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第4節　拋體運動的規律
學習目標　1.知道平拋運動的受力特點，理解平拋運動是勻變速曲線運動。2.理解平拋運動的規律，知道其軌跡是拋物線。3.掌握平拋運動的處理方法，會確定平拋運動的速度和位移。4.會用平拋運動的推論解決相關問題。5.了解斜拋運動的處理方法。
知識點一　平拋運動的理解
如圖為一人正在練投擲飛鏢，不計空氣阻力，請思考：
(1)可以用什么方法處理平拋運動？
(2)飛鏢擲出后，其加速度的大小和方向是否變化？
(3)飛鏢擲出后，水平方向做什么運動？
(4)飛鏢的運動是什么性質的運動？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 關于平拋運動，下列說法正確的是(　　)
A.平拋運動是一種不受任何外力作用的運動
B.平拋運動是曲線運動，它的速度方向不斷改變，不可能是勻變速運動
C.平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動
D.平拋運動的物體質量越小，落點就越遠，質量越大，落點就越近
(1)平拋運動是勻變速曲線運動，加速度恒為重力加速度。
(2)平拋運動是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的合運動。　　　　
知識點二　平拋運動的速度、位移與軌跡以初速
度v0沿水平方向拋出一物體，以拋出點為原點，以初速度v0的方向為x軸正方向，豎直向下的方向為y軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系。物體做平拋運動的軌跡如圖所示。
1.平拋運動的速度
(1)水平方向：vx＝________。
(2)豎直方向：vy＝________。
(3)t時刻的速度
大小v＝eq \r(v＋v)＝eq \r(v＋g2t2)
方向tan θ＝＝________(θ表示合速度與水平方向之間的夾角)。
2.平拋運動的位移與軌跡
(1)水平位移：x＝________。
(2)豎直位移：y＝________。
(3)合位移大小：s＝________。
方向：tan α＝＝________。
(4)軌跡方程：由以上兩式消去時間t，可得平拋運動的軌跡方程為y＝________，由此可知平拋運動的軌跡是一條________。
【思考】
1.平拋運動的時間由什么決定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.平拋運動的速度的大小由什么決定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.平拋運動的水平位移由什么決定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.速度的改變量沿什么方向？相等的時間t內速度的改變量是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.連續相等的時間t內，豎直的位移差是否相等？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.豎直方向每秒內位移的增量是否相等？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.速度和水平方向的夾角與位移和水平方向的夾角是否相同？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 當災害發生時，有時會利用無人機運送救災物資。如圖所示，一架無人機正準備向受災人員空投急救用品。急救用品的底面離水面高度h＝19.6 m，無人機以v＝10 m/s的速度水平勻速飛行。若空氣阻力忽略不計，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)為了使投下的急救用品落在指定地點，無人機應該在離指定地點水平距離多遠的地方進行投放？
(2)投放的急救用品落到水面上時，速度的大小是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 如圖所示，A、B兩個小球在同一豎直線上，離地高度分別為2h和h，將兩球水平拋出后，兩球落地時的水平位移大小之比為1∶2，不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
A.A、B兩球的初速度大小之比為1∶4
B.A、B兩球的初速度大小之比為1∶
C.若兩球同時落地，則兩球拋出的時間差為(－1)
D.若兩球同時拋出，則落地的時間差為
知識點三　平拋運動的兩個重要推論
1.推論一：“反延過中”
做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過水平位移的中點。即xOB＝xA。
