資源簡介

專題七 空間向量與立體幾何
典例分析
考查方式
高考對于立體幾何的考查通常在選擇題、填空題中，主要考查幾何體的結構特征，幾何體表面積、體積的計算，空間點、線、面位置關系的判定，空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的找法及計算，與截面、球有關的問題（此類問題往往難度較大），在解答題中主要考查平行與垂直的判定，空間角、空間距離的計算，常采用論證與計算相結合的模式. 此外立體幾何也可能出現以生活、科技等為情境的試題，同時對立體幾何的考查還涉及和其他知識的交匯，復習的重點在于提高空間想象能力、計算能力和閱讀理解能力.
高考真題
1．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
2．[2024年 新課標Ⅱ卷]已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為( )
A. B.1 C.2 D.3
3．[2023年 新課標Ⅱ卷]（多選）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，
，點C在底面圓周上，且二面角為，則( )
A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側面積為
C. D.的面積為
4．[2023年 新課標Ⅱ卷]底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為____________.
5．[2023年 新課標Ⅰ卷]在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為___________.
6．[2024年 新課標Ⅰ卷]如圖，四棱錐中，底面，，，.
（1）若，證明：平面PBC；
（2）若，且二面角的正弦值為，求AD.
7．[2024年 新課標Ⅱ卷]如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得，
（1）證明：：
（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.
參考答案
1．答案：B
解析：設圓柱和圓錐的底面半徑均為r，因為它們的高均為，且側面積相等，所以，得，所以圓錐的體積，故選B.
2．答案：B
解析：設正三棱臺的高為h，三條側棱延長后交于一點P，作平面ABC于點O，PO交平面于點，連接，，如圖所示.由，可得，，又，，所以正三棱臺的體積，解得，故.由正三棱臺的性質可知，O為底面ABC的中心，則，因為平面ABC，所以是與平面ABC所成的角，在中，，故選B.
3．答案：AC
解析：對于A，依題意，圓錐母線長，，，所以底面圓的半徑，圓錐的體積為，故A正確；對于B，該圓錐的側面積為；故B錯誤；
對于C，如圖，取AC的中點M，連接PM，OM，則，又因為，所以，故為二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正確；
對于D，由選項C可知，，，，所以的面積為，故D錯誤.故選AC.
4．答案：28
解析：法一：由于，截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.
法二：由法一可知，棱臺的體積為.故答案為28.
5．答案：
解析：如圖，連接AC，BD交于點O，連接，交于點，連接，過點作于點H，則為正四棱臺的高.
在等腰梯形中，，，則，，所以.又，所以，所以，所以正四棱臺的體積為.
6．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：由于底面，底面，，
又，，平面，平面PAB，
又平面，.
，，，
平面，平面，平面PBC.
（2）由題意知DC，AD，AP兩兩垂直，以D為坐標原點，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點D且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，，
則，，，，，.
設平面CPD的法向量為，
則，即，可取.
設平面ACP的法向量為，
則，即，可取.
二面角的正弦值為，
余弦值的絕對值為，
故，
又，，即.
7．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：由題，，，又，
所以由余弦定理得，故.
又，所以.
由及翻折的性質知，，
又，平面PED，所以平面PED.
又平面PED，所以.
（2）如圖，連接CE，由題，，，，故.
又，，所以，故.
又，，平面ABCD，所以平面ABCD.
EF，ED，PE兩兩垂直，故以E為原點，EF，ED，PE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
連接PA，則，，，.
設平面PCD的法向量為，
則，可取.
設平面PBF即平面PAF的法向量為，
則，可取.
所以.
故平面PCD與平面PBF所成二面角的正弦值為.
重難突破
1.已知球的半徑為1，其內接圓錐的高為，則該圓錐的側面積為( )
A. B. C. D.
2.如圖，在長方體中，，，點E為上的動點，則的最小值為( )
A.5 B. C. D.
