資源簡(jiǎn)介

第1部分第4節(jié)《基本不等式》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋4b＝ab，則ab的最小值為(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
2．若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是________ m2.
3．函數(shù)y＝x＋(x≥0)的最小值為_(kāi)_______．
【知識(shí)歸納】
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件： .
(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立．
(3)其中 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
2．幾個(gè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
(2)＋≥ (a，b同號(hào))．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值 .
(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值 .
注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．
【題型展示】
題型一　利用基本不等式求最值
命題點(diǎn)1　配湊法
例1　(1)設(shè)0(2)已知x>2，則函數(shù)y＝x＋的最小值是(　　)
A．2 B．2＋2
C．2 D.＋2
命題點(diǎn)2　消元法
例2　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為_(kāi)_______．
命題點(diǎn)3　常數(shù)代換法
例3　已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，則2x＋y的最小值為(　　)
A．16 B．8＋4
C．12 D．6＋4
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知x>1，則y＝的最大值為_(kāi)_______．
(2)(多選)若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)
A．a(chǎn)b有最小值
B．8＋8有最大值8
C.＋有最小值4
D．a(chǎn)2＋b2有最小值
題型二　基本不等式的常見(jiàn)變形應(yīng)用
例4　(1)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a(chǎn)2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
(2)若0A．b>>a>
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
跟蹤訓(xùn)練2　已知a，b為互不相等的正實(shí)數(shù)，則下列四個(gè)式子中最大的是(　　)
A. B.＋
C. D.
題型三　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
例5　某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙(記為矩形ABCD，如圖)上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄(欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1 440 cm2.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2 cm.當(dāng)直角梯形的高為_(kāi)_________ cm時(shí)，用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)．
跟蹤訓(xùn)練3　中華人民共和國(guó)第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在陜西省舉辦，某公益團(tuán)隊(duì)聯(lián)系全運(yùn)會(huì)組委會(huì)舉辦一場(chǎng)紀(jì)念品展銷(xiāo)會(huì)，并將所獲利潤(rùn)全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品(一個(gè)會(huì)徽和一個(gè)吉祥物)售價(jià)定為x元時(shí)，銷(xiāo)售量可達(dá)到(15－0.1x)萬(wàn)套．為配合這個(gè)活動(dòng)，生產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價(jià)格分為固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為50元，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷(xiāo)售量(單位：萬(wàn)套)成反比，比例系數(shù)為10.約定不計(jì)其他成本，即銷(xiāo)售每套紀(jì)念品的利潤(rùn)＝售價(jià)－供貨價(jià)格．
(1)每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為100元時(shí)，能獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
___________________________________________________________
(2)每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，單套的利潤(rùn)最大？最大值是多少元？
___________________________________________________________
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．下列函數(shù)中，最小值為2的是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝
C．y＝ex＋e－x
D．y＝sin x＋
2.已知a＞0，且b＞0，若2a＋b＝4，則ab的最大值為(　　)
A. B.4 C. D.2
3.若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
4.設(shè)x＞0，則3－3x－的最大值是(　　)
A.3 B.3－2
C.－1 D.3－2
5.下列等式中最小值為4的是(　　)
A.y＝x＋ B.y＝2t＋
C.y＝4t＋(t＞0) D.y＝t＋
6．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則lg a＋lg b的最大值為(　　)
A．0 B. C. D．1
7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為(　　)
A．13 B．12 C．9 D．6
8．已知a，b為正實(shí)數(shù)，a＋b＝3，則＋的最小值為(　　)
A. B. C. D．4
9.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是(　　)
A.6 B. C.4 D.
10．(多選)設(shè)a＝log23，b＝log2，則下列關(guān)系正確的是(　　)
A．a(chǎn)b> B．a(chǎn)b<
C.> D．a(chǎn)b>
11．(多選)若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是(　　)
A．0<≤ B.＋≥1
C．log2a＋log2b<2 D.≤
12.(多選)下列四個(gè)函數(shù)中，最小值為2的是(　　)
A.y＝sin x＋
B.y＝ln x＋(x＞0，x≠1)
C.y＝
D.y＝4x＋4－x
13.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則＋的最小值為_(kāi)_______.
14.某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系式為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的最大年平均利潤(rùn)是________萬(wàn)元.
