資源簡介

專題八 平面解析幾何
典例分析
考查方式
直線與圓的方程在高考中可單獨(dú)以選擇題、填空題的形式考查，也可與圓錐曲線綜合在解答題中考查. 直線主要考查直線的斜率和方程、兩直線的交點(diǎn)與距離問題、對(duì)稱問題等；圓主要考查圓的方程的求解、與圓有關(guān)的最值問題、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等. 復(fù)習(xí)的重點(diǎn)在于立足基礎(chǔ)，培養(yǎng)推理論證能力，提高運(yùn)算能力，注重解題的通性通法.
圓錐曲線在高考中占據(jù)極其重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，更是每年的必考內(nèi)容. 簡單題主要考查圓錐曲線的定義、方程、簡單性質(zhì)，難題主要考查圓錐曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、利用解析幾何知識(shí)解決圓錐曲線綜合應(yīng)用，這類題目的綜合性較強(qiáng)，對(duì)計(jì)算能力要求較高. 復(fù)習(xí)的重點(diǎn)在于重視基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，重視思想方法的訓(xùn)練，提高計(jì)算能力和綜合解題能力.
高考真題
1．[2023年 新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)橢圓，的離心率分別為，.若，則( )
A. B. C. D.
2．[2024年 新課標(biāo)Ⅱ卷]已知曲線，從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為( )
A. B.
C. D.
3．[2023年 新課標(biāo)Ⅰ卷]過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則
( )
A.1 B. C. D.
4．[2023年 新課標(biāo)Ⅱ卷]已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則( )
A. B. C. D.
5．[2024年 新課標(biāo)Ⅰ卷]（多選）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足：橫坐標(biāo)大于-2，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則( )
A.
B.點(diǎn)在C上
C.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1
D.當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，
6．[2024年 新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為__________.
7．[2024年 新課標(biāo)Ⅰ卷]已知和為橢圓上兩點(diǎn).
（1）求C的離心率；
（2）若過P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求l的方程.
參考答案
1．答案：A
解析：由橢圓的方程知離心率，由橢圓的方程知.又，即，化簡得，，，.故選A.
2．答案：A
解析：設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，所以，即，所以線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為，故選A.
3．答案：B
解析：設(shè)圓為圓C，化簡得，圓心為，半徑.如圖，設(shè)，則，，易知，則，所以.故選B.
4．答案：C
解析：設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，，解得.
設(shè)，到直線AB的距離分別為，，由題意得，，所以.由三角形相似可得，，解得或.因?yàn)椋裕蔬xC.
5．答案：ABD
解析：因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)O在曲線C上，所以，又，所以，所以A正確.
因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為，所以點(diǎn)在曲線C上，所以B正確.
設(shè)（，）是曲線C在第一象限的點(diǎn)，則有，所以，令，則，因?yàn)椋遥院瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，即必定存在一小區(qū)間使得單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上均有，所以縱坐標(biāo)的最大值一定大于1，所以C錯(cuò)誤.
因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以且，得，所以，所以D正確.
綜上，選ABD.
6．答案：
解析：法一：由及雙曲線的對(duì)稱性得，因?yàn)椋裕裕瑒tC的離心率.
法二：因?yàn)椋裕裕?br/>又，所以，得，
所以，得，所以C的離心率.
7．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由題知，解得，
，的離心率.
（2），設(shè)點(diǎn)B到直線PA的距離為h，
則的面積為，解得.易知直線，
設(shè)，則，解得或，或，
故或.
重難突破
1.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，C截得直線的最大弦長為，則C的方程為( )
A. B. C. D.
2.已知直線與直線平行，則m的值為( )
A.-3 B.-1 C.2 D.-3或2
3.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)( )
A. B.1 C. D.2
4.過拋物線的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于兩點(diǎn).若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則等于( )
A.10 B.8 C.6 D.4
5.圓與圓的公共弦長為( )
A. B. C. D.
6.若直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
7.已知圓，直線則直線l被圓C截得的弦長的最小值為( )
A.5 B. C.10 D.
8.拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物面的反射后，集中于它的焦點(diǎn).已知一束平行于x軸的入射光線的一束光線與拋物線的交點(diǎn)為，則反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為( )
A. B. C. D.
9.已知，是橢圓的左 右焦點(diǎn)，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q與原點(diǎn)O之間的距離為( )
A. B.2 C.3 D.4
10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.連接，.若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
11.已知D為雙曲線右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作C的兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，則( )
A.2 B. C. D.
12.已知拋物線過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M，N為C上的兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之和為0，直線l的斜率為，且過C的焦點(diǎn)F，l把分成面積相等的兩部分，則直線MN的方程為( )
A. B.
C. D.
13.（多選）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，則( )
A.
B.
C.當(dāng)，P，Q不共線時(shí)，的周長為8
D.設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為d，則
14.（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)B，Q的之間），則( )
A.直線與拋物線C相切
B.
