資源簡介

培優提升一　小船渡河與關聯速度問題
學習目標　1.能運用運動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題，會求渡河的最短時間和最短位移。
2.會分析實際運動中的關聯速度問題，建立常見的繩關聯模型和桿關聯模型。
提升1　小船渡河問題
1.小船渡河情景如圖所示，一條寬為d的大河，小船從碼頭A出發，到對岸的碼頭B。已知河水流速為v水，小船在靜水中的航速為v船。
2.處理方法
(1)小船渡河時實際上參與了兩個方向的分運動，即隨水流的運動(水沖船的運動)和船相對水的運動(船在靜水中的運動，運動方向為船頭朝向的方向)，船的實際運動是合運動。
(2)由于河的寬度是確定的，所以首先應確定渡河的速度，然后計算渡河的時間，再根據等時性分別研究兩個分運動或合運動。
3.小船渡河問題的三種常見情況
情況 圖示 說明
渡河時間最短 若要使小船渡河時間最短， 只要使小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即船頭垂直于河岸，最短時間為tmin＝，此時渡河位移x＝
渡河位移最短 當v水當v水>v船時，如果船頭方向(v船方向)與合速度方向垂直，小船渡河位移最短。由圖知sin θ＝，最短渡河位移為xmin＝＝
【思考】
1.小船渡河問題需要明確哪些速度？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.小船渡河時間是否與水流速度有關？怎么求解小船渡河過程所用的時間及最短時間？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 如圖所示，在某一段平直的河道中，一游客劃船由M點出發沿直線到達對岸N點，直線MN與河岸夾角成60°。已知M、N兩點間距離為30 m，河中水流的速度大小為3 m/s，游客劃船在靜水中的速度大小也為3 m/s，則下列說法正確的是(　　)
A.過河的時間為5 s
B.過河的時間為10 s
C.若劃船過程中保持劃船速度大小和方向不變，水流速度增大，則航程會減小
D.若劃船過程中保持劃船速度大小和方向不變，水流速度減小，則渡河時間減小
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)求解小船渡河問題，首先要明確水流速度、船在靜水中的速度、合速度，根據題意可以用合成法作平行四邊形，再根據運動的等時性求解問題。
(2)當船速不變時，求解渡河時間問題：①可以應用正交分解法，垂直河岸的分速度不變，河寬不變，渡河時間不變；②水速變化時，根據運動的獨立性和等時性，河寬不變，渡河時間不變。　　　　
例2 小船要橫渡一條200 m寬的河，水流速度為3 m/s，船在靜水中的航速是5 m/s，求(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)：
(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？
(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？
(3)如果水流速度變為10 m/s，要使小船航程最短，應如何航行？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　關聯速度問題
如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連，繩長不變。
(1)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)小車A和小船B沿繩方向的速度大小相等嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)該圖中小車A和小船B的速度之間存在什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
繩(或桿)關聯模型：
一般是指物拉繩(或桿)和繩(或桿)拉物的情況。高中階段研究的繩的伸長量都很小，桿的伸長量或壓縮量都很小，即認為繩或桿的長度不會改變。繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為關聯速度。
例3 如圖所示，汽車用跨過光滑定滑輪的輕繩提升一質量為m的物塊，汽車以速度v0水平向右勻速運動，重力加速度為g，在物塊到達滑輪之前，下列說法正確的是(　　)
A.物塊向上做勻速運動
B.當輕繩與水平方向的夾角為θ時，物塊上升的速度為
