資源簡介

專題四 平面向量
典例分析
考查方式
平面向量在高考中更注重基礎，時有創(chuàng)新. 平面向量以選擇題、填空題為主，主要考查平面向量的基本概念、線性運算、數量積，其中平面向量的線性運算、數量積、向量共線、向量垂直、向量的模及向量的夾角問題是重點和熱點，平面向量大多單獨考查，有時也出現平面向量與其他知識的交匯問題，或以平面向量為載體的綜合探究題.
高考真題
1．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知向量，，，若，則( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
2．[2024年 新課標Ⅱ卷]已知向量a，b滿足，，且，則( )
A. B. C. D.1
3．[2022年 新高考Ⅰ卷]在中，點D在邊AB上，.記，，則( )
A. B. C. D.
4．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知向量，，若，則( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5．[2023年 新課標Ⅰ卷]已知向量，.若，則( )
A. B. C. D.
6．[2023年 新課標Ⅱ卷]已知向量a，b滿足，，則___________.
參考答案
1．答案：C
解析：，，即，解得，故選C.
2．答案：B
解析：由，得，所以.將的兩邊同時平方，得，即，解得，所以，故選B.
3．答案：B
解析：如圖，因為點D在邊AB上，，所以，故選B.
4．答案：D
解析：解法一：因為，所以，即.因為，，所以，，得，所以，解得，故選D.
解法二：因為，，所以.因為，所以，所以，所以，解得，故選D.
5．答案：D
解析：因為，，所以，，因為，所以，所以，整理得.故選D.
6．答案：
解析：由，得，即①.由，得，整理得，，結合①，得，整理得，，所以.
重難突破
1.在矩形中，，，則向量的長度等于( )
A.4 B. C.3 D.2
2.已知向量，.若a與b反向共線，則的值為( )
A.0 B.48 C. D.
3.在中，點P在上，且，點Q是的中點，若，，則等于( )
A. B. C. D.
4.已知向量a，b滿足，，且，則( )
A. B. C. D.1
5.已知點，，，若，點當P在第一、三象限的角平分線上時，的值為( )
A.1 B.2 C. D.
6.已知向量a，b滿足，，，則( )
A. B. C. D.
7.已知A，B，C是平面內不共線的三個點.若，，則一定是( )
A.直角（非等腰）三角形 B.等腰三角形
C.等邊三角形 D.銳角（非等腰）三角形
8.若是一組基底，向量，則稱為向量在基底下的坐標.現已知向量a在基底，下的坐標為，則a在另一組基底，下的坐標為( )
A. B. C. D.
9.在中，M是的中點，，點P在上且滿足，則等于( )
A. B. C. D.
10.我國東漢末年數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，，，則( )
A. B. C. D.
11.在中，，，所對的邊分別為a，b，c，若，，且D是BC邊上的動點（不含端點），則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12.已知中，，，，，，則的最小值為( )
A.3 B.5 C. D.
13.（多選）設a，b是兩個非零向量.若，則下列結論正確的是( )
A. B.
C.a在b上的投影向量為b D.
14.（多選）已知，，，，則( )
A.
B.若，則，
C.若點A是BD的中點，則B，C兩點重合
D.若點B，C，D共線，則
15.（多選）如圖，在中，，，與BE交于點F，則下列說法正確的是( )
A. B.
C. D.
16.已知，，若，則實數的值為___________.
17.設點O在的內部，D，E分別為邊AC，BC的中點，且，則__________.
18.如圖，A，B，C，D為平面內的四個點，，E為線段BC的中點，若，則________ .
19.已知平面單位向量，，滿足.設，，向量a，b的夾角為，則的最小值是__________.
20.如圖，在矩形中，M，N分別為線段，的中點，若，，，則的值為___________.
21.已知在平面直角坐標系中，點，，.
（1）求t的值；
（2）若點P，Q滿足，，O為坐標原點，求的最小值.
22.如圖，在平行四邊形中，，垂足為P.
（1）若，求的長；
（2）設，，，，求的值.
23.已知向量以為基底的分解式為，其中，.
（1）求m，n的值；
（2）若，且，求實數k的值.
24.如圖，在中，AD是BC邊上的中線.
（1）取BD的中點M，試用和表示.
（2）若G是AD上一點，且，直線EF過點G，交AB于點E，交AC于點F.若，（，），求的最小值.