3.已知，是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列條件中，一定得到直線的是( )
A.， B.，
C.， D.，，，
4.中國冶煉塊鐵的起始年代雖然遲至公元前6世紀，約比西方晚900年，但是冶煉鑄鐵的技術卻比歐洲早2000年.現將一個軸截面為正方形且側面積為的實心圓柱鐵錠冶煉熔化后，澆鑄成一個底面積為的圓錐，則該圓錐的母線與底面所成角的正切值為( )
A. B. C. D.
5.在正方體中，E，F分別是，的中點，則( )
A. B.平面BCE
C. D.平面
6.我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則( )
A. B.3 C.2 D.5
7.如圖，正方體的棱長為1，點P為正方形內的動點，滿足直線與下底面所成角為的點P的軌跡長度為( )
A. B. C. D.
8.如圖，在多面體中，底面是邊長為1的正方形，M為底面內的一個動點（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為( )
A. B. C. D.
9.圖1是蜂房正對著蜜蜂巢穴開口的截面圖，它是由許多個正六邊形互相緊挨在一起構成.可以看出蜂房的底部是由三個大小相同的菱形組成，且這三個菱形不在一個平面上.研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面體的表面菱形，圖2是一個菱形十二面體，它是由十二個相同的菱形圍成的幾何體，也可以看作正方體的各個正方形面上扣上一個正四棱錐（如圖3），且平面與平面的夾角為45°，則( )
A. B. C. D.
10.如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段上的動點，則下列結論錯誤的是( )
A.直線與所成的角不可能是
B.若，則二面角的平面角的正弦值為
C.當時，
D.當時，點到平面的距離為
11.正三棱柱中，，，O為BC的中點，M是棱上一動點，過O作于點N，則線段MN長度的最小值為( )
A. B. C. D.
12.“長太息以掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統節日.小瑋同學在當天包了一個具有藝術感的肉粽作紀念，將粽子整體視為一個三棱錐，肉餡可近似看作它的內切球（與其四個面均相切的球，圖中作為球O）.如圖：已知粽子三棱錐中，，H、I、J分別為所在棱中點，D、E分別為所在棱靠近P端的三等分點，小瑋同學切開后發現，沿平面CDE 或平面HIJ切開后，截面中均恰好看不見肉餡.則肉餡與整個粽子體積的比為( )
A. B. C. D.
13.（多選）下列命題是真命題的有( )
A.直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直
B.直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C.平面，的法向量分別為，，則
D.平面經過三點，，，向量是平面的法向量，則
14.（多選）在棱長為2的正方體中，點M在線段上，，過A，，M三點的平面截正方體所得的截面記為，記BD與截面的交點為N，則( )
A.截面的形狀為等腰梯形 B.
C.平面 D.三棱錐的體積為
15.（多選）如圖，一張矩形白紙，，，E，F分別為AD，BC的中點，BE交AC于點G，DF交AC于點H.現分別將，沿BE，DF折起，且點A，C在平面BFDE同側，則下列命題為真命題的是( )
A.當平面平面CDF時，平面BFDE
B.當平面平面CDF時，
C.當A，C重合于點P時，
D.當A，C重合于點P時，三棱錐的外接球的表面積為
16.某同學在參加魔方實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方體的六個面所截后剩余的部分，（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為，則該球的表面積是________.
17.如圖，在四面體中，，，M、N分別為、中點，并且異面直線與所成的角為，則的長為________.
18.在棱長為2的正方體中，點P滿足，點Q滿足，其中，當________時，.
19.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如，正四面體的每個頂點有3個面角，每個面角為，所以正四面體在各頂點的曲率為.在底面為矩形的四棱錐中，底面，，與底面所成的角為，在四棱錐中，頂點B的曲率為________________.
20.如圖，在長方體中，，，點E在棱上.若二面角的大小為，則_________.
21.如圖，三棱柱各棱長均相等，M為棱上一點，Q為棱的中點，平面.
（1）求的值；
（2）若平面將三棱柱分為兩部分，較小部分的體積為，較大部分的體積為，求的值.
22.如圖，在四棱錐中，，，，，，點Q為棱上一點.
(1)證明：；
(2)當二面角的余弦值為時，求.
23.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內過B作，交于O，連.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在線段上存在一點M，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.
24.如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
25.如圖1，在中，，A，D分別為邊，的中點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.
（1）求證：平面；
（2）若E為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）線段上一動點G滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因為球的半徑，其內接圓錐的高為，
所以圓錐的底面圓半徑為，母線長為，
所以側面積為.
故選：C.
2.答案：D
解析：將繞翻折到與共面，平面圖形如下所示：
連接，則的長度即為的最小值，
因為，，所以，
所以，所以，即的最小值為.
故選：D
3.答案：C
解析：對于A，，，則l與相交、平行或，故A錯誤；
對于B，，，則l與相交、平行或，故B錯誤；
對于C，，，由線面垂直的性質知，故C正確；
對于D，，，，，則l與相交、平行或，故D錯誤.
