資源簡介

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人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.3 位似
學習目標
1 了解位似圖形及其相關概念，會識別位似圖形，確定位似中心.
2 理解位似圖形的性質，能利用位似作圖的方法將一個圖形放大或縮小.
3 .會用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換，掌握把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規律.
了解四種變換（平移、軸對稱、旋轉和位似）的異同，并能在復雜圖形中找出這些變換.
老師告訴你
1.位似是一種具有特殊位置關系的相似，它具有相似圖形的一切性質，又具有特殊的性質，構成位似的兩個圖形的每組對應點與位似中心共線，對應邊互相平行或在同一條直線上。
2.兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側。
3.位似圖形上任意一對對應點到位似中心距離的比等于相似比，利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，符合要求的圖形不唯一。
一、知識點撥
知識點1 、位似圖形
兩個圖形不僅相似，而且對應點連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫作位似圖形，這個點叫作位似中心。
（1）位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形．
（2）位似圖形具有兩個特點：一是相似圖形；二是對應點的連線交于一點．
（3）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小．
【新知導學】
例1-1．下列圖形中不是位似圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．如圖，是幻燈機放映圖片的示意圖，在幻燈機放映圖片的過程中，這兩張圖片之間的關系是（ ）
A．對稱 B．平移 C．旋轉 D．位似
【對應導練】
1．下圖所示的四種畫法中，能使得是位似圖形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
2．兩個正方形按如圖所示位置擺放，則這兩個正方形（ ）
A．位似 B．相似 C．不相似 D．既不相似，又不位似
知識點2 、位似圖形的性質
（1）位似圖形的對應角相等，對應邊成比例．
（2）位似圖形的對應點的連線相交于一點，即經過位似中心．
（3）位似圖形的對應邊互相平行或在同一條直線上．
（4）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比．
【新知導學】
例2-1．如圖，以點O為位似中心，將縮小后得到，已知，則與的周長比為（ ）
A． B． C． D．
例2-2．如圖，菱形與菱形為位似圖形，位似中心為點，相似比為：．若，則菱形的周長為（ ）
A．9 B．16 C．24 D．36
【對應導練】
1．如圖，與位似，點為位似中心，且點在邊上．若，，則的長為（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．如圖，與是位似圖形，點為位似中心，與的面積之比為，則 ．
3．如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形，若的面積等于2，則的面積= ．
知識點3、四種變換的異同
圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的
【新知導學】
例3-1．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網格中．
(1)畫出向上平移6個單位長度，再向右平移4個單位長度后的．
(2)以點為位似中心，將放大為原來的2倍，得到，請在網格中畫出．
例3-2．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是一個單位長度
(1)將先向右平移5個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到，畫出的圖形；
(2)以O為位似中心，將放大為原來的二倍，得到，畫出三角形，并寫出的坐標．
【對應導練】
1．如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為．
(1)以原點為位似中心，將放大為原來的3倍，畫出放大后的．
(2)以直線為對稱軸，畫出（1）中關于直線對稱的．
2．畫一面．
(1)根據給定的對稱軸畫出圖形的另一半．
(2)畫出圖①按4∶1放大后的圖形．
(3)通出將圖②繞A點按逆時針方向旋轉，再向下平移4格后的圖形．
二、題型訓練
1.利用位似性質求周長、面積
1．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．
(1)在軸右側，以原點為位似中心，畫出，使它與位似，且相似比為（點A，B，C的對應點分別為點，，）；
(2)在（1）的條件下，求的面積．
2．在如圖的小正方形網格中，每個小正方形的邊長均為．格點（頂點是網格線的交點）的兩個頂點坐標分別是，．
(1)請在圖中的網格平面內畫出平面直角坐標系，并寫出點的坐標；
(2)以為位似中心在網格內畫出的位似圖形，使與其位似圖形的相似比為，并計算的周長．
2.利用位似性質求坐標
3．如圖所示，已知O是坐標原點，B，C兩點的坐標分別為，，與位似，O點為位似中心，點B的對應點為．
(1)在圖中畫出；
(2)與的周長比為_______；
(3)點是邊上一個點，其對應點的坐標為_______．
4．如圖在平面直角坐標系中，與是關于點P為位似中心的位似圖形．
(1)在圖中標出點P的位置并寫出點P的坐標；
(2)以點O為位似中心，在y軸的右側畫出的另一個位似，使它與的相似比為．
(3)設點為內一點，則依上述變換后點M在，內的對應點的坐標是______．
3.利用位似性質作圖
5．如圖，正方形網格中，的頂點都在格點上．
(1)請用無刻度直尺，在圖1線段上找一點P，使得；
(2)在圖2中，以原點O為位似中心，在y軸的右側，畫出的位似圖形，使它與的相似比為．
6．圖中的小方格都是邊長為1的正方形，與是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
(1)畫出位似中心點O；
(2)求與的相似比；
(3)以點O為位似中心，再畫一個，使它與的相似比等于．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．下列圖中的兩個菱形是位似圖形，它們的位似中心是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
2．如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為1：3．若，則的長為（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
3．如圖，與位似，點為位似中心，若，，則的長為（　?。?br/>A．15 B．20 C．10 D．5
4．如圖，以點為位似中心，將四邊形放大到原來的3倍，得到四邊形，若四邊形的面積為1，則四邊形的面積是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
5．如圖，將視力表中的兩個“”放在平面直角坐標系中，兩個“”是位似圖形，且相似比為，位似中心為坐標原點，點與點為一組對應點，若點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，四邊形與四邊形位似，點是它們的位似中心，若，則四邊形與四邊形的面積比為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在正方形網格中，以點О為位似中心，的位似圖形可以是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、的坐標分別為、，的面積是6，則的面積為（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，與是以原點O為位似中心的位似圖形，點的坐標為，點A的坐標為，則相似比為 ．
10．如圖，點，以為位似中心，將放大2倍，則點的對應點（在第四象限）的坐標是 ．
11．如圖，原點是和的位似中心，點與點是對應點，的面積是3，則的面積是 ．
12．如圖，已知雙曲線經過直角三角形斜邊的中點，與直角邊相交于點，若的面積為6，則 ．
13．如圖，已知點、及雙曲線．若以點P為位似中心，將放大為原來的兩倍后得到對應的，使得點D、F恰好在雙曲線上，則點P的坐標為 ．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，在平面直角坐標系中，與關于點位似，其中頂點，，的對應點依次為，，，且都在格點上．

