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第1部分第2節《常用邏輯用語》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．(多選)下列命題中為真命題的是(　　)
A． x∈R，x2>0 B． x∈R，－1≤sin x≤1
C． x∈R，2x<0 D． x∈R，tan x＝2
2．命題“ x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)
A． x∈R，ex－1≥x B． x∈R，ex－1≤x
C． x∈R，ex－13．若“x>3”是“x>m”的必要不充分條件，則m的取值范圍是________．
【知識歸納】
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
2．全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示．
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示．
3．全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記
否定 x∈M，綈p(x)
常用結論：
1．充分、必要條件與對應集合之間的關系
設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分條件，則A B；
(2)若p是q的充分不必要條件，則A?B；
(3)若p是q的必要不充分條件，則B?A；
(4)若p是q的充要條件，則A＝B.
2．含有一個量詞命題的否定規律是“改變量詞，否定結論”．
3．命題p與p的否定的真假性相反．
【題型展示】
題型一　充分、必要條件的判定
例1　(1)等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數列，則(　　)
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
(2)“a>b>0”是“>1”的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
跟蹤訓練1　(1)(多選)已知冪函數f(x)＝(4m－1)xm，則下列選項中，能使得f(a)>f(b)成立的一個充分不必要條件是(　　)
A．0<< B．a2>b2
C．ln a>ln b D．2a>2b
(2) “a·b＝|a||b|”是“a與b共線”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型二　充分、必要條件的應用
例2　已知集合A＝{x|－2(1)若m＝2，求集合A∩B；
(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在實數m，使p是q的必要不充分條件，若存在實數m，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
跟蹤訓練2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分條件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件這三個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題．
問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)當a＝2時，求A∩B；
(2)若________，求實數a的取值范圍．
題型三　全稱量詞與存在量詞
命題點1　含量詞命題真假的判斷
例3　(多選)下列命題中為真命題的是(　　)
A． x∈R，≤1
B．對于 x∈R，n∈N*且n>1，都有＝x
C． x∈R，ln(x－1)2≥0
D． x∈R，ln x≥x－1
命題點2　含量詞命題的否定
例4　命題“ a∈R，x2－ax＋1＝0有實數解”的否定是(　　)
A． a∈R，x2－ax＋1＝0無實數解
B． a∈R，x2－ax＋1＝0無實數解
C． a∈R，x2－ax＋1≠0有實數解
D． a∈R，x2－ax＋1≠0有實數解
命題點3　含量詞命題的應用
例5　若“ x∈，sin xA. B．－ C. D．－
跟蹤訓練3　(1)(多選)下列命題是真命題的是(　　)
A． x∈R，－x2－1<0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑
D．存在實數x，使得＝
(2)已知命題p： n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
(3)若命題“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命題，則實數a的取值范圍是________．
基礎夯實
1．“x2>2 021”是“x2>2 022”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．已知命題p： x∈Q，使得x N，則綈p為(　　)
A． x Q，都有x N B． x Q，使得x∈N
C． x∈Q，都有x∈N D． x∈Q，使得x∈N
3.已知m，n是平面α內的兩條相交直線，且直線l⊥n，則“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
4.已知命題p： x∈(0，1)，ex－a≥0，若綈p是真命題，則實數a的取值范圍是(　　)
A.a＞1 B.a≥e C.a≥1 D.a＞e
5.設函數f(x)的定義域為[0，1]，則“函數f(x)在[0，1]上單調遞增”是“函數f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
6.若關于x的不等式|x－1|＜a成立的充分條件是0＜x＜4，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(－∞，1] B.(－∞，1)
C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)
7.若等差數列{an}的前n項和為Sn，則“S2 020＞0，S2 021＜0”是“a1 010a1 011＜0”的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
8.已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
9.南北朝時期的偉大科學家祖暅在數學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為V1，V2，被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為S1，S2，則“S1，S2不總相等”是“V1，V2不相等”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10.命題p： x∈R，x2＋＞4，則綈p為(　　)
A. x∈R，x2＋≤4
B. x R，x2＋≤4
C. x∈R，x2＋≤4
D. x R，x2＋＞4
11．已知a，b是兩條不重合的直線，α為一個平面，且a⊥α，則“b⊥α”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
12．命題“ 1≤x≤2，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是(　　)
A．a≥4 B．a≥5
C．a≤4 D．a≤5
13．已知命題：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，則實數a的取值范圍是(　　)
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
14．(多選)下列命題是真命題的是(　　)
A．所有的素數都是奇數
B．有一個實數x，使x2＋2x＋3＝0
C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要條件
D．命題“ x∈R，x＋2≤0”的否定是“ x∈R，x＋2>0”
15．(多選)若“ x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則實數λ可能的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．3
16.(多選)下列命題中是真命題的有(　　)
A. x∈R，log2x＝0
B. x∈R，cos x＝1
C. x∈R，x2＞0
D. x∈R，2x＞0
17．已知命題“ x∈{x|－218．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要條件，則實數m的取值范圍是________．
19.命題“ x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2”的否定為__________________________.
