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人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
專題 相似三角形中比例式等積式證明的七種技巧
解題策略
證比例式或等積式，若所遇問題中無平行線或相似三角形，則需構造平行線或相似三角形，得到成比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個三角形中，可嘗試證這兩個三角形相似；若不在兩個三角形中，可先將它們轉化到兩個三角形中，再證這兩個三角形相似，若在兩個明顯不相似的三角形中，可運用中間比代換.
技巧1：構造平行線法
證比例式或等積式，若所遇問題中無平行線或相似三角形，則通常需構造平行線，由平行線截得的線段成比例得到成比例線段。
【例1-1】如圖，等邊三角形ABC中，點P，Q分別在邊AB，AC上，BP＝2CQ．過由Q作PQ的垂線，交邊BC于點R．若求△ABC的周長，則只需知道（ ）
A．四邊形APRQ的周長 B．四邊形PQCR的周長
C．△BPR的周長 D．△APQ的周長
【例1-2】如圖，在中，是邊上中線，F是線段上一點，且，連接并延長交于E，則等于（ ）
A． B． C． D．
針對訓練1
1．如圖，在三角形中，，，點M是的中點，是的角平分線，，則（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在中，平分，過點A作交于點H，且H是的中點．若，則的長為 ．
3．閱讀與計算，請閱讀以下材料，完成相應的任務．
角平分線分線段成比例定理：
如圖1，在△ABC中，AD平分，則．
下面是這個定理的部分證明過程．
證明：如圖2，過C作，交BA的延長線于點E．
(1)任務一：請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
(2)任務二：如圖3，△ABC中，E是BC中點，AD是的平分線，交AC于F．若，，直接寫出線段FC的長．
4．已知如圖，點是邊上一點，且，過點任作一條直線與、分別交于點和，求證：．
技巧2 三點定型法
“三點定型法” 即由有關線段的三個不同的端點來確定三角形的方法. 具體做法是:先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”，若不能，再看每個比的前后兩項的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，只要這兩個三角形相似就行了，這叫做“豎定”。
【例2-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長線于F，求證：CD2＝DE DF．
【例2-2】．如圖，已知梯形中，．是邊上一點，與對角線交于點，且．
求證：
(1)；
(2)．
針對訓練2
1．如圖，在中，是邊上的一點，若，求證：.
2．(1) 已知拋物線的圖象經過點（-2，-1），其對稱軸為x=-1．求拋物線的解析式．
(2)如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別是BC，AB邊上的點，且∠ADE=∠C．
求證：

3．如圖所示，在矩形中，是上一點，于點．
求證：．
若，，求的長．
4．如圖，在中，.
(1)和相似嗎？
(2)小明說：“”，你同意嗎？
技巧3 構造相似三角形法
所要證明的比例線段不在相似三角形中，需要通過添加常用輔助線，構造三角形相似解決問題．可以構造角相等等方法構造相似三角形。
【例3-1】如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上任意一點，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點M，N.
求證：BP·CP＝BM·CN.