故選：C.
4.答案：D
解析：設圓柱的底面半徑為，母線長為，圓錐的底面半徑為，高為，
則圓柱的側面積為，解得，故，
又，則，而，得，
故所求正切值為.
故選：D
5.答案：B
解析：對于A，
設G為中點，則，但EG，EF相交，所以EF，BD異面，故A錯誤；
對于B，設的中點為H，則，，
因為平面BEC，平面BEC，平面BEC，平面BEC，
所以平面BEC，平面BEC，
又因為，GH，平面，
故平面平面，
又平面，故平面BCE，選項B正確.
對于C，在中，，，故EF與不可能垂直（否則EF垂直平分，會得到，這與矛盾），C選項錯誤.
對于D，
易知平面，又，故D選項錯誤.
故選：B.
6.答案：B
解析：以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標系，如圖：
由題意有：，，，由，可得，
所以，，所以.
故選：B.
7.答案：B
解析：直線與下底面所成角等于直線與上底面所成角，
連接，因為平面，平面，
所以，故為直線與上底面所成角，
則，
因為，所以，
故點P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內的圓的，
故軌跡長度為.
故選：B
8.答案：A
解析：因為底面平面，
所以，
因為四邊形為正方形，所以，
所以兩兩垂直，
所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
設，
則，
所以
，
因為，
所以當時，取得最小值；
當或1，或1時，取得最大值4.
故選：A
9.答案：A
解析：
連接、相交于點O，連接，因為四棱錐為正棱錐，
所以平面，取的中點E，連接、，
因為，，所以，，
所以即為平面與平面的夾角，即，
設，則，
所以，，
在中，由余弦定理，
故選：A.
10.答案：B
解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
對于A，設，
故，
故，而，
設直線與所成的角為，
則，
若直線與所成的角是，
則，
整理得到：，此方程在上無實數解，
故直線與所成的角不可能是，故A正確.
對于B，當時，結合A分析得，此時，
故，而，
設此時平面的法向量為，
則即，
取，則，，故，
又，，
設平面的法向量為，
則即，
取，則，，故，
故，
故二面角的平面角的正弦值為，故B錯誤.
對于C，當時，又B的分析可得，
故，
故，故C正確.
對于D，當時，結合A中分析可得，故，
故，
而，
設平面的法向量為，
則即，
取，則，，故，
又，故到平面的距離為，故D正確.
故選：B
11.答案：B
解析：因為正三棱柱中，O為BC的中點，取中點Q，連接，
如圖，以O為原點，，，為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，
因為M是棱上一動點，設，且，所以，則，
因為，所以在直角三角形中可得：，所以，
即，于是令，，
所以，，又函數在上為增函數，
所以當時，，即線段MN長度的最小值為.
故選：B.
12.答案：B
解析：如圖所示，取 AB 中點為F，
，為方便計算，
不妨設，由，
可知，
又D、E分別為所在棱靠近P端的三等分點，
則，且，
，，，平面，即平面
又平面ABC，則平面平面ABC ，設肉餡球半徑為r ，，
由于H 、I 、J分別為所在棱中點，且沿平面HIJ 切開后，截面中均恰好不見肉餡，則P到CF的距離，，，
又，
解得，故，
又，解得，
，所以：，
解得，，
由以上計算可知為正三棱錐，
故，
所以比值為.
13.答案：AD
解析：，，，則，直線l與m垂直，故A符合題意；，，則，則，或，故B不符合題意；，，與不共線，不成立，故C不符合題意；點，，，，.向量是平面的法向量，即可得，故D符合題意.故選AD.
14.答案：BCD
解析：如圖，連接，并延長交BC于點E，易得，，是BC的中點.取的中點F，連接，，，易得.又，四邊形為菱形，且菱形為，故A錯誤.同理可得，，，故B正確.連接，由前兩個相似三角形可知，.連接，在正方體中，易得，，且，平面，.同理可得.又，平面，平面，故C正確.易得N，M為，上靠近E，C的三等分點，.又，，，故D正確.選BCD.
15.答案：AD
解析：在中，，在中，，所以，，所以，.由題意，將，沿BE，DF折起，且點A，C在平面BFDE同側，此時A，C，G，H四點在同一平面內，平面平面，平面平面，當平面平面CDF時，，顯然，所以四邊形AGHC是平行四邊形，所以.又平面，平面BFDE，所以平面BFDE，所以A為真命題.
