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第1部分第3節《等式性質與不等式性質》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)
A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.>
2．若13．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關系是________．
【知識歸納】
1．兩個實數比較大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性質
性質1　對稱性：如果a＝b，那么 ；
性質2　傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性質3　可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
3．不等式的性質
性質1　對稱性：a>b ；
性質2　傳遞性：a>b，b>c ；
性質3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性質4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性質5　同向可加性：a>b，c>d ；
性質6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性質7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用結論：
1．若ab>0，且a>b <.
2．若a>b>0，m>0 <；
若b>a>0，m>0 >.
【題型展示】
題型一　數(式)的大小比較
例1　(1)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P(2)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關系為(　　)
A．MN
C．M≤N D．M≥N
跟蹤訓練1　(1)已知M＝，N＝，則M，N的大小關系為________．
(2)已知a，b為不相等的實數，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關系為(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M題型二　不等式的性質
例2　(1)(多選)若a>0>b>－a，cA．ad>bc B.＋<0
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
(2)已知a>b>c>0，下列結論正確的是(　　)
A．2ab(a－c)
C.> D．(a－c)3>(b－c)3
跟蹤訓練2　(1)(多選)若<<0，則下列不等式正確的是(　　)
A.< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
(2)十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是(　　)
A．若a>b，則ac2>bc2
B．若>，則aC．若aD．若a>b，則a2>b2
題型三　不等式性質的綜合應用
例3　(1)已知3(2)已知－1跟蹤訓練3　(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是(　　)
A．[－7,4] B．[－6,9] C．[6,9] D．[－2,8]
(2)已知實數a，b，c，滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范圍是________．
基礎夯實
1.若a，b∈R，且a＞|b|，則(　　)
A.a＜－b B.a＞b C.a2＜b2 D.＞
2.已知a＋b＜0，且a＞0，則(　　)
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
3.設a＝，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關系為(　　)
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.b＞c＞a
4．若－π<α<β<π，則α－β的取值范圍是(　　)
A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π
C．－2π<α－β<0 D．{0}
5．已知x，y∈R，且x>y>0，則(　　)
A．cos x－cos y>0
B．cos x＋cos y>0
C．ln x－ln y>0
D．ln x＋ln y>0
6.把下列各題中的“＝”全部改成“＜”，結論仍然成立的是(　　)
A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d
B.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd
C.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝
D.如果a＝b，那么a3＝b3
7．已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，則M與N的大小關系為(　　)
A．M>N
B．MC．M≤N
D．M，N大小關系不確定
8．已知a，b∈R，若a>b，<同時成立，則(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
9．(多選)已知aA．b2C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)
10．(多選)已知a，b，c滿足cA．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
11．(多選)設a，b，c，d為實數，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有(　　)
A．c2C．ac0
12．(多選)已知非零實數a，b滿足a>|b|＋1，則下列不等關系一定成立的是(　　)
A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1
C．a2>4b D.>b＋1
13.(多選)對于實數a，b，c，下列命題是真命題的為(　　)
A.若a＞b，則ac＜bc
B.若ac2＞bc2，則a＞b
C.若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2
D.若a＞0＞b，則|a|＜|b|
14.(多選)下面四個選項能推出＜的有(　　)
A.b＞0＞a B.0＞a＞b
C.a＞0＞b D.a＞b＞0
15.設f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________.
16.實數a，b，c，d滿足下列三個條件：
①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.
那么a，b，c，d的大小關系是________.
17.已知非零實數a，b滿足a＞b，則下列結論正確的是________(填序號).
①＜；②a3＞b3；③2a＞2b；④ln a4＞ln b4.
18．eπ·πe與ee·ππ的大小關系為________．
19．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，則M________N．(填“>”“<”或“＝”)
20．能夠說明“設a，b，c是任意實數．若a2>b2>c2，則a＋b>c”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為________．
21．若1<α<3，－4<β<2，則2α＋|β|的取值范圍是________．
22.已知a＋b＞0，試比較＋與＋的大小.
23.(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求證：≤；
(2)已知c＞a＞b＞0，求證：＞.
優化提升
24.已知實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關系為(　　)
A.a＜b≤c B.b≤c＜a
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
25．已知0A．mC．p26．已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
27．(多選)設實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則下列不等式成立的是(　　)
A．cC．b≤a D．a28.已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c滿足f(1)＝0，且a>b>c，則的取值范圍是________.
29．實數a，b，c，d滿足下列三個條件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小關系是________．
30.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.
(1)求證：b＋c＞0.
(2)求證：＜.
(3)在(2)的不等式中，能否找到一個代數式，滿足＜所求式＜？若能，請直接寫出該代數式；若不能，請說明理由.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．D　
2.
3.M>N
【知識歸納】
1．>　＝　<
2．b＝a　a＝c　＝
3．bc　ac>bc　aca＋c>b＋d　ac>bd
【題型展示】
例1 (1)C
(2)B
跟蹤訓練1 (1)M>N
(2)A
例2 (1)BCD
(2)D
跟蹤訓練2 (1)AC　(2)C
例3 (1)
(2)(－4,2)　(1,18)
跟蹤訓練3 (1)A
(2)－2<<－
基礎夯實
1.B
2.A
3.B
4.C　
5.C　
6.D
7．B　
8.A　
9.AD　
10.BCD
11．AD
12．ABC
13.BC
14.ABD
15.[5，10]
16.b＞d＞c＞a
17.②③
18．eπ·πe19．>　
20.－3，－1,0(答案不唯一)
21．(2,10)
22.＋－＝＋
＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
23.證明　(1)∵bc≥ad，＞0，∴≥，
∴＋1≥＋1，∴≤.
(2)∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0.
∵a＞b＞0，∴＜，
又∵c＞0，∴＜，∴＜，
又c－a＞0，c－b＞0，∴＞.
優化提升
24.A
25．A
26．A
27．BD
28.
29．b>d>c>a
30.(1)證明　因為|b|＞|c|，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0.
(2)證明　因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0，
所以0＜＜①.
因為a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0②.
①②相乘得＜.
(3)解　因為a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，
所以＜＜或＜＜.
所以，均為所求代數式.(只要寫出一個即可)