推導：如圖，從速度的分解來看，速度偏向角的正切值tan θ＝＝①
將速度v反向延長，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝②
聯立①②式解得xOB＝v0t＝xA。
2.推論二：“正切二倍”
做平拋運動的物體在某時刻，設其速度與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，則tan θ＝2tan α。
推導：速度偏向角的正切值tan θ＝①
位移偏向角的正切值
tan α＝＝＝②
聯立①②式可得tan θ＝2tan α。
例4 如圖所示，一小球自傾角為θ的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上，小球與斜面接觸時速度方向與水平方向的夾角φ滿足(　　)
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
知識點四　一般的拋體運動
體育運動中投擲的鏈球、鉛球、鐵餅、標槍等(如圖所示)，都可以看作是斜上拋運動。
以拋出的鉛球為例：
(1)鉛球離開手后，如不考慮空氣阻力，其受力情況、速度有何特點？
(2)鉛球在最高點的速度是零嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.斜拋運動：初速度沿__________或____________的拋體運動。
2.斜拋運動的性質：斜拋運動是水平方向的____________運動和豎直方向的加速度為________的________________運動的合運動。
【思考】
以斜上拋運動為例，設拋出的初速度為v0，方向與x軸正方向的夾角為θ，如圖所示。
(1)試寫出斜拋運動的水平速度和豎直速度的表達式；
(2)試寫出斜拋運動的水平分位移和豎直分位移的表達式；
(3)總結分析斜拋運動的思路。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5 某同學在練習投籃時將籃球從同一位置斜向上拋出，其中有兩次籃球垂直撞在豎直放置的籃板上，運動軌跡如圖所示，不計空氣阻力，關于這兩次籃球從拋出到撞擊籃板的過程(　　)
A.兩次在空中運動的時間相等
B.兩次拋出時的速度相等
C.第1次拋出時速度的水平分量小
D.第2次拋出時速度的豎直分量大
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)斜上拋運動問題可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動。
(2)斜上拋運動的最高點的速度等于水平初速度，最高點的加速度等于重力加速度g。
(3)由拋出點到最高點的過程可逆向看作平拋運動，由最高點到落地點的過程也可用平拋運動規律分析。　　　　
例6 如圖，做斜上拋運動的物體到達最高點時，速度v＝24 m/s，落地時速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物體拋出時速度的大小和方向；
(2)物體在空中的飛行時間t。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
斜拋運動以最高點為對稱點，在豎直方向上對稱的位置具有對稱的速率，對稱的位移具有時間的對稱性。　　　　
隨堂對點自測
1.(平拋運動的理解)(多選)關于平拋運動，下列說法中正確的是(　　)
A.平拋運動的下落時間由下落高度決定
B.平拋運動的軌跡是曲線，所以平拋運動不可能是勻變速運動
C.平拋運動的速度方向與加速度方向的夾角一定越來越小
D.平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向也可能時刻變化
2.(平拋運動規律的應用)如圖所示為某公園的噴水裝置，若水從噴水口中水平噴出，忽略空氣阻力及水之間的相互作用，下列說法正確的是(　　)
A.噴水口高度一定，噴水速度越大，水從噴出到落入池中的時間越短
B.噴水口高度一定，噴水速度越大，水噴得越近
C.噴水速度一定，噴水口高度越高，水噴得越近
D.噴水口高度一定，無論噴水速度多大，水從噴出到落入池中的時間都相等
3.(平拋運動的兩個重要推論)水平投來兩支飛鏢，落在墻上的情形，如圖所示。現設飛鏢是從同一位置做平拋運動射出來的，飛鏢A與豎直墻壁成53°角，飛鏢B與豎直墻壁成37°角，兩落點相距為d，則拋出點與墻壁間的距離為
(　　)
A.d B.2d
C.d D.d
4.(斜拋運動)(多選)如圖所示，從地面上同一位置拋出兩小球a、b，分別落在地面上的M、N兩點，兩球運動的最大高度相同。空氣阻力不計，則(　　)
A.b的加速度比a的大
B.b的飛行時間比a的長
C.b在最高點的速度比a在最高點的大
D.b在落地時的速度比a在落地時的大
第4節　拋體運動的規律
