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因式分解—十字相乘法講義
一、十字相乘法的原理
對于二次三項式（）
1.假設它可以分解為的形式，將展開可得：
2.對比和，可以得到：
，即二次項系數是兩個因數和的乘積。
，一次項系數是兩個因數交叉相乘再相加的結果。
，常數項是兩個因數和的乘積。
二、十字相乘法的步驟
（一）、以二次三項式為例
分解二次項系數和常數項
對于，二次項系數，可分解為；常數項，可分解為。
十字相乘并相加
寫成如下形式：
1 2
1 3
1×2+1×3=5
計算交叉相乘的和：，正好等于一次項系數。
寫出因式分解的結果
所以。
（二）、再看二次三項式
分解二次項系數和常數項
二次項系數，可分解為；常數項，可分解為。
十字相乘并相加
寫成如下形式：
1 -3
2 -1
1×（-1）+2×（-3）=-7
計算交叉相乘的和：，等于一次項系數。
寫出因式分解的結果
所以。
四、注意事項
（一）、符號問題
1.當常數項為正數時，分解的兩個因數同號（同為正或同為負），且這兩個因數的符號與一次項系數的符號相同。
例如，對于，常數項，一次項系數是正數，所以分解為。
2.當常數項為負數時，分解的兩個因數異號，其中絕對值較大的因數的符號與一次項系數的符號相同。
例如，對于，常數項，一次項系數是負數，絕對值較大的因數是負數，所以分解為。
、系數問題
1.當二次項系數不為時，要仔細分解二次項系數和常數項，嘗試不同的組合，直到找到滿足十字相乘后相加等于一次項系數的組合。
例如，對于，二次項系數，常數項或等多種分解方式。經過嘗試，，其中。
2、十字相乘法的典型例題：
（1）二次項系數為1的二次三項式
例1：分解因式
解：分析：對于，二次項系數為，常數項，一次項系數。
分解過程：
例2：分解因式
解：分析：二次項系數是，常數項，一次項系數。
分解過程：
例3：分解因式
解：分析：二次項系數為，常數項，一次項系數 。
分解過程：
（2）二次項系數不為1的二次三項式
例4：分解因式
解：分析：二次項系數，常數項，嘗試十字相乘，，滿足一次項系數。
分解過程：
例5：分解因式
解：分析：二次項系數，常數項，經嘗試，符合一次項系數。
分解過程：
例6：分解因式
解：分析：二次項系數，常數項，通過計算，與一次項系數相等。
分解過程：
（3）含字母系數的二次三項式
例7：分解因式
解：分析：二次項系數為，常數項可分解為，一次項系數恰好是與的和。
分解過程：
例8：分解因式
解：分析：二次項系數，常數項，當，令，則可分解。
分解過程：
（4）較復雜的式子
例9：分解因式
解：分析：可將看成，那么式子就變成了關于的二次三項式，即。常數項，一次項系數。
分解過程：
例10：分解因式
解：分析：把看成一個整體，設，則原式變為。對于，常數項，一次項系數。
分解過程：
練習
1．因式分解（十字相乘-簡單二次三項式（二次項系數為））
2. 因式分解（十字相乘-二次項系數不為的二次三項式）
3. 因式分解（十字相乘-含參數的二次三項式）
（）
（）
4. 因式分解（十字相乘-復雜形式（可看作二次三項式））

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