資源簡介

培優(yōu)提升二　平拋運動與斜面和曲面相結(jié)合的問題及臨界極值問題
學習目標　1.掌握平拋運動與斜面和曲面結(jié)合問題的解題方法。2.會分析有關(guān)平拋運動的臨界和極值問題。3.會用平拋運動的分析方法分析類平拋運動。
提升1　與斜面和曲面關(guān)聯(lián)的平拋運動
幾種常見的運動情形和分析方法
運動情形 分析方法
從空中水平拋出垂直落到斜面上，速度偏轉(zhuǎn)角與斜面傾角互余，即α＋θ＝ 分解速度，構(gòu)建速度三角形vx＝v0，vy＝gttan α＝＝ tan θ＝＝
從斜面某點水平拋出又落到斜面上，斜面的傾角等于位移與水平方向的夾角 分解位移，構(gòu)建位移三角形x＝v0ty＝gt2 tan θ＝＝
從斜面外水平拋出，要求以最短位移打到斜面，位移的方向與斜面垂直，即α＋θ＝ 分解位移x＝v0t，y＝gt2tan θ＝＝tan α＝＝
從斜面外水平拋出，沿斜面方向落入斜面，其合速度方向沿斜面方向 分解速度vx＝v0，vy＝gttan α＝＝
角度1　從斜面上水平拋出
例1 如圖所示，女子跳臺滑雪運動員踏著專用滑雪板，不帶雪杖在助滑道上(未畫出)獲得一速度后水平飛出，在空中飛行一段距離后著陸。設(shè)某運動員由斜坡頂?shù)腁點沿水平方向飛出的速度v0＝20 m/s，落點在斜坡上的B點，斜坡傾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不考慮空氣阻力(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)運動員在空中飛行的時間t；
(2)A、B間的距離s；
(3)運動員落到斜面上時的速度大??；
(4)運動員何時離斜面最遠。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)平拋運動求時間利用各個分運動的等時性和獨立性進行求解。
(2)計算分速度、合速度可分別求分速度，然后合成，也可以利用三角函數(shù)的關(guān)系進行聯(lián)系。
(3)計算分位移、合位移可以分別求分位移，然后合成，也可以利用三角函數(shù)的關(guān)系進行聯(lián)系。
(4)解決斜面上的平拋運動也可以沿斜面和垂直斜面建坐標系，恰當?shù)倪x取坐標系，可以使運算簡化?！　　　?br/>角度2　對著斜面水平拋出
例2 如圖所示，一個小球從高h＝10 m處以水平速度v0＝10 m/s拋出，撞在傾角θ＝45°的斜面上的P點，已知AC＝5 m，g取10 m/s2。求：
(1)P、C之間的距離；
(2)小球撞擊P點時速度的大小和方向。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　對著曲面水平拋出
例3 (2024·云南省玉溪三中高一期末)如圖所示，AB為一半徑為R的圓弧，圓心位置O，一小球從與圓心等高的某點沿半徑方向水平拋出，恰好垂直落在AB面上的Q點，且速度與水平方向夾角為53°，則小球從拋出點到Q點的水平距離為(　　)
A.0.6R B.0.8R
C.R D.1.2R
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)能夠理解小球垂直打在圓面上，速度反向延長一定過圓心。
(2)解決平拋運動和圓弧相結(jié)合的問題，會應用到圓的切線、垂線及圓的軌跡方程，利用數(shù)形結(jié)合建立聯(lián)系。　　　　
提升2　平拋運動的臨界極值問題
常見的“三種”臨界特征
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起、止”點，而這些起、止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。
例4 (2024·廣東茂名市高一期末)中國面食文化博大精深，“刀削面”的歷史最早可以追溯到元朝，其制作方式可用平拋運動的模型來進行分析。如圖所示，古人在制作刀削面時面團距離鍋的高度h＝0.45 m，與鍋沿的水平距離L＝0.3 m，鍋的半徑也為L＝0.3 m，“刀削面”在空中的運動可看作平拋運動，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)面片在空中運動的時間；
(2)面片恰好落在鍋中心O點時的速度大小(結(jié)果可帶根號)；