由A知，當平面平面CDF時，，但，所以AE與CD不平行，所以B為假命題.
當A，C重合于點P時，可得，，連接GD（圖略），，則，所以PG和PD不垂直，所以C為假命題.
當A，C重合于點P時，在三棱錐中，和均為直角三角形，所以DF為三棱錐的外接球的直徑，又，則三棱錐的外接球的表面積為，所以D為真命題.故選AD.
16.答案：
解析：設球心為O，作出過球心的截面圖如圖所示，則，
由截面圓的周長為，得，，
球的半徑是.
所以該球的表面積為.
故答案為：.
17.答案：5
解析：取中點P，連接，，
又因為，，M，N分別為，的中點，
所以且，且，
則為異面直線與所成的角（或補角），
又因為異面直線與所成的角為，
所以，
所以，所以，
故答案為：5
18.答案：1
解析：，又，
所以點P在射線上；
，又，
所以點Q在射線上；
因為當變化時，平面，故只需考慮過B且與平面垂直的線，
因為正方體有平面，而平面，所以
又，，平面，所以平面，
平面，所以，
所以當點Q在上時，即時，
故答案為：1.
19.答案：
解析：設，則，
平面，即為與底面所成角，即，
，，
，，；
平面，平面，，
又，，，平面，平面，
平面，，即，又，
頂點B的曲率為.
故答案為：.
20.答案：
解析：以D為原點，以，，為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，設，平面的法向量為
由題可知，，，，，
平面的一個法向量為軸，可取平面的法向量為
為平面的法向量，
令，則
二面角的大小為
，即
解得，（舍去）
故答案為
21.答案：（1）；
（2）
解析：（1）連接，與交于H，連接.
因為平面，平面平面，
根據線面平行的性質定理，所以.
又因為，在和中，由于平行線分線段成比例定理，可得.因為，所以.
（2）在上取一點S，使，連接，，
因為，所以四邊形即為過三點的截面.
設三棱柱的底面積為，高為h，體積為V，則.
因為，且，所以與相似，相似比為，
根據相似三角形面積比等于相似比的平方，可得的面積為.
對于三棱臺，根據體積公式.
因為，，，
所以.
則.
22.答案：(1)證明見解析；
(2).
解析：（1）因為，，，
所以，所以，
又，且，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）因為，，所以，則.
由（1）可知，，兩兩垂直，以D為原點，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
，，，，，
可知，，
設，則，
設平面的一個法向量，
則即
令，解得，，故，
設平面的一個法向量為，
由，得
令，解得，，故，
所以，
即，整理，得，
解得或（舍去）.
故.
23.答案：（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
解析：（1）因為，因為，，
所以四邊形為矩形，
在中，，，，
則，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以O為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，
，，可得，
則，，，，，
設平面的法向量為，，，
由，取.
設平面的法向量為，，
由，取，
.
二面角是鈍角，
二面角的正弦值為.
（3）設，則，
又平面的法向量為，
直線與平面所成的角的正弦值為，解得，
.
24.答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)如圖，取的中點F，連接，
，有，
又，
所以，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
因為平面平面，
所以平面.
(2)如圖，取的中點O，連接，
因為，
所以，
由，
知四邊形是正方形，有，
因為，所以平面，
因為平面，
所以平面平面，
在平面內作直線的垂線，
則平面，有，
分別以所在直線為x軸 y軸 z軸，
建立空間直角坐標系，
因為，所以平面，
因為平面，所以，
由，知，
由，
知，
從而有，
，
有，
設平面的法向量為，
由有取，
則，得平面的一個法向量為，
設直線與平面所成的角為，
則
25.答案：（1）證明見解析
（2）
（3）存在，
解析：（1）因為A，D分別為，的中點，所以.
因為，所以，所以.
又，，，平面，
所以平面.
（2）因為，，，所以，，兩兩垂直.
以A為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
依題意有，，，，，，
則，，，.
設平面的法向量，
則有
令，得，，所以是平面的一個法向量.
因為，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）假設存在，使二面角的正弦值為，
即使二面角的余弦值為.
由（2）得，，
所以，，.
易得平面的一個法向量為.
設平面的法向量，
，
解得，令，得，
則是平面的一個法向量.
由圖形可以看出二面角的夾角為銳角，且正弦值為，
故二面角的余弦值為，
則有，
即，解得，.
又因為，所以.
故存在，使二面角的正弦值為

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