資源簡介

專題三 三角函數與解三角形
典典例分析
析
考查方式
三角函數及解三角形在高考中通常以簡單題和中檔題為主，高考對此部分的考查難度略有提高，更注重綜合應用. 高考中有時直接考查三角函數的圖象與性質、圖象的伸縮變換、兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等，有時會將其作為數學工具，隱含在平面向量、立體幾何、解析幾何、函數等問題中考查. 復習過程中，要貫通三角函數與基本初等函數、導數方法之間的聯系，在函數主題的整體視角下審視三角函數問題，提高思維的靈活性和分析問題、解決問題的能力.
高考真題
1．[2023年 新課標Ⅰ卷]已知，，則( )
A. B. C. D.
2．[2023年 新課標Ⅱ卷]已知為銳角，，則( )
A. B. C. D.
3．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知，，則( )
A. B. C. D.3m
4．[2024年 新課標Ⅰ卷]當時，曲線與的交點個數為( )
A.3 B.4 C.6 D.8
5．[2024年 新課標Ⅱ卷]（多選）對于函數和，下列說法中正確的有( )
A.與有相同的零點
B.與有相同的最大值
C.與有相同的最小正周期
D.與的圖象有相同的對稱軸
6．[2024年 新課標Ⅱ卷]已知為第一象限角，為第三象限角，，，則__________.
7．[2024年 新課標Ⅰ卷]記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.
（1）求B；
（2）若的面積為，求c.
8．[2024年 新課標Ⅱ卷]記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求的周長.
參考答案
1．答案：B
解析：依題意，得，所以，所以
，所以，故選B.
2．答案：D
解析：法一：由題意，，得，又為銳角，所以，所以，故選D.
法二：由題意，，得，將選項逐個代入驗證可知D選項滿足，故選D.
3．答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故選A.
4．答案：C
解析：因為函數的最小正周期，所以函數在上的圖象恰好是三個周期的圖象，所以作出函數與在上的圖象如圖所示，
由圖可知，這兩個圖象共有6個交點，故選C.
5．答案：BC
解析：對于A，令，則，，又，故A錯誤；
對于B，與的最大值都為1，故B正確；
對于C，與的最小正周期都為，故C正確；
對于D，圖象的對稱軸方程為，，即，，圖象的對稱軸方程為，，即，，故與的圖象的對稱軸不相同，故D錯誤.故選BC.
6．答案：
解析：由題知，即，又，可得.由，，，，得，.又，所以是第四象限角，故.
7．答案：（1）
（2）
解析：（1）由余弦定理得，
又，.
，，
又，.
（2）由（1）得，
由正弦定理，得，.
的面積，得.
8．答案：（1）
（2）
解析：（1）法一：由，得，
所以.
因為，所以，
所以，故.
法二：由，得，
兩邊同時平方，得，
則，
整理，得，
所以，則.
因為，所以或.
當時，成立，符合條件；
當時，不成立，不符合條件.
故.
法三：由，得，
兩邊同時平方，得，
則，
整理，得，
所以，則.
因為，所以.
（2）由，得，
由正弦定理，得，所以，
因為，所以.
，
所以
.
法一：由正弦定理，得，
.
所以的周長為.
法二：由正弦定理，
得，
所以，
所以的周長為.
重難突破
1.已知扇形面積為，半徑是1，則扇形的圓心角是( )
A. B. C. D.
2.若角為第二象限角，，則( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，則( )
A. B. C. D.
4.已知，，則( )
A. B.2 C. D.
5.已知函數，若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.將函數(其中)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關于對稱，則的最小值是( )
A.6 B. C. D.
7.已知角，滿足，，則( )
A. B. C. D.2
8.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則面積的最大值為( )
A. B. C. D.
9.已知函數（）在上單調，在上存在極值點，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10.已知函數的最小正周期為T.若，且曲線關于點中心對稱，則( )
A. B. C. D.
11.古代數學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數學基礎，根據劉徽的《重差》測量一個球體建筑的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側，若在B，C處分別測量球體建筑物的最大仰角為和，且，則該球體建筑物的高度約為( )()
A. B. C. D.
12.已知函數的部分圖象如圖所示，則下列選項不正確的是( )
A.函數的圖象關于點中心對稱
B.函數的單調增區間為
C.函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
D.函數在上有2個零點，則實數t的取值范圍為
13.（多選）已知，則下列說法正確的是( )
A. B.
C.若，則 D.若，則
14.（多選）已知函數，則下列說法正確的是( )
A.當時，的最小正周期為
B.函數過定點
C.將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，若函數是偶函數，則的最小值為
D.函數在區間上恰有5個零點，則的取值范圍為
15.（多選）若的內角A，B，C對邊分別是a，b，c，，且，則( )
A.外接圓的半徑為 B.的周長的最小值為
C.的面積的最大值為 D.邊的中線的最小值為
16.已知，則_____________.
17.將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數是偶函數，則的最小值為________.
18.已知，，，，則___________.
