資源簡介

知識點一：集合及其表示
1．集合的概念
(1)元素：一般地，把研究對象統稱為元素，常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指構成兩個集合的元素是一樣的．
(4)集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的．
2．元素與集合的關系
知識點 關系 概念 記法 讀法
元素與集合的關系 屬于 如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A a∈A “a屬于A”
不屬于 如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A a A “a不屬于A”
3．常用數集及表示符號
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
4．集合的表示方法　
(1)列舉法 把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
(2)描述法 一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
知識點二：集合之間的關系
1．子集、真子集、集合相等的相關概念
定義 符號表示 圖形表示
子集 如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
集合相等 如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等 A＝B
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
結論：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．
2．Venn圖
用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖．
3．子集的性質
(1)任何一個集合是它本身的子集，即A A.
(2)對于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
4．空集
(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .
(2)規定：空集是任何集合的子集．
知識點三：集合的運算
1．交集
(1)自然語言：
集合A與B的交集是所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，記作（讀作“A交B”）.
(2)符號語言：
(3)圖形語言
2．并集
(1)自然語言：
集合A與B的并集是所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，記作（讀作“A并B”）.
(2)符號語言：
(3)圖形語言
3．補集
(1)全集：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，全集通常記作U.
(2)補集
自然語言 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作 UA
符號語言 UA＝ {x|x∈U且x A}
圖形語言
考點一 集合及其表示
1．下列各組對象能構成集合的是（ ）
A．充分接近的所有實數 B．所有的正方形
C．著名的數學家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
2．下列關系中，正確的是　　
A． B． C． D．
3．以下六個寫法中：①；②；③；④；⑤；正確的個數有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
4． 已知集合 ，且 ，則實數m的值為（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
5．已知集合，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，若，則實數的值構成的集合為 ．
7．已知均為非零實數，則代數式的值所組成的集合的元素個數是 ．
8．試分別用列舉法和描述法表示下列集合：
（1）方程的解集；
（2）大于且小于的所有整數組成的集合．
考點二 集合之間的關系
9．已知集合，2，，則集合的非空真子集的個數是　　
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
10．設集合，則下列表述正確的有　　
①；②；③；④有4個子集．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
11．已知，，若，則實數取值的集合為　　
A． B． C． D．
12．集合，，若，則由實數組成的集合為 .
13．設集合，則集合的子集個數為 ．
14．已知集合，，且．
（1）求；
（2）寫出集合的所有子集．
15．已知集合，，
（1）若為空集，求實數的取值范圍；
（2）若是的真子集，求實數的取值范圍．
16．已知集合，在下列條件下分別求實數m的取值范圍：
（1）；
（2）恰有一個元素.
考點三 集合的運算
17．如圖，全集，，，則陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
18．已知全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
19．設全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求實數的取值范圍．
20．設集合，下列表示正確是（ ）
A．， B． C． D．
21．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求實數的取值范圍．
22．集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
23．設為實數，已知集合，滿足，則的取值集合為 .
A． B． C． D．
24．已知全集，集合，集合．
（1）求集合及；
（2）若集合，且，求實數的取值范圍．知識點一：集合及其表示
1．集合的概念
(1)元素：一般地，把研究對象統稱為元素，常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指構成兩個集合的元素是一樣的．
(4)集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的．
2．元素與集合的關系
知識點 關系 概念 記法 讀法
元素與集合的關系 屬于 如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A a∈A “a屬于A”
不屬于 如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A a A “a不屬于A”
3．常用數集及表示符號
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
4．集合的表示方法　
(1)列舉法 把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
(2)描述法 一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
知識點二：集合之間的關系
1．子集、真子集、集合相等的相關概念
定義 符號表示 圖形表示
子集 如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
集合相等 如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等 A＝B
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
結論：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．
2．Venn圖
用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖．
3．子集的性質
(1)任何一個集合是它本身的子集，即A A.
(2)對于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
4．空集
(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .
(2)規定：空集是任何集合的子集．
知識點三：集合的運算
1．交集
(1)自然語言：
集合A與B的交集是所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，記作（讀作“A交B”）.
(2)符號語言：
(3)圖形語言
2．并集
(1)自然語言：
集合A與B的并集是所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，記作（讀作“A并B”）.
(2)符號語言：
(3)圖形語言
3．補集
(1)全集：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，全集通常記作U.