C.輕繩對物塊的拉力總是大于mg
D.輕繩的拉力保持不變
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例4 (多選) (2024·河北邢臺市高一下期中)甲、乙兩光滑小球(均可視為質點)用輕直桿連接，乙球處于粗糙水平地面上，甲球緊靠在粗糙的豎直墻壁上，初始時輕桿豎直，桿長為4 m。施加微小的擾動使得乙球沿水平地面向右滑動，當乙球距離起點3 m時，下列說法正確的是(　　)
A.甲、乙兩球的速度大小之比為∶3
B.甲、乙兩球的速度大小之比為3∶7
C.甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等
D.甲球即將落地時，乙球的速度為零
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
總結提升
1.常見的速度分解模型
情景圖示 定量結論
v＝v∥＝v物cos θ
vB＝v∥＝vAcos θ
v∥＝v∥′即vAcos θ＝vBsin θ
v∥＝v∥′即vBcos α＝vAcos β
2.三步法求解繩(桿)連接體的速度問題
隨堂對點自測
1.(小船渡河問題)小船在靜水中的速度為3 m/s，它在一條流速為4 m/s、河寬為150 m的河流中渡河，則(　　)
A.小船不可能垂直到達河對岸
B.小船渡河的時間可能為40 s
C.小船渡河的時間至少為30 s
D.小船若在50 s內渡河，到達河對岸時被沖向下游150 m
2.(繩關聯問題)如圖所示，質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時，下列判斷正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.P的速率為v
B.P的速率為vcos θ2
C.繩的拉力等于mgsin θ1
D.繩的拉力小于mgsin θ1
培優提升一　小船渡河與關聯速度問題
提升1
[思考]
1.提示　(1)水流的速度v水、船在靜水中的速度v船和船的實際航行速度(即合速度)v合。
2.提示　由于水流速度始終沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，所以小船渡河時間與水流速度無關。用河的寬度除以垂直于河岸方向的速度可得過河時間，即t＝，當sin θ＝1時，tmin＝。
例1 B　[設河中水流速度為v水，靜水中劃船速度為v靜，船頭與航線MN之間的夾角為α，則v水和v靜在水中的合速度如圖所示。
由幾何知識得α＝60°，船在水中的合速度大小為3 m/s，方向沿MN，故小船從M點沿直線MN到達對岸所經歷的時間為t＝＝10 s，故B正確，A錯誤；劃船過程中保持劃船速度大小和方向不變，水流速度增大，則合速度的方向將更偏向下游，航程會增大，故C錯誤；若劃船過程中保持劃船速度大小和方向不變，水流速度減小，但船的分速度沿垂直于河岸方向的分量不變，所以渡河時間不變，故D錯誤。]
例2 (1)40 s　正對岸下游120 m處
(2)船頭指向與河岸的上游成53°角　50 s
(3)船頭指向與河岸的上游成60°角
解析　(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，小船垂直河岸的速度即為小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運動，故渡河時間t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船經過40 s，在正對岸下游120 m處靠岸。
(2)要使小船到達河的正對岸，則v水、v船的合運動v合應垂直于河岸，如圖甲所示，則v合＝eq \r(v－v)＝4 m/s
經歷時間t′＝＝ s＝50 s
又cos θ＝＝＝0.6，即船頭指向與河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度變為10 m/s，如圖乙所示，要使小船航程最短，應使v合′的方向垂直于v船，故船頭應偏向上游，與河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船頭指向與河岸的上游成60°角。
提升2
導學
(1)提示　不相等。
(2)提示　沿繩的速度大小相等(繩長不變)。
(3)提示　把B的速度分解為沿繩方向和垂直于繩方向的分速度，由v＝v船cos α得v船＝。
