資源簡介

專題五 數列
典例分析
考查方式
數列是每年高考的必考內容，考查重點是等差數列、等比數列的基本運算，數列的通項與數列求和. 新高考數學比起把數列內容作為獨立知識板塊考查，更呈現出將其融入函數主線的趨勢，重視函數內容與數列內容的融合應用和數列模型的實際應用，體現了高考命題的基礎性、創新性與綜合性. 由此，在復習過程中學生必須深刻理解基礎知識，掌握基本方法，靈活運用所學知識解題，更要注重函數思想、等價轉化思想、分類討論思想等數學思想在解題時的應用.
高考真題
1．[2023年 新課標Ⅱ卷]記為等比數列的前n項和，若，，則( )
A.120 B.85 C.-85 D.-120
2．[2023年 新課標Ⅰ卷]記為數列的前n項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則( )
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．[2024年 新課標Ⅱ卷]記為等差數列的前n項和.若，，則__________.
4．[2023年 新課標Ⅱ卷]已知為等差數列，.記，分別為數列，的前n項和，若，.
（1）求的通項公式；
（2）證明：當時，.
5．[2023年 新課標Ⅰ卷]設等差數列的公差為d，且，令，記，分別為數列，的前n項和.
（1）若，，求的通項公式；
（2）若為等差數列，且，求d.
6.[2024年 新課標Ⅰ卷]設m為正整數，數列，，…，是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項和后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列，，…，是可分數列.
（1）寫出所有的，，使得數列，，…，是可分數列；
（2）當時，證明：數列，，…，是可分數列；
（3）從1，2，…，中一次任取兩個數i和，記數列，，…，是可分數列的概率為，證明：.
參考答案
1．答案：C
解析：解法一：設等比數列的公比為，由題意易知，則，化簡整理得.所以.故選C.
解法二：易知，，，，……為等比數列，所以，解得或.當時，由，解得；當時，結合得，化簡可得，不成立，舍去.所以，故選C.
2．答案：C
解析：若為等差數列，設其公差為d，則，所以，所以，所以，為常數，所以為等差數列，即甲乙；若為等差數列，設其公差為t，則，
所以，所以當時，，當時，也滿足上式，所以，所以，為常數，所以為等差數列，即甲乙，所以甲是乙的充要條件，故選C.
3．答案：95
解析：法一：設的公差為d，由，，解得，，則.
法二：設的公差為d，由，，得，，故，，則.
4．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）設等差數列的公差為d.
因為，
所以，，.
因為，，
所以，
整理得，解得，
所以的通項公式為.
（2）由（1）知，
所以.
當n為奇數時，
.
當時，，
所以.
當n為偶數時，
.
當時，，
所以.
綜上可知，當時，.
5．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為，所以，
所以，所以，所以.
因為，所以，
所以，
.
因為，所以，解得或，
因為，所以.所以的通項公式為.
（2）因為，且為等差數列，所以，即，
所以，所以，
解得或.
①當時，，所以，
，
.
因為，所以，即，
解得或（舍去）.
②當時，，所以，
，
.
因為，所以，即，
解得（舍去）或（舍去）.
綜上，.
6.答案：（1），，
（2）證明見解析
（3）證明見解析
解析：（2）證明：當時，刪去，，其余項可分為以下3組：，，，為第1組，，，，為第2組，，，，為第3組，
當時，刪去，，其余項可分為以下m組：，，，為第1組，，，，為第2組，，，，為第3組，，，，為第4組，，，，為第5組，……，，，，為第m組，可知每組的4個數都能構成等差數列，故數列，，…，是可分數列.
（3）證明：易知，，…，是可分數列是可分數列，其中.
當時，刪去，，
其余項從小到大，每4項分為1組，可知每組的4個數都能構成等差數列，
故數列1，2，…，是可分數列，可分為，…，，…，，…，.p，q的可能取值方法數為.
易知，，…，是可分數列是可分數列，其中.
當時，刪去，，
將與從小到大，每4項分為1組，可知每組的4個數成等差數列.
考慮，，，…，，是否可分，等同于考慮1，3，4，…，，是否可分，其中，可分為，，，…，，，每組4個數都能構成等差數列.
