資源簡介

專題二 函數與導數
典例分析
考查方式
函數在高考中有舉足輕重的地位，是高中階段的重點內容，更是每年高考的熱點，試題考查形式新穎，難度以中到難題為主，主要考查函數的概念及其表示，基本初等函數比大小，函數圖象的識別與應用，函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性的綜合應用（高頻考法）. 復習過程中，要深化理解函數的概念、圖象、性質等內容，能夠利用函數性質靈活解題，應用數形結合法提高解題效率.
導數一直是高考中的熱點，簡單題主要考查利用導數求值、導數的幾何意義，中、難題主要考查利用導數研究函數的性質（單調性、最值、極值）、利用導數解決函數的零點問題、構造函數并利用導數比較大小、利用導數解決恒成立及存在性問題等，試題有一定的綜合性，在解答題中往往作為壓軸題出現，與數學思想方法緊密結合，能夠較好地體現考生的區分度. 復習過程中，要加強數形結合思想和分類討論思想在解決導數問題時的應用.
高考真題
1．[2024年 新課標Ⅱ卷]設函數，若，則的最小值為( )
A. B. C. D.1
2．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知函數的定義域為R，，且當時，，則下列結論中一定正確的是( )
A. B. C. D.
4．[2024年 新課標Ⅱ卷]設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則( )
A.-1 B. C.1 D.2
5．[2024年 新課標Ⅰ卷]（多選）設函數，則( )
A.是的極小值點 B.當時，
C.當時， D.當時，
6．[2024年 新課標Ⅱ卷]（多選）設函數，則( )
A.當時，有三個零點
B.當時，是的極大值點
C.存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D.存在a，使得點為曲線的對稱中心
7．[2024年 新課標Ⅰ卷]若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則___________.
8．[2024年 新課標Ⅱ卷]已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.
9．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知函數.
（1）若，且，求a的最小值；
（2）證明：曲線是中心對稱圖形；
（3）若當且僅當，求b的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：由及，單調遞增，可得與同正、同負或同為零，所以當時，，即，所以，則
，故選C.
2．答案：B
解析：因為函數在R上單調遞增，且當時，，所以在上單調遞增，所以，即；當時，，所以函數在上單調遞增.若函數在R上單調遞增，則，即.綜上，實數a的取值范圍是.故選B.
3．答案：B
解析：因為當時，，所以，.對于，令，得；令，得；依次類推，得；；；；；；；；；；；….顯然，所以，故選B.
4．答案：D
解析：解法一：令，即，可得，令，，原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，注意到，均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得，因為，則，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以符合題意；綜上所述：.
解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數，根據偶函數的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，，又因為，當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.
5．答案：ACD
解析：因為，所以，令，解得或，當或時，，當時，，所以函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，故是函數的極大值點，是函數的極小值點，所以A正確.
當時，，即，又函數在上單調遞增，所以，所以B錯誤.
當時，，函數在上單調遞減，所以，所以C正確.
當時，，所以，所以D正確.綜上，選ACD.
6．答案：AD
解析：由題可知，.
對于A，當時，由得，由得或，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，，，當時，，故有三個零點，A正確；對于B，當時，由得，由得或，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故是的極小值點，B錯誤；
對于C，當時，，當時，，故曲線必不存在對稱軸，C錯誤；
對于D，解法一：，令，則可轉化為，由為奇函數，且其圖象關于原點對稱，可知的圖象關于點對稱，則的圖象關于點對稱，故存在，使得點為曲線的對稱中心，D正確.故選AD.
解法二：任意三次函數的圖象均關于點成中心對稱，D正確.故選AD.
7．答案：
解析：由題，令，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為.令，則，設直線與曲線相切于點，則，得，則，所以，所以.
8．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時，，則，
則.
，所以切點坐標為，
所以切線方程為，即.
（2）易知函數的定義域為R，.
當時，，函數在R上單調遞增，無極值；
當時，由，得，由，得，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以的極小值為.
由題意知，等價于.
法一：令，
則，
所以函數在上單調遞減，
又，故當時，；當時，.
故實數a的取值范圍為.
法二：由，得.