知識點一
導學
提示　(1)運動的合成與分解，化曲為直，將其分解為水平和豎直方向兩個分運動。
(2)加速度為重力加速度g，大小和方向均不變。
(3)勻速直線運動。
(4)勻變速曲線運動
例1 C　[做平拋運動的物體除了受自身重力外，不受其他外力，A錯誤；平拋運動軌跡是拋物線，它的速度方向不斷改變，物體的加速度是重力加速度，故平拋運動是勻變速曲線運動，B錯誤；平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，C正確；平拋運動的運動情況與物體的質量無關，D錯誤。]
知識點二
1.(1)v0　(2)gt　(3)　2.(1)v0t　(2)gt2　(3)　　(4)eq \f(g,2v)x2　拋物線
[思考]
1.提示　由y＝gt2得t＝，可知平拋運動的時間由高度決定。
2.提示　由v＝eq \r(v＋v)＝eq \r(v＋2gy)知平拋運動的速度大小由水平速度和高度共同決定。
3.提示　由x＝v0t＝v0知平拋運動的水平位移由水平速度和高度共同決定。
4.提示　速度的改變量沿豎直方向，相等的時間t內速度的改變量Δv＝gt。
5.提示　豎直方向的位移差為Δy＝gt2，可見在連續相等時間t內，Δy相等。
6.提示　豎直方向每秒內位移的增量Δy＝g(t＋1)2－gt2＝gt＋g，即Δy不相等。
7.提示　速度與水平方向的夾角的正切值tan θ＝＝，位移與水平方向的夾角正切值tan α＝＝，可見tan θ≠tan α。
例2 (1)20 m　(2)22 m/s
解析　(1)急救用品做平拋運動，在豎直方向上做自由落體運動，有h＝gt2，得t＝
急救用品在水平方向上做勻速直線運動，在時間t內的水平位移
x＝vxt＝v＝10× m＝20 m
即無人機應在離指定地點水平距離20 m處投放急救用品。
(2)設急救用品落到水面上時豎直方向速度的大小為vy，根據勻變速直線運動速度與位移的關系，有
v＝2gh
急救用品落到水面上時，速度的大小
v＝eq \r(v＋v)＝
＝ m/s＝22 m/s。
例3 C　[小球做平拋運動，豎直方向有H＝gt2，則運動時間t＝，所以A球的運動時間tA＝＝，B球的運動時間tB＝，所以tA∶tB＝∶1，由x＝v0t得v0＝，結合兩球落地時的水平位移之比xA∶xB＝1∶2，可知A、B兩球的初速度大小之比為1∶2，故A、B錯誤；若兩球同時落地，則兩球拋出的時間差Δt＝tA－tB＝(－1)，故C正確；若兩球同時拋出，則落地的時間差Δt′＝tA－tB＝(－1)，故D錯誤。]
知識點三
例4 D　[如題圖所示，接觸斜面時位移方向與水平方向的夾角為θ，由平拋運動的推論可知，速度方向與水平方向的夾角φ與θ滿足tan φ＝2tan θ，D正確。]
知識點四
導學
提示　(1)不考慮空氣阻力，鉛球在水平方向不受力，在豎直方向只受重力，加速度為g，其初速度不為零，初速度方向斜向上方。
(2)不是。由于鉛球在水平方向做勻速運動，所以鉛球在最高點的速度等于水平方向的初速度。
知識梳理
1.斜向上方　斜向下方　2.勻速直線　g　勻變速直線
[思考]
提示　(1)水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。
豎直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
(2)水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。
豎直位移：y＝v0tsin θ－gt2。
(3)一般拋體運動問題的處理方法和平拋運動的處理方法相同，都是將運動分解為兩個方向的簡單的直線運動，分別為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動。
例5 C　[將籃球的運動逆向處理，即為平拋運動。由題圖可知，第2次運動過程中的高度較小，所以運動時間較短，故A錯誤；平拋運動在豎直方向上是自由落體運動，第2次運動過程中的高度較小，故第2次拋出時速度的豎直分量vy＝較小，故D錯誤；平拋運動在水平方向是勻速直線運動，水平射程相等，由x＝v0t可知，v0＝＝x，第2次拋出時水平分速度較大，第1次拋出時水平分速度較小，故C正確；水平分速度第2次大，豎直分速度第1次大，根據速度的合成可知，兩次拋出時的速度大小關系不能確定，故B錯誤。]
例6 (1)30 m/s　與水平方向夾角為37°　(2)3.6 s
解析　(1)根據斜拋運動的對稱性，物體拋出時的速度與落地時速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s，設v0與水平方向夾角為θ，則cos θ＝＝0.8，故θ＝37°。
(2)豎直方向的初速度為v0y＝v0sin θ＝18 m/s
故物體在空中的飛行時間t＝＝3.6 s。
隨堂對點自測