(3)為保證削出的面片都落在鍋內(nèi)，削出的面片初速度v0大小的取值范圍。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
平拋運動臨界極值問題的分析方法
(1)確定研究對象的運動性質(zhì)。
(2)根據(jù)題意確定臨界狀態(tài)。
(3)確定臨界軌跡，畫出軌跡示意圖。
(4)應用平拋運動的規(guī)律，結(jié)合臨界條件列方程求解?！　　　?br/>例5 (2023·新課標卷)將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產(chǎn)生“水漂”效果，石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少(不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升3　類平拋運動
1.類平拋運動的概念
凡是合外力________且________于初速度方向的運動都可以稱為類平拋運動。
2.類平拋運動的特點
(1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是豎直向下，但合力的方向應與初速度方向________。
(2)加速度不一定等于重力加速度g，但應____________。
3.類平拋運動的分析方法
(1)類平拋運動可看成是沿初速度方向的勻速直線運動和垂直初速度方向的由靜止開始的勻加速直線運動的合運動。
(2)處理類平拋運動的方法和處理平拋運動的方法類似，但要分析清楚加速度的大小和方向。
4.類平拋運動的規(guī)律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝____________________________________。
合外力方向上：a＝，vy＝_______________________________________，
y＝________。
例6 如圖所示，光滑斜面長L＝10 m，傾角為30°，一小球從斜面的頂端以v0＝10 m/s的初速度水平拋出，g＝10 m/s2。求：
(1)小球沿斜面運動到底端時的水平位移x；
(2)小球到達斜面底端時的速度大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
隨堂對點自測
1.(與斜面關(guān)聯(lián)的平拋運動)如圖所示，斜面與水平面之間的夾角為45°，在斜面底端A點正上方高度為10 m處的O點，以5 m/s的速度水平拋出一個小球，飛行一段時間后撞在斜面上，不計空氣阻力，這段飛行所用的時間為(g＝10 m/s2)(　　)
A.2 s B. s
C.1 s D.0.5 s
2.(與曲面關(guān)聯(lián)的平拋運動)如圖所示，斜面ABC與圓弧軌道相接于C點，從A點水平向右飛出的小球恰能從C點沿圓弧切線方向進入軌道。OC與豎直方向的夾角為θ＝60°，若AB的高度為h，忽略空氣阻力，則BC的長度為(　　)
A.h B.h
C.h D.2h
3.(臨界問題)如圖所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6 m，墻的厚度d＝0.4 m，某人在離墻壁距離L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m處的P點，將可視為質(zhì)點的小物件以速度v水平拋出，小物件直接穿過窗
口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不計空氣阻力。則v的取值范圍是(　　)
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s4.(極值問題)(2024·湖北卷，3)如圖所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉上，設(shè)低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內(nèi)，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運動，若以最小的初速度完成跳躍，則它應跳到(　　)
A.荷葉a B.荷葉b
C.荷葉c D.荷葉d