故數列1，2，…，是可分數列，p，q且的可能取值方法數為.
從而.
重難突破
1.已知在等比數列中，，等差數列的前n項和為，且，則( )
A.60 B.54 C.42 D.36
2.在各項均為正數的等比數列中，，則( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知數列滿足，，則( )
A.-1 B. C.2 D.3
4.在等比數列中，，，則( )
A.64 B.128 C. D.
5.某單位組織全體黨員在報告廳集體收看黨的二十大開幕式.已知該報告廳共有15排座位，共有390個座位數，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數，則最后一排的座位數為( )
A.12 B.26 C.40 D.50
6.已知數列為有窮整數數列，具有性質p：若對任意的，中存在，，，…，（，，），使得，則稱為4-連續可表數列.下面數列為4-連續可表數列的是( )
A.1，1，1 B.1，1，2 C.1，3，1 D.2，3，6
7.已知數列是正項數列，且，則( )
A.216 B.260 C.290 D.316
8.已知等差數列的前n項和為，若，，則( )
A.51 B.34 C.17 D.1
9.記為正項等比數列的前n項和，若，，則( )
A.6 B.9 C.12 D.15
10.假設在某種細菌培養過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經過14小時的培養，則可分裂成的細菌的個數為( )
A. B. C. D.
11.若函數的定義域為，且，則( )
A. B. C. D.
12.已知在無窮數列中，，，…，是首項為10，公差為-2的等差數列，，，…，是首項為，公比為的等比數列（，），對任意，均有成立.若，則m的所有可能取值的個數為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
13.（多選）已知是等比數列的前n項和，，，成等差數列，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
14.（多選）已知數列滿足，，則下列結論正確的有( )
A.為等比數列 B.的通項公式為
C.為遞增數列 D.的前n項和
15.（多選）對于數列，定義：，，，則下列說法正確的是( )
A.若，則
B.若，則
C.若，數列的前n項和為，則
D.若，，則
16.已知數列的前n項和，，則_________.
17.已知是等差數列的前n項和，且，，則_________.
18.對于數列，定義數列為數列的“和數列”，若，數列的“和數列”的通項公式為，則數列的前21項和______.（結果保留指數形式）
19.設為數列的前n項積，若，其中常數，數列為等差數列，則_____.
20.定義首項為1且公比為正數的等比數列為“數列”.已知數列（）的前項和為，且滿足，.設為正整數.若存在“數列”（），對任意正整數，當時，都有成立，則的最大值為________.
21.設數列的前n項和為，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
22.已知是首項為1的等比數列，且，，成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，，求數列的前n項和.
23.已知數列的前n項和為S，且有，數列滿足，且，前11項和為220.
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，求證：.
24.已知數列滿足：，，數列的前n項和為，且.
（1）求數列，的通項公式；
（2）記，數列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數t的取值范圍.
25.給定數列，若對任意m，且，是中的項，則稱為“H數列”；若對任意m，且，是中的項，則稱為“J數列”.
(1)設數列的前n項和為，若，試判斷數列是否為“J數列”，并說明理由；
(2)設數列既是等比數列又是“J數列”，且，，求公比q的所有可能值；
(3)設等差數列的前n項和為，對任意，是數列中的項，求證：數列是“H數列”.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由等比數列的性質可知，因為，所以，，
所以.
故選：C.
2.答案：C
解析：因為數列為等比數列，且，
所以，
所以.
故選：C
3.答案：B
解析：因為數列滿足，，所以，
所以，，，，
所以是周期為3的周期數列，又，所以.
故選：B.
4.答案：B
解析：由題意得，得，則.
由，得.
所以.
故選：B.
5.答案：C
解析：根據題意，把各排座位數看作等差數列，
設等差數列通項為，首項為，公差為d，前n項和為，則，
，
所以，即得，
故選：
6.答案：B
解析：選項A中，，和不可能為4，A不是4-連續可表數列；
選項B中，，，，，B是4-連續可表數列；
選項C中，沒有連續項的和為2，C不是4-連續可表數列；
選項D中，沒有連續項的和為1，D不是4-連續可表數列．
故選：B．
7.答案：A
解析：令，得， .
當時，.
與已知式相減，得.