如圖為函數與在區間上的大致圖象，
由圖易知當時，，即.
所以實數a的取值范圍為.
9．答案：（1）-2
（2）證明見解析
（3）
解析：（1）的定義域為，
若，則，，
當時，，，則，
故a的最小值為-2.
（2）
，
故曲線關于點中心對稱.
（3）由題知，
此時，
.
記，，易知在上單調遞減，在上單調遞增，，
當時，，，在上單調遞增，
又，故符合題意.
當時，，，
令，得，
因為，所以，故，，
所以當時，，，在上單調遞減，故，不符合題意.
綜上，b的取值范圍為.
重難突破
1.函數的定義域為( )
A. B.
C. D.
2.已知定義域為的增函數滿足，且，則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
3.已知，，，則a，b，c的大小關系為( )
A. B. C. D.
4.若是定義在R上的奇函數，當時，，則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
5.某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：與時間（單位：h）之間的關系式為，其中為初始污染物含量，，均為正的常數，已知過濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過濾掉了的污染物.如果廢氣中污染物的含量不超過時達到排放標準，那么該工廠產生的廢氣要達到排放標準，至少需要過濾的時間為( )
A.4h B.6h C.8h D.12h
6.函數的大致圖象是( )
A. B.
C. D.
7.已知函數在R上單調遞減，且關于x的方程恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
8.已知函數，若曲線在點處的切線方程為，則函數在內的單調遞減區間是( )
A. B. C. D.
9.若對任意的，且，都有，則實數m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10.記表示a，b二者中較大的一個，函數，，若，，使得成立，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
11.已知可導函數的定義域為R， 為奇函數，設是的導函數，若為奇函數，且，則( )
A.-1012 B.-506 C.506 D.1012
12.已知，，，當時，恒成立，則的最小值為( )
A. B. C. D.
13.（多選）已知是定義在上的奇函數，當時，恒成立，則( )
A.在上單調遞增 B.在上單調遞減
C. D.
14.（多選）星形線（如圖）又稱為四尖瓣線，是數學中的瑰寶，在生產和生活中有很大應用，是它的一種表達式，下列有關說法正確的是( )
A.星形線關于直線對稱
B.星形線圍成的區域面積小于2
C.星形線上的點到x軸，y軸距離乘積的最大值為
D.星形線上的點到原點距離的最小值為
15.（多選）已知函數與的導函數分別為與，且，，，的定義域均為R，，，為奇函數，則( )
A. B.為偶函數
C. D.
16.已知函數在R上單調遞減，則實數a的取值范圍為________.
17.定義域為R的函數滿足，且當時，恒成立，設，，，則a，b，c的大小關系為__________.（從大到小排列）
18.若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數a的取值范圍是__________.
19.設若不等式對任意恒成立，則k的取值范圍是_________.
20.若對任意，都有（其中e為自然對數的底數）恒成立，則實數a的最小值為__________.
21.已知函數且.
（1）若，求的值；
（2）若在上的最大值為，求a的值.
22.為了做好流感預防工作，某學校要求全校各班級每天利用室外課間操時間對各班教室進行藥熏消毒.現有一種備選藥物，根據測定，教室內每立方米空氣中的藥含量y（單位：mg）隨時間x（單位：h）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過程中y與x成正比，藥物釋放完畢后，y與x的函數關系為（a，b為常數），其圖象經過點，，根據圖中提供的信息，解決下面的問題.
（1）求從藥物釋放開始，y與x的函數關系式.
（2）據測定，當空氣中每立方米的藥物含量降低到以下時，才能保證對人身無害，若該校室外課間操時間為，據此判斷，學校能否選用這種藥物用于教室消毒？請說明理由.
23.對于函數，若其定義域內存在實數x滿足，則稱為“偽奇函數”.
（1）若函數，試問是否為“偽奇函數”？說明理由.
（2）若冪函數使得為定義在上的“偽奇函數”，試求實數m的取值范圍.
（3）是否存在實數m，使得是定義在R上的“偽奇函數”？若存在，試求實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
24.已知函數與函數有相同的最小值.
（1）求實數a的值；
（2）求不等式的解集.
25.已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程.
