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第1部分第5節《一元二次方程及不等式》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．已知2x2＋kx－m<0的解集為(t，－1)(t<－1)，則k＋m的值為(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
2．不等式<0的解集為(　　)
A． B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞)
3．已知對任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，則實數a的取值范圍是________．
【知識歸納】
1．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數的圖象
方程的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1不等式的解集 {x|x≠－} R
2．分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3．簡單的絕對值不等式
|x|>a(a>0)的解集為 ，|x|0)的解集為 ．
【題型展示】
題型一　一元二次不等式的解法
命題點1　不含參數的不等式
例1　(1)(多選)已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－∞，－2)∪(3，＋∞)，則下列選項中正確的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集為∪
(2)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)
A.
B.
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
命題點2　含參數的一元二次不等式
例2　已知函數f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0的解集為，求a的值；
(2)當a<0時，求關于x的不等式f(x)>0的解集．
跟蹤訓練1　解關于x的不等式．
(1)>1；
(2)m>0時，mx2－mx－1<2x－3.
題型二　一元二次不等式恒成立問題
命題點2　在R上恒成立問題
命題點1　在給定區間上恒成立問題
例3　已知函數f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，則實數m的取值范圍為________．
例4　(多選)對任意實數x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，則實數k可以是(　　)
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
命題點3　在給定參數范圍內的恒成立問題
例5　(2023·宿遷模擬)若不等式x2＋px>4x＋p－3，當0≤p≤4時恒成立，則x的取值范圍是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
跟蹤訓練2　(1)設a∈R，若關于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，則(　　)
A．a≤2 B．a≥2
C．a≤ D．a≥
(2)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集為 ，則實數a的取值范圍是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2C．{a|－2基礎夯實
1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集為(　　)
A.(－2，5)
B.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C.(－5，2)
D.(－∞，－5)∪(2，＋∞)
2．已知命題p：“ x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，則實數a的取值范圍是(　　)
A．－1C．a<－1 D．－1≤a<2
3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1A. B.
C．{x|－21}
4．已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的兩個實數根，則α，β，m，n的大小關系是(　　)
A．αC．m<α<β5.函數y＝的定義域為(　　)
A.(－4，－1) B.(－4，1)
C.(－1，1) D.(－1，1]
6.關于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，則p＋q的值為(　　)
A.－2 B.－1 C.1 D.2
7.已知關于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是(　　)
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
8.若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.∪{2}
9．(多選)與不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
10．(多選)已知a∈R，關于x的不等式>0的解集可能是(　　)
A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)
C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．
11．(多選)已知關于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且僅有2個整數，則實數m的值可以是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
12.(多選)設[x]表示不小于實數x的最小整數，則滿足關于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以為(　　)
A. B.3 C.－4.5 D.－5
13.(多選)已知函數f(x)＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一個零點，則(　　)
A.a2－b2≤4
B.a2＋≥4
C.若不等式x2＋ax－b＜0的解集為(x1，x2)，則x1x2＞0
D.若不等式x2＋ax＋b＜c的解集為(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，則c＝4
14.不等式＞2的解集為________.
15.已知函數f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為(－∞，0]，若關于x的不等式f(x)＞c－1的解集為(m－4，m)，則實數c的值為________.
16．若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈[1,3]恒成立，則a的最小值為________．
17．不等式>x的解集是________．
18.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解關于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集為(－1，3)，求實數a，b的值.
19.函數f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)若當x∈[－2，2]時，f(x)≥a恒成立，求實數a的取值范圍；
(3)若當a∈[4，6]時，f(x)≥0恒成立，求實數x的取值范圍.
20．已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m為常數)，從①②③這三個條件中任選一個作為集合A，求解下列問題：
(1)定義A－B＝{x|x∈A且x B}，當m＝0時，求A－B；
(2)設命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．
21．已知函數f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1)若不等式f(x)≥－2對于一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)若a<0，解關于x的不等式f(x)優化提升
22.若mx2－mx－1＜0對于m∈[1，2]恒成立，則實數x的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.R
23．下面給出了問題：“已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－20.”的一種解法：
因為不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－20可化為a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－10的解集為{x|－1參考上述解法，解答問題：
若關于x的不等式＋<0的解集為{x|－2A.∪ B．(－1,1)∪(1,3)
C．(－3，－1)∪(1,2) D.∪
24．關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(m，n)(m甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0.
如果只有一個假命題，則假命題是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
25．(多選)已知函數f(x)＝x2－ax－1，當x∈[0,3]時，|f(x)|≤5恒成立，則實數a的值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．3
26.已知函數f(x)＝(a∈R)，若對于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________.