1.AC　[平拋運動的下落時間由下落的高度決定，A正確；平拋運動的軌跡是曲線，它的速度方向沿軌跡的切線方向，方向不斷改變，所以平拋運動是變速運動，但由于其加速度為g，保持不變，所以平拋運動是勻變速曲線運動，B錯誤；平拋運動的速度方向和加速度方向的夾角θ滿足tan θ＝＝，隨著時間t的增大，tan θ變小，θ變小，C正確；平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向不變，D錯誤。]
2.D　[水從噴水口水平噴出后，做平拋運動，其運動時間由高度決定，所以噴水口高度一定時，水從噴出到落入池中的時間相等，水速越大，水噴得越遠，A、B錯誤，D正確；噴水速度一定，噴水口高度越高，水從噴出到落入池中的時間越長，水噴得越遠，C錯誤。]
3.C　[由平拋運動的推論知，把兩飛鏢速度反向延長，交點為水平位移中點，如圖所示，設水平位移為x，則－＝d
解得x＝d，故C正確。]
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4.CD　[a、b兩球都做斜上拋運動，只受重力作用，加速度都為重力加速度，A項錯誤；在豎直方向上做豎直上拋運動，由于上升的豎直高度相同，所以兩小球在空中飛行時間相等，B項錯誤；由于b球的水平射程比a球的大，故b球的水平速度及落地時的速度均比a球的大，C、D項正確。]第4節　拋體運動的規律
(分值：100分)
選擇題1～11題，第13題，每小題7分，共84分。
對點題組練
題組一　平拋運動的理解
1.人站在平臺上水平拋出一小球，球離開手時的速度為v1，落地時的速度為v2，不計空氣阻力，下列能表示出速度的矢量圖的是(　　)
A B
C D
2.一個物體從某一確定的高度以初速度v0水平拋出，已知它落地時的速度大小為v，重力加速度為g，那么它的運動時間是(　　)
eq \f(v2－v,2g) eq \f(\r(v2－v),g)
題組二　平拋運動規律的應用
3.(2024·江蘇連云港市高一校考)從高處以15 m/s的速度水平拋出一鐵球，不計空氣阻力，重力加速度取10 m/s2，經過2 s還沒有落到地面，則它此時的速度大小是(　　)
15 m/s 20 m/s
25 m/s 30 m/s
4.(多選)“套圈”是老少皆宜的游戲。如圖所示，某同學先后兩次在A點把小環水平拋出，分別直接套中位于水平地面B、C兩點處的目標物。不計空氣阻力，下列說法正確的有(　　)
兩小環在空中的飛行時間相同
兩小環拋出時的初速度相同
兩小環落地時的末速度相同
兩小環在空中飛行過程中速度的變化量相同
5.(2022·廣東卷，6)如圖所示，在豎直平面內，截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處，一玩具槍的槍口與小積木上P點等高且相距為L。當玩具子彈以水平速度v從槍口向P點射出時，小積木恰好由靜止釋放，子彈從射出至擊中積木所用時間為t，不計空氣阻力。下列關于子彈的說法正確的是(　　)
將擊中P點，t大于
將擊中P點，t等于
將擊中P點上方，t大于
將擊中P點下方，t等于
6.某生態公園的人造瀑布景觀如圖所示，水流從高處水平流出槽道，恰好落入步道邊的游泳池中。現制作一個為實際尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度應為實際的(　　)
7.(多選)某物體做平拋運動時，它的速度方向與水平方向的夾角為θ，其正切值tan θ隨時間t變化的圖像如圖所示(g取10 m/s2)，則(　　)
第1 s內物體下落的高度為5 m
第1 s內物體下落的高度為10 m
物體的初速度為5 m/s
物體的初速度為10 m/s
題組三　平拋運動的兩個重要推論
8.如圖所示，從某高度以5 m/s的水平速度拋出一小球，小球經過0.5 s到達地面，此時小球的速度與水平方向的夾角為θ，不計空氣阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
小球距地面的高度為5 m
小球落地時的速度大小為5 m/s
小球落地時的位移與水平方向的夾角的正切值為
若小球拋出時的速度增大，則θ增大
9.如圖，一名運動員在參加跳遠比賽，他騰空過程中離地面的最大高度為L，成績為4L。假設跳遠運動員落入沙坑瞬間速度方向與水平面的夾角為α，運動員可視為質點，不計空氣阻力。則有(　　)
tan α＝2 tan α＝
tan α＝ tan α＝1
綜合提升練
10.(2024·河南商開高一聯考)某同學站在樓上玩水槍游戲時，槍口離地高度為h＝5 m，若水從槍口沿水平方向射出的速度大小為v0＝5 m/s，水射出后落到水平地面上。不計空氣阻力，重力加速度大小g取10 m/s2，則(　　)
射出的水的位移大小為5 m
射出的水在空中的運動時間為2 s
射出的水落到地面上時速度大小為10 m/s
射出的水落到地面上時速度方向與地面夾角的正切值為1
11.(多選)如圖所示，a、b兩點位于同一條豎直線上，從a、b兩點分別以速度v1、v2同時水平拋出兩個小球，它們都能經過水平地面上方的P點。則下列說法正確的是(　　)