【例3-2】如圖，已知AC為的直徑，直線PA與相切于點A，直線PD經過上的點B且，連接OP交AB于點M．求證：
(1)PD是的切線；
(2)
針對訓練3
1．如圖，矩形的四個頂點正好落在四條平行線上，并且從上到下每兩條平行線間的距離都是1，如果，那么的長是 ．
2．如圖①，在Rt中，，，點D為邊上的一點，連接，過點C作于點F，交于點E，連接．
(1)若，求證：；
(2)如圖②，若，，求的值．
3．已知：如圖，在中，點、分別在邊、上，，．
(1)求證：；
(2)延長、交于點，求證：．
技巧4 等線段代換法
從要證的結論難以找到相似三角形時，往往可用相等線段、倍數或倍分線段去替換結論中的某些線段，再用三點定型法找相似三角形。
【例4-1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC BE＝CE AD．
【例4-2】如圖，在平行四邊形中，點在邊上，交于點，．
(1)求證：；
(2)如果．
①求的長；
②若，求的長．
針對訓練4
1.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是邊BC上的中線，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點H．
（1）求證：BD2＝DH DA；
（2）過點C作CF∥AB交BE的延長線于點F．求證：HB2＝HE HF．
2 .在中，，是高，平分，分別與相交于點
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，，，求的長．
技巧5 等比代換法
要證明的比例式無法直接通過平行或相似證出時，往往要找中間比進行過渡。
【例5-1】如圖，已知CE是Rt△ABC斜邊AB上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，BG⊥AP垂足為G，交CE于D，
求證：CE2＝PE DE．
【例5-2】.如圖，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于點F．求證：
（1）△DFB∽△AFD；
（2）AB：AC＝DF：AF．
針對訓練5
1 .如圖，、是兩個等腰直角三角形，．

(1)當時，求；
(2)求證：；
(3)求證：．
2 ..已知：如圖，在四邊形中，，對角線、交于點，點在邊上，連接交線段于點，．
（1）求證：；
（2）連接，求證：．
技巧6 等積代換法
要證明的比例式無法直接通過平行或相似證出時，往往要找中間比進行過渡
【例6-1】已知：如圖，CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP．求證：CE2＝ED EP．
【例6-2】．如圖，是斜邊上的高，在的延長線上任取一點P，連接，作于點G，交于點D．求證：．
針對訓練6
1．材料1：過對互補的四邊形的四個頂點能作一個圓．
材料2：既有外接圓，又有內切圓的四邊形叫做雙心四邊形．請根據材料解決以下問題：
(1)判斷下列說法是否正確
①菱形一定是雙心四邊形（ ）
②矩形不一定是雙心四邊形（ ）
③正方形一定是雙心四邊形（ ）
(2)如圖，任意畫一個圓，設圓心為O，然后在圓中任意作兩條互相垂直相交的弦EF和GH，再過這些弦的端點作圓O的切線，所得切線圍成一個四邊形ABCD，
①求證：四邊形ABCD是雙心四邊形．
②求證：AE·CF=DG·BH．
2．如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，點O為斜邊AB的中點，連接CD交AB于點E．
（1）求證：A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；
（2）求證：CD平分∠ACB；
（3）過點D作DF∥BC交AB于點F，求證：BO2+OF2＝EF BF．
3 .如圖，在△ABC中，AD，BF分別是BC，AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC的延長線于H，求證：DE2＝EG·EH.
4 .如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求證：
技巧7 等線段代換法
【例7-1】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點P是AD上一點，CF∥AB，延長BP交AC于點E，交CF于點F.求證：BP ＝PE·PF.
【例7-2】如圖，△ABC中，AD是中線，且CD2＝BE BA．求證：ED AB＝AD BD．
針對訓練7
1 .如圖，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分線EP交BC的延長線于點P.
求證：PD2＝PB·PC.
2．如圖，中，，在上分別截取的延長線相交于點F，證明：．
3．在中，D為上的一點，E為延長線上的一點，交于F．求證：
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
專題 相似三角形中比例式等積式證明的七種技巧
解題策略
證比例式或等積式，若所遇問題中無平行線或相似三角形，則需構造平行線或相似三角形，得到成比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個三角形中，可嘗試證這兩個三角形相似；若不在兩個三角形中，可先將它們轉化到兩個三角形中，再證這兩個三角形相似，若在兩個明顯不相似的三角形中，可運用中間比代換.