（2）是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱？若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由.
（3）若在上存在極值，求a的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由題意，，可得，即或.即.故選：C.
2.答案：A
解析：由題知，，，
則，因為在上單調遞增，所以解得或.故選：A.
3.答案：D
解析：因為在R上單調遞減，則，即；
又因為在上單調遞減，則，即；
可得，且在上單調遞增，
則，即；綜上所述：.故選：D.
4.答案：A
解析：當時，為增函數，
又是定義在R上的奇函數，當時，，故在R上為增函數.
故則，
故，即，解得.故選；A
5.答案：C
解析：依題意得，當時，，
當時，，則，
可得，即，所以，
當時，解得，
故至少需要過濾8h才能達到排放標準.
6.答案：B
解析：函數的定義域為，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
且，，
因為，
所以，所以只有B符合.
故選：B.
7.答案：C
解析：由在上單調遞減，得，
又由且在R上單調遞減，
得，
解得，所以，
作出函數且在R上的大致圖象，
由圖象可知，在上，有且僅有一個解，
故在上，同樣有且僅有一個解，
當，即時，
聯立，即，
則，解得：，
當時，即，由圖象可知，符合條件.
綜上：.
故選：C
8.答案：A
解析：由函數，可得，
所以
且
曲線在點處的切線方程
因為曲線在點處的切線方程為
所以，可得，，
令，可得，
即，解得，
所以函數在內的單調遞減區間是.
故選：A
9.答案：D
解析：由題可知，，因為，且，所以，兩邊同時除以得，，即，設函數，其中.因為當時，，所以在上單調遞減.，令，得，當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，所以.
10.答案：A
解析：在R上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，，即在區間上的值域為.
，
令，得，
解得或，
畫出，的圖象如圖所示，
若，，使得成立，
則需要在上的值域包含在上的值域，
則，解得，即a的取值范圍是.
故選：A.
11.答案：D
解析： 為奇函數，，兩邊求導得，
，可知關于直線對稱，
又為奇函數，則，可知關于點對稱，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知8為的周期，
可知，，，
所以
.故選：D
12.答案：D
解析：當時，不等式恒成立，
設，，則，
令得，令得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
因為，時，時，
故在上有兩個零點，記為，，
顯然或時，時，
要使恒成立，則，也是的兩個零點，
故，，
又，所以，所以，所以，
令，則，令得，令得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為.
故選：D.
13.答案：BC
解析：由，，得，即，所以在上單調遞減.又，是定義在上的奇函數，所以是定義在上的奇函數，所以在上單調遞減，故A錯誤；因為，所以，所以，所以在上單調遞減，故B正確；因為時，恒成立，所以令，代入上式得，即，故C正確.又是定義在上的奇函數，所以，所以，故D錯誤.
14.答案：ABD
解析：對于A，把方程中的x與y互換，方程不變，所以星形線關于直線對稱，故A正確；對于B，曲線圍成的區域面積為2，星形線圍成的區域除點，，，外，均在曲線圍成的區域內部，所以星形線圍成的區域面積小于2，故B正確；對于C，由，當且僅當時等號成立，得，即星形線上的點到x軸，y軸距離乘積的最大值為，故C錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，所以星形線上的點到原點距離的最小值為，故D正確.故選ABD.
15.答案：ACD
解析：對于A，因為為奇函數，所以，
令，得，故A正確；
對于B，由，得，又，
，即，
，
又的定義域為R，故為奇函數，故B錯誤；
對于C，由，，可得為常數），
，又，
，
，，
，所以是周期為8的函數，同理也是周期為8的函數，故C正確；
對于D，，令，得，則，
再令，得，又是周期為8的函數，所以，
，，又，
，故D正確.
故選：ACD.
16.答案：
解析：因為是R上的減函數，所以，解得，
所以a的取值范圍是，
故答案為：.
17.答案：
解析：因為函數滿足，所以函數的圖象關于直線成軸對稱，
因為當時，，由，則，即，
所以在上單調遞增，則在上單調遞減，
由，
由，根據函數在上單調遞增，則；
由，根據函數在R上單調遞增，則.
由函數在上單調遞減，則，即.
