資源簡介

專題九 計數原理與概率統計
典例分析
考查方式
計數原理是高考的常考點，試題以選擇、填空題為主，注重對基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查，難度較低. 主要考查方向為兩個計數原理的簡單應用、有限制條件的排列問題或簡單的組合問題以及利用二項展開式的通項求特定項或特定項的系數. 值得注意的是，對此塊內容的考查還有一個趨勢，就是將計數原理與其他知識綜合，例如排列組合與古典概型相結合. 在復習過程中，要立足于掌握基本的排列組合方法并熟練應用二項式定理.
概率與統計是每年高考的熱點之一，難度控制在中等程度，試題多以實際問題為背景考查基本概型的概率（古典概型、獨立事件的概率、條件概率等），正態分布，二項分布，離散型隨機變量的分布列、期望與方差，樣本的數字特征（眾數、平均數、中位數、方差、標準差等），對統計圖表的分析（頻率分布直方圖、條形圖、折線圖等），回歸分析，獨立性檢驗，概率與其他知識綜合等. 復習的重點在于提高閱讀理解和信息整理能力（包括準確理解原文、較快的閱讀速度、發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力），數據分析能力、數學建模能力以及數學運算能力.
高考真題
1．[2023年 新課標Ⅱ卷]某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有( ).
A.種 B.種 C.種 D.種
2．[2024年 新課標Ⅱ卷]某農業研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：）并部分整理如下表所示.
畝產量
頻數 6 12 18 30 24 10
根據表中數據，下列結論正確的是( )
A.100塊稻田畝產量的中位數小于
B.100塊稻田中畝產量低于的稻田所占比例超過
C.100塊稻田畝產量的極差介于到之間
D.100塊稻田畝產量的平均值介于到之間
3．[2024年 新課標Ⅰ卷]（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差.已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布，假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布，則（若隨機變量Z服從正態分布，則）( )
A. B. C. D.
4．[2023年 新課標Ⅰ卷]（多選）有一組樣本數據，，…，，其中是最小值，是最大值，則( )
A.，，，的平均數等于，，…，的平均數
B.，，，的中位數等于，，…，的中位數
C.，，，的標準差不小于，，…，的標準差
D.，，，的極差不大于，，…，的極差
5．[2023年 新課標Ⅰ卷]某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有__________種（用數字作答）.
6．[2024年 新課標Ⅰ卷]甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為___________.
7．[2024年 新課標Ⅱ卷]在如圖的的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有__________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是__________.
8．[2024年 新課標Ⅱ卷]某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成.比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中1次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.
某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立.
（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.
（2）假設.
（ⅰ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ⅱ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
參考答案
1．答案：D
解析：根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取人，根據組合公式和分步計數原理，則不同的抽樣結果共有種.故選D.
2．答案：C
解析：對于A，因為前3組的頻率之和，前4組的頻率之和，所以100塊稻田畝產量的中位數所在的區間為，故A不正確；
對于B，100塊稻田中畝產量低于的稻田所占比例為，故B不正確；
對于C，因為，，所以100塊稻田畝產量的極差介于至之間，故C正確；
對于D，100塊稻田畝產量的平均值為，故D不正確.故選C.
3．答案：BC
解析：由題意可知，，所以，，所以
，所以A錯誤，B正確.因為，所以，，所以，所以，（另解：）所以C正確，D錯誤.故選BC.
4．答案：BD
解析：對于選項A：，不確定，，，…，的平均數不確定，如1，2，2，2，2，4的平均數不等于2，2，2，2的平均數，故A錯誤；
對于選項B：不妨設，則，，，的中位數為，，，，，，的中位數為，故B正確；
對于選項C：，，，，，的波動性不小于，，，的波動性，，，，的標準差不大于，，，，，的標準差，故C錯誤；
對于選項D：不妨設，則，，即，，，的極差不大于，，，，，的極差，故D正確.故選BD.
5．答案：64
解析：法一：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術類選修課各選修1門，有種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術類選修課中選修2門，有種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術類選修課中選修1門，有種方案.綜上，不同的選課方案共有（種）.
法二：若學生從這8門課中選修2門課，則有（種）選課方案；若學生從這8門課中選修3門課，則有（種）選課方案.綜上，不同的選課方案共有（種）.
6．答案：
解析：因為甲出卡片1一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為3.
若甲的總得分為3，則甲出卡片3，5，7時都贏，所以只有1種組合：，，，.
