資源簡介

專題一 集合與常用邏輯用語
典例分析
考查方式
集合是每年高考的必考內容，以選擇題為主，難度較低，主要考查元素與集合間的關系、集合之間的基本關系、集合的基本運算（高頻考法），通常會穿插不等式、函數等知識一起考查，角度靈活多變，解題時需要注意基礎知識的靈活運用.
常用邏輯用語相關的考題主要考查充分、必要條件的判定，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，常以其他知識（如三角函數、數列、向量等）為載體命題.
高考真題
1．[2023年 新課標Ⅰ卷]已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2．[2023年 新課標Ⅱ卷]設集合，，若，則( )
A.2 B.1 C. D.-1
3．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知集合，，則( )
A. B. C. D.
4．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知集合，，則( )
A. B. C. D.
5．[2022年 新高考Ⅰ卷]若集合，，則( )
A. B.
C. D.
6．[2024年 新課標Ⅱ卷]已知命題，，命題，.則( )
A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題
C.p和都是真命題 D.和都是真命題
參考答案
1．答案：C
解析：因為或，所以，故選C.
2．答案：B
解析：依題意，有或.當時，解得，此時，，不滿足；當時，解得，此時，，滿足.所以，故選B.
3．答案：A
解析：方法一：因為，，所以，故選A.
方法二：因為，，，，，所以，，，，，所以，故選A.
4．答案：B
解析：通解：由，得，解得，所以，所以，故選B.
優解：因為，所以，故排除C，D；又，所以，故排除A.故選B.
5．答案：D
解析：通解（直接法）因為，所以；因為，所以.所以，故選D.
光速解（特取法）觀察選項進行特取，取，則，，所以，排除A，B；取，則，，所以，排除C.故選D.
6．答案：B
解析：法一：因為，，所以命題p為假命題，所以為真命題.因為，所以，所以，即，解得或或，所以，使得，所以命題q為真命題，所以為假命題，所以和q都是真命題，故選B.
法二：在命題p中，當時，，所以命題p為假命題，為真命題.在命題q中，因為立方根等于本身的實數有，0，1，所以，使得，所以命題q為真命題，為假命題，所以和q都是真命題，故選B.
重難突破
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.命題，，則命題p的否定形式是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.設集合，，則( )
A. B.
C. D.
4.“”是“函數在區間上為增函數”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.已知命題“，”是假命題，則實數m的取值范圍為( )
A. B. C. D.
6.定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集，且，那么稱子集族構成集合U的一個k劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個數為( )
A.3 B.4 C.14 D.16
7.已知，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
8.，若，則實數x的取值集合為( )
A. B.
C. D.
9.如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為( )
A. B. C. D.
10.命題“對任意的，總存在唯一的，使得”成立的充分必要條件是( )
A. B. C. D.
11.集合，，，C中元素的和為6，則C中元素的積為( )
A.1 B. C.8 D.
12.已知有限集，如果A中的元素滿足，就稱A為“完美集”.①集合是“完美集”；②若是兩個不同的正數，且是“完美集”，則至少有一個大于；③二元“完美集”有無窮多個；④若為正整數，則“完美集”有且只有一個，且；上列結論是真命題的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.（多選）設全集，集合，，，則( )
A.集合A的真子集個數是7 B.
C. D.
14.（多選）下列四個結論中正確的是( )
A.，
B.命題“，”的否定是“，”
C.“”是“”的充分不必要條件
D.“”的充要條件是“”
15.（多選）大數據時代，需要對數據庫進行檢索，檢索過程中有時會出現笛卡爾積現象，而笛卡爾積會產生大量的數據，對內存、計算資源都會產生巨大壓力，為優化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積.兩個集合A和B，用A中元素為第一元素，B中元素為第二元素構成有序對，所有這樣的有序對組成的集合叫作A與B的笛卡兒積，又稱直積，記為.即且.關于任意非空集合M，N，T，下列說法錯誤的是( )
A. B.
C. D.
16.設集合，，若，則實數a的取值范圍是____________.
17.已知命題p：，；命題q：，.若p，q都是假命題，則實數m的取值范圍是______.
18.樹德中學對高一強基班的學科培優進行了調查.調查結果顯示：參加物理培優的有60人，參加數學培優的有80人，參加化學培優的有50人，三科培優都參加的有24人，只選擇兩科培優參加的有22人，不參加其中任何一科培優的有15人，則接受調查的高一強基班學生共有__________人.
19.已知集合，集合其中是的充分不必要條件，則m的取值范圍是________________．
20.設集合，，已知且，則a的取值集合為_________.
21.已知集合，.
(1)當時，求，；
(2)若，求a的取值范圍.
22.已知關于x的方程有實數根，.
(1)若命題是真命題，求實數a的取值范圍；
(2)若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.
23.已知全集為R，集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求實數m的取值范圍.
24.設集合，；
（1）用列舉法表示集合A；
（2）若是的充分條件，求實數m的值；
（3）求，.
25.定義：若任意（m，n可以相等），都有，則集合稱為集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集為B，B的子集個數為4個，求實數a的值；
(3)若集合，A的生成集為B，求證.
答案以及解析
1.答案：D
解析：依題意，集合，而，所以.故選：D.
2.答案：C
解析：命題，，為全稱量詞命題，則該命題的否定為：，.
故選：C
3.答案：B
解析：，，故.故選：B.
4.答案：A
解析：函數在區間上為增函數，則，則“”是“”的充分不必要條件，故“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件，故選：A.
5.答案：A
解析：已知原命題為假命題，那么它的否定“，”為真命題.