兩小球拋出的初速度v1>v2
兩小球拋出的初速度v1從a點拋出的小球著地時水平射程較大
從b點拋出的小球著地時水平射程較大
12.(16分)從某一高度處水平拋出一物體，它落地時速度是50 m/s，方向與水平方向成53°角(不計空氣阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)。求：
(1)(5分)拋出點的高度和水平射程；
(2)(5分)拋出后3 s末的速度；
(3)(6分)拋出后3 s內的位移。
培優加強練
13.(多選)(2024·廣東廣雅中學高一校考期中)如圖所示，甲、乙兩名滑板運動員在水平“U”型賽道上比賽，甲、乙先后從賽道邊緣上的A點滑出，一段時間后再次滑入賽道，觀察發現甲的滯空時間比乙長，運動過程中乙的最小速度比甲的最小速度大。不計空氣阻力，可將運動員視為質點，則下列說法正確的是(　　)
甲、乙的最大騰空高度相同
甲從A點滑出時的初速度一定大于乙的初速度
甲、乙從A點滑出時的初速度方向一定不同
甲、乙再次滑入賽道的位置可能相同
第4節　拋體運動的規律
1.C　[做平拋運動的物體在水平方向上速度不變，豎直方向加速度恒為g，則速度的變化量Δv＝gΔt，方向始終豎直向下，故C正確。]
2.D　[可依據速度的分解求取豎直方向上的落地速度，從而根據豎直方向上的自由落體運動規律求運動時間。因為vy＝gt，又vy＝eq \r(v2－v)，故t＝eq \f(\r(v2－v),g)，故D正確。]
3.C　[豎直方向的速度vy＝gt＝2×10 m/s＝20 m/s，鐵球此時的速度v＝eq \r(v＋v)＝ m/s＝25 m/s，故C正確。]
4.AD　[根據h＝gt2可得t＝，兩小環的拋出點相同，故兩小環在空中的飛行時間相同，故A正確；根據x＝v0t可知v0＝，由題圖可知，兩次的水平位移不同，則兩小環拋出時的初速度不同，故B錯誤；根據v＝2gh可知vy＝，則落地速度為v＝eq \r(v＋2gh)，由于初速度不同，則落地時的末速度不同，故C錯誤；根據Δv＝gΔt，由于兩次飛行的加速度和時間都相同，則兩小環在空中飛行過程中速度的變化量相同，故D正確。]
5.B　[由題意知槍口與P點等高，子彈和小積木在豎直方向上均做自由落體運動，當子彈擊中積木時子彈和積木的運動時間相同，根據h＝gt2，可知下落高度相同，所以將擊中P點；初始狀態子彈到P點的水平距離為L，子彈在水平方向上做勻速直線運動，有t＝，故B正確。]
6.B　[由題意可知，水流出后做平拋運動的水平位移和豎直位移均變為原來的，由h＝gt2得t＝，所以時間變為實際的，水流出的速度v＝，由于水平位移變為實際的，時間變為實際的，則水流出的速度為實際的，故B正確。]
7.AD　[第1 s內物體下落的高度h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，A正確，B錯誤；根據tan θ＝＝t，對應題圖可得＝1，解得v0＝10 m/s，C錯誤，D正確。]
8.C　[小球做平拋運動，豎直方向為自由落體運動，根據h＝gt2得h＝×10×0.52 m＝1.25 m，故A錯誤；小球落地時的豎直方向速度vy＝gt＝10×0.5 m/s＝5 m/s，知小球落地時的速度大小為v＝eq \r(v＋v)＝ m/s＝5 m/s，故B錯誤；小球落地時的速度分解如圖所示，可知tan θ＝＝＝1，由tan θ＝2tan α知，小球落地時的位移與水平方向的夾角的正切值為，故C正確；若水平速度v0增大，tan θ＝，t不變，則tan θ變小，θ變小，故D錯誤。]
9.D　[運動員從最高點到落地的過程做平拋運動，根據對稱性知平拋運動的水平位移為2L，則有L＝gt2，解得t＝，運動員通過最高點時的速度為v0＝＝，則有tan α＝＝1，選項D正確。]
10.A　[由平拋運動規律可知h＝gt2，解得t＝＝s＝1 s，射出水的水平位移x＝v0t＝5×1 m＝5 m，位移為s＝＝m＝5 m，故A正確，B錯誤；落到地面上時豎直分速度vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，落到地面上速度大小為v′＝eq \r(v＋v)＝m/s＝5m/s，故C錯誤；落到地面上時速度方向與地面夾角的正切值tan θ＝＝2，故D錯誤。]
11.BD　[因為從拋出到P點的過程中，水平位移相等，從a點拋出的小球運動時間較長，則此小球的初速度較小，即v112.(1)80 m　120 m　(2)30 m/s，與水平方向的夾角為45°
(3)45 m，與水平方向的夾角的正切值為
解析　(1)設落地時豎直方向的速度為vy，水平速度為v0，則有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s
＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