若甲的總得分為2，有以下三類情況：
第一類，當甲出卡片3和5時贏，只有1種組合，為，，，；
第二類，當甲出卡片3和7時贏，有，，，或，，，或，，，，共3種組合；
第三類，當甲出卡片5和7時贏，有，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，，共7種組合.
綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有（種），所以甲的總得分不小于2的概率.
7．答案：24；112
解析：第一步，從第一行任選一個數，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個與第一個數不同列的數，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個與第一、二個數均不同列的數，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個與第一、二、三個數均不同列的數，只有1種選法.
由分步乘法計數原理知，不同的選法種數為.
先按列分析，每列必選出一個數，故所選4個數的十位上的數字分別為1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行個位上的數字的最大值分別為1，3，3，5，故從第一行選21，從第二行選33，從第三行選43，從第4行選15，此時個位上的數字之和最大.故選中方格中的4個數之和的最大值為.
8．答案：（1）
（2）（?。┘?br/>（ⅱ）甲
解析：（1）設“甲、乙所在隊進入第二階段”，則.
設“乙在第二階段至少得5分”，則.
設“甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分”，
則.
（2）（?。┰O甲參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率為，
則.
設乙參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率為，
則.
則，
由，得，，
所以，即.
故應該由甲參加第一階段比賽.
（ⅱ）若甲參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績X的所有可能取值為0，5，10，15.
，
，
，
，
所以
.
若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績Y的所有可能取值為0，5，10，15.
同理，可得.
，
由，得，，
所以，即.
故應該由甲參加第一階段比賽.
重難突破
1.某林場有樹苗2000棵，其中松樹苗400棵.為調查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個容量50的樣本，則樣本中松樹苗的數量是( )
A.40 B.30 C.20 D.10
2.某零售行業為了解宣傳對銷售額的影響，在本市內隨機抽取了5個大型零售賣場，得到其宣傳費用x（單位：萬元）和銷售額y（單位：萬元）的數據如下：
x（萬元） 3 4 5 6 7
y（萬元） 45 50 60 65 70
由統計數據知y與x滿足線性回歸方程，其中，當宣傳費用時，銷售額y的估計值為( )
A.89.5 B.90.5 C.92.5 D.94.5
3.甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有A，B，C，D，E五個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數共有( )
A.420 B.460 C.480 D.520
4.某地區有10000名考生參加了高三模擬調研考試.經過數據分析，數學成績X近似服從正態分布，則數學成績位于的人數約為( )
參考數據：，，
A.455 B.1359 C.3346 D.1045
5.一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去天的日銷售量（單位：kg），將全部數據按區間，，…，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
根據圖中信息判斷，下列說法中不恰當的一項是( )
A.圖中a的值為
B.這200天中有140天的日銷售量不低于
C.這200天銷售量的中位數的估計值為
D.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需要（在天中，大約有85天可以滿足顧客的需求），則每天的蘋果進貨量應為
6.若的展開式中各項系數和為16，則其展開式中的常數項為( )
A.54 B.-54 C.108 D.-108
7.生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為( )
A. B. C. D.
8.已知事件A，B滿足，，則( )
A.若A與B相互獨立，則
B.若A與B互斥，
C.若，則C與B相互對立
D.若，則
9.某班統計一次數學測驗成績的平均分與方差，計算完畢才發現有個同學的分數還未錄入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分別為，，新平均分和新方差分別為，，若此同學的得分恰好為，則( )
A.， B.， C.， D.，
10.正值元宵佳節，赤峰市“盛世中華·龍舞紅山”紀念紅山文化命名七十周年大型新春祈?；顒又校?名大學生將前往3處場地A，B，C開展志愿服務工作.若要求每處場地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場地，則當甲去場地A時，場地B有且只有1名志愿者的概率為( )
A. B. C. D.
11.一次知識競賽中，共有A，B，C，D，E五道題，參賽人從中抽出三道題回答，每題的分值如下：
A B C D E
分值 10 20 20 20 30
答對該試題可得相應的分值，答錯不得分，得分不低于60分可以獲獎.已知參賽人甲答對A題的概率為，答對B，C，D題的概率均為，答對E題的概率為，則甲能獲獎的概率為( )
A. B. C. D.
12.隨著互聯網普及和技術的飛速發展，網絡游戲已成為當今社會的一種流行文化，也是青少年學習、娛樂和社交的重要方式.但隨著網絡游戲的推廣發展，一些青少年對其過度依賴，甚至對心理健康產生了不可忽視的影響.“預防網絡游戲沉迷，關愛青少年心理健康，已成為亟需破解的現實問題.”某款網絡游戲的規則如下：參與者每一局需投一枚游戲幣，每局通關的概率為50%，若該局通關，參與者可以贏得兩個游戲幣.遇到兩種情況會自動結束游戲：一種是手中沒有游戲幣；一種是手中游戲幣到預期的N個.設當參與者手中有n個（）游戲幣時，最終手中沒有游戲幣的概率為，下列說法錯誤的是( )
A.，
B.記參與者通關的局數，在前13局中，，
C.
