資源簡(jiǎn)介

專題六 不等式
典例分析
考查方式
不等式在高考中的考查方式非常靈活，既會(huì)單獨(dú)考查不等式的性質(zhì)和解法、基本不等式的應(yīng)用等，又會(huì)作為解決問(wèn)題的工具與高中數(shù)學(xué)所有知識(shí)點(diǎn)交匯命題. 命題的重點(diǎn)在于運(yùn)用基本不等式確定最值、證明不等式、解答恒成立問(wèn)題等，試題難度涵蓋簡(jiǎn)單題和難題，體現(xiàn)了其基礎(chǔ)性、工具性、適應(yīng)性和創(chuàng)新性的特點(diǎn). 在復(fù)習(xí)過(guò)程中，在掌握基礎(chǔ)運(yùn)算的同時(shí)還要能夠在其他知識(shí)中靈活運(yùn)用.
高考真題
1．[2022年 新高考Ⅱ卷]（多選）若x，y滿足，則( )
A. B. C. D.
2．[2020年 新高考Ⅱ卷]（多選）已知，且，則( )
A. B.
C. D.
參考答案
1．答案：BC
解析：由基本不等式可得，，從而.結(jié)合題設(shè)條件，可得，以及，即，所以選項(xiàng)B和C正確.取，則，且，因此選項(xiàng)A不正確.取，，則，且，因此選項(xiàng)D不正確.故正確選項(xiàng)為B和C.
2．答案：ABD
解析：A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；
B項(xiàng)，，因?yàn)椋裕裕裕蔅項(xiàng)正確；
C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，故D項(xiàng)正確.故本題正確答案為ABD.
重難突破
1.已知集合，，則( )
A. B.
C. D.
2.已知，，若，則的最小值為( )
A.4 B. C.2 D.
3.設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是( )
A. B.
C. D.
4.設(shè)，若，使得關(guān)于x的不等式有解，則a的取值范圍為( )
A. B. C. D.
5.若，則下列命題正確的是( )
A.若，則
B.若，，則
C.若，，則
D.若，，則
6.已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中a，b，c為常數(shù)，則不等式的解集是( )
A. B.或
C.或 D.
7.已知，且，，則的最小值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.已知滿足的x使得恒成立，則a的取值范圍為( )
A. B. C. D.
9.河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風(fēng)光構(gòu)成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動(dòng)下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)發(fā)展.某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價(jià)是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價(jià)在200元的基礎(chǔ)上提高元（，），則被租出的客房會(huì)減少套.若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過(guò)106600元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價(jià)應(yīng)為( )
A.250元 B.260元 C.270元 D.280元
10.若，，則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
11.若，，且，則下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
12.如圖，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為8cm，把沿向折疊，折過(guò)去后交于點(diǎn)P，記的周長(zhǎng)為l，面積為S，則的最大值為( )
A. B. C. D.
13.（多選）已知，，若，則( )
A.的最大值為 B.的最小值為10
C.的最大值為2 D.的最小值為8
14.（多選）已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B.若，則或或
C.，
D.不等式的解集為
15.（多選）已知，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.若，，則
B.若，，則
C.若，，則
D.若，，，則
16.若，，則的取值范圍為_(kāi)_______.
17.已知，，且，則的最小值為_(kāi)_______.
18.如圖，某小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)周長(zhǎng)均為24m的相同的矩形和構(gòu)成的十字形地域.計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為2000元/；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）內(nèi)鋪上塑膠，造價(jià)為100元/；在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）內(nèi)鋪上草坪，造價(jià)為400元/.若要使總造價(jià)不高于24000元，則正方形周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________m.
19.設(shè)為實(shí)數(shù)a，b，c中最大的數(shù).若，，，，則的最小值為_(kāi)_______________.
20.對(duì)于，滿足恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)___________.
21.已知福州地鐵2號(hào)線路通車(chē)后，地鐵的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，地鐵的載客量與發(fā)車(chē)的時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為400人；當(dāng)時(shí)，載量會(huì)減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為272人，記地鐵的載客量為.
(1)求的表達(dá)式，并求發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)地鐵的載客量；
(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元）.問(wèn)：當(dāng)?shù)罔F發(fā)車(chē)時(shí)間間隔多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？
22.已知函數(shù).
（1）若關(guān)于x的不等式的解集為或，求關(guān)于x的不等式的解集；
（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上的最小值為6，求實(shí)數(shù)t的值.
23.某校計(jì)劃利用其一側(cè)原有墻體，建造高為1米，底面積為100平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的露天勞動(dòng)基地，靠墻那面無(wú)需建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下：長(zhǎng)方體前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米320元，左、右兩面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米160元，地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)元.設(shè)勞動(dòng)基地的左、右兩面墻的長(zhǎng)度均為米，原有墻體足夠長(zhǎng).
(1)當(dāng)左面墻的長(zhǎng)度為多少米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低？
(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該勞動(dòng)基地的建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無(wú)論左面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功（約定整體報(bào)價(jià)更低的工程隊(duì)競(jìng)標(biāo)成功），求a的取值范圍.
24.已知a，b，，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為.
（1）求b，c的值；
（2）解關(guān)于x的不等式.
25.中國(guó)建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國(guó)際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(huì)（SEMI）的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國(guó)計(jì)劃建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2024年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬(wàn)元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年每產(chǎn)出x萬(wàn)枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬(wàn)元），已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出.
（1）記2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），求的函數(shù)解析式；
（2）請(qǐng)你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤(rùn)最大，并預(yù)測(cè)最大利潤(rùn).
答案以及解析
1.答案：B
解析：由題意得，或，.故選：B.
2.答案：A
解析：由，可得，所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以的最小值為4.故選：A.