技巧1：構造平行線法
證比例式或等積式，若所遇問題中無平行線或相似三角形，則通常需構造平行線，由平行線截得的線段成比例得到成比例線段。
【例1-1】如圖，等邊三角形ABC中，點P，Q分別在邊AB，AC上，BP＝2CQ．過由Q作PQ的垂線，交邊BC于點R．若求△ABC的周長，則只需知道（ ）
A．四邊形APRQ的周長 B．四邊形PQCR的周長
C．△BPR的周長 D．△APQ的周長
【答案】C
【分析】取的中點，連接，過點作交于點，過點作，交于點，根據等邊三角形的性質與判定可知是等邊三角形，進而證明是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，，根據三角形中位線的性質可得，根據平行四邊形的性質可得，計算的周長為，即可求解．
【詳解】如圖，取的中點，連接，過點作交于點，過點作，交于點，
是等邊三角形，
，，
，
是等邊三角形，
同理可得是等邊三角形，
，
則，
即，
是的中點，則，
中，是斜邊上的中線，
，
，，
，即為的中點，
，
，
，
又，
，
三點共線，
是等邊三角形，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
．
△BPR的周長等于，等邊三角形的周長等于．
故選C．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，綜合運用以上知識是解題的關鍵．
【例1-2】如圖，在中，是邊上中線，F是線段上一點，且，連接并延長交于E，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，過點過點D作，交于H，，先根據平行線分線段成比例定理得到，再根據平行線分線段成比例定理得到，進一步即可得到答案．
【分析】解：如圖，過點D作，交于H，
∵是邊上中線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
針對訓練1
1．如圖，在三角形中，，，點M是的中點，是的角平分線，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形中位線定理，平行線的性質，等角對等邊，過點M作交于點N，根據中位線求出，根據平行線得到， 從而得到，再求出即可得到答案；
【詳解】解：過點M作交于點N，
∵，點M是的中點，
∴，
∴點N是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∵，，
∴，，
∵是的角平分線，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
，
∴，
∵是的中位線，
∴，
∴，
故選：B．
2．如圖，在中，平分，過點A作交于點H，且H是的中點．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識，作交于點K，由平行線分線段成比例定理可證，根據勾股定理求出的長，進而可求出的長．
【詳解】解：作交于點K，
∴，．
∵H是的中點，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
3．閱讀與計算，請閱讀以下材料，完成相應的任務．
角平分線分線段成比例定理：
如圖1，在△ABC中，AD平分，則．
下面是這個定理的部分證明過程．
證明：如圖2，過C作，交BA的延長線于點E．
(1)任務一：請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
(2)任務二：如圖3，△ABC中，E是BC中點，AD是的平分線，交AC于F．若，，直接寫出線段FC的長．
【答案】(1)見解析
(2)13
【分析】（1）根據得到，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，根據∠1＝∠2，∴得到∠ACE＝∠E，AE＝AC，得到；
（2）根據AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得到，得到，根據E是BC的中點，得到，根據EF∥AD，得到，
CF=13．
【詳解】（1）證明：證明的剩余部分，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，
∴，
即．
（2）解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是BC的中點，
∴，
∵EF∥AD，
∴，
∴CF=13．
【點睛】本題考查了角平分線性質的證明和應用，解決問題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，線段的和差倍分關系．
4．已知如圖，點是邊上一點，且，過點任作一條直線與、分別交于點和，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】過點作，構造平行四邊形，得到，再根據平行線分線段成比例定理，得到和，結合即可得證．
【詳解】證明：過點分別作，，
得到四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
設，則，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【點睛】本題考查的知識點是平行四邊形性質、平行線分線段成比例定理，解題關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．
技巧2 三點定型法
“三點定型法” 即由有關線段的三個不同的端點來確定三角形的方法. 具體做法是:先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”，若不能，再看每個比的前后兩項的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，只要這兩個三角形相似就行了，這叫做“豎定”。
【例2-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長線于F，求證：CD2＝DE DF．
【點睛】由條件可得CD＝DA，則有∠A＝∠ECD＝∠F，可證明△CDE∽△FDC，可得，可得結論．
【詳解】證明：∵DF垂直平分AB，且∠ACB＝90°，
∴CD＝DA，
∴∠A＝∠DCA，
且∠A+∠B＝∠F+∠B，
∴∠A＝∠F，
∴∠DCA＝∠F，且∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC，
∴，
∴CD2＝DE DF．
【例2-2】．如圖，已知梯形中，．是邊上一點，與對角線交于點，且．
求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由可證，得到，再由得到，即可證明；
（2）由得到，得到，進而得到，即可得到．
【詳解】（1）∵，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，相似三角形判定方法是解題的關鍵．
針對訓練2
1．如圖，在中，是邊上的一點，若，求證：.