拋出點的高度為h＝eq \f(v,2g)＝80 m
水平射程x＝v0t＝v0＝30× m＝120 m。
(2)豎直方向的分速度
vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
設拋出后3 s末的速度為v3，則
v3＝eq \r(v＋v)＝ m/s＝30 m/s
設速度方向與水平方向的夾角為α，則
tan α＝＝1，故α＝45°。
(3)拋出后3 s內物體的水平位移
x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m
豎直方向的位移
y3＝gt＝×10×32 m＝45 m
故物體在3 s內的位移
s＝eq \r(x＋y)＝ m＝45 m
設位移方向與水平方向的夾角為θ，則
tan θ＝＝。
13.CD　[豎直方向先做豎直上拋運動，再做自由落體運動，運動時間具有對稱性。甲的滯空時間t比乙長，根據h＝g可知，甲的最大騰空高度更大，故A錯誤；運動員滑出后做斜拋運動，則豎直方向vy＝，說明甲初速度的豎直分速度比乙的大。水平分速度vx即最小速度，乙的最小速度比甲的最小速度大，因為v＝eq \r(v＋v)，則無法確定二者初速度大小，故B錯誤；設滑出的速度與水平方向夾角為θ，則tan θ＝，結合選項B，甲的初速度與水平方向夾角比乙的大，故C正確；水平位移為x＝vtcos θ，結合以上分析知，甲、乙再次滑入賽道的位置可能相同，故D正確。](共58張PPT)
第4節　拋體運動的規律
第五章　拋體運動
1.知道平拋運動的受力特點，理解平拋運動是勻變速曲線運動。
2.理解平拋運動的規律，知道其軌跡是拋物線。
3.掌握平拋運動的處理方法，會確定平拋運動的速度和位移。
4.會用平拋運動的推論解決相關問題。
5.了解斜拋運動的處理方法。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　平拋運動的速度、位移與軌跡
知識點一　平拋運動的理解
知識點三　平拋運動的兩個重要推論
知識點四　一般的拋體運動
知識點一　平拋運動的理解
　　　如圖為一人正在練投擲飛鏢，不計空氣阻力，請思考：
(1)可以用什么方法處理平拋運動？
(2)飛鏢擲出后，其加速度的大小和方向是否變化？
(3)飛鏢擲出后，水平方向做什么運動？
(4)飛鏢的運動是什么性質的運動？
提示　(1)運動的合成與分解，化曲為直，將其分解為水平和豎直方向兩個分運動。
(2)加速度為重力加速度g，大小和方向均不變。
(3)勻速直線運動。
(4)勻變速曲線運動。
C
例1 關于平拋運動，下列說法正確的是(　　)
A.平拋運動是一種不受任何外力作用的運動
B.平拋運動是曲線運動，它的速度方向不斷改變，不可能是勻變速運動
C.平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動
D.平拋運動的物體質量越小，落點就越遠，質量越大，落點就越近
解析　做平拋運動的物體除了受自身重力外，不受其他外力，A錯誤；平拋運動軌跡是拋物線，它的速度方向不斷改變，物體的加速度是重力加速度，故平拋運動是勻變速曲線運動，B錯誤；平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，C正確；平拋運動的運動情況與物體的質量無關，D錯誤。
(1)平拋運動是勻變速曲線運動，加速度恒為重力加速度。
(2)平拋運動是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的合運動。　　　　
知識點二　平拋運動的速度、位移與軌跡
以初速度v0沿水平方向拋出一物體，以拋出點為原點，以初速度v0的方向為x軸正方向，豎直向下的方向為y軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系。物體做平拋運動的軌跡如圖所示。
1.平拋運動的速度
(1)水平方向：vx＝______。
(2)豎直方向：vy＝______。
(3)t時刻的速度
v0
gt
2.平拋運動的位移與軌跡
(1)水平位移：x＝________。
v0t
(2)豎直位移：y＝________。
(3)合位移大小：s＝_________。
方向：tan α＝＝_______。
(4)軌跡方程：由以上兩式消去時間t，可得平拋運動的軌跡方程為y＝______，由此可知平拋運動的軌跡是一條________。
拋物線
【思考】
1.平拋運動的時間由什么決定？
2.平拋運動的速度的大小由什么決定？
3.平拋運動的水平位移由什么決定？
4.速度的改變量沿什么方向？相等的時間t內速度的改變量是多少？
提示　速度的改變量沿豎直方向，相等的時間t內速度的改變量Δv＝gt。
5.連續相等的時間t內，豎直的位移差是否相等？
提示　豎直方向的位移差為Δy＝gt2，可見在連續相等時間t內，Δy相等。
6.豎直方向每秒內位移的增量是否相等？