(2)補集
自然語言 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作 UA
符號語言 UA＝ {x|x∈U且x A}
圖形語言
考點一 集合及其表示
1．下列各組對象能構成集合的是（ ）
A．充分接近的所有實數 B．所有的正方形
C．著名的數學家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【解析】選項A，C不滿足集合的確定性；集合B正方形是確定的，故能構成集合；選項D不滿足集合的互異性．故選：B．
2．下列關系中，正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根據元素與集合的關系，用符號，，，，集合與集合的關系，用等符號，可知正確，故選：．
3．以下六個寫法中：①；②；③；④；⑤；正確的個數有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【解析】對于①：是集合與集合的關系，應該是，①不對；對于②：空集是任何集合的子集，，②對；對于③：是一個集合，是集合與集合的關系，，③不對；對于④：根據集合的無序性可知，④對；對于⑤：是空集，表示沒有任何元素，應該是，⑤不對；正確的是：②④．故選：B．
4． 已知集合 ，且 ，則實數m的值為（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【解析】因為，且，所以或，解得或或，當時，即集合不滿足集合元素的互異性，故，當時集合不滿足集合元素的互異性，故，當時滿足條件；故選：A
5．已知集合，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A：由是集合，所以，∴選項A錯誤；對于B：當時，，與集合中元素的互異性相矛盾，∴選項B錯誤；對于C：當時，，，不合題意，∴選項C錯誤；對于D：當，時，，符合題意，∴選項D正確，故選：D.
6．已知集合，若，則實數的值構成的集合為 ．
【答案】
【解析】因為集合，且 所以或
（1）當時，此時，符合題意.
（2）當時，解得或，當時，與集合元素的互相性矛盾，舍去；當時，符合題意，綜上可知實數的值構成的集合為，故答案為：.
7．已知均為非零實數，則代數式的值所組成的集合的元素個數是 ．
【答案】2
【解析】根據題意分2種情況討論：當全部為負數時，為正數，則；
當全部為正數時，為正數，則；當一正一負時，為負數，則；綜上可知，的值為或3，即代數式的值所組成的集合的元素個數是2，故答案為：2.
8．試分別用列舉法和描述法表示下列集合：
（1）方程的解集；
（2）大于且小于的所有整數組成的集合．
【答案】(1)；；(2)；
【解析】(1)方程的根可以用x表示，它滿足的條件是，因此，用描述法表示為；又方程的根是，因此，用列舉法表示為．
(2)大于且小于的整數可以用x表示，它滿足的條件是且，因此，用描述法表示為；大于且小于的整數有，因此，用列舉法表示為
考點二 集合之間的關系
9．已知集合，2，，則集合的非空真子集的個數是　　
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】
【解析】根據題意，集合，2，，其非空真子集為、、、，、、、，，共6個；故選：．
10．設集合，則下列表述正確的有　　
①；②；③；④有4個子集．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】
【解析】因為集合，所以集合，，則①②④正確，③錯誤，故選：．
11．已知，，若，則實數取值的集合為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，，且，①時，，滿足；
②時，，則或2，解得或，實數的取值集合為，故選：．
12．集合，，若，則由實數組成的集合為 .
【答案】.
【解析】集合，，且，或或，．則實數組成的集合為，故答案為：.
13．設集合，則集合的子集個數為 ．
【答案】16
【解析】，1，3，，集合的子集個數為，故答案為：16.
14．已知集合，，且．
（1）求；
（2）寫出集合的所有子集．
【答案】（1）；（2）：，，，.
【解析】解：（1），或，解得或，
當時，，集合不滿足互異性，舍去，
當時，經經驗，符合題意，故．
（2）由（1）知，的子集為：，，，.
15．已知集合，，
（1）若為空集，求實數的取值范圍；
（2）若是的真子集，求實數的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）當為空集時，， 解得．即實數的取值范圍為.
（2）若是的真子集，則， 解得，即實數的取值范圍為.
16．已知集合，在下列條件下分別求實數m的取值范圍：
（1）；
（2）恰有一個元素.
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)若，則關于x的方程沒有實數解，則，且，
所以，實數m的取值范圍是；
(2)若A恰有一個元素，所以關于x的方程恰有一個實數解，討論：當時，，滿足題意；當時，，所以．綜上所述，m的取值范圍為．
考點三 集合的運算
17．如圖，全集，，，則陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由圖示可知，陰影部分可表示為，∵，∴，故選：.
18．已知全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，又全集，所以，故選：B．
19．設全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)或，故．
(2)，因為，故．
20．設集合，下列表示正確是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，則，對：因為不是的子集，故錯誤；對：因為不是的子集，故錯誤；對：是的非真子集，故錯誤；對：.故正確，故選：.
21．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求實數的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）集合，，，當時，，
；
（2），，，解得，實數的取值范圍為．
22．集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，所以，解得，所以，，所以 ，故選：D
23．設為實數，已知集合，滿足，則的取值集合為 .
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由題可得，由可得，由，可得或2，故答案為：.
24．已知全集，集合，集合．
（1）求集合及；
（2）若集合，且，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，；(2)
【解析】解：(1)由得：，所以，則，由，所以，．
(2)因為且，所以，解得，所以的取值范圍是．

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