C.若P是線段的中點(diǎn)，則
D.存在直線l，使得
15.（多選）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，P為C右支上的動(dòng)點(diǎn)，過P作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A.點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為2
B.雙曲線C的離心率為
C.則P到C的兩條漸近線的距離之積大于4
D.當(dāng)最小時(shí)，則的周長為
16.已知直線，當(dāng)k變化時(shí)，所有的直線恒過定點(diǎn)_________
17.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2，的面積為，則_______________.
18.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，圓，在圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________.
19.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日?qǐng)A的離心率為，點(diǎn)分別為蒙日?qǐng)AO與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，則四邊形與四邊形EFGH的面積的比值為_________.
20.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B為C上的兩點(diǎn).若直線的斜率為，且，延長，分別交C于P，Q兩點(diǎn)，則四邊形的面積為____________.
21.已知點(diǎn)與直線，圓
(1)一條光線從點(diǎn)P射出，經(jīng)直線l反射后，通過點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程；
(2)過P點(diǎn)作圓的切線，求切線方程.
22.已知拋物線，C的焦點(diǎn)是F.
（1）若過原點(diǎn)O作兩條直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，且，求證：直線AB過定點(diǎn)；
（2）若過曲線C上一點(diǎn)作兩條直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，且，求的面積的取值范圍.
23.已知橢圓的焦距為，且點(diǎn)在橢圓M上.
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C是橢圓M上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且四邊形OABC恰為平行四邊形，試判斷平行四邊形OABC的面積是否為定值？若是，求出該定值，若否，請(qǐng)說明理由.
24.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，.
（1）若過點(diǎn)的直線l交雙曲線E于A，B兩點(diǎn)，求直線l的斜率范圍；
（2）過原點(diǎn)的直線與雙曲線E相交于C，D兩點(diǎn)（C在x軸的上方），直線，與圓分別交于點(diǎn)M，N，直線CD與直線MN的斜率分別為，，求的值.
25.已知A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn).橢圓長軸長為6，離心率為.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓C于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn).
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率為正時(shí)，設(shè)直線AM，AN分別交y軸于點(diǎn)S，T，記，，求的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由題意可得，，所以，，所以橢圓方程為.
故選：A
2.答案：A
解析：由兩直線平行得：，解得或.
當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不合題意.
當(dāng)時(shí)，，即，，兩直線平行，符合題意.
故m的值為-3.
故選：A.
3.答案：A
解析：由，得，故圓心為，
又因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，
故圓心在直線上，則.
故選：A
4.答案：B
解析：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，
則，
所以，
故選：B
5.答案：C
解析：圓①與圓②，
①－②得，即公共弦方程為，
又圓的半徑為，圓心為，
圓心到直線距離，
所以公共弦長為.
故選：C.
6.答案：D
解析：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且直線即為，
由雙曲線的漸近線方程是，所以，即，
所以離心率.
故選：D.
7.答案：C
解析：由，
，即l過定點(diǎn)，
由得，半徑，
則當(dāng)時(shí)，C到l的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)l被圓C截得的弦長最小，
最小值為.
故選：C.
8.答案：C
解析：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，
所以拋物線的方程為，則焦點(diǎn)為，
又因?yàn)榉瓷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)及焦點(diǎn)，，
所以反射光線的方程為，
聯(lián)立拋物線方程得，解得或，
所以反射光線與拋物線的交點(diǎn)為，
由兩點(diǎn)間距離公式可得，
所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為.
故選：C.
9.答案：B
解析：直線l的斜率顯然存在，所以設(shè)直線l的方程為，即，
聯(lián)立方程組，
消去y，得，
因?yàn)橹本€l與橢圓C相切于點(diǎn)，
所以，
整理得，解得，
所以切線方程為，
由橢圓，可得，所以，
可得左焦點(diǎn)，所以過左焦點(diǎn)與直線l的垂直的直線方程為，
聯(lián)立方程組，解得，所以，
所以點(diǎn)Q與原點(diǎn)O之間的距離為2.
故選：B.
10.答案：A
解析：設(shè)，由
可得，由于與等高，
所以，
又，，，
又，，
在中，，
，
在中，，
化簡可得，解得，
故選：A.
11.答案：C
解析：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，易知C的漸近線的方程為，
聯(lián)立
解得，
不妨取，
同理可得，
則，
因?yàn)樗倪呅蜲ABD是平行四邊形，
于是，
由于點(diǎn)D在C上，
所以，
因此，
故C正確.
故選：C
12.答案：D
解析：因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，
所以，解得：，所以，
設(shè)，，
直線，代入中整理得，
所以，，
所以
，即，
則，解得：，
所以直線，
直線l的斜率為-1，且過C的焦點(diǎn)，
所以，則到直線l的距離為，
所以l把分成面積相等的兩部分，因?yàn)橹本€與直線平行，
所以到直線的距離為到直線距離的，
，解得：或（舍去）.
所以直線MN的方程為.
故選：D.
13.答案：BCD
解析：對(duì)于A，由題意知：，，，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，為橢圓C的焦點(diǎn)弦，，B正確；
對(duì)于C，，
的周長為，C正確；
對(duì)于D，作垂直于直線，垂足為M，
設(shè)，則，
，，
，，D正確.