7.速度和水平方向的夾角與位移和水平方向的夾角是否相同？
例2 當災害發生時，有時會利用無人機運送救災物資。如圖所示，一架無人機正準備向受災人員空投急救用品。急救用品的底面離水面高度h＝19.6 m，無人機以v＝10 m/s的速度水平勻速飛行。若空氣阻力忽略不計，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)為了使投下的急救用品落在指定地點，無人機應該在離指定地點水平距離多遠的地方進行投放？
(2)投放的急救用品落到水面上時，速度的大小是多少？
急救用品在水平方向上做勻速直線運動，在時間t內的水平位移
即無人機應在離指定地點水平距離20 m處投放急救用品。
(2)設急救用品落到水面上時豎直方向速度的大小為vy，根據勻變速直線運動速度與位移的關系，有
急救用品落到水面上時，速度的大小
答案　(1)20 m　(2)22 m/s
C
例3 如圖所示，A、B兩個小球在同一豎直線上，離地高度分別為2h和h，將兩球水平拋出后，兩球落地時的水平位移大小之比為1∶2，不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
知識點三　平拋運動的兩個重要推論
將速度v反向延長，速度偏向角的正切值
2.推論二：“正切二倍”
做平拋運動的物體在某時刻，設其速度與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，則tan θ＝2tan α。
例4 如圖所示，一小球自傾角為θ的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上，小球與斜面接觸時速度方向與水平方向的夾角φ滿足(　　)
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
解析　如題圖所示，接觸斜面時位移方向與水平方向的夾角為θ，由平拋運動的推論可知，速度方向與水平方向的夾角φ與θ滿足tan φ＝2tan θ，D正確。
D
知識點四　一般的拋體運動
　　　體育運動中投擲的鏈球、鉛球、鐵餅、
標槍等(如圖所示)，都可以看作是斜上拋運動。
以拋出的鉛球為例：
(1)鉛球離開手后，如不考慮空氣阻力，其受力情況、速度有何特點？
(2)鉛球在最高點的速度是零嗎？
提示　(1)不考慮空氣阻力，鉛球在水平方向不受力，在豎直方向只受重力，加速度為g，其初速度不為零，初速度方向斜向上方。
(2)不是。由于鉛球在水平方向做勻速運動，所以鉛球在最高點的速度等于水平方向的初速度。
1.斜拋運動：初速度沿__________或__________的拋體運動。
2.斜拋運動的性質：斜拋運動是水平方向的__________運動和豎直方向的加速度為g的____________運動的合運動。
斜向上方
斜向下方
勻速直線
勻變速直線
【思考】
以斜上拋運動為例，設拋出的初速度為v0，方向與x軸正方向的夾角為θ，如圖所示。
(1)試寫出斜拋運動的水平速度和豎直速度的表達式；
(2)試寫出斜拋運動的水平分位移和豎直分位移的表達式；
(3)總結分析斜拋運動的思路。
C
例5 某同學在練習投籃時將籃球從同一位置斜向上拋出，其中有兩次籃球垂直撞在豎直放置的籃板上，運動軌跡如圖所示，不計空氣阻力，關于這兩次籃球從拋出到撞擊籃板的過程(　　)
A.兩次在空中運動的時間相等
B.兩次拋出時的速度相等
C.第1次拋出時速度的水平分量小
D.第2次拋出時速度的豎直分量大
(1)斜上拋運動問題可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動。
(2)斜上拋運動的最高點的速度等于水平初速度，最高點的加速度等于重力加速度g。
(3)由拋出點到最高點的過程可逆向看作平拋運動，由最高點到落地點的過程也可用平拋運動規律分析。　　　　
例6 如圖，做斜上拋運動的物體到達最高點時，速度v＝24 m/s，落地時速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物體拋出時速度的大小和方向；
(2)物體在空中的飛行時間t。
故θ＝37°。
(2)豎直方向的初速度為v0y＝v0sin θ＝18 m/s
答案　(1)30 m/s　與水平方向夾角為37° (2)3.6 s
斜拋運動以最高點為對稱點，在豎直方向上對稱的位置具有對稱的速率，對稱的位移具有時間的對稱性。　　　　
隨堂對點自測
2
AC
1.(平拋運動的理解)(多選)關于平拋運動，下列說法中正確的是(　　)
A.平拋運動的下落時間由下落高度決定
B.平拋運動的軌跡是曲線，所以平拋運動不可能是勻變速運動
C.平拋運動的速度方向與加速度方向的夾角一定越來越小
D.平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向也可能時刻變化
D
2.(平拋運動規律的應用)如圖所示為某公園的噴水裝
置，若水從噴水口中水平噴出，忽略空氣阻力及水