培優(yōu)提升二　平拋運動與斜面和曲面相結(jié)合的問題及臨界極值問題
提升1
例1 (1)3 s　(2)75 m　(3)10 m/s　(4)1.5 s
解析　(1)運動員由A點到B點做平拋運動，水平方向的位移x＝v0t，豎直方向的位移y＝gt2
又＝tan 37°
聯(lián)立解得t＝＝3 s。
(2)由題意知sin 37°＝＝，得A、B間的距離s＝＝75 m。
(3)運動員落在斜面上時速度的豎直分量
vy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
運動員落到斜面上時的速度大小
v＝eq \r(v＋v)＝10 m/s。
(4)如圖，運動員距離斜面最遠時，合速度方向與斜面平行，有
tan 37°＝
即tan 37°＝
解得t′＝＝1.5 s。
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例2 (1)5 m　(2)10 m/s　方向垂直于斜面向下
解析　(1)A、C之間的距離s＝5 m，設(shè)P、C之間的距離為L，根據(jù)平拋運動規(guī)律有
s＋Lcos 45°＝v0t
h－Lsin 45°＝gt2
聯(lián)立解得L＝5 m，t＝1 s。
(2)小球撞擊P點時的水平速度v0＝10 m/s
豎直速度vy＝gt＝10 m/s
所以小球撞擊P點時速度的大小為v＝10 m/s
設(shè)小球的速度方向與水平方向的夾角為α
則tan α＝＝1，α＝45°，即方向垂直于斜面向下。
例3 D　[如圖所示，小球恰好垂直落在AB面上的Q點，作速度的反向延長線，交于O點，由平拋運動的推論可知，速度反向延長線通過水平位移的中點，故tan 53°＝，結(jié)合圓的幾何關(guān)系可得＋y2＝R2，聯(lián)立可解得x＝1.2R，D正確。]
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提升2
例4 (1)0.3 s　(2) m/s　(3)1 m/s解析　(1)據(jù)平拋運動特點，豎直方向上h＝gt2
得t＝＝0.3 s。
(2)落在鍋中心O點時的水平速度大小
v01＝＝2 m/s
豎直方向速度大小vy＝gt＝3 m/s
恰好落在鍋中心O點時的速度大小
v＝eq \r(v＋v)＝ m/s。
(3)面片水平位移的范圍為L由平拋運動特點，有x＝v0t
代入數(shù)據(jù)得1 m/s例5
解析　設(shè)石子拋出時的水平速度為v0，接觸水面時豎直方向的速度為vy，不計空氣阻力，石子做平拋運動
豎直方向有v＝2gh
恰好可以觀察到“水漂”時，有tan θ≥
聯(lián)立解得v0≥
即拋出速度的最小值為vmin＝。
提升3
1.恒定　垂直　2.(1)垂直　(2)恒定不變　4.v0t　at　at2
例6 (1)20 m　(2)10 m/s
解析　(1)小球在斜面上沿v0方向做勻速直線運動，沿垂直于v0方向做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律有mgsin 30°＝ma
又L＝at2，解得t＝＝2 s
所以x＝v0t＝10×2 m＝20 m。
(2)設(shè)小球運動到斜面底端時的速度為v，則有
vx＝v0＝10 m/s
vy＝＝＝＝10 m/s
故v＝eq \r(v＋v)＝10 m/s。
隨堂對點自測
1.C　[設(shè)小球撞到斜面上的一點D，則小球水平運動的時間與豎直下落的時間相等，設(shè)飛行時間為t，根據(jù)幾何關(guān)系可得v0t＝10 m－gt2，代入數(shù)據(jù)解得t＝1 s，故選項C正確。]
2.B　[小球飛出后做平拋運動，到C點時的速度方向與初速度方向夾角為θ，設(shè)此時位移方向與初速度方向夾角為α。根據(jù)平拋運動規(guī)律得tan θ＝2tan α＝，解得x＝h，所以A、C、D錯誤，B正確。]
3.C　[若小物件恰好過窗口上沿，則有h＝gt，L＝v1t1，解得v1＝7 m/s；若小物件恰好過窗口下沿，則有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，解得v2＝3 m/s，所以3 m/s(分值：100分)
選擇題1～10題，每小題7分，共70分。
對點題組練
題組一　與斜面和曲面關(guān)聯(lián)的平拋運動