15.命題“ x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2＞0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
16．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且2a＋b＝1，則＋的最小值為_(kāi)_______．
17．函數(shù)y＝(x>－1)的最小值為_(kāi)_______．
18.(1)當(dāng)x＞1時(shí)，求2x＋的最小值；
(2)當(dāng)x＞1時(shí)，求的最小值.
19.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值.
20．(1)當(dāng)x<時(shí)，求函數(shù)y＝x＋的最大值；
(2)已知021．某企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)．通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本300萬(wàn)元，每生產(chǎn)x(千部)手機(jī)，需另投入成本R(x)萬(wàn)元，且R(x)＝通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)0.7萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．
(1)求出今年的利潤(rùn)W(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關(guān)系式(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售額－成本)；
(2)今年產(chǎn)量為多少(千部)時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
優(yōu)化提升
22.已知△ABC的面積為1，內(nèi)切圓的半徑也為1，若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則＋的最小值為(　　)
A.2 B.2＋
C.4 D.2＋2
23.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無(wú)字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD，過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)
24.已知α，β為銳角，且tan α－tan β＋2tan αtan2β＝0，則tan α的最大值為(　　)
A. B. C. D.
25.(多選)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是(　　)
A.a＋b＋c≤ B.(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1
26．(多選)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
27．若a>0，b>0，則(a＋b)2＋的最小值為_(kāi)_______．
28.(1)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求＋＋的最小值；
(2)若a，b∈R，ab>0，求的最小值.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．A　2.25　3.1
【知識(shí)歸納】
1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b
(3)　
2．(1)2ab　(2)2　(3)2
(4)2
3．(1)2　(2)S2
【題型展示】
例1 (1)　(2)D
例2 6
例3 A
跟蹤訓(xùn)練1 (1)
(2)AD
例4 (1)D
(2)C
跟蹤訓(xùn)練2 B
例5 12
跟蹤訓(xùn)練3 解　(1)每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為100元時(shí)，銷(xiāo)售量為
15－0.1×100＝5(萬(wàn)套)，
供貨單價(jià)為50＋＝52(元)，
總利潤(rùn)為5×(100－52)＝240(萬(wàn)元)．
(2)設(shè)售價(jià)為x元，
則銷(xiāo)售量為(15－0.1x)萬(wàn)套，
供貨單價(jià)為元，
單套利潤(rùn)為x－50－＝元，
因?yàn)?5－0.1x>0，所以0所以單套利潤(rùn)為
y＝x－50－
＝－＋100
≤100－2
＝80，
當(dāng)且僅當(dāng)150－x＝10，即x＝140時(shí)取等號(hào)，
所以每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為140元時(shí)，單套的利潤(rùn)最大，最大值是80元．
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．C　
2.D
3.C
4.D
5.C
6.A　
7.C　
8.A　
9.B
10.BCD
11．BD
12.AD
13.4＋2
14.8
15.(－∞，2＋2)
16.6
17．0　
18.解　(1)2x＋＝2＋2，
∵x＞1，∴x－1＞0，
∴2x＋≥2×2＋2＝10，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝3時(shí)，取等號(hào).
(2)令y＝＝＝(x－1)＋＋2.
因?yàn)閤－1＞0，所以y≥2＋2＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝4時(shí)，y取最小值為8.
19.解　(1)∵xy＝2x＋8y≥2，
即xy≥8，即xy≥64，
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y，即x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立，
∴xy的最小值為64.
(2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，
則x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝12，y＝6時(shí)等號(hào)成立，
所以x＋y的最小值為18.
20．解　(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.
當(dāng)x<時(shí)，有3－2x>0，
所以＋
≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，
即x＝－時(shí)，取等號(hào)．
于是y≤－4＋＝－，故函數(shù)的最大值為－.
(2)因?yàn)?所以4－x2>0，
則y＝x＝≤＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x2＝4－x2，即x＝時(shí)，取等號(hào)，
所以y＝x的最大值為2.
21．解　(1)當(dāng)0當(dāng)x≥40時(shí)，W(x)＝700x－－300＝－＋9 150，
∴W(x)＝
(2)若0W(x)＝－10(x－30)2＋8 700，
當(dāng)x＝30時(shí)，W(x)max＝8 700(萬(wàn)元)．
若x≥40，W(x)＝－＋9 150≤9 150－2＝8 950，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，即x＝100時(shí)，取等號(hào)．
∴W(x)max＝8 950(萬(wàn)元)．
∴今年產(chǎn)量為100千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是8 950萬(wàn)元．
優(yōu)化提升
22.D
23．C
24．A
25.BD
26．BC
27．4
28.解　(1)因?yàn)閍＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＋b＝4時(shí)，等號(hào)成立.
故＋＋的最小值為4.
(2)∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋
≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào).

展開(kāi)更多......

收起↑