18.答案：
解析：由，得.令，，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減.故在上有最大值，為，且，.令，，則在上單調遞減，故的值域為.由題意得對任意的，總存在唯一的，使得成立，故，因此解得.所以實數a的取值范圍是.
19.答案：
解析：對任意時恒成立，
即對任意時恒成立，
對任意時恒成立，只需，
令，由得，設
當即時，取得最小值，，
的取值范圍為.
20.答案：
解析：因為對任意，恒成立，所以有恒成立.令，即證，則有，所以在上單調遞增，即有在上恒成立，即在上恒成立.令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即.
21.答案：（1）
（2）或3
解析：（1）因為的定義域為R，
，
所以為奇函數，故.
（2）.
若，則在R上為減函數，在R上為增函數，可得在R上為減函數，
當時，，解得，符合題意.
若，則在R上為增函數，在R上為減函數，可得在R上為增函數，
當時，，
解得，符合題意.
綜上，a的值為或3.
22.答案：（1）
（2）學校可以選用這種藥物用于教室消毒
解析：（1）依題意，當時，設.
因為函數的圖象經過點A，所以，解得.
又當時，，所以.
又圖象過點B，則，
因此，
所以
（2）由（1）知，當空氣中每立方米的藥物含量降低到以下時，
有，即，所以，解得.
因此至少需要后才能保證對人身無害，而室外課間操時間為，所以學校可以選用這種藥物用于教室消毒.
23.答案：（1）不是“偽奇函數”，理由見解析
（2）
（3）實數m的取值范圍為
解析：（1）因為，所以，
則，
因為恒成立，故不存在x使得，即不存在x使得，
所以不是“偽奇函數”.
（2）因為是冪函數，則，所以，故，
所以，則，
所以在上有解，
則在上有解.
因為，所以.
又在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，函數取得最小值2，
又當和時，，所以，
故當時，，
所以實數m的取值范圍為.
（3）由定義可得，有解，
則關于x的方程有解，
所以關于x的方程有解，
令，則，則關于t的方程在上有解.
令，其圖象的對稱軸為直線.
①當時，有，得；
②當時，有即
解得.
綜上，實數m的取值范圍為.
24.答案：（1）
（2）
解析：（1），定義域為，.
若，則恒成立，在上單調遞減，
所以沒有最小值，不滿足題意，所以.
由可得.
當時，有，所以在上單調遞減；
當時，有，所以在上單調遞增.
所以在處取得唯一極小值，也是最小值，.
，定義域為R，.
由，可得.
當時，有，所以在上單調遞減；當時，有，所以在上單調遞增.
所以在處取得唯一極小值，也是最小值，.
由已知可得，，
即.
設，，
則.
設，則，
由，可得.
當時，有，所以，即在上單調遞減；當時，有，所以，即在上單調遞增.
所以在處取得唯一極小值，也是最小值，
，
所以恒成立，在上單調遞增.
又，
所以在上有唯一解，
即解方程，可得.
（2）由（1）知，，則不等式可化為.
令，則.
①當時，有，
所以，所以恒成立，不滿足題意；
②當時，由（1）可知，的最小值為0，
所以，即，
所以，
所以在上單調遞增.
又，所以的解集為.
綜上所述，的解集為，
所以不等式的解集為.
25.答案：（1）
（2）存在，，
（3）
解析：（1）當時，，
則，
所以，
又，所以所求切線方程為，即.
（2）假設存在a，b，使得曲線關于直線對稱.
令.
因為曲線關于直線對稱，所以，
即，
于是得
當，時，，
，
所以曲線關于直線對稱，滿足題意.
故存在a，b，使得曲線關于直線對稱，且，.
（3）
.
設，則，
①當時，，當時，，所以在上單調遞減，
所以當時，，即，
所以在上單調遞減，無極值，不滿足題意.
②當時，，當時，，所以在上單調遞增，
所以當時，，即，
所以在上單調遞增，無極值，不滿足題意.
③當時，令，得，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
又當時，，所以存在，使得，
即當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
此時有極小值點.
綜上所述，a的取值范圍為.

展開更多......

收起↑