1.滑雪運動員在訓練過程中，從斜坡頂端以5.0 m/s的速度水平飛出，落在斜坡上，然后繼續(xù)沿斜坡下滑。已知斜坡傾角為45°，空氣阻力忽略不計，g取10 m/s2，則他在該斜坡上方平拋運動的時間為(　　)
0.5 s 1.0 s
1.5 s 5.0 s
2.(多選)一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如圖中虛線所示，則下列說法正確的是(　　)
水平速度與豎直速度之比為tan θ
水平速度與豎直速度之比為
水平位移與豎直位移之比為2tan θ
水平位移與豎直位移之比為
3.(多選)如圖所示，某物體(可視為質(zhì)點)以水平初速度拋出，飛行一段時間t＝ s后，垂直地撞在傾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，則下列關(guān)于物體的水平位移x和水平初速度v0正確的是(　　)
x＝25 m x＝10 m
v0＝10 m/s v0＝20 m/s
4.如圖所示，斜面上有a、b、c、d、e五個點，ab＝bc＝cd＝de。從a點以速度v0水平拋出一個小球，它落在斜面上的b點；若小球從a點以速度2v0水平拋出，不計空氣的阻力，則它將落在斜面上的(　　)
c點 c與d之間某一點
d與e之間某一點 e點
5.(2024·廣東廣州市高一下期末)如圖所示，一小球從一半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動(小球可視為質(zhì)點)，飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點。O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向夾角為60°，重力加速度為g，則小球拋出時的初速度為(　　)
題組二　平拋運動的臨界極值問題
6.(2024·甘肅靖遠二中高一期中)如圖所示，在水平路面上一運動員駕駛摩托車跨越壕溝，壕溝兩側(cè)的高度差為0.8 m，水平距離為8 m，則運動員跨過壕溝的初速度至少為(取g＝10 m/s2)(　　)
0.5 m/s 2 m/s
10 m/s 20 m/s
7.(2024·浙江1月選考)如圖所示，小明取山泉水時發(fā)現(xiàn)水平細水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，則水離開出水口的速度大小為(　　)
(＋1)D
題組二　類平拋運動
8.我國建造的航空母艦所使用的滑跳式甲板跑道，用來讓飛行員練習在航空母艦上的滑跳式甲板起飛。如圖所示的AOB為此跑道示意圖，其中AO段水平，OB段為拋物線，O點為拋物線的頂點，拋物線過O點的切線水平，OB的水平距離為x，豎直高度為y。某次訓練中，觀察戰(zhàn)機(視為質(zhì)點)通過OB段時，得知戰(zhàn)機在水平方向做勻速直線運動，所用時間為t，則戰(zhàn)機離開B點的速率為(　　)
綜合提升練
9.某同學對著墻壁練習打網(wǎng)球，假定球在墻面上以20 m/s的速度沿水平方向反彈，球在墻面上反彈點距地面的高度在1.25 m至1.80 m之間，忽略空氣阻力，g取10 m/s2，則球反彈一次后落地(　　)
飛行的最短時間為0.6 s
飛行的最長時間為1.1 s
飛行的最遠水平距離為10 m
飛行的最大位移將超過12 m
10.(多選)如圖所示，水平固定半球形碗的球心為O點，最低點為P點。在碗邊緣處的A點向球心O以速度v1、v2水平拋出兩個小球，在空中的飛行時間分別為t1、t2，小球分別落在碗內(nèi)的M、P兩點。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判斷正確的是(　　)
t1∶t2＝∶ t1∶t2＝2∶
v1∶v2＝∶10 v1∶v2＝∶5
11.(15分)在真空環(huán)境內(nèi)探測微粒在重力場中能量的簡化裝置如圖所示。P是個微粒源，能持續(xù)水平向右發(fā)射質(zhì)量相同、初速度不同的微粒，高度為h的探測屏AB豎直放置，離P點的水平距離為L，上端A與P點的高度差也為h，已知重力加速度為g。
(1)(7分)若微粒打在探測屏AB的中點，求微粒在空中飛行的時間；
(2)(8分)求能被探測屏探測到的微粒的初速度范圍。
培優(yōu)加強練
12.(15分)如圖所示，排球場的長為18 m，球網(wǎng)的高度為2 m。運動員站在離網(wǎng)3 m遠的線上，正對球網(wǎng)豎直跳起，把球垂直于網(wǎng)水平擊出(g＝10 m/s2，不計空氣阻力)。