例3 C　[對汽車的速度v0沿輕繩的方向和垂直于輕繩的方向進行正交分解，如圖所示，可得v垂＝v0sin θ，v繩＝v0cos θ，物塊上升的速度大小等于v繩，由v繩＝v0cos θ可知，當輕繩與水平方向的夾角為θ時，物塊上升的速度為v0cos θ，故B錯誤；汽車勻速向右運動時，θ角變小，由v繩＝v0cos θ可知，v繩增大，但不是均勻變化的，則物塊向上做變加速運動，加速度向上，拉力總是大于mg，但拉力并非恒力，故A、D錯誤，C正確。]
例4 BD　[設輕桿與豎直方向的夾角為θ，如圖所示，則v1在沿桿方向的分量為v1∥＝v1cos θ，v2在沿桿方向的分量為v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，圖示位置時，有cos θ＝，sin θ＝，解得此時甲、乙兩球的速度大小之比為＝，故A錯誤，B正確；當甲球即將落地時，有θ＝90°，此時甲球的速度達到最大，而乙球的速度為零，故C錯誤，D正確。]
隨堂對點自測
1.A　[由于船的速度小于水流的速度，因此小船不可能垂直到達河對岸，A正確；當船頭指向正對岸時，渡河的時間最短，且最短時間為t＝＝ s＝50 s，B、C錯誤；小船若在50 s內渡河，船頭指向正對岸，到達河對岸時，被沖到下游距離L＝v水t＝4×50 m＝200 m，D錯誤。]
2.B　[將小車的速度v分解為沿繩子方向的速度和垂直繩子方向的速度，沿繩方向的速度等于P的速度，即vP＝vcos θ2，隨角θ2的減小，則vP增大，則P做加速運動，A錯誤，B正確；對物體P，根據牛頓第二定律可知FT－mgsin θ1＝ma，可知繩的拉力大于mgsin θ1，C、D錯誤。]培優提升一　小船渡河與關聯速度問題
(分值：100分)
選擇題1～12題，每小題7分，共84分。
對點題組練
題組一　小船渡河問題
1.(多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖中v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線。則其中可能正確的是(　　)
A B
C D
2.(多選)在寬度為d的河中，水流速度為v2，船在靜水中速度為v1(且v1>v2)，方向可以選擇，現讓該船開始渡河，則該船(　　)
可能的最短渡河時間為
可能的最短渡河位移為d
只有當船頭垂直河岸渡河時，渡河時間才和水速無關
不管船頭與河岸夾角是多少，渡河時間和水速均無關
3.(多選)(2024·湖南長沙高一聯考)一艘船的船頭始終正對河岸方向行駛，如圖所示。已知船在靜水中行駛的速度為v1，水流速度為v2，河寬為d。則下列說法正確的是(　　)
船渡河時間為
船渡河時間為eq \f(d,\r(v＋v))
船渡河過程被沖到下游的距離為d
船渡河過程被沖到下游的距離為eq \f(v2,\r(v＋v))d
4.(2024·四川眉山高一期末)如圖所示，一條小船從位置A過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向始終與河岸垂直(沿AA′方向)。當水流速度為v1時，小船運動到河對岸的位置B靠岸，AB與河岸的夾角為α＝60°。當水流速度為v2時，小船運動到河對岸的位置C靠岸，AC與河岸的夾角為β＝30°。下列說法正確的是(　　)
小船沿AB、AC過河的時間相等
小船沿AC過河的時間更長
v1∶v2＝1∶2
當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A′，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60°
5.如圖所示，一條小船位于200 m寬的河中央A點處，離A點距離為100 m的下游處有一危險區，水流速度為4 m/s，為使小船避開危險區沿直線到達對岸，小船在靜水中的速度至少為(　　)
m/s m/s 2 m/s 4 m/s
題組二　關聯速度問題
6.(多選)如圖所示，不可伸長的輕繩，繞過光滑定滑輪C，與質量為m的物體A連接，A放在傾角為θ的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體B連接，連接物體B的繩最初水平。從當前位置開始，使物體B以速度v沿桿勻速向下運動，設繩的拉力為FT，在此后的運動過程中，下列說法正確的是(　　)
物體A做加速運動 物體A做勻速運動
FT小于mgsin θ FT大于mgsin θ
7.如圖所示，水平面上固定一個與水平面夾角為θ的斜桿A，另一豎直桿B以速度v水平向左做勻速直線運動，則從兩桿開始相交到最后分離的過程中，兩桿交點P的速度方向和大小分別為(　　)
水平向左，大小為v
豎直向上，大小為vtan θ
沿桿A斜向上，大小為
沿桿A斜向上，大小為vcos θ