25.如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，點F在邊CD上.
（1）若，F是邊CD上靠近C的三等分點，求的值；
（2）若，當時，求CF的長.
答案以及解析
1.答案：A
解析：在矩形中，由，可得，又因為，故，故，故選：A.
2.答案：C
解析：由題意得，解得，又a與b反向共線，故，此時，故.故選C.
3.答案：B
解析：點Q是的中點，，，，，
，，.
4.答案：B
解析：由，得，所以.將的兩邊同時平方，得，即，解得，所以，故選B.
5.答案：D
解析：設點P的坐標為，則，
，
又點P在第一、三象限的角平分線上，，即，解得.故選：D.
6.答案：D
解析：由題可得①，②，①②兩式聯立得，，，而，.故選D.
7.答案：B
解析：設，則根據平行四邊形法則知，點P在BC邊上的中線所在的直線上.設，，它們都是單位向量.由平行四邊形法則，知點P也在的平分線上，所以一定是等腰三角形，不能確定是等邊三角形.故選B.
8.答案：D
解析：因為a在基底下的坐標為，所以.
令，所以解得所以a在基底下的坐標為.
9.答案：A
解析：因為M是的中點，所以，
又因為點P在上且滿足，，所以，，
所以.
故選：A.
10.答案：B
解析：因為“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且，，，所以，解得，所以.故選B.
11.答案：C
解析：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
因為，，
所以，，，設，，
則，，，
所以，
因為，所以，所以的取值范圍是.故選C.
12.答案：C
解析：設點O為BC上的一點，令，即，當時，取最小值3，此時根據勾股定理可得，由此可知為等邊三角形，當點O為BC的中點時建立如圖所示的平面直角坐標系，
則有，，，所以，，所以，，所以，故.
因為，所以，則，
.
因為，所以當時取最小值，.故選C.
13.答案：ABC
解析：因為，所以，所以，所以選項A正確；因為，所以，所以，所以選項B正確；a在b上的投影向量為，所以選項C正確；由向量數量積的定義可知，，所以，所以選項D錯誤.故選ABC.
14.答案：ACD
解析：因為，，，所以，A正確；
因為，所以，所以，取，則，
B不正確；
因為點A是BD的中點，所以，即，，從而有，所以B，C兩點重合，C正確；
因為點B，C，D共線，所以存在實數t，使得，所以，D正確.
綜上所述，正確選項為ACD.
15.答案：BCD
解析：，故A錯誤；
因為B，F，E三點共線，所以存在實數使得，
因為A，F，D三點共線，所以存在實數使得，從而有解得即，所以F為BE的中點，從而有，故B正確；
，，
所以，故C正確；取AB的中點G，BC的中點H，連接GH，如圖，則G，F，H三點共線，
所以
，故D正確.故選BCD.
16.答案：-1或
解析：因為，，.
所以，即，解得或.故實數的值為-1或.
17.答案：2
解析：如圖所示，易知.
18.答案：/1.25
解析：因為，即，所以.
又E為線段BC的中點，所以，所以，，則.
故答案為：
19.答案：
解析：由題可知
從而
由①②可得
代入③可得，
從而，
所以，故的最小值為.
20.答案：
解析：因為M，N分別為線段，的中點，
所以，
，
，
所以
，
所以，解得，
所以，
所以的值為.
故答案為：.
21.答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意得，則，
解得.因為，所以.
（2）由題意得，則，
所以，
則，
所以，
即的最小值為.
22.答案：（1）2
（2）
解析：（1）在平行四邊形中，，垂足為P，
，
，
解得，故長為2.
（2），且B，P，O三點共線，
①，
又，，，
則，
由可知，
展開，化簡得到②，
聯立①②解得，，故.
23.答案：（1）
（2）
解析：（1）由題得
，
則解得
（2）由（1）得.
由，設，
即，則解得.
24.答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意，D為BC的中點，所以，
又M為BD的中點，
所以.
（2）由，，（，），得，，
所以.
又因為E，F，G三點共線，設，
則，即，
所以，則，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.
25.答案：（1）
（2）
解析：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示.
（1）因為E是BC的中點，所以，
又，所以.
因為F是CD上靠近C的三等分點，
所以，所以，
所以.
（2）當，時，，，，
因為E是BC的中點，所以.設，，
則，.
由得，
解得，所以，
所以.

展開更多......

收起↑