3.答案：B
解析：由題意可知，，即A錯(cuò)誤，B正確；
若，，即C、D錯(cuò)誤.故選：B
4.答案：B
解析：關(guān)于x的不等式有解等價(jià)于在上有解，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，即，
所以.故選：B
5.答案：D
解析：令，，，滿足，不滿足，故A錯(cuò)誤，
當(dāng)，，時(shí)，，，不滿足，故B錯(cuò)誤，
當(dāng)，時(shí)，滿足，不滿足，故C錯(cuò)誤，
若，，則一定成立，又，所以，故D正確.
故選：D
6.答案：A
解析：關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則，且-2，7是一元二次方程的兩根，于是解得則不等式化為，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A.
7.答案：C
解析：因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值9，
所以的最小值為5.故選：C.
8.答案：A
解析：由，求出，在上恒成立，
，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，
綜上，a的取值范圍為.故選：A.
9.答案：C
解析：依題意，每天有間客房被租出，該連鎖酒店每天租賃客房的收入為
.
因?yàn)橐乖撨B鎖酒店每天租賃客房的收入超過(guò)106600元，
所以，即，解得.
因?yàn)榍遥裕丛撨B鎖酒店每間客房每天的租價(jià)應(yīng)定為270元.
故選：C.
10.答案：C
解析：設(shè)，其中m、，
則，
所以，，解得，
所以，，
因?yàn)椋?br/>所以，，，
由不等式的性質(zhì)可得，即，
因此，的取值范圍是.
故選：C.
11.答案：C
解析：對(duì)于A ，由可得，
又， 所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B， 由可得， 即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C， 由可得，
所以可得， 即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即C正確；
對(duì)于D ，易知，
即；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得D錯(cuò)誤；
故選：C.
12.答案：A
解析：因?yàn)榫匦蔚闹荛L(zhǎng)為8cm，
設(shè)，則，故，得，
因?yàn)椋?br/>所以，設(shè)，則，，
所以的周長(zhǎng)為，
在直角中，由勾股定理得，解得，
則，所以，
令，則，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故選：A.
13.答案：AD
解析：對(duì)于A，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；
對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.
故選：AD
14.答案：ACD
解析：對(duì)于A，，所以，故A正確；
對(duì)于B，由，得且.
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以或或或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由于，則，設(shè)，則，
若，則，
若，則，
所以，，故C正確；
對(duì)于D，得，解得，
由，得；由，得，所以不等式的解集為，
故D正確.
故選：ACD
15.答案：AB
解析：由，得，
即，又，
則，即，故A正確；
因?yàn)椋?br/>所以，
即，
又因?yàn)椋?br/>所以，故B正確；
假設(shè)，，滿足，，
此時(shí)，，不成立，故C錯(cuò)誤；
假設(shè)，，，
滿足，，，
此時(shí)，，不成立，故D錯(cuò)誤；
故選：AB.
16.答案：
解析：因?yàn)椋裕瑒t.
17.答案：或2.25
解析：因?yàn)椋遥?br/>所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.
故答案為：.
18.答案：4
解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm，則正方形的面積為，
四個(gè)相同的矩形（即陰影部分）的面積為，
四個(gè)空角的面積為.
設(shè)總造價(jià)為W元，
則.
，即，即，解得，
故正方形周長(zhǎng)的最小值為4m.故答案為4.
19.答案：2
解析：設(shè)，
則，，，
因?yàn)?，當(dāng)時(shí)，只需考慮，，
又因?yàn)椋?br/>兩式相乘得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，，只需考慮，，
兩式相乘得，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)椋剩C上所述，A的最小值為2.
故答案為：2.
20.答案：
解析：因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，所以，
所以恒成立；
當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象下方，
又，
則由，得，
則，即，解得或，
則由，得，
則，即，解得或，
因?yàn)椋裕?br/>綜上，a的取值范圍為.
故答案為：.
21.答案：(1)，發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)地鐵的載客量為368人.
(2)當(dāng)?shù)罔F發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大.
解析：(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得.
由題意可得.
所以，發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)地鐵的載客量為（人）.
(2)當(dāng)時(shí)，
（元），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
綜上所述，當(dāng)?shù)罔F發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大.
22.答案：（1）；
（2）或3.
解析：（1）由于的解集為或，故和是一元二次方程的兩個(gè)根，故，解得，，，
故變形為，
解得，故不等式的解為
（2）當(dāng)，時(shí)，，則對(duì)稱軸方程為，由于，故或，即或，
當(dāng)時(shí)，最小值，解得，
當(dāng)時(shí)，最小值，解得，
綜上：或3.
23.答案：(1)左面墻的長(zhǎng)度為10米
(2)
解析：(1)設(shè)甲工程隊(duì)的總報(bào)價(jià)為y元，依題意，左、右兩面墻的長(zhǎng)度均為米，
則長(zhǎng)方體前面新建墻體的長(zhǎng)度為米，
所以，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故當(dāng)左面墻的長(zhǎng)度為10米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低，且最低報(bào)價(jià)為元.
(2)由題意可知，，
即對(duì)任意的恒成立，
所以，可得，即.
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值，
則，即a的取值范圍是.
24.答案：（1）
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式的解集為，
所以關(guān)于的一元二次方程的兩解為和，
所以解得
（2）由（1）得關(guān)于x的不等式，即，
因式分解得.
①當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，即不等式的解集為；
②當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得或，所以不等式的解集為；
③當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，即不等式的解集為；
④當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，即不等式的解集為；
⑤當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，即不等式的解集為.
綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
25.答案：（1）；
（2）當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元
解析：（1）由題意可得，，
所以，
即.
（2）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸，；
當(dāng)時(shí)，由基本不等式知，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，
綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元.

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