D.若參與者最初手中有20個游戲幣，他希望贏到100個，則他輸光的概率為
13.（多選）在我們發布的各類統計數據中，同比和環比都是反映增長速度的核心數據指標.如圖是某專業機構統計的2023年1-12月中國校車銷量走勢圖，則下列結論正確的是( )
A.8月校車銷量的同比增長率與環比增長率都是全年最高
B.1-12月校車銷量的同比增長率的平均數小于環比增長率的平均數
C.1-12月校車銷量的環比增長率的極差大于同比增長率的極差
D.1-12月校車銷量的環比增長率的方差大于同比增長率的方差
14.（多選）關于下列命題中，說法正確的是( )
A.已知，若，則
B.數據91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位數為77
C.已知，若，則
D.某校三個年級，高一有400人，高二有360人.現按年級分層，用分層隨機抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應從高三抽取19人
15.（多選）對于二項式（m為常數且），以下正確的是( )
A.展開式有常數項
B.展開式第六項的二項式系數最大
C.若，則展開式的二項式系數和為
D.在上恒成立，則
16.某同學喜愛籃球和跑步運動.在暑假期間，該同學下午去打籃球的概率為.若該同學下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為__________.
17.若展開式的二項式系數和為128，則展開式中的系數為___________.
18.某校高二學生一次數學診斷考試成績(單位：分)X服從正態分布，從中抽取一個同學的數學成績，記該同學的成績為事件A，記該同學的成績為事件B，則在A事件發生的條件下B事件發生的概率______.(結果用分數表示)附參考數據：；；.
19.已知隨機變量的取值為i（）.若，，則____.
20.編號為1，2，3，4的四個小球，有放回地取三次，每次取一個，記m表示前兩個球號碼的平均數，記n表示三個球號碼的平均數，則m與n之差的絕對值不超過0.2的概率是___________.
21.如圖是某投資公司2012年至2021年每年的投資金額X（單位：萬元）與年利潤增量Y（單位：萬元）的散點圖.該投資公司為了預測2022年投資金額為20萬元時的年利潤增量，建立了Y關于X的兩個回歸模型.模型①：由最小二乘公式可求得Y與X的線性回歸方程：；模型②：由圖中樣本點的分布，可以認為樣本點集中在曲線的附近，對投資金額X做換元，令，則，且有，，，.
（1）根據所給的統計量，求模型②中Y關于X的回歸方程；
（2）分別利用這兩個回歸模型，預測投資金額為20萬元時的年利潤增量（結果保留兩位小數）.
附：樣本點的最小二乘估計公式為，.參考數據：，.
22.進入12月就到了貴陽市附近草莓采摘的時間，某草莓園為了制定今年的草莓銷售策略，隨機抽取了去年100名來園采摘顧客的消費情況，得到如圖的頻率分布
直方圖.
（1）求a的值，并根據頻率分布直方圖估計顧客消費的中位數；
（2）若把這100名顧客中消費超過120元的稱為“超級消費者”，完成下表，并判斷是否有的把握認為“超級消費者”與性別有關.
男 女 總計
超級消費者 8 28
非超級消費者 32
總計 100
附：，.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
23.為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學后，學校統計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：），得到了如圖的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度之比為.
（1）根據頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均數（同一組中的數據以該組區間的中點值為代表）.
（2）開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講.假設第一周演講的3名學生中假期日均閱讀時間處于的人數為，求隨機變量的分布列與數學期望.
24.食品有三個等級：有機食品、綠色食品、無公害食品.某調查機構在某大型超市隨機調查了50種不同的食品，利用食品分類標準得到的數據如下表：
等級 有機食品 綠色食品 無公害食品
種類 10 15 25
（1）將頻率視為概率，從這50種食品中有放回地隨機抽取4種，求恰好有2種食品是有機食品的概率（結果用分數表示）；
（2）用分層隨機抽樣的方法從這50種食品中抽取10種，再從抽取的10種食品中隨機抽取3種，X表示抽取的是綠色食品種類的數量，求X的分布列及數學期望EX.