(1)(7分)設(shè)擊球點的高度為2.5 m，問球被水平擊出時的速度v0在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？
(2)(8分)若擊球點的高度小于某個值，那么無論球被水平擊出時的速度為多大，球不是觸網(wǎng)就是出界，試求出此高度。
培優(yōu)提升二　平拋運動與斜面和曲面相結(jié)合的問題及臨界極值問題
1.B　[滑雪運動員做平拋運動，在水平方向有x＝v0t，豎直方向有y＝gt2，根據(jù)題意有tan 45°＝＝，解得t＝1.0 s，故B正確。]
2.AC　[小球落在斜面上，速度方向與斜面垂直，則速度方向與豎直方向的夾角為θ，則水平速度與豎直速度之比為＝tan θ，故A正確，B錯誤；水平位移與豎直位移之比＝＝＝2tan θ，故C正確，D錯誤。]
3.BC　[物體垂直撞在斜面上時豎直分速度vy＝gt＝10 m/s，將速度進行分解，根據(jù)平行四邊形定則知，tan 30°＝，解得v0＝10× m/s＝10 m/s，則水平位移x＝v0t＝10× m＝10 m，故B、C正確，A、D錯誤。]
4.D　[小球落在斜面上時速度與水平方向的夾角為α，則tan α＝＝，解得t＝，在豎直方向的位移y＝gt2＝eq \f(vtan2α,2g)。當初速度變?yōu)樵瓉淼?倍時，豎直方向的位移變?yōu)樵瓉淼?倍，所以小球一定落在斜面上的e點，選項D正確。]
5.D　[飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點，則知速度與水平方向的夾角為30°，有vy＝v0tan 30°，又 vy＝gt，則v0tan 30°＝gt，t＝，水平方向上小球做勻速直線運動，有R＋Rcos 60°＝v0t，聯(lián)立解得v0＝，故D正確。]
6.D　[根據(jù)x＝v0t、y＝gt2，將已知數(shù)據(jù)代入可得v0＝20 m/s，故D正確。]
7.C　[設(shè)出水孔到水桶中心距離為x，則x＝v0，落到桶底A點時x＋＝v0，解得v0＝，故C正確。]
8.D　[戰(zhàn)機在OB段的運動軌跡是拋物線，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，則戰(zhàn)機到達B點時的水平分速度大小vx＝，豎直分速度大小vy＝，合速度大小為v＝eq \r(v＋v)＝，故D正確。]
9.D　[球反彈后做平拋運動，根據(jù)h＝gt2，可得t＝，取hmin＝1.25 m，可得tmin＝0.5 s，取hmax＝1.80 m，可得tmax＝0.6 s，故A、B錯誤；球在水平方向做勻速直線運動，有xmax＝v0tmax＝12 m，故C錯誤；球落地的最大位移smax＝eq \r(x＋h)＝ m>12 m，故D正確。]
10.BD　[小球落在M、P兩點下落的高度分別為h1＝Rcos 37°＝0.8R，h2＝R，根據(jù)平拋運動規(guī)律，豎直方向上h＝gt2，可知t1＝＝，t2＝＝，解得t1∶t2＝2∶，B正確，A錯誤；小球落在M、P兩點水平位移分別為x1＝R－Rsin 37°＝0.4R，x2＝R，根據(jù)平拋運動規(guī)律，水平方向上x＝vt，可知v1＝＝，v2＝＝，解得v1∶v2＝∶5，C錯誤，D正確。]
11.(1)　(2)L≤v≤L
解析　(1)對打在屏中點的微粒，有
h＝gt2，解得t＝。
(2)對打在B點的微粒，有
L＝v1t1，2h＝gt
解得v1＝L
對打在A點的微粒，有
L＝v2t2，h＝gt
解得v2＝L
故能被探測屏探測到的微粒初速度范圍為
L≤v≤L。
12.(1)3 m/s解析　(1)如圖甲所示，排球恰不觸網(wǎng)時其運動軌跡為Ⅰ，排球恰不出界時其運動軌跡為Ⅱ，根據(jù)平拋運動的規(guī)律，由x＝v0t和h＝gt2可得，當排球恰不觸網(wǎng)時有
INCLUDEPICTURE"t52.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\課件\\2024課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 人教版（L）（魯瓊浙）\\學生word文檔\\t52.tif" \* MERGEFORMATINET