8.發動機活塞連桿組如圖甲所示，圖乙為連桿組的結構簡圖，連桿組在豎直平面內，且OA正好在豎直方向上，連桿一端連接活塞A，另一端與曲柄上B點相連，活塞A沿OA直線往復運動并帶動連桿使B點繞圓心O順時針方向做圓周運動。某時刻圓心O與B點的連線剛好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速度大小為vA，曲柄上B點的速度大小為vB，方向豎直向下，則此時(　　)
vAcos θ＝vB vBcos θ＝vA
vA＝vB vAsin θ＝vB
綜合提升練
9.一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度v0勻速運動，在半圓柱體上放置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動。如圖所示，當桿與半圓柱體接觸點與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ時，豎直桿運動的速度v1的大小為(　　)
v0sin θ v0tan θ
v0cos θ
10.(多選)(2024·河南焦作高一期末)如圖所示，物體P套在光滑的細桿上，P和Q通過輕質細繩跨過定滑輪連接，一水平力F拉著物體Q在水平面上向左運動。在某一小段時間內，P沿細桿勻速向上運動通過AB段的過程中，下列說法正確的是(　　)
Q做加速直線運動
Q做減速直線運動
細繩對P的拉力在增大
桿對P的彈力在減小
11.如圖所示，河流寬度d＝80 m，各處水流速度大小均為v水＝5 m/s。若小船在靜水中的速度大小為v船＝4 m/s，小船從A碼頭出發過河。下列說法正確的是(　　)
小船渡河的最短時間為25 s
小船渡河的最小位移為80 m
小船可以到達對岸B點的上游
小船以最小位移的方式到達對岸所需時間為 s
12.如圖所示，船頭始終保持與河岸成θ角渡河，已知船在靜水中的速度為v，水流速度平行于河岸，大小為u，河寬為d，則(　　)
船渡河的時間為
船可能在圖中A點處到達對岸
船一定在圖中A點下游某位置到達對岸
若水流速度u增大，則船渡河的時間也將增加
培優加強練
13.(16分)已知某船在靜水中的速度為v1＝5 m/s，現讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100 m，水流速度為v2＝3 m/s，方向與河岸平行。
(1)(5分)欲使船以最短時間渡河，渡河所用時間是多少？位移的大小是多少？
(2)(5分)欲使船以最小位移渡河，渡河所用時間是多少？
(3)(6分)若水流速度為v2′＝6 m/s，船在靜水中的速度為v1＝5 m/s不變，船能否垂直河岸渡河？
培優提升一　小船渡河與關聯速度問題
1.AB
2.BD　[當船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，為tmin＝，故A錯誤；當合速度與河岸垂直時，渡河位移最小，為xmin＝d，故B正確；船的實際運動為垂直河岸方向和水流方向的兩個分運動，由于各個分運動互不影響，因而渡河時間t＝(v垂為船垂直河岸的分速度)，與水流速度無關，故C錯誤，D正確。]
3.AC　[由題圖可知，船正對河岸運動，渡河時間最短，渡河時間t＝，A正確，B錯誤；船渡河過程被沖到下游的距離是x2＝v2t＝d，故C正確，D錯誤。]
4.A　[因船頭始終垂直于河岸，可知船過河的時間為t＝，即小船沿AB、AC過河的時間相等，選項A正確，B錯誤；由題意可知tan 60°＝，tan 30°＝，解得v1∶v2＝1∶3，選項C錯誤；當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A′，則合速度應該垂直河對岸，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為cos θ＝＝，則θ≠60°，選項D錯誤。]
5.C　[如圖所示，小船剛好避開危險區域時，設小船合運動方向與水流方向的夾角為θ，tan θ＝＝，所以θ＝30°，當船頭垂直合運動方向渡河時，小船在靜水中的速度最小，小船在靜水中最小速度為2 m/s，C正確。]
6.AD　[將物體B的速度分解，由圖可知繩端的速度v繩＝vsin α，與B的位置有關，因為B為勻速運動，B下降過程中α變大，v繩變大，因此物體A做加速運動，FT大于mgsin θ，故A、D正確，B、C錯誤。]
7.C　[兩桿的交點P參與了兩個分運動：與桿B一起以速度v水平向左的勻速直線運動和沿桿B豎直向上的勻速運動，交點P的實際運動方向為沿桿A斜向上，如圖所示，則交點P的速度大小為vP＝，故C正確。]