25.2021年是中國共產黨百年華誕.中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點，全面建設社會主義現代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產黨成立100周年慶?；顒影隧椫饕獌热荩渲械谝豁検墙Y合鞏固深化“不忘初心 牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學習教育.這次學習教育貫穿2021年全年，總的要求是學史明理 學史增信 學史崇德 學史力行，教育引導黨員干部學黨史 悟思想 辦實事，開新局.為了配合這次學黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現從參加人員中隨機抽取100人，并對他們的分數進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）現從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于80分的人數為，試求隨機變量的分布列及期望；
（2）由頻率分布直方圖，可以認為該地參加黨史知識競賽人員的分數X服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，經計算.現從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分數相互獨立，試問這500名參賽者的分數不低于82.3的人數最有可能是多少？
參考數據：，，，.
答案以及解析
1.答案：D
解析：設樣本中松樹苗的數量為n棵，根據題意，可得，解得，
即樣本中松樹苗的數量為10顆.
故選：D.
2.答案：B
解析：由表中數據可知，，，
所以，解得，
所以當宣傳費用時，銷售額y的估計值為.
故選：B.
3.答案：C
解析：求不相同的選擇種數有兩類辦法：恰有3個學校所選研學基地不同有種方法，
4個學校所選研學基地都不相同有種方法，
所以不相同的選擇種數有（種）.
故選：C.
4.答案：B
解析：，則數學成績位于的人數約為，
故選：B.
5.答案：D
解析：對于選項A，由圖知，解得，所以選項A正確，
對于選項B，由圖知日銷售量不低于kg的頻率為，由，所以選項B正確，
對于選項C，設中位數為x，由，解得，所選項C正確，
對于選項D，設第分位數為a，則有，得到，所以選項D錯誤，
故選：D.
6.答案：A
解析：令，可得，所以，
則展開式的通項為，
令，得，
所以展開式中的常數項為.
故選：A.
7.答案：B
解析：設其中做過測試的3只兔子為a，b，c，剩余的2只為A，B，則從這5只中任取3只的所有取法有，，，，，，，，，共10種.其中恰有2只做過測試的取法有，，，，，共6種，所以恰有2只做過測試的概率為，選B.
8.答案：D
解析：選項A，若A與B相互獨立，則A與相互獨立，
所以，故A錯誤；
選項B，若A與B互斥，則A，B不可能同時發生，
即，故B錯誤；
選項C，若，則由于不確定C與B是否互斥，
所以無法確定兩事件是否對立，如拋擲一枚質地均勻的骰子，觀察試驗的結果，
設事件“出現奇數點”；事件“出現點數不大于3”，
則，，
但事件B，C并不互斥，也不對立，故C錯誤；
選項D，若，則，
則，故D正確
故選：D.
9.答案：C
解析：設這個班有n個同學，分數分別是
第i個同學的成績沒錄入，
第一次計算時，總分是，
方差
第二次計算時，，
方差，
故.
故選：C.
10.答案：A
解析：設事件A為甲去場地A，事件B為場地B有且只有1名志愿者，
事件A：甲去場地A，當剩下的3名大學生只去場地A，B，C，有種方案，當剩下的3名大學生只去場地B，C時，有種方案，共12種不同方案，
事件：甲去場地A，且場地B有且只有1名志愿者，場地B，C各有1名志愿者時，有種方案，共9種方案，
當甲去場地A時，場地B有且只有1名志愿者的概率為：.
故選：A.
11.答案：A
解析：若從B，C，D中只選擇了一題，則甲能獲獎的概率；
若從B，C，D中選擇了兩題，則甲能獲獎的概率；
若從B，C，D中選擇了三題，則甲能獲獎的概率.
故甲能獲獎的概率.
故選：A.
12.答案：C
解析：對于A，當時，游戲幣已經輸光了，因此，
當時，參與者已經到了終止游戲的條件，因此輸光的概率，故A正確；
對于B，由題意可得，，
所以，故B正確；
對于C，參與者有n個游戲幣的狀態，可能來源于有個游戲幣再贏一局，
也可能來源于有個游戲幣再輸一局，
由全概率公式，，故C錯誤；
對于D，由C得，
所以為等差數列，其中首項，
設公差為，則，即，，
所以，當時，，故D正確.
故選：C.
