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第1部分第1節《集合》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．下列集合與集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
2．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A∩B等于(　　)
A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4}
3．設全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，則A∪B＝________， U(A∩B)＝________.
【知識歸納】
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：____________、____________、____________.
(2)元素與集合的關系是________或________，用符號______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常見數集的記法
集合 非負整數集(或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N*(或N＋)
2.集合的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作________(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且________，就稱集合A是集合B的真子集，記作________(或B?A)．
(3)相等：若A B，且________，則A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是________________的子集，是________________________的真子集．
3．集合的基本運算
表示運算 　 集合語言 圖形語言 記法
并集
交集
補集
常用結論：
1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
【題型展示】
題型一　集合的含義與表示
例1 (1)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，則實數a的值為(　　)
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
(2)設集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，則集合A∩B的元素個數為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
跟蹤訓練1 (1)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個數為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(多選)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，則下列四個命題中，錯誤的命題是(　　)
A．0 M B．{0}∈M
C．{1} M D．1 M
題型二　集合間的基本關系
例2 (1)設集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，當x∈Z時，集合A的真子集有________個；當B A時，實數m的取值范圍是________．
(2)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，則下列結論正確的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝
C．A?B D．B A
跟蹤訓練2 (1)函數f(x)＝的定義域為A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B A，則實數a的取值范圍是________________．
(2)(多選)已知非空集合M滿足：①M {－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，則x2∈M.則集合M可能是(　　)
A．{－1,1} B．{－1,1,2,4}
C．{1} D．{1，－2,2}
題型三　集合的基本運算
命題點1　利用集合的運算求參數的值(范圍)
例3 已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若( RA)∪B＝R，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
命題點2　集合的運算
例4 (1)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T等于(　　)
A． B．S C．T D．Z
(2)設全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　)
A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2}
C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}
跟蹤訓練3 (1)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，則a的取值范圍是(　　)
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
(2)設全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，則 U(A∪B)等于(　　)
A．{1,3} B．{0,3}
C．{－2,1} D．{－2,0}
題型四　集合的新定義問題
例5 (1)已知集合M＝{1,2,3,4}，A M，集合A中所有元素的乘積稱為集合A的“累積值”，且規定：當集合A只有一個元素時，其累積值即為該元素的數值，空集的累積值為0.設集合A的累積值為n.
①若n＝3，則這樣的集合A共有________個；
②若n為偶數，則這樣的集合A共有________個．
(2)(多選)當一個非空數集F滿足條件“若a，b∈F，則a＋b，a－b，ab∈F，且當b≠0時，∈F”時，稱F為一個數域，以下說法正確的是(　　)
A．0是任何數域的元素
B．若數域F有非零元素，則2 023∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}為數域
D．有理數集為數域
跟蹤訓練4 設集合U＝{2,3,4}，對其子集引進“勢”的概念：①空集的“勢”最小；②非空子集的元素越多，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大．最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，依此類推．若將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列，則排在第6位的子集是________．
基礎夯實
1．設全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M滿足 UM＝{1,3}，則(　　)
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
2.已知集合A＝{x|－1A.{x|0≤x<1} B.{x|－1C.{x|13.設集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，則(A∩B)∪C＝(　　)
A.{0} B.{0，1，3，5}
C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
4.設集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，則M∪N等于(　　)
A.[0，1] B.(0，1]
C.[0，1) D.(－∞，1]
5．已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，則B等于(　　)
A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0}
C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}
6．已知集合A＝{x|1m}，若A∩( RB)＝ ，則實數m的取值范圍為(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
7.已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B A，則實數a＝(　　)
A.－1 B.2
C.－1或2 D.1或－1或2
8.已知集合A＝{x|y＝log2(x2－8x＋15)}，B＝{x|a＜x＜a＋1}，若A∩B＝ ，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(－∞，3] B.(－∞，4]
C.(3，4) D.[3，4]
9.設集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，則滿足M (A∩B)的集合M的個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知集合A＝{x|x＞－1，x∈R}，B＝{x|x2－x－2≥0，x∈R}，則下列關系中，正確的是(　　)
A.A B B. RA RB
C.A∩B＝ D.A∪B＝R
11.若集合A＝{x∈N|(x－3)(x－2)＜6}，則A中的元素個數為(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
12．設集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1A．{x|－1C．{0,1} D．{1}
13．集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，則M∩N等于(　　)
A．{(2，－1)} B．{2，－1}
C．{(1,2)} D．{1,2}
14．已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，則A∩( RB)等于(　　)
A．[3,7) B．(－1,0]∪[3,7)
C．[7，＋∞) D．(－∞，－1)∪[7，＋∞)
15．(多選)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，則實數m的值為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
16．(多選)已知全集U的兩個非空真子集A，B滿足( UA)∪B＝B，則下列關系一定正確的是(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．( UB)∪A＝A
17.已知集合A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，若A∩B＝(－1，n)，則m＋n＝________.