8.C　[當圓心O與B點的連線剛好水平時，曲柄上B點的速度方向豎直向下，則有v桿＝vAcos θ＝vBcos θ，可得vA＝vB，故A、B、D錯誤，C正確。]
9.B　[桿的實際速度是接觸點沿切線方向的速度與隨半圓柱體一起運動的速度的合速度，如圖所示，解得v1＝v0tan θ，B正確，A、C、D錯誤。]
10.BC　[設物體P上升的速度為vP，繩與豎直方向夾角為θ，則vPcos θ＝vQ，P勻速向上運動過程中，θ增大時，vQ減小，Q做減速運動，故A錯誤，B正確；對P受力分析，有mg＝Tcos θ，θ角增大時，繩子拉力T在增大，桿對P的彈力FN＝Tsin θ增大，故C正確，D錯誤。]
11.D　[當船頭指向河對岸時渡河的時間最短，則小船渡河的最短時間為tmin＝＝ s＝20 s，選項A錯誤；因v水>v船，當船速與合速度垂直時，小船渡河的位移最小，最小位移為x＝d＝×80 m＝100 m，此時渡河的時間為t＝eq \f(x,\r(v－v))＝ s＝ s，選項B錯誤，D正確；因船的靜水速度小于河水流速，可知小船不可以到達對岸B點及B點的上游，只能到達B點的下游，選項C錯誤。]
12.C　[船在渡河時，由于水流速度，則船不沿船頭方向運動，把船的速度分解到沿著河岸和垂直河岸方向，垂直河岸方向的速度v1＝vsin θ，則渡河時間t＝，故A錯誤；由圖可知，根據矢量合成法則，船的合速度方向，也就是船行駛的方向，一定在船速度方向和水流速度方向夾角范圍內，則一定不指向A，指向A下游的某一位置，故B錯誤，C正確；水流速度u增大，不影響船垂直河岸方向的分速度，則渡河時間不變，故D錯誤。]
13.(1)20 s　20 m　(2)25 s　(3)不能
解析　(1)由題意知，當船在垂直于河岸方向上的分速度最大時，渡河所用時間最短，河水流速平行于河岸，不影響渡河時間，所以當船頭垂直于河岸渡河時，所用時間最短，最短時間為
t＝＝ s＝20 s。
如圖甲所示，當船到達對岸時，船沿平行于河岸方向發生的位移x＝v2t＝3×20 m＝60 m，由幾何知識可得，船的位移為l＝，代入數據得l＝20 m。
(2)船在靜水中的速度為v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故當船的實際速度方向垂直于河岸時，船的位移最小，如圖乙所示，所用的時間為t′＝＝eq \f(d,\r(v－v))＝ s＝25 s。
(3)當水流速度v2′＝6 m/s時，則水流速度大于船在靜水中的速度v1＝5 m/s，不論v1方向如何，其合速度方向總是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。(共53張PPT)
培優提升一　小船渡河與關聯速度問題
第五章　拋體運動
1.能運用運動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題，會求渡河的最短時間和最短位移。
2.會分析實際運動中的關聯速度問題，建立常見的繩關聯模型和桿關聯模型。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　關聯速度問題
提升1　小船渡河問題
提升1　小船渡河問題
1.小船渡河情景
如圖所示，一條寬為d的大河，小船從碼頭A出發，到對岸的碼頭B。已知河水流速為v水，小船在靜水中的航速為v船。
2.處理方法
(1)小船渡河時實際上參與了兩個方向的分運動，即隨水流的運動(水沖船的運動)和船相對水的運動(船在靜水中的運動，運動方向為船頭朝向的方向)，船的實際運動是合運動。
(2)由于河的寬度是確定的，所以首先應確定渡河的速度，然后計算渡河的時間，再根據等時性分別研究兩個分運動或合運動。
3.小船渡河問題的三種常見情況
【思考】
1.小船渡河問題需要明確哪些速度？
提示　(1)水流的速度v水、船在靜水中的速度v船和船的實際航行速度(即合速度)v合。
2.小船渡河時間是否與水流速度有關？怎么求解小船渡河過程所用的時間及最短時間？
B
例1 如圖所示，在某一段平直的河道中，一游客劃船由M點出發沿直線到達對岸N點，直線MN與河岸夾角成60°。已知M、N兩點間距離為30 m，河中水流的速度大小為3 m/s，游客劃船在靜水中的速度大小也為3 m/s，則下列說法正確的是(　　)
A.過河的時間為5 s
B.過河的時間為10 s
C.若劃船過程中保持劃船速度大小和方向不變，水流速度增大，則航程會減小
D.若劃船過程中保持劃船速度大小和方向不變，水流速度減小，則渡河時間減小
解析　設河中水流速度為v水，靜水中劃船速度為v靜，船頭與航線MN之間的夾角為α，則v水和v靜在水中的合速度如圖所示。