19.已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，，且，則面積的最大值為___________.
20.如圖，已知函數（其中，，）的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，，，，.則函數在上的值域為___________.
21.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.
（1）求c；
（2）設D為邊上一點，且，求的面積.
22.已知函數.
（1）求不等式的解集；
（2）將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，得到的圖象，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積.
23.已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)求在上的值域.
24.在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知______.
（1）求角A；
（2）若，，求邊上的中線的長.
注：若選擇多個條件分別進行解答，則按第一個解答進行計分.
25.設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若的最大值為，求a的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因為扇形面積為，半徑是1，所以扇形的弧長為，所以扇形的圓心角為.故選：C.
2.答案：B
解析：因為，，又角為第二象限角，
解得.故選：B
3.答案：C
解析：設，，，
，
，，，故選：C
4.答案：C
解析：由，得，而，
因此，所以.故選：C
5.答案：C
解析：，
由函數在上單調遞減.且，，解得：，，因為，當且僅當時，有滿足要求的取值，即.故選：C.
6.答案：D
解析：將的圖象向左平移個單位，可得
所得圖象關于，所以，
所以，即，
由于，故當時取得最小值.故選：D.
7.答案：B
解析：因為，
，
所以，
即，則，
因為，所以，
其中，
故，解得.故選：B.
8.答案：C
解析：在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，，
則，當且僅當時取等號，因此，
的面積，
所以當時，的面積取得最大值.故選：C
9.答案：B
解析：函數，令，
則其減區間為，增區間為，，
由函數在上單調，則，解得，
①當函數在上單調遞減時，則，解得，
由，則，；
②當函數在上單調遞增時，則，解得，
由，則不符合題意；易知當，即時，函數取得極值，可得，解得，由，則，，綜上所述，.故選：B.
10.答案：B
解析：由，則，由，
則，解得，
由，則當時，函數取得對稱中心，
由題意可得，化簡可得，
當時，，顯然當時，，
所以，則.
故選：B.
11.答案：B
解析：如圖，設球的半徑為R，
則，，
所以由題，又，
故
，
所以，即該球體建筑物的高度約為.
故選：B.
12.答案：C
解析：，
由圖可知，，可得，，
，，故A正確；
，解得，
所以函數在單調遞增，故B正確；
函數的圖象向左平移個單位長度得，
，故C錯誤；
，，
當時，，此時有兩個零點，
即，可得，故D正確.
故選：C.
13.答案：ABD
解析：對于A：，故A正確；
對于B：
，故B正確；
對于C：，故C錯誤；
對于D：因為，所以，又，，
所以，則，
所以，故D正確.
故選：ABD
14.答案：BC
解析：A選項錯誤，當時，最小正周期；
B選項正確，，與的取值無關；
C選項正確，向左平移個單位長度后的函數解析式，
令，，解得，當時，的最小正值為；
D選項錯誤，令，即，解得或，，即或者，要使得在區間上恰好有5個零點，令，滿足，解得.故選BC.
15.答案：ACD
解析：對于A：，由正弦定理得，
即，
即，
因為，所以，
所以，，
因為，則，
令外接圓的半徑為R，
根據正弦定理可得，
即，故A正確；
對于C：由余弦定理知，，
因為，，所以，，
當且僅當時等號成立，
因為，
所以的最大值為，故C正確；
對于B：由C知，則，
所以，
當且僅當時等號成立，
所以的最大值為，故B錯；
對于D：因為為邊上的中線，
所以，，
得，因為，
所以的最小值為，故D正確；
故選：ACD
16.答案：
解析：由誘導公式得，
故，
所以.
故答案為：.
17.答案：
解析：，
圖象向右平移個單位長度后得到是偶函數，
，，，，的最小值為.
18.答案：
解析：由，兩邊平方得，所以，
故，因為，所以，
解得，又因為，所以.
故答案為：.
19.答案：
解析：，，.
由正弦定理，得，.由余弦定理，得，
且，，當且僅當時等號成立，，
，面積的最大值為.
20.答案：
解析：由題意得，，，，，，，.，，把代入上式可得，，又，，，，又，，，又，，函數，當時，，，，故答案為.
21.答案：（1）；
（2）
解析：（1）因為，所以，，所以.在中，由余弦定理得，
即，解得（舍去），.
（2）
因為，，，由余弦定理得，
又，即是直角三角形，所以，
則，，又，則，
所以的面積為.
22.答案：（1）且
（2）
解析：（1）由題設，則，
所以且，可得且，
所以解集為且.
（2）由題意，則，
所以，，
所以曲線在點處的切線為，
顯然切線過，，故其與坐標軸圍成的三角形面積為.
23.答案：(1)；
(2).
解析：（1）觀察圖象知，，，即，
又，且0在的遞增區間內，
則，，由，得，，
解得，，又且，解得，因此，，
所以函數的解析式是.
（2）由（1）知，，當時，，
而正弦函數在上單調遞減，在上單調遞增，
于是，，
所以在上的值域為.
24.答案：（1）任選一個，答案均為；
（2）.
解析：（1）選①，
由正弦定理得，
，
，
，三角形中，所以，
又，所以；
選②
由正弦定理得，三角形中，
所以，又三角形中，所以，，
所以，即；
選③，
由余弦定理得，整理得，
所以，而，；
（2）由（1），，
由余弦定理得：
，又，，
所以，
所以，.
25.答案：（1）
（2）
解析：（1）由題設及正弦邊角關系，有，
所以，
整理得，即，
顯然不合題設，則，
所以，而，可得.
（2）由，可得，，
所以，
由（1）知：，則
，
由，則，又的最大值為，
所以，可得（負值舍），
綜上，.

展開更多......

收起↑