【答案】見解析
【分析】根據相似三角形的判定，由題意可得，進而根據相似三角形的性質，可得，推論即可得出結論.
【詳解】證明：∵，
∴，
∴，
即.
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質，靈活運用相關性質是解題的關鍵.
2．(1) 已知拋物線的圖象經過點（-2，-1），其對稱軸為x=-1．求拋物線的解析式．
(2)如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別是BC，AB邊上的點，且∠ADE=∠C．
求證：

【答案】（1）；（2）詳見解析.
【分析】1）利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）由AB=AC可得∠B=∠C，由已知條件∠ADE=∠C可證∠BDE=∠CAD，根據相似三角形的判定定理即可證△BDE∽△CAD，由相似三角形的性質可得結論．
【詳解】（1）解：由題意得，，解得
∴拋物線的解析式為
（2）證明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADB=∠C+∠DAC ∠ADE=∠C．
∠ADB=∠ADE+∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴△BDE∽△CAD
∴
∴.
故答案為（1）；（2）詳見解析.
【點睛】本題考查待定系數法求二次函數的解析式，相似三角形的判定及性質，解題的關鍵是能夠掌握并熟練運用所學知識．
3．如圖所示，在矩形中，是上一點，于點．
求證：．
若，，求的長．
【答案】(1)詳見解析;(2)3.
【分析】（1）根據四邊形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根據相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（2）由（1）可知DF：AF=CE：DC，再結合已知條件即可求出CE的長．
【詳解】證明：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∴，
即；
∵；
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了矩形與三角形的性質，解題的關鍵是熟練的掌握矩形與三角形的性質.
4．如圖，在中，.
(1)和相似嗎？
(2)小明說：“”，你同意嗎？
【答案】(1)和相似，理由見解析
(2)同意，理由見解析
【分析】（1）先由等邊對等角得出，再根據三角形外角的性質及已知條件證明出，又是公共角，從而證明出和相似；
（2）由可得，再化為乘積的形式即可得出．
【詳解】（1）解：和相似．理由如下：
∵，
∴，
又∵．
∴．
∵在和中，
，
∴．
（2）解：我同意小明的說法．理由如下：
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性質等知識點，掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關鍵．
技巧3 構造相似三角形法
所要證明的比例線段不在相似三角形中，需要通過添加常用輔助線，構造三角形相似解決問題．可以構造角相等等方法構造相似三角形。
【例3-1】如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上任意一點，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點M，N.
求證：BP·CP＝BM·CN.
證明：如圖，連接PM，PN.
∵MN 是AP的垂直平分線，
∴MA=MP，NA=NP.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠1+∠3=60°.
∴∠2+∠4=60°.∴∠5+∠6=120°.
又∵∠6+∠7=180°-∠C=120°,
∴∠5=∠7.∴.△BPM∽ΔCNP
∴，即BPBMCN.