13.答案：BCD
解析：對于A，2023年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故選項A錯誤；
對于B，由校車銷量走勢圖知月校車銷量的同比增長率的平均數為負數，環比增長率的平均數是正數，故選項B正確；
對于C，月校車銷量的環比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環比增長率的極差大于同比增長率的極差，故選項C正確；
對于D，由校車銷量走勢圖知月校車銷量的環比增長率的波動大于同比增長率的，所以環比增長率的方差大于同比增長率的方差，故選項D正確.
故選：BCD.
14.答案：CD
解析：對于A，，
，
，解得，故A錯誤；
對于B，將數據從小到大排序為64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，
，
分位數為第5個數，即78，故B錯誤；
對于C，，
，故C正確；
對于D，抽樣比為，
高二應抽取人，則高三應抽取人，故D正確.
故選：CD.
15.答案：AB
解析：對于A中，由二項式的展開式的通項為，
令，可得，此時展開式的第6項為常數項，所以A正確；
對于B中，由二項式的展開式，結合二項式系數的性質，
可得展開式的第6項的二項式系數最大，所以B正確；
對于C中，當時，展開式的二項式系數和是，所以C錯誤；
對于D中，由在上恒成立，
可得或在上恒成立，
即或在上恒成立，
又由在上單調遞減，所以，
函數在上單調遞減，所以，
所以或，所以D錯誤.
故選：AB.
16.答案：
解析：設下午打籃球為事件A，晚上跑步為事件B，易知，，
，
.
故答案為：.
17.答案：280
解析：由題意可知：二項式系數和為，解得，
則展開式的通項為，，
令，解得，
所以展開式中的系數為.
故答案為：280.
18.答案：
解析：由題意可知，，事件為，，，
所以，，
，
由條件概率公式得，故答案為.
19.答案：
解析：隨機變量的取值為i(），，，
則，解得，
所以，
故.
故答案為：.
20.答案：
解析：因為放回的抽取小球，所以基本事件總數為
設抽取的前兩個球的號碼為a，b，第三個球的號碼為c，
根據題意有，
則
整理得，
即
當時，，此時為，種情況；
當時，，此時為，，種情況；
當時，，此時為，，種情況；
當時，，
此時為，種情況；
綜上得，滿足條件的共有，
所以滿足條件的概率為.
故答案為：
21.答案：（1）
（2）模型①的年利潤增量的預測值為47.50萬元
模型②的年利潤增量的預測值為42.89
解析：（1）由題意知，，，可得，.
又，
所以，
所以模型②中Y關于X的回歸方程為.
（2）當時，模型①的年利潤增量的預測值為（萬元），
當時，模型②的年利潤增量的預測值為
（萬元）.
22.答案：（1）；中位數
（2）列聯表見解析；有的把握認為“超級消費者”與性別有關
解析：（1）由題意，得，解得.
易知中位數在之間.
設中位數為m，
則，
解得.
（2）補充完整的列聯表如下：
男 女 總計
超級消費者 8 20 28
非超級消費者 40 32 72
總計 48 52 100
由題意，得，
所以有的把握認為“超級消費者”與性別有關.
23.答案：（1）
（2）分布列見解析，數學期望為1
解析：（1）由題意知，第一、二組的頻率分別為，，剩余三組的頻率之和為.
又后三個小矩形的高度之比為，
所以后三組的頻率分別為，，.
因此日均閱讀時間的平均數為
.
（2）由題意得，在，，三組應分別抽取3人、2人、1人.
的可能取值為0，1，2，
，，.
所以的分布列為
0 1 2
P
故.
24.答案：（1）
（2）X的分布列見解析；
解析：（1）設從50種食品中隨機抽取1種，抽到有機食品為事件A，
則.
現有放回地隨機抽取4種，設抽到有機食品的種數為X，則，
所以恰好抽到2種有機食品的概率.
（2）用分層隨機抽樣的方法從50種食品中抽取10種，
則其中綠色食品3種，非綠色食品7種，
所以X的所有可能取值為0，1，2，3，
則，，
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以數學期望.
25.答案：（1）分布列答案見解析，數學期望：
（2）人數最有可能是79
解析：（1）100人中得分不低于80分的人數為，
隨機變量可能的取值為0，1，2.
又，，，
則的分布列為：
0 1 2
P
.
（2）.
，
，
每位參賽者分數不低于82.3的概率為0.15865，記500位參賽者中分數不低于82.3的人數為隨機變量，則，其中，
所以恰好有k個參賽者的分數不低于82.3的概率為，，1，2，…，500.
由，
得.
所以當時，，
當時，，
由此可知，在這500名參賽者中分數不低于82.3的人數最有可能是79.

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