故選：BCD.
14.答案：AC
解析：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，
即拋物線方程為，焦點(diǎn).
對(duì)于A：直線的方程為，即，
因?yàn)椋獾茫灾本€與拋物線C相切點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B：設(shè)過點(diǎn)B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，，，
由，得，則，即或，
于是，，
又，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由焦半徑公式可得，，
因?yàn)镻是線段的中點(diǎn)，
所以，整理得，即，故C正確；
對(duì)于D：若，則，得
所以，即，解得，
此時(shí)，則直線l與拋物線相切，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
15.答案：BCD
解析：雙曲線的漸近線為，左焦點(diǎn)，所以點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為，所以A錯(cuò)誤；
由雙曲線方程可得，，所以離心率，所以B正確；
設(shè)點(diǎn)，則，即，
點(diǎn)P到兩漸近線距離分別為和，
則，所以C正確；
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，則，所以，
若最小，則只需最小即可，
過作垂直漸近線與點(diǎn)A，交雙曲線右支與點(diǎn)P，此時(shí)最小，
，由勾股定理得，所以，所以，
所以的周長為，所以D正確.
故選：BCD.
16.答案：
解析：因?yàn)橹本€，即為，
令，解得，
所以直線恒過定點(diǎn).
故答案為：.
17.答案：
解析：有得所以雙曲線的漸近線為
又拋物線的準(zhǔn)線方程為聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準(zhǔn)線方程得，，
在中，O到的距離為.，，.
18.答案：
解析：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，，，
所以，即，
所以，可得圓心，半徑，
由圓可得圓心，半徑，
因?yàn)樵趫AC上存在點(diǎn)P滿足，
所以圓與圓有公共點(diǎn)，
所以，整理可得：，
解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是，
故答案為：.
19.答案：
解析：由題意得蒙日?qǐng)AO為，
則，，
直線的方程為：，
聯(lián)立
得，
，
解得，，
所以.
故答案為：.
20.答案：50
解析：由題可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為，
與拋物線C的方程聯(lián)立，得，所以.
設(shè)，，則，，
故.
因?yàn)椋裕?br/>所以直線的斜率為-2，直線的方程為，
與拋物線C的方程聯(lián)立，得.所以.
設(shè)，，則，，
故.
所以四邊形的面積為.
故答案為：50.
21.答案：(1)
(2)或
解析：(1）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
則有，解得，即，
直線的方程為：，即，
因反射光線過點(diǎn)，而反射光線所在直線過點(diǎn)，
所以反射光線所在直線方程為.
(2）圓即圓的圓心為，半徑為，
過點(diǎn)且斜率不存在的直線為，顯然到直線的距離，故滿足題意；
設(shè)過點(diǎn)且斜率存在的直線的直線與圓相切，
則，解得，此時(shí)所求直線為，即；
綜上所述，滿足題意的切線方程為或.
22.答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：因?yàn)锳，B是兩直線與拋物線C的交點(diǎn)，
所以O(shè)A，OB的斜率均存在，且不為零，
故可設(shè)直線，則直線.
由，，所以.
同理得.
則，
則直線AB的方程為，
所以直線AB過定點(diǎn).
（2）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線C上，所以將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入曲線C的方程可得，即，則.
設(shè)，，由題意可知直線AB的斜率存在，則可設(shè)直線AB的方程為.
則由得，則，，.
所以，
，
得或，滿足.
而點(diǎn)F到AB的距離，
，
則.
所以.
所以的面積的取值范圍為.
23.答案：（1）
（2）平行四邊形OABC的面積為定值
解析：（1）因?yàn)闄E圓M的焦距，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓M上，所以，解得，
所以，
故橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）如圖，
因?yàn)樗倪呅蜲ABC為平行四邊形，所以，
平行四邊形OABC的面積，
設(shè)直線AC的方程為，
聯(lián)立，消去y并整理得，
由，整理得.
設(shè)，，
則，，
得，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓M上，則，
所以，滿足，
則，
又點(diǎn)O到直線AC的距離，
所以，
故平行四邊形OABC的面積為定值.
24.答案：（1）且
（2）
解析：（1）根據(jù)題意，過點(diǎn)的直線l的方程可設(shè)為，
聯(lián)立得.
因?yàn)橹本€l交雙曲線E于A，B兩點(diǎn)，
所以解得且.
故直線l的斜率k的范圍為且.
（2）設(shè)，由題意知，
則令，
所以直線的方程為，
聯(lián)立得.
所以，.
由于C，D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，
令直線的斜率為n，則.
所以，又，
所以，即.
所以，，
所以
.
又，所以.
25.答案：（1）
（2）
解析：（1）由題可知
解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線，，，.
由得，
，解得或（舍），
且，.
直線AM的方程為，令，得，所以，
同理可得，所以，，.
由，，可得，，
所以，
即
，
因?yàn)椋裕裕?
故的取值范圍為.

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