【例3-2】如圖，已知AC為的直徑，直線PA與相切于點A，直線PD經過上的點B且，連接OP交AB于點M．求證：
(1)PD是的切線；
(2)
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接OB，由等邊對等角及直徑所對的圓周角等于90°即可證明；
（2）根據直線PA與相切于點A，得到，根據余角的性質得到，繼而證明，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【詳解】（1）連接OB，
，
，
AC為的直徑，
，
，
，
，
PD是的切線；
（2）直線PA與相切于點A，
，
∵PD是的切線，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
針對訓練3
1．如圖，矩形的四個頂點正好落在四條平行線上，并且從上到下每兩條平行線間的距離都是1，如果，那么的長是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了三角形相似的判定和性質，平行線的性質，矩形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．過點B作于點E，延長交最上面的平行線于點F，正面，得出，求出，根據勾股定理得出即可．
【詳解】解：過點B作于點E，延長交最上面的平行線于點F，如圖所示：
則，，，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
2．如圖①，在Rt中，，，點D為邊上的一點，連接，過點C作于點F，交于點E，連接．
(1)若，求證：；
(2)如圖②，若，，求的值．
【答案】(1)答案見詳解
(2)
【分析】（1）要證，過點B作，交的延長線于H，證得，得出與的數量關系，再證得，得出根據線段間關系，即可求證；
（2）要求的值，根據角度間的轉化，得出，即可求出的值，根據，推出，即可得到最后結果．
【詳解】（1）證明：如圖，過點B作，交的延長線于H，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
,，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
設，則，
，,
，
解得（舍去），，
，
又，
．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質，求證三角形相似和全等，正確做出輔助線，利用直角三角形特殊三角函數求角，是解本題的關鍵．
3．已知：如圖，在中，點、分別在邊、上，，．
(1)求證：；
(2)延長、交于點，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，關鍵是找到相似的三角形．
（1）由，得出，根據，得出，進一步證明，從而得出結論；
（2）根據（1）的結論和已知證明即可．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如圖所示，延長和相交于點F，
由（1）得，
，
，
，
∴，
，
又，
，
又，
．
技巧4 等線段代換法
從要證的結論難以找到相似三角形時，往往可用相等線段、倍數或倍分線段去替換結論中的某些線段，再用三點定型法找相似三角形。
【例4-1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC BE＝CE AD．
【點睛】由四邊形ABCD是平行四邊形，∠ECA＝∠D，易證得∠ECA＝∠B，又由∠E是公共角，證得△EAC∽△ECB，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得AC：BC＝CE：BE，繼而可得AC BE＝CE AD．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD，CD∥AB，AD∥BC，
∴∠D＝∠DAE＝∠B，
∵∠ECA＝∠D，
∴∠ECA＝∠B，
∵∠E＝∠E，
∴△EAC∽△ECB，
∴AC：BC＝CE：BE，
∴AC BE＝CE BC，
∴AC BE＝CE AD．
【例4-2】如圖，在平行四邊形中，點在邊上，交于點，．
(1)求證：；
(2)如果．
①求的長；
②若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【分析】本題考查了平行四邊形性質，相似三角形性質與判定，平行線分線段成比例，解題的關鍵是根據平行四邊形得到相似三角形的條件．
（1）根據平行四邊形的性質，知道，，結合，先證明，然后根據相似三角形對應邊成比例，得證；
（2）①先證明，得到，再證明，得到，解得的長度，最后利用算得的長度；
②通過平行線分線段成比例，，算得的長度，再通過，得到，從而算得的長度．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形
，
，
．
，即．
（2）①解：
，即
，
解得：（舍去負值）
②解：
，
針對訓練4
1.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是邊BC上的中線，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點H．
（1）求證：BD2＝DH DA；
（2）過點C作CF∥AB交BE的延長線于點F．求證：HB2＝HE HF．
【點睛】（1）利用等腰三角形的三線合一性質及對頂角、互余等關系，得出角等，從而證得△BAD∽△DBH，利用相似三角形的性質寫出相似比，進而寫成乘積形式即可；
（2）連接HC，由AD垂直平分BC得HC＝HB，利用互余關系及平行線的性質得∠HCF＝90°，進而推得△FHC∽△CHE，利用相似三角形的性質寫出相似比，再將HC替換成HB，再寫成乘積形式即可．
【詳解】解：（1）證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是邊BC上的中線
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
∴∠ADB＝90°
∵BE⊥AC于點E
∴∠HEA＝90°
又∵∠AHE＝∠BHD
∴∠CAD＝∠DBH
∴∠BAD＝∠DBH
∴△BAD∽△DBH
∴
∴BD2＝DH DA；
（2）證明：連接HC，如圖，
∵AD⊥BC，AD是邊BC上的中線
∴AD垂直平分BC
∴HB＝HC
∴∠HBC＝∠HCB
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵∠BEC＝90°