20.設命題p：x>4；命題q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________條件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”).
21.直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點的充要條件是________.
22.已知命題p： x∈R，x2－a≥0；命題q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p，q都是真命題，則實數a的取值范圍為________.
23．命題“ x∈，sin x24．使得“2x>4x”成立的一個充分條件是________．
優化提升
25．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝kan＋k，則“數列{an}為等差數列”是“k＝1”的(　　)
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
26．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
27.(多選)下列說法正確的是(　　)
A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要條件
B.“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要條件
C.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A B
D.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要條件
28.(多選)下列四個命題中，為假命題的是(　　)
A. x∈(0，1)，2x＝
B.“ x∈R，x2＋x－1＞0”的否定是“ x∈R，x2＋x－1＜0”
C.“函數f(x)在(a，b)內f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)內單調遞增”的充要條件
D.已知f(x)在x0處存在導數，則“f′(x0)＝0”是“x0是函數f(x)的極值點”的必要不充分條件
29．(多選)若“ x∈M，|x|>x”為真命題，“ x∈M，x>3”為假命題，則集合M可以是(　　)
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．(3，＋∞) D．[0,3]
30.已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是________.
31.已知函數f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1).
(1)若 x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，則實數m的取值范圍為________；
(2)若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，則實數a的取值范圍為________.
32．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下：甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”，經過調查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是________．
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．BD　2.C　3.(3，＋∞)
【知識歸納】
1．充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
2．(1) 　(2)
3． x∈M，p(x)　 x∈M，p(x)　 x∈M，綈p(x)
【題型展示】
例1 (1)B
(2)B
跟蹤訓練1 (1)AC　(2)A
例2 解　(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，
得x2－4x＋3<0，解得1所以B＝{x|1又A＝{x|－2所以A∩B＝{x|1(2)由x2－2mx＋m2－1<0，
得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，
所以m－1所以B＝{x|m－1由p是q的必要不充分條件，
得集合B是集合A的真子集，
所以 －1≤m≤2(兩端等號不會同時取得)，
所以m的取值范圍為[－1,2]．
跟蹤訓練2 解　(1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}
＝{x|－1當a＝2時，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)若選①A∪B＝B，則A B，
所以解得－1即a∈(－1,1)；
若選②“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A B，所以
解得－1若選③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件，則A B，所以
解得－1例3 AD
例4 B
例5 D
跟蹤訓練3 (1)ABC
(2)C
(3)(－∞，－1)∪(3，＋∞)
基礎夯實
1．B　
2.C　
3.A
4.B
5.A
6.D
7.B
8.A
9．B
10.A
11.C　
12.B　
13.B　
14.CD
15．AB
16.ABD
17．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
18.
19. x∈(1，＋∞)，x2＋x＞2
20.充分不必要
21.－1＜k＜3
22.(－∞，－2]
23． x∈，sin x≥cos x
24．x<－1(答案不唯一)
優化提升
25．B
26．C
27.BC
28.BC
29．AB
30.(0，2]
31.(1)[3，＋∞)　(2)(1，]
32．乙

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