之間的相互作用，下列說法正確的是(　　)
A.噴水口高度一定，噴水速度越大，水從噴出到落入
池中的時間越短
B.噴水口高度一定，噴水速度越大，水噴得越近
C.噴水速度一定，噴水口高度越高，水噴得越近
D.噴水口高度一定，無論噴水速度多大，水從噴出到落入池中的時間都相等
解析　水從噴水口水平噴出后，做平拋運動，其運動時間由高度決定，所以噴水口高度一定時，水從噴出到落入池中的時間相等，水速越大，水噴得越遠，A、B錯誤，D正確；噴水速度一定，噴水口高度越高，水從噴出到落入池中的時間越長，水噴得越遠，C錯誤。
C
CD
4.(斜拋運動)(多選)如圖所示，從地面上同一位置拋出兩小球a、b，分別落在地面上的M、N兩點，兩球運動的最大高度相同。空氣阻力不計，則(　　)
A.b的加速度比a的大
B.b的飛行時間比a的長
C.b在最高點的速度比a在最高點的大
D.b在落地時的速度比a在落地時的大
解析　a、b兩球都做斜上拋運動，只受重力作用，加速度都為重力加速度，A項錯誤；在豎直方向上做豎直上拋運動，由于上升的豎直高度相同，所以兩小球在空中飛行時間相等，B項錯誤；由于b球的水平射程比a球的大，故b球的水平速度及落地時的速度均比a球的大，C、D項正確。
課后鞏固訓練
3
C
題組一　平拋運動的理解
1.人站在平臺上水平拋出一小球，球離開手時的速度為v1，落地時的速度為v2，不計空氣阻力，下列能表示出速度的矢量圖的是(　　)
對點題組練
解析　做平拋運動的物體在水平方向上速度不變，豎直方向加速度恒為g，則速度的變化量Δv＝gΔt，方向始終豎直向下，故C正確。
D
C
題組二　平拋運動規律的應用
3.(2024·江蘇連云港市高一校考)從高處以15 m/s的速度水平拋出一鐵球，不計空氣阻力，重力加速度取10 m/s2，經過2 s還沒有落到地面，則它此時的速度大小是(　　)
A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s
AD
4.(多選)“套圈”是老少皆宜的游戲。如圖所示，某同學先后兩次在A點把小環水平拋出，分別直接套中位于水平地面B、C兩點處的目標物。不計空氣阻力，下列說法正確的有(　　)
A.兩小環在空中的飛行時間相同
B.兩小環拋出時的初速度相同
C.兩小環落地時的末速度相同
D.兩小環在空中飛行過程中速度的變化量相同
B
B
AD
7.(多選)某物體做平拋運動時，它的速度方向與水平方向的夾角為θ，其正切值tan θ隨時間t變化的圖像如圖所示(g取10 m/s2)，則(　　)
A.第1 s內物體下落的高度為5 m
B.第1 s內物體下落的高度為10 m
C.物體的初速度為5 m/s
D.物體的初速度為10 m/s
C
D
A
綜合提升練
BD
11.(多選)如圖所示，a、b兩點位于同一條豎直線上，從a、b兩點分別以速度v1、v2同時水平拋出兩個小球，它們都能經過水平地面上方的P點。則下列說法正確的是(　　)
A.兩小球拋出的初速度v1>v2
B.兩小球拋出的初速度v1C.從a點拋出的小球著地時水平射程較大
D.從b點拋出的小球著地時水平射程較大
解析　因為從拋出到P點的過程中，水平位移相等，從a點拋出的小球運動時間較長，則此小球的初速度較小，即v112.從某一高度處水平拋出一物體，它落地時速度是50 m/s，方向與水平方向成53°角(不計空氣阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)。求：
(1)拋出點的高度和水平射程；
(2)拋出后3 s末的速度；
(3)拋出后3 s內的位移。
解析　(1)設落地時豎直方向的速度為vy，水平速度為v0，則有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
(2)豎直方向的分速度
vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
設拋出后3 s末的速度為v3，則
設速度方向與水平方向的夾角為α，則
(3)拋出后3 s內物體的水平位移
x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m
豎直方向的位移
故物體在3 s內的位移
設位移方向與水平方向的夾角為θ，則
CD
13.(多選)(2024·廣東廣雅中學高一校考期中)如圖所示，甲、乙兩名滑板運動員在水平“U”型賽道上比賽，甲、乙先后從賽道邊緣上的A點滑出，一段時間后再次滑入賽道，觀察發現甲的滯空時間比乙長，運動過程中乙的最小速度比甲的最小速度大。不計空氣阻力，可將運動員視為質點，則下列說法正確的是(　　)
培優加強練
A.甲、乙的最大騰空高度相同
B.甲從A點滑出時的初速度一定大于乙的初速度
C.甲、乙從A點滑出時的初速度方向一定不同
D.甲、乙再次滑入賽道的位置可能相同

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