∴∠HBC+∠ACB＝90°
∴∠HCB+∠ABC＝90°
∵CF∥AB
∴∠ABC+∠∠HCB+∠HCF＝180°
∴∠HCF＝90°
∵∠HCF＝∠HEC＝90°，∠FHC＝∠CHE
∴△FHC∽△CHE
∴
∴
∴HB2＝HE HF．
2 .在中，，是高，平分，分別與相交于點
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查相似三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質等知識，
（1）根據兩角對應相等兩三角形相似即可判斷．
（2）首先證明，利用相似三角形的性質即可解決問題．
（3）勾股定理求出，，利用相似三角形的性質求出，即可．
【詳解】（1）證明：，
，
為邊上的高，
，
，
，
是的平分線，
，
（2）證明：，，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如圖，作于
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
技巧5 等比代換法
要證明的比例式無法直接通過平行或相似證出時，往往要找中間比進行過渡。
【例5-1】如圖，已知CE是Rt△ABC斜邊AB上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，BG⊥AP垂足為G，交CE于D，
求證：CE2＝PE DE．
【點睛】首先證Rt△ACE∽Rt△CBE，得出CE2＝AE BE（即射影定理）；再通過證△AEP∽△BED，得出PE DE＝AE BE，聯立上述兩式即可得出本題要證的結論．
【詳解】證明：
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；
∴；
∴CE2＝AE BE；
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠P＝∠3
∴△AEP∽△DEB
∴
∴PE DE＝AE BE
∴CE2＝PE DE．
【例5-2】.如圖，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于點F．求證：
（1）△DFB∽△AFD；
（2）AB：AC＝DF：AF．
【點睛】（1）由已知條件得到∠BAC＝∠ADB＝90°，根據余角的性質得到∠BAD＝∠C，由直角三角形的性質和對頂角相等得到∠BAD＝∠BDF，即可得到結論；
（2）根據已知條件推出△ABD∽△CAD；于是得到，由于△DFB∽△AFD；于是得到，等量代換即可得到結論．
【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝∠ABD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵E是AC的中點，
∴DE＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠EDC＝∠BDF，
∴∠BAD＝∠BDF，
∵∠F＝∠F，
∴△DFB∽△AFD；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∵∠ADB＝∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
∴，
∵△DFB∽△AFD；
∴，
∴AB：AC＝DF：AF．
針對訓練5
1 .如圖，、是兩個等腰直角三角形，．

(1)當時，求；
(2)求證：；
(3)求證：．
【答案】(1)
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】（1）先證明，再證明是線段的垂直平分線，即有，即是等邊三角形，問題得解；
（2）根據垂直可得，又根據，可得，即可證明；
（3）過H點作于點K，先表示出，根據是線段的垂直平分線，可得，即可得，進而可得，則有，結合，，可得，再證明，即可證明．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、是兩個等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴等腰直角中，，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∴，即是等邊三角形，
∴；
（2）在（1）中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）過H點作于點K，如圖，

∵，，
∴，
∴，即是等腰，
∴，
∵，，，
∴，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
在（1）中已證明，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質性質，相似三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，作出科學的輔助線，是解答本題的關鍵．
2 ..已知：如圖，在四邊形中，，對角線、交于點，點在邊上，連接交線段于點，．
（1）求證：；
（2）連接，求證：．
【解答】證明：（1），
．
又，
．
．
，
．
．
（2），，
．
．
又，
．
．
．
技巧6 等積代換法
要證明的比例式無法直接通過平行或相似證出時，往往要找中間比進行過渡
【例6-1】已知：如圖，CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP．求證：CE2＝ED EP．
【點睛】通過相似三角形△ACE∽△CBE的對應邊成比例知即CE2＝AE BE；由相似三角形△AEP∽△DEB的對應邊成比例知，即AE BE＝ED EP；最后根據等量代換即可證得結論．
【詳解】證明：∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
∴，即CE2＝AE BE．
∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE＝90°，∠DBE+∠PAE＝90°，
∴∠P＝∠DBE，
又∵∠AEP＝∠DEB＝90°，
∴△AEP∽△DEB；
∴，即AE BE＝ED EP，
又∵CE2＝AE BE，
∴CE2＝ED EP．
【例6-2】．如圖，是斜邊上的高，在的延長線上任取一點P，連接，作于點G，交于點D．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】首先證明，得出；再通過證明，得出，兩式聯立即可得出．