(1)求解小船渡河問題，首先要明確水流速度、船在靜水中的速度、合速度，根據題意可以用合成法作平行四邊形，再根據運動的等時性求解問題。
(2)當船速不變時，求解渡河時間問題：①可以應用正交分解法，垂直河岸的分速度不變，河寬不變，渡河時間不變；②水速變化時，根據運動的獨立性和等時性，河寬不變，渡河時間不變。　　　　
例2 小船要橫渡一條200 m寬的河，水流速度為3 m/s，船在靜水中的航速是5 m/s，求(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)：
(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？
(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？
(3)如果水流速度變為10 m/s，要使小船航程最短，應如何航行？
(2)要使小船到達河的正對岸，則v水、v船的合運動v合應垂直于河岸，如圖甲所示，則
答案　(1)40 s　正對岸下游120 m處
(2)船頭指向與河岸的上游成53°角　50 s
(3)船頭指向與河岸的上游成60°角
提升2　關聯速度問題
　　　如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連，繩長不變。
(1)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？
提示　不相等。
(2)小車A和小船B沿繩方向的速度大小相等嗎？
提示　沿繩的速度大小相等(繩長不變)。
(3)該圖中小車A和小船B的速度之間存在什么關系？
繩(或桿)關聯模型：
一般是指物拉繩(或桿)和繩(或桿)拉物的情況。高中階段研究的繩的伸長量都很小，桿的伸長量或壓縮量都很小，即認為繩或桿的長度不會改變。繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為關聯速度。
C
解析　對汽車的速度v0沿輕繩的方向和垂直于輕繩的方向進行正交分解，如圖所示，可得v垂＝v0sin θ，v繩＝v0cos θ，物塊上升的速度大小等于v繩，由v繩＝v0cos θ可知，當輕繩與水平方向的夾角為θ時，物塊上升的速度為v0cos θ，故B錯誤；汽車勻速向右運動時，θ角變小，由v繩＝v0cos θ可知，v繩增大，但不是均勻變化的，則物塊向上做變加速運動，加速度向上，拉力總是大于mg，但拉力并非恒力，故A、D錯誤，C正確。
BD
1.常見的速度分解模型
情景圖示 定量結論
v＝v∥＝v物cos θ
vB＝v∥＝vAcos θ
v∥＝v∥′
即vAcos θ＝vBsin θ
v∥＝v∥′
即vBcos α＝vAcos β
2.三步法求解繩(桿)連接體的速度問題
隨堂對點自測
2
A
1.(小船渡河問題)小船在靜水中的速度為3 m/s，它在一條流速為4 m/s、河寬為150 m的河流中渡河，則(　　)
A.小船不可能垂直到達河對岸
B.小船渡河的時間可能為40 s
C.小船渡河的時間至少為30 s
D.小船若在50 s內渡河，到達河對岸時被沖向下游150 m
B
2.(繩關聯問題)如圖所示，質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時，下列判斷正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.P的速率為v
B.P的速率為vcos θ2
C.繩的拉力等于mgsin θ1
D.繩的拉力小于mgsin θ1
解析　將小車的速度v分解為沿繩子方向的速度和垂直繩子方向的速度，沿繩方向的速度等于P的速度，即vP＝vcos θ2，隨角θ2的減小，則vP增大，則P做加速運動，A錯誤，B正確；對物體P，根據牛頓第二定律可知FT－mgsin θ1＝ma，可知繩的拉力大于mgsin θ1，C、D錯誤。
課后鞏固訓練
3
AB
題組一　小船渡河問題
1.(多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖中v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線。則其中可能正確的是(　　)
對點題組練
BD
AC
3.(多選)(2024·湖南長沙高一聯考)一艘船的船頭始終正對河岸方向行駛，如圖所示。已知船在靜水中行駛的速度為v1，水流速度為v2，河寬為d。則下列說法正確的是(　　)
A