，又時，滿足上式，
.
， .
故選：A
8.答案：C
解析：設等差數列的首項為，公差為d，
所以由，可得：，
解得：，
所以.
故選：C.
9.答案：B
解析：設正項等比數列的公比為q，
由題意知，，
所以，，成等比數列，
所以，即，
解得（舍負）.
故選：B.
10.答案：C
解析：設經過n小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，.
又，，所以，，則，，
所以，所以.
11.答案：C
解析：由，
可得，
當時，數列是公差為2的等差數列，首項為，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
12.答案：A
解析：因為，，…，是首項為10，公差為的等差數列，所以，.，，…，是首項為，公比為的等比數列，所以，.因為，且只可能是等比數列中的項，所以，所以，所以，且.因為對任意，均有成立，所以數列是以2m為周期的數列，所以，即.當時，，即m的所有可能取值有4個.故選A.
13.答案：AB
解析：若公比有，，，
此時，故公比，
由題意，
化簡有，兩邊同時乘以，可得：；
兩邊同時乘以，可得：
故有或，
選選：AB.
14.答案：ABD
解析：因為，，所以，所以，又，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確；，即，故B正確；，因為，所以，，，所以，所以為遞減數列，故C錯誤；，則，故D正確.
15.答案：ABD
解析：A.，；
B.，，；
C.，，又時，，
D.，，，…，，
，，，
，
，，.又時也成立，
，.又，
，
綜上，故選：ABD.
16.答案：9
解析：因為數列的前n項和，
所以，
所以.
故答案為：9
17.答案：145
解析：由，及，，
可得：，，
所以，即，
所以，
所以，
故答案為：145
18.答案：.
解析：因為，數列的“和數列”的通項公式為，
所以數列，
，
故答案為：.
19.答案：1或2
解析：當時，，，
所以.
由數列為等差數列，則為常數d，
①若，則恒成立，即恒成立，；
②若，則，解得
綜上所述，或.
20.答案：5
解析：由，，
得，，則，則，
當時，由，得，整理得，
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，
所以，則，
因為數列為“數列”，設公比為q，所以，，
因為，所以，其中，
當時，有；
當時，有，
設，則，
當，，單調遞增；
當，，單調遞減，
因為，所以，
取，當時，，即，經檢驗知也成立，
因此所求m的最大值不小于5，
若，分別取，得，且，
從而且，所以q不存在，所以，
綜上，所求m的最大值為5.
故答案為：5
21.答案：(1)，
(2)，
解析：(1)由，得，
兩式相減得，即.
因為，所以，得，滿足.
所以是首項為8，公比為4的等比數列，，.
(2)因為，
所以.
所以.
故數列的前n項和為，.
22.答案：（1）；
（2）
解析：（1）設等比數列的公比為q，，
因為，，成等差數列，
所以，即，
化簡可得，解得.
又，所以數列的通項公式為.
（2）因為，
所以，
則，①，
，②
①-②得，
所以.
23.答案：(1)，
(2)證明見解析
解析：(1)，故當時，；
當時，，滿足上式，
所以，.
又，，
數列為等差數列，令其前n項和為，
則，
，
公差，
，.
(2)由(1)知：，
故，；
.
24.答案：（1），；
（2）或
解析：（1）對：由，且，
所以數列是以2為首項，以2為公比的等比數列.
所以.
對：前n項和為.
當時，；
當時，，
時，上式亦成立.
所以.
（2）因為.
所以
.
由已知或.
25.答案：(1)是，理由見解析
(2)q的所有可能值為2，，.
(3)證明見解析
解析：(1)因為，
當時，，
當時，也成立，
所以，
所以對任意m，且，，
是“J數列”
(2)因為，，數列是等比數列
所以，且，
由已知得也為數列中的項，
令，得，
即，
即得，
所以，
因為且
故q的所有可能值為2，，8.
(3)設數列的公差為d，
所以存在，對任意，，
即，
當時，則，故，此時數列為“H數列”；
當時，，
取，則，
所以，，
當時，均為正整數，符合題意，
當時，均為正整數，符合題意，
所以，，
設，，，
即，
所以任意m，且，，
顯然，
所以為數列中的項，
所以是“H數列”.

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