27．已知0<θ<，若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，則實數m應滿足的條件是________．
28.解關于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．B
2．B
3．[1,3]
【知識歸納】
1．{x|xx2}
2．(1)f(x)g(x)>0(<0)
(2)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
3．(－∞，－a)∪(a，＋∞)　(－a，a)
【題型展示】
例1 (1)ABD
(2)D
例2 解　(1)不等式f(x)<0，
即ax2＋(2－4a)x－8<0，
可化為(ax＋2)(x－4)<0.
因為f(x)<0的解集是，
所以a>0且－＝－，
解得a＝3.
(2)不等式f(x)>0，
即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因為a<0，所以不等式可化為(x－4)<0，
當4<－，即－當4＝－，即a＝－時，原不等式的解集為 ；
當4>－，即a<－時，原不等式的解集為.
綜上所述，
當－原不等式的解集為；
當a＝－時，原不等式的解集為 ；
當a<－時，
原不等式的解集為.
跟蹤訓練1 解　(1)移項得－1>0，合并得>0，
等價于(3x＋1)(－x－2)>0，
即(3x＋1)(x＋2)<0，
解得－2所以不等式的解集為.
(2)移項得mx2－(m＋2)x＋2<0，
對應的方程(mx－2)(x－1)＝0的兩根為和1，
當01，
解得1當m＝2時，＝1，原不等式無解；
當m>2時，<1，解得綜上所述，當0當m＝2時，原不等式的解集為空集；
當m>2時，原不等式的解集為.
例3
例4 ACD
例5 D
跟蹤訓練2 (1)C　(2)C
基礎夯實
1.A
2.D　
3.A　
4.C　
5.C
6.B
7.A
8.B
9．CD　
10.BCD
11．AB　
12.BC
13.ABD
14.{x|1＜x＜4}
15.－3
16.－4
17.(－∞，－1)∪(1,5)　
18.(1)由題意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集為
{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)∵f(x)＞b的解集為(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1，3，
∴解得
故a的值為3±，b的值為－3.
19.解　(1)∵當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
∴實數a的取值范圍是[－6，2].
(2)由題意可轉化為x2＋ax＋3－a≥0
在x∈[－2，2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
則有①Δ≤0或②或
③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈ ，
解③得－7≤a＜－6.
綜上可得，滿足條件的實數a的取值范圍是[－7，2].
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
當a∈[4，6]時，h(a)≥0恒成立，
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴實數x的取值范圍是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).
20．解　(1)選①：
>1，若x＋1>0，即x>－1時，>1，即4>x＋1，
解得－1若x＋1<0，則<0，
則>1無解，
所以>1的解集為(－1,3)，
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0,1)，
則A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
選②：
x2－2x－3<0，解得－1故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，
解得0則A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
選③：
|x－1|<2，－2解得－1故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，
解得0故B＝(0,1)，
則A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
(2)由(1)可知，條件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，
即(x－m)[x－(m＋1)]<0，
解得B＝(m，m＋1)，
因為p是q成立的必要不充分條件，所以B?A，所以
或
解得－1≤m≤2，
故m的取值范圍為[－1,2]．
21．解　(1) x∈R，f(x)≥－2恒成立等價于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
當a＝0時，x≥0，對一切實數x不恒成立，則a≠0，
此時必有
即解得a≥，
所以實數a的取值范圍是.
(2)依題意，因為a<0，則f(x)0，
當a＝－1時，－＝1，
解得x≠1；
當－11，
解得x<1或x>－；
當a<－1時，0<－<1，
解得x<－或x>1，
所以，當a＝－1時，原不等式的解集為{x|x≠1}；當－1當a<－1時，原不等式的解集為.
優化提升
22.B
23．A
24．B
25．CD
26.　
27．m≥－
28.解　原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0.
①當a＝0時，原不等式可化為x＋1≤0，解得x≤－1.
②當a＞0時，
原不等式可化為(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③當a＜0時，
原不等式化為(x＋1)≤0.
當＞－1，即a＜－2時，解得－1≤x≤；
當＝－1，即a＝－2時，解得x＝－1；
當＜－1，即－2＜a＜0時，
解得≤x≤－1.
綜上所述，當a＝0時，不等式的解集為{x|x≤－1}；
當a＞0時，不等式的解集為
；
當－2＜a＜0時，不等式的解集為
；
當a＝－2時，不等式的解集為{－1}；
當a＜－2時，不等式的解集為.

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