x1＝3 m，x1＝v1t1①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝gt②
由①②可得v1＝3 m/s
當排球恰不出界時有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
h2＝2.5 m，h2＝gt④
由③④可得v2＝12 m/s
所以排球既不觸網(wǎng)也不出界的速度范圍是
3 m/s(2)如圖乙所示為排球恰不觸網(wǎng)也恰不出界的臨界軌跡。設(shè)擊球點的高度為h，根據(jù)平拋運動的規(guī)律有
INCLUDEPICTURE"t53.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\課件\\2024課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 人教版（L）（魯瓊浙）\\學生word文檔\\t53.tif" \* MERGEFORMATINET
x1＝3 m，x1＝v0t1′⑤
h1′＝h－2 m，h1′＝gt1′2⑥
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t2′⑦
h2′＝h＝gt2′2⑧
聯(lián)立⑤⑥⑦⑧式可得，高度h＝ m。(共53張PPT)
培優(yōu)提升二　平拋運動與斜面和曲面相結(jié)合的
問題及臨界極值問題
第五章　拋體運動
1.掌握平拋運動與斜面和曲面結(jié)合問題的解題方法。
2.會分析有關(guān)平拋運動的臨界和極值問題。
3.會用平拋運動的分析方法分析類平拋運動。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　平拋運動的臨界極值問題
提升1　與斜面和曲面關(guān)聯(lián)的平拋運動
提升3　類平拋運動
提升1　與斜面和曲面關(guān)聯(lián)的平拋運動
幾種常見的運動情形和分析方法
角度1　從斜面上水平拋出
例1 如圖所示，女子跳臺滑雪運動員踏著專用滑雪板，不帶雪杖在助滑道上(未畫出)獲得一速度后水平飛出，在空中飛行一段距離后著陸。設(shè)某運動員由斜坡頂?shù)腁點沿水平方向飛出的速度v0＝20 m/s，落點在斜坡上的B點，斜坡傾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不考慮空氣阻力(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)運動員在空中飛行的時間t；
(2)A、B間的距離s；
(3)運動員落到斜面上時的速度大小；
(4)運動員何時離斜面最遠。
(3)運動員落在斜面上時速度的豎直分量
vy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
(4)如圖，運動員距離斜面最遠時，合速度方向與斜面平行，有
(1)平拋運動求時間利用各個分運動的等時性和獨立性進行求解。
(2)計算分速度、合速度可分別求分速度，然后合成，也可以利用三角函數(shù)的關(guān)系進行聯(lián)系。
(3)計算分位移、合位移可以分別求分位移，然后合成，也可以利用三角函數(shù)的關(guān)系進行聯(lián)系。
(4)解決斜面上的平拋運動也可以沿斜面和垂直斜面建坐標系，恰當?shù)倪x取坐標系，可以使運算簡化?！　　　?br/>角度2　對著斜面水平拋出
例2 如圖所示，一個小球從高h＝10 m處以水平速度v0＝10 m/s拋出，撞在傾角θ＝45°的斜面上的P點，已知AC＝5 m，g取10 m/s2。求：
(1)P、C之間的距離；
(2)小球撞擊P點時速度的大小和方向。
解析　(1)A、C之間的距離s＝5 m，設(shè)P、C之間的距離為L，根據(jù)平拋運動規(guī)律有s＋Lcos 45°＝v0t
(2)小球撞擊P點時的水平速度v0＝10 m/s
豎直速度vy＝gt＝10 m/s
設(shè)小球的速度方向與水平方向的夾角為α
D
(1)能夠理解小球垂直打在圓面上，速度反向延長一定過圓心。
(2)解決平拋運動和圓弧相結(jié)合的問題，會應用到圓的切線、垂線及圓的軌跡方程，利用數(shù)形結(jié)合建立聯(lián)系?！　　　?br/>提升2　平拋運動的臨界極值問題
常見的“三種”臨界特征