18.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，則m＝________.
19.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，則圖中陰影部分所表示的集合為________.
20.已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，則Venn圖中陰影部分的集合為________．
21．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，則m的值可能是________．
22．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．當m＝－1時，則A∪B＝________；若A∩B＝B，則m的取值范圍為________．
23.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝ ，則實數m的取值范圍是________.
24．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，則S∩( UT)＝________，集合S共有________個子集．
優化提升
25.(多選)若集合A＝{x|sin 2x＝1}，B＝，則下列結論正確的是(　　)
A.A∪B＝B B. RB RA
C.A∩B＝ D. RA RB
26.(多選)由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀，直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數(史稱戴德金分割)，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2 000多年的數學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中每一個元素小于N中的每一個元素，則稱(M，N)為戴德金分割.試判斷下列選項中，可能成立的是(　　)
A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一個戴德金分割
B.M沒有最大元素，N有一個最小元素
C.M有一個最大元素，N有一個最小元素
D.M沒有最大元素，N也沒有最小元素
27．(多選)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則集合B可能為(　　)
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
28．(多選)1872年德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數(史稱“戴德金分割”)，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了數學史上的第一次大危機．將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱(M，N)為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是(　　)
A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}滿足戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
29.設A是整數集的一個非空子集，對于k∈A，如果k－1 A且k＋1 A，那么k是A的一個“孤立元”，給定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________個.
30.若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規定：當且僅當A1＝A2時，(A1，A2)與(A2，A1)是集合A的同一種分拆.若集合A有三個元素，則集合A的不同分拆種數是________.
31．某小區連續三天舉辦公益活動，第一天有190人參加，第二天有130人參加，第三天有180人參加，其中，前兩天都參加的有30人，后兩天都參加的有40人．第一天參加但第二天沒參加活動的有________人，這三天參加活動的最少有________人．
32．我們將b－a稱為集合{x|a≤x≤b}的“長度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|n－2 023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，則集合M∩N的“長度”的最小值為________．
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　2.B 3．{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3}
【知識歸納】
1．(1)確定性　互異性　無序性
(2)屬于　不屬于　∈　
(3)列舉法　描述法　圖示法
(4)N　Z　Q　R
2．(1)任意一個元素　A B　(2)x A
A?B　(3)B A　(4)任何集合
任何非空集合
3．{x|x∈A，或x∈B}　A∪B
{x|x∈A，且x∈B}　A∩B
{x|x∈U，且x A}　 UA
【題型展示】
例1
(1)C
(2)C
跟蹤訓練1
(1)C　(2)ABD
例2
(1)15　(－∞，－2)∪[－1,0]
(2)C
跟蹤訓練2
(1)(－∞，－3]∪[5，＋∞)
(2)AC
例3 B
例4 (1)C
(2)C
跟蹤訓練3
(1)A　(2)D
例5
(1)2　13
(2)ABD
跟蹤訓練4
{2,4}
基礎夯實
1.A　
2.B
3.C
4.A
5.B　
6.A
7.C
8.D
9.C
10.D
11.B
12.C　
13.C　
14.B　
15．AD
16．CD
17.0
18.0或3
19.{x|0＜x≤6}
20.{－1,2,3}
21．0，－，
22．[－5,3]　[0,2]∪(4，＋∞)
23.[0，＋∞)
24．{1,5}　8　
優化提升
25.AB
26.BD
27．BD
28．BD
29.6
30.27
31．160　290
32．2 021

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