一次函數(shù)，且．若，則的解析式為（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，其中，則，所以，，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合乎題意，綜上所述，，故選：B.
考點(diǎn)三 函數(shù)的性質(zhì)
14．已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A．和 B．
C．和 D．
【答案】D
【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，并且開口向上，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即D選項(xiàng)正確；故選：D.
15．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向上，依題意可得，解得，即，故選：D
16．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在上單調(diào)遞增，，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C.
17．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為______.
【答案】
【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,所以.
18．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，故排除ABC，的定義域?yàn)椋始炔皇瞧婧瘮?shù)也不是偶函數(shù)，故選：D.
19．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列關(guān)系式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，故選：B.
20．利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．
【答案】證明見解析
【解析】證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)且，則，∵，∴，，．∴．即，，∴在上是減函數(shù)．
21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,則______________．
【答案】12
【解析】．
22．已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，設(shè)，則為奇函數(shù)，，即，.故選：C
23．定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】是定義在上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)， 在定義域上是減函數(shù)，且
，即，故可知，即可解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.
24．定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，求函數(shù)的解析式．
【答案】
【解析】解：因?yàn)棰伲裕譃榕己瘮?shù)，所以；為奇函數(shù)，所以，所以②，聯(lián)立①②可得．
25．已知函數(shù)
（1）判斷的奇偶性并說明理由；
（2）判斷在上的單調(diào)性并加以證明.
【答案】（1）奇函數(shù)；理由見解析；（2）單調(diào)遞減，證明見解析.
【解析】解：（1）由題意知：定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為奇函數(shù)；
（2）令，；
，，，，又，，在上單調(diào)遞減.知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的概念
1．函數(shù)的有關(guān)概念
函數(shù)的定義 設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
函數(shù)的記法 ，
定義域 x叫做自變量，x的取值范圍A的集合叫做函數(shù)的定義域
值域 函數(shù)值y的集合叫做函數(shù)的值域
2．同一個(gè)函數(shù)
一般地，函數(shù)的三要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系與值域，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．
3．函數(shù)定義域的求法
當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮
(1)分母不為零；
(2)偶次根號(hào)的被開方數(shù)、式大于或等于零；
(3)零次冪的底數(shù)不為零，以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件.
注意：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.
4．分段函數(shù)
(1)一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．
(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．
(3)作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象．
5．復(fù)合函數(shù)
一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的表示方法
(1)解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值.
(2)圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì).
(3)列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值.
知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)的性質(zhì)
1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)增函數(shù)與減函數(shù)的定義
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I：
①如果 x1，x2∈D，當(dāng)x1②如果 x1，x2∈D，當(dāng)x1f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們稱它是減函數(shù)．
(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
(3)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
第一步：取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量，且；
第二步：變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
第三步：定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；
第四步：得出結(jié)論．
(4)常見函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù) 單調(diào)性
一次函數(shù)（） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減
反比例函數(shù)（） 當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增
二次函數(shù)（） 對(duì)稱軸為 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減； 在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞減
2．函數(shù)的奇偶性
(1)函數(shù)奇偶性的概念
①偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱為偶函數(shù)．
②奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱為奇函數(shù)．
(2)奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)
①偶函數(shù)：函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；偶函數(shù)必滿足；偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反.
②奇函數(shù)：函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；若奇函數(shù)在處有意義，
則有；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．
(3)用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟
第一步：求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下一步；
第二步：求，若，則 是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).
考點(diǎn)一 函數(shù)的概念
1．下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（ ）
A． B． C． D．
2．函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)? )
A． B． C． D．
4． 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
①與； ②與；
③與； ④與
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
5．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
6．已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函數(shù)為一次函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
8．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，求的解析式．
考點(diǎn)二 函數(shù)的表示方法
10．某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案的投入不少于方案的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是反比例函數(shù)，且，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
12．若函數(shù)和分別由下表給出，則不等式的解集為（ ）
x －1 0 1
1 0 －1
x 1 2 3
0 1 －1
A． B． C． D．
13．設(shè)為一次函數(shù)，且．若，則的解析式為（ ）
A．或 B．
C． D．
考點(diǎn)三 函數(shù)的性質(zhì)
14．已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A．和 B．
C．和 D．
15．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
16．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
17．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為______.
18．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
19．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列關(guān)系式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
20．利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．
21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,則______________．
22．已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
23．定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
24．定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，求函數(shù)的解析式．
25．已知函數(shù)
（1）判斷的奇偶性并說明理由；
（2）判斷在上的單調(diào)性并加以證明.

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