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起、止”點，而這些起、止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。
例4 (2024·廣東茂名市高一期末)中國面食文化博大精深，“刀削面”的歷史最早可以追溯到元朝，其制作方式可用平拋運動的模型來進行分析。如圖所示，古人在制作刀削面時面團距離鍋的高度h＝0.45 m，與鍋沿的水平距離L＝0.3 m，鍋的半徑也為L＝0.3 m，“刀削面”在空中的運動可看作平拋運動，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)面片在空中運動的時間；
(2)面片恰好落在鍋中心O點時的速度大小(結(jié)果可帶根號)；
(3)為保證削出的面片都落在鍋內(nèi)，削出的面片初速度v0大
小的取值范圍。
(2)落在鍋中心O點時的水平速度大小
豎直方向速度大小vy＝gt＝3 m/s
恰好落在鍋中心O點時的速度大小
(3)面片水平位移的范圍為L由平拋運動特點，有x＝v0t
代入數(shù)據(jù)得1 m/s平拋運動臨界極值問題的分析方法
(1)確定研究對象的運動性質(zhì)。
(2)根據(jù)題意確定臨界狀態(tài)。
(3)確定臨界軌跡，畫出軌跡示意圖。
(4)應用平拋運動的規(guī)律，結(jié)合臨界條件列方程求解?！　　　?br/>例5 (2023·新課標卷)將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產(chǎn)生“水漂”效果，石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少(不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g)
解析　設(shè)石子拋出時的水平速度為v0，接觸水面時豎直方向的速度為vy，不計空氣阻力，石子做平拋運動
提升3　類平拋運動
1.類平拋運動的概念
凡是合外力______且______于初速度方向的運動都可以稱為類平拋運動。
2.類平拋運動的特點
(1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是豎直向下，但合力的方向應與初速度方向______。
(2)加速度不一定等于重力加速度g，但應__________。
恒定
垂直
垂直
恒定不變
3.類平拋運動的分析方法
(1)類平拋運動可看成是沿初速度方向的勻速直線運動和垂直初速度方向的由靜止開始的勻加速直線運動的合運動。
(2)處理類平拋運動的方法和處理平拋運動的方法類似，但要分析清楚加速度的大小和方向。
4.類平拋運動的規(guī)律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝________。
v0t
at
例6 如圖所示，光滑斜面長L＝10 m，傾角為30°，一小球從斜面的頂端以v0＝10 m/s的初速度水平拋出，g＝10 m/s2。求：
(1)小球沿斜面運動到底端時的水平位移x；
(2)小球到達斜面底端時的速度大小。
解析　(1)小球在斜面上沿v0方向做勻速直線運動，沿垂直于v0方向做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律有mgsin 30°＝ma
(2)設(shè)小球運動到斜面底端時的速度為v，則有
vx＝v0＝10 m/s
隨堂對點自測
2
C
B
C
3.(臨界問題)如圖所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6 m，墻的厚度d＝0.4 m，某人在離墻壁距離L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m處的P點，將可視為質(zhì)點的小物件以速度v水平拋出，小物件直接穿過窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不計空氣阻力。則v的取值范圍是(　　)
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/sC