【詳解】證明：，，
．
，．
．
．
．即．
又，
．
又，
．
．
．
．即．
．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、等角的余角相等，熟練掌握相似三角形的判定和性質證明是解題的關鍵．
針對訓練6
1．材料1：過對互補的四邊形的四個頂點能作一個圓．
材料2：既有外接圓，又有內切圓的四邊形叫做雙心四邊形．請根據材料解決以下問題：
(1)判斷下列說法是否正確
①菱形一定是雙心四邊形（ ）
②矩形不一定是雙心四邊形（ ）
③正方形一定是雙心四邊形（ ）
(2)如圖，任意畫一個圓，設圓心為O，然后在圓中任意作兩條互相垂直相交的弦EF和GH，再過這些弦的端點作圓O的切線，所得切線圍成一個四邊形ABCD，
①求證：四邊形ABCD是雙心四邊形．
②求證：AE·CF=DG·BH．
【答案】(1)①×；②×；③√
(2)①見詳解；②見詳解
【分析】（1）若有外接圓則對角互補；若有內切圓則中心有一點到四邊的距離相等；
（2）①連接EH，OE，OG，OF，OH，由同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，EF⊥HG，證明四邊形的對角互補即可；②連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OH，OG，根據切線長定理和①問結論，證明，，再由對應邊比例關系得出結論；
【詳解】（1）解：①菱形若有外接圓，則對角互補；因為菱形對角相等此時就是正方形；故菱形不是雙心四邊形；②矩形若有內切圓， 則中心到四條邊的距離相等，此時就是正方形；故矩形不是雙心四邊形；③正方形既有外接圓又有內接圓且圓心重合，所以正方形一定是雙心四邊形；
故：①×，②×，③√；
（2）解：①證：如圖所示，連接EH，OE，OG，OF，OH，在Rt△EHK中，，
∴．
又∵AB，BC是切線，
∴．
∵，．
∴．
由材料1可知，過A，B，C，D四個頂點可以作一個圓．
所以，四邊形ABCD既有外接圓，又有內切圓，所以四邊形ABCD是雙心四邊形．
②證：連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OH，OG，
則OE⊥AD，OF⊥BC，OH⊥AB，OG⊥DC，
∴，，
由①知，，，
∴，，
∵E，F，G，H是切點，
易證，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
【點睛】此題考查菱形、矩形、正方形的性質，外接圓和內切圓的性質，圓周角定理，切線長定理和三角形的相似；由圓周角找出角的互補關系，由相似三角形的性質找出邊的比例關系是解題的關鍵．
2．如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，點O為斜邊AB的中點，連接CD交AB于點E．
（1）求證：A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；
（2）求證：CD平分∠ACB；
（3）過點D作DF∥BC交AB于點F，求證：BO2+OF2＝EF BF．
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析
【分析】（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，判斷出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出結論；
（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性質得出∠ODC＝15°，進而求出∠BDC＝30°，進而求出∠BCD＝45°，即可得出結論；
（3）先判斷出，得出DF2＝BF EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出結論．
【詳解】證明：（1）如圖，連接OD，OC，
在Rt中，∠ACB＝90°，點O是AB的中點，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt中，∠ADB＝90°，點O是AB的中點，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四個點在以點O為圓心，為半徑的同一個圓上；
（2）連接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
在Rt中，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠BOC＝60°，
在Rt中，∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝45°＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∵點O是AB的中點，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，
∴∠COD＝150°，
∴∠OCD＝∠ODC＝15°，
∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，
∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝75°，
∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，
∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，
∴，
∴，
∴DF2＝BF EF，
連接OD，則∠BOD＝90°，OB＝OD，
在Rt中，根據勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF EF，
即BO2+OF2＝EF BF．
【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理，直角三角形斜邊上的中線的性質，勾股定理的應用，等腰三角形的性質，四點共圓的判定，相似三角形的判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
3 .如圖，在△ABC中，AD，BF分別是BC，AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC的延長線于H，求證：DE2＝EG·EH.
