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專題十 復(fù)數(shù)
典例分析
考查方式
復(fù)數(shù)在高考中注重基礎(chǔ)，多以選擇題的形式出現(xiàn)，大多單獨(dú)考查，主要考查四則運(yùn)算和幾何意義，同時可能涉及實部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等概念的理解.
高考真題
1．[2024年 新課標(biāo)Ⅱ卷]已知，則( )
A.0 B.1 C. D.2
2．[2024年 新課標(biāo)Ⅰ卷]若，則( )
A. B. C. D.
3．[2023年 新課標(biāo)Ⅰ卷]已知，則( )
A. B.i C.0 D.1
4．[2023年 新課標(biāo)Ⅱ卷]在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5．[2022年 新高考Ⅰ卷]若，則( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
參考答案
1．答案：C
解析：，故選C.
2．答案：C
解析：解法一：因為，所以，即，即，所以，故選C.
解法二：因為，所以，即，即，所以，故選C.
3．答案：A
解析：因為，所以，即.
故選A.
4．答案：A
解析：，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限，故選A.
5．答案：D
解析：因為，所以，所以，所以.故選D.
重難突破
1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則( )
A. B. C. D.
3.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.1 B. C.2 D.
4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
6.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.若復(fù)數(shù)，則( )
A. B.5 C. D.2
8.若，則( )
A. B. C. D.
9.若復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.10 B. C.20 D.
10.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部與實部之差為( )
A.2 B.-2 C.-4 D.
11.已知復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A. B. C. D.
12.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為( )
A. B. C. D.
13.（多選）已知復(fù)數(shù)，以下說法正確的是( )
A.z的實部是3
B.
C.
D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限
14.（多選）若復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A. B.z的虛部為 C.為純虛數(shù) D.
15.（多選）對于復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是( )
A.若，則 B.
C.一定是純虛數(shù) D.若，，則
16.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________.
17.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，）的實部與虛部互為相反數(shù)，則______
18.已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則z的值為________.
19.若復(fù)數(shù)z滿足，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，則________.
20.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則__________.
21.已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，是實數(shù)，i是虛數(shù)單位.
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)所表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍.
22.已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)表示的點分別為，，O為坐標(biāo)原點.
（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，求的值；
（2）若與的夾角為銳角，求實數(shù)m的取值范圍.
23.已知復(fù)數(shù)z滿足，，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限.
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)滿足，求在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合構(gòu)成圖形的面積.
24.已知復(fù)數(shù)，為實數(shù).
(1)求；
(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，且z為實系數(shù)方程的根，求實數(shù)m的值.
25.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）.
(1)設(shè)復(fù)數(shù)，求；
(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因為，所以.故選：B.
2.答案：B
解析：由題意，因為，所以，故選：B.
3.答案：B
解析：因為，所以，所以，所以.
故選：B.
4.答案：D
解析：因為，則，
因此，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.
5.答案：C
解析：，
復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故且，則.故選：C.
6.答案：C
解析：，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，故選C.
7.答案：C
解析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡可得，所以，
則 .故選：C.
8.答案：D
解析：由，可得，故，故選：D
9.答案：B
解析：由已知，
所以.故選：B.
10.答案：B
解析：因為，
所以，復(fù)數(shù)z的虛部為-3，實部為-1，
所以，z的虛部與實部之差為.故選：B.
11.答案：A
解析：由，得，
所以，故選：A.
12.答案：A
解析：依題意，，則，
所以的虛部為.故選：A
13.答案：ABC
解析：，則z的實部是3，故A正確；，B正確；，C正確，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，在第四象限，故D錯誤.故選ABC.
14.答案：BCD
解析：設(shè)，則，，
，，解得，，故.
A.，選項A錯誤.
B.z的虛部為，選項B正確.
C.，為純虛數(shù)，選項C正確.
D.由得，故，選項D正確.
故選：BCD.
15.答案：BD
解析：對于選項A：例如，則，故A錯誤；
對于選項C：例如，則，，故C錯誤；
設(shè)，則，
對于選項B：因為，
所以，故B正確；
對于選項D：若，可得，且，即，
可得，即，故D正確；故選：BD
16.答案：
解析：.故答案為：.
17.答案：
解析：因為，；復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，，解得.
18.答案：
解析：由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得，解得，
所以.
19.答案：5
解析：由，可得；
則可得，因此.
20.答案：
解析：設(shè)，，則，所以，又，
所以，解得，所以，則.
21.答案：（1）；
（2）
解析：（1）由已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，設(shè)（且），
所以.
又因為是實數(shù)，所以，
解得，即.
（2）因為，所以，
又因為復(fù)數(shù)所表示的點在第一象限，
所以解得，
即實數(shù)m的取值范圍為.
22.答案：（1）
（2）
解析：（1），因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，
所以，解得.
所以.
所以.
（2），，
因為與的夾角為銳角，則且兩向量不同向，
所以，
即，即，解得或，
當(dāng)兩向量共線且同向時，設(shè)且，
即，，所以，解得，，
所以，
綜上，實數(shù)m的取值范圍為.
23.答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè).
因為，且，，
所以，解得或，
又z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以，所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是以為圓心，1為半徑的圓及圓的內(nèi)部，其面積為.
24.答案：(1)
(2)-3
解析：(1)由，為實數(shù)，
則為實數(shù)，
所以，即，，
所以.
(2)由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，
所以，
又為實系數(shù)方程的根，
則，
所以，，
又，所以.
25.答案：(1).；
(2)
解析：（1）因為，則，
所以，為純虛數(shù)，
所以，，解得.
解：，
因此，.
（2）因為，
則，
因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，則，解得.
因此，實數(shù)a的取值范圍是.

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