4.(極值問題)(2024·湖北卷，3)如圖所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉上，設(shè)低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內(nèi)，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運動，若以最小的初速度完成跳躍，則它應跳到(　　)
A.荷葉a B.荷葉b
C.荷葉c D.荷葉d
課后鞏固訓練
3
B
題組一　與斜面和曲面關(guān)聯(lián)的平拋運動
1.滑雪運動員在訓練過程中，從斜坡頂端以5.0 m/s的速度水平飛出，落在斜坡上，然后繼續(xù)沿斜坡下滑。已知斜坡傾角為45°，空氣阻力忽略不計，g取10 m/s2，則他在該斜坡上方平拋運動的時間為(　　)
A.0.5 s B.1.0 s C.1.5 s D.5.0 s
對點題組練
AC
BC
D
4.如圖所示，斜面上有a、b、c、d、e五個點，ab＝bc＝cd＝de。從a點以速度v0水平拋出一個小球，它落在斜面上的b點；若小球從a點以速度2v0水平拋出，不計空氣的阻力，則它將落在斜面上的(　　)
A.c點 B.c與d之間某一點
C.d與e之間某一點 D.e點
D
D
題組二　平拋運動的臨界極值問題
6.(2024·甘肅靖遠二中高一期中)如圖所示，在水平路面上一運動員駕駛摩托車跨越壕溝，壕溝兩側(cè)的高度差為0.8 m，水平距離為8 m，則運動員跨過壕溝的初速度至少為(取g＝10 m/s2)(　　)
A.0.5 m/s B.2 m/s
C.10 m/s D.20 m/s
C
D
題組二　類平拋運動
8.我國建造的航空母艦所使用的滑跳式甲板跑道，用來讓飛行員練習在航空母艦上的滑跳式甲板起飛。如圖所示的AOB為此跑道示意圖，其中AO段水平，OB段為拋物線，O點為拋物線的頂點，拋物線過O點的切線水平，OB的水平距離為x，豎直高度為y。某次訓練中，觀察戰(zhàn)機(視為質(zhì)點)通過OB段時，得知戰(zhàn)機在水平方向做勻速直線運動，所用時間為t，則戰(zhàn)機離開B點的速率為(　　)
D
9.某同學對著墻壁練習打網(wǎng)球，假定球在墻面上以20 m/s的速度沿水平方向反彈，球在墻面上反彈點距地面的高度在1.25 m至1.80 m之間，忽略空氣阻力，g取10 m/s2，則球反彈一次后落地(　　)
A.飛行的最短時間為0.6 s
B.飛行的最長時間為1.1 s
C.飛行的最遠水平距離為10 m
D.飛行的最大位移將超過12 m
綜合提升練
10.(多選)如圖所示，水平固定半球形碗的球心為O點，最低點為P點。在碗邊緣處的A點向球心O以速度v1、v2水平拋出兩個小球，在空中的飛行時間分別為t1、t2，小球分別落在碗內(nèi)的M、P兩點。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判斷正確的是(　　)
BD
C
11.在真空環(huán)境內(nèi)探測微粒在重力場中能量的簡化裝置如圖所示。P是個微粒源，能持續(xù)水平向右發(fā)射質(zhì)量相同、初速度不同的微粒，高度為h的探測屏AB豎直放置，離P點的水平距離為L，上端A與P點的高度差也為h，已知重力加速度為g。
(1)若微粒打在探測屏AB的中點，求微粒在空中飛行的時間；
(2)求能被探測屏探測到的微粒的初速度范圍。
12.如圖所示，排球場的長為18 m，球網(wǎng)的高度為2 m。運動員站在離網(wǎng)3 m遠的線上，正對球網(wǎng)豎直跳起，把球垂直于網(wǎng)水平擊出(g＝10 m/s2，不計空氣阻力)。
培優(yōu)加強練
(1)設(shè)擊球點的高度為2.5 m，問球被水平擊出時的速度v0
在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？
(2)若擊球點的高度小于某個值，那么無論球被水平擊出
時的速度為多大，球不是觸網(wǎng)就是出界，試求出此高度。
x1＝3 m，x1＝v1t1①
當排球恰不出界時有x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
(2)如圖乙所示為排球恰不觸網(wǎng)也恰不出界的臨界軌跡。設(shè)擊球點的高度為h，根據(jù)平拋運動的規(guī)律有
x1＝3 m，x1＝v0t1′⑤

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