證明：∵AD，BF分別是BC，AC邊上的高，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BED＝∠DEA＝90°.
∴∠ADE＋∠BDE＝90°，
∠ADE＋∠EAD＝90°.
∴∠BDE＝∠EAD.
∴△AED∽△DEB.
∴DE2＝AE·BE.
又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，
∴∠EBG＝∠H.
∵∠BEG＝∠HEA＝90°，
∴△BEG∽△HEA.
∴＝，
即EG·EH＝AE·BE.
∴DE2＝EG·EH.
4 .如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求證：
證明：∵AD⊥BC，DELAB,
∴∠ADB=∠AED=90°.
又∵∠BAD=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE.
∴,
即 AD = AE·AB.
同理可得AD = AF·AC.
.·.AE·AB=AF·AC.
∴
技巧7 等線段代換法
【例7-1】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點P是AD上一點，CF∥AB，延長BP交AC于點E，交CF于點F.求證：BP ＝PE·PF.
證明：連接PC，如圖所示.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB.
∴BP=CP∴∠1=∠2.
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,
即∠3=∠4.
∵CF//AB,∴∠3=∠F.∴∠4=∠F.
又∵∠CPF=∠CPE,
∴△CPF∽△EPC.
∴，即 CP =PF·PE.
∵BP=CP，∴BP =PE·PF.
【例7-2】如圖，△ABC中，AD是中線，且CD2＝BE BA．求證：ED AB＝AD BD．
【點睛】由AD是中線，得到BD＝CD，由于CD2＝BE BA，于是得到BD2＝BE BA，推出△BDE∽△ABD，得到，即可得到結論．
【解析】證明：∵AD是中線，
∴BD＝CD，
∵CD2＝BE BA，∴BD2＝BE BA，∴，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△ABD，∴，∴ED AB＝AD BD．
針對訓練7
1 .如圖，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分線EP交BC的延長線于點P.
求證：PD2＝PB·PC.
證明：如圖，連接PA，
∵EP是AD的垂直平分線，
∴PA＝PD.
∴∠PDA＝∠PAD.
∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.
又∵∠APC＝∠BPA，
∴△PAC∽△PBA.∴＝.
即PA2＝PB·PC.
∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.
2．如圖，中，，在上分別截取的延長線相交于點F，證明：．
【答案】見解析
【分析】過點E作 交BC于點M，可得到 ，，進而有 ，，根據，可得到，即證．
【詳解】如圖，過點E作 交BC于點M，
∵，
∴ ，，
∴ ，
∴ ,
即 ，
∵
∴ ，
∴，
∴
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質．
3．在中，D為上的一點，E為延長線上的一點，交于F．求證：
【答案】見解析
【分析】過D作交于G，證明和相似， 和相似，列出比例式變形，比較，即可解決問題．
【詳解】證明：過D作交于G，則和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴
【點睛】本題考查了相似三角形的證明和性質的使用，熟知以上知識是解題的關鍵．
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