4.(2024·四川眉山高一期末)如圖所示，一條小船從位置A過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向始終與河岸垂直(沿AA′方向)。當水流速度為v1時，小船運動到河對岸的位置B靠岸，AB與河岸的夾角為α＝60°。當水流速度為v2時，小船運動到河對岸的位置C靠岸，AC與河岸的夾角為β＝30°。下列說法正確的是(　　)
A.小船沿AB、AC過河的時間相等
B.小船沿AC過河的時間更長
C.v1∶v2＝1∶2
D.當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A′，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60°
C
AD
題組二　關聯速度問題
6.(多選)如圖所示，不可伸長的輕繩，繞過光滑定滑輪C，與質量為m的物體A連接，A放在傾角為θ的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體B連接，連接物體B的繩最初水平。從當前位置開始，使物體B以速度v沿桿勻速向下運動，設繩的拉力為FT，在此后的運動過程中，下列說法正確的是(　　)
A.物體A做加速運動
B.物體A做勻速運動
C.FT小于mgsin θ
D.FT大于mgsin θ
解析　將物體B的速度分解，由圖可知繩端的速度v繩＝vsin α，與B的位置有關，因為B為勻速運動，B下降過程中α變大，v繩變大，因此物體A做加速運動，FT大于mgsin θ，故A、D正確，B、C錯誤。
C
C
8.發動機活塞連桿組如圖甲所示，圖乙為連桿組的結構簡圖，連桿組在豎直平面內，且OA正好在豎直方向上，連桿一端連接活塞A，另一端與曲柄上B點相連，活塞A沿OA直線往復運動并帶動連桿使B點繞圓心O順時針方向做圓周運動。某時刻圓心O與B點的連線剛好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速度大小為vA，曲柄上B點的速度大小為vB，方向豎直向下，則此時(　　)
A.vAcos θ＝vB B.vBcos θ＝vA
C.vA＝vB D.vAsin θ＝vB
解析　當圓心O與B點的連線剛好水平時，曲柄上B點的速度方向豎直向下，則有v桿＝vAcos θ＝vBcos θ，可得vA＝vB，故A、B、D錯誤，C正確。
B
綜合提升練
解析　桿的實際速度是接觸點沿切線方向的速度與隨半圓柱體一起運動的速度的合速度，如圖所示，解得v1＝v0tan θ，B正確，A、C、D錯誤。
BC
10.(多選)(2024·河南焦作高一期末)如圖所示，物體P套在光滑的細桿上，P和Q通過輕質細繩跨過定滑輪連接，一水平力F拉著物體Q在水平面上向左運動。在某一小段時間內，P沿細桿勻速向上運動通過AB段的過程中，下列說法正確的是(　　)
A.Q做加速直線運動
B.Q做減速直線運動
C.細繩對P的拉力在增大
D.桿對P的彈力在減小
解析　設物體P上升的速度為vP，繩與豎直方向夾角為θ，則vPcos θ＝vQ，P勻速向上運動過程中，θ增大時，vQ減小，Q做減速運動，故A錯誤，B正確；對P受力分析，有mg＝Tcos θ，θ角增大時，繩子拉力T在增大，桿對P的彈力FN＝Tsin θ增大，故C正確，D錯誤。
D
C
13.已知某船在靜水中的速度為v1＝5 m/s，現讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100 m，水流速度為v2＝3 m/s，方向與河岸平行。
(1)欲使船以最短時間渡河，渡河所用時間是多少？位移的大小是多少？
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用時間是多少？
(3)若水流速度為v2′＝6 m/s，船在靜水中的速度為v1＝5 m/s不變，船能否垂直河岸渡河？
培優加強練
解析　(1)由題意知，當船在垂直于河岸方向上的分速度最大時，渡河所用時間最短，河水流速平行于河岸，不影響渡河時間，所以當船頭垂直于河岸渡河時，所用時間最短，最短時間為
(2)船在靜水中的速度為v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故當船的實際速度方向垂直于河岸時，船的位移最小，如圖乙所示，所用的時間為
(3)當水流速度v2′＝6 m/s時，則水流速度大于船在靜水中的速度v1＝5 m/s，不論v1方向如何，其合速度方向總是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。

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