對于一元二次函數，要使其對于任意實數x都大于等于0.
因為恒成立，所以，即，解得.故選：A.
6.答案：B
解析：依題意，，
的2劃分為，共3個，
的3劃分為，共1個，
故集合的所有劃分的個數為4.故選：B.
7.答案：A
解析：由可知，所以，所以充分性成立，當，時，滿足，但是不成立，所以必要性不成立，故選：A.
8.答案：A
解析：由題意，或，或，由集合元素互異性可知，
則實數x的取值集合為.故選：A.
9.答案：B
解析：依題意，集合，而，則，
由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為.故選：B
10.答案：D
解析：由得；
①當時，，則，解得，
因為，，滿足題意；
②當時，，
若存在唯一的，使得成立，
則與有且僅有一個交點，
在平面直角坐標系中作出在上的圖象如下圖所示，
由圖象可知：當時，與有且僅有一個交點，
所以，，解得，此時，；
③當時，，
由②同理可得，解得：，則.
綜上所述：原命題成立的充要條件為.故選：D.
11.答案：D
解析：因為，，所以，，，所以，，，，.若，則（舍去）或，此時，符合題意，所以C中的元素的積為；若，則或，此時或，與已知C中的元素和為6不符；若，則或（舍去），此時，與已知C中的元素和為6不符；若，則或（舍去），此時，與已知C中的元素和為6不符；若，則，則，即，此時，所以該方程無解.綜上，C中元素的積為.故選D.
12.答案：D
解析：對于①中，，，
集合是“完美集”，所以①正確；
對于②中，若、是兩個不同的正數，且是“完美集”，
設，
根據根和系數的關系知，和相當于的兩根，
由，解得或(舍去)，所以，又均為正數，
所以、至少有一個大于2，所以②正確；
對于③中，由②知，一元二次方程，當t取不同的值時，的值是不同的，
所以二元“完美集”有無窮多個，所以③正確；
對于④，不妨設A中，
由，得，
當時，即有，所以，于是，無解，
即不存在滿足條件的“完美集”；
當時，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一個，為.
當時，由，即有，
事實上，，矛盾，
所以當時不存在完美集A，所以④正確.
故選：D.
13.答案：ABD
解析：對于A選項，集合A的元素個數為3，則集合A的真子集個數是，A對；
對于B選項，因為，，則，B對；
對于C選項，因為全集，集合，，
則，，則，C錯；
對于D選項，由C選項可知，因為，，則，D對.
故選：ABD
14.答案：ABD
解析：對于A，由，解得，，即，，，故A正確；對于B，根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可知，命題“，”的否定為：“，”，故B正確；對于C，若，則不一定成立，令，，滿足，但，，，即；反之，若，由，可得，即.所以“”是“”的必要不充分條件，故C錯誤；對于D，由于是R上的增函數，所以.所以“”的充要條件是“”，故D正確.故選：ABD.
15.答案：ABC
解析：對于A，若，，則，，，A錯誤；
對于B，若，，，則，
而，，B錯誤；
對于C，若，，，則，
，，，C錯誤；
對于D，任取元素，則且，則且，
于是且，即，
反之若任取元素，則且，
因此，且，即且，
所以，即，D正確.故選：ABC
16.答案：
解析：由題意得，，
所以，則，即.
17.答案：
解析：命題p的否定，為真命題，當時恒成立，當時，可得，故.命題q的否命題，為真命題，所以，解得或，故范圍是.
18.答案：135
解析：由文恩圖可得；參加培優的人數為，
又不參加其中任何一科培優的有15人，
所以接受調查的高一強基班學生共有.
故答案為：135.
19.答案：
解析：因為是的充分不必要條件，所以，因為不等式的解集為，所以，所以，所以，所以m的取值范圍是.
20.答案：
解析：因為，即，所以或.若，則或；若，即，則或.由與互異，得，故或.又，即，所以且，解得且.綜上所述，a的取值集合為.故答案為.
21.答案：(1)，.
(2)
解析：(1)當時，，而，
則，.
(2)由，得或，解得或，
所以a的取值范圍是.
22.答案：(1)
(2)
解析：(1)因為命題是真命題，則命題p是假命題，
即關于x的方程無實數根，
因此，解得，
所以實數a的取值范圍是.
(2)由(1)知，若命題p是真命題，則，
因為命題p是命題q的必要不充分條件，
則是的真子集，
因此，解得，
所以實數m的取值范圍是.
23.答案：（1）；
（2）
解析：（1），
當時，，，，
；
（2），，
當時，，解得；
當時，解得；
綜上，.
24.答案：（1）
（2）
（3）答案見解析
解析：（1）集合，即；
（2）由已知，，
若是的充分條件，則，
情形一：若，則，故滿足題意；
情形二：若，則，故滿足題意；
情形三：若且，則存在，但，這與矛盾，故此情形不符合題意；
綜上所述，滿足題意的m的值為1或2；
（3），
情形一：當時，，此時，；
情形二：當時，，此時，；
情形三：當且時，，此時，；
綜上所述，當時，，；當時，，；當且時，，.
25.答案：(1)；
(2)或；
(3)證明見解析
解析：（1）由題可知，
(1)當時，，
(2)當時，，
（3）當，或，時，
所以
（2）①當時，，
②當時，
③當，或，時，
B的子集個數為4個，則B中有2個元素，
所以或或，
解得或（舍去），
所以或.
（3）證明：，
，，
，，
設任意，取，則，所以，
則，
所以；
所以

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