(1)請利用位似的知識在圖中找到并畫出位似中心；
(2)寫出點的坐標為______，與的面積比為______， ______；
(3)請在圖中畫出，使之滿足如下條件：
①與關于點位似，且與的位似比為；
②與位于點的同側．
15．在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為，

(1)以原點O為位似中心，在位似中心的異側畫出的一個位似圖形，使它與的位似比為；
(2)的上的一點M的坐標為，直接寫出點M在上的對應點的坐標為_______．
16．如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，的頂點均在小正方形的格點上，請完成下列問題：
(1)畫出關于軸對稱的圖形，并寫出點的坐標；
(2)以點為位似中心，為位似比，在網格中畫出放大后的對應圖形，；
(3)求（2）中的面積．
17．如圖，已知是坐標原點，M，N的坐標分別為．
(1)在軸的左側以為位似中心作的位似，所作新圖形與原圖形的相似比為；
(2)分別寫出M、N的對應點P、Q的坐標；
(3)求的面積；
(4)如果內部一點A的坐標為，直接寫出點A在內的對應點的坐標．
18．在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為，，，與是關于點為位似中心的位似圖形．
(1)寫出點的坐標為______；
(2)以原點為位似中心，在位似中心的同側畫出的一個位似，使它與的位似比為；
(3)的內部一點M的坐標為，直接寫出點在中的對應點的坐標為______．
19．如圖在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在AC上，點E在AB上，連接DE．
(1)當DE∥BC時，如圖1．
①若DE平分△ABC的面積（即把△ABC的面積分成相等的兩部分），求AD的長；
②若DE平分△ABC的周長，求AD的長；
(2)如圖2，試問：是否存在DE將△ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出AD的長；若不存在，請說明理由．
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.3 位似
學習目標
1 了解位似圖形及其相關概念，會識別位似圖形，確定位似中心.
2 理解位似圖形的性質，能利用位似作圖的方法將一個圖形放大或縮小.
3 .會用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換，掌握把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規律.
了解四種變換（平移、軸對稱、旋轉和位似）的異同，并能在復雜圖形中找出這些變換.
老師告訴你
1.位似是一種具有特殊位置關系的相似，它具有相似圖形的一切性質，又具有特殊的性質，構成位似的兩個圖形的每組對應點與位似中心共線，對應邊互相平行或在同一條直線上。
2.兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側。
3.位似圖形上任意一對對應點到位似中心距離的比等于相似比，利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，符合要求的圖形不唯一。
一、知識點撥
知識點1 、位似圖形
兩個圖形不僅相似，而且對應點連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫作位似圖形，這個點叫作位似中心。
（1）位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形．
（2）位似圖形具有兩個特點：一是相似圖形；二是對應點的連線交于一點．
（3）利用位似，可以將一個圖形放大或縮?。?br/>【新知導學】
例1-1．下列圖形中不是位似圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了位似圖形，正確把握位似圖形的定義是解題關鍵．根據位似圖形的定義，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫作位似圖形，根據位似圖形的定義逐項判斷即可得出答案．
【詳解】解：、是位似圖形，故本選項不符合題意；
、是位似圖形，故本選項不符合題意；
、是位似圖形，故本選項不符合題意；
、不是位似圖形，故本選項符合題意；
故選：．
例1-2．如圖，是幻燈機放映圖片的示意圖，在幻燈機放映圖片的過程中，這兩張圖片之間的關系是（ ）
A．對稱 B．平移 C．旋轉 D．位似
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換、對稱、平移和旋轉，掌握它們的概念是解題的關鍵．
根據位似變換、對稱、平移和旋轉的概念判斷即可．
【詳解】解：圖片可以看作圖片A按一定的比例放大得到的，
所以這兩張圖片之間的關系是位似，
故選：D．
【對應導練】
1．下圖所示的四種畫法中，能使得是位似圖形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根據每組對應點所在的直線都經過同一個點，且對應邊互相平行，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：∵每組對應點所在的直線都經過同一個點，且對應邊互相平行
∴①②③④能使得是位似圖形，
故選：D．
【點睛】本題考查了位圖圖形的性質與畫法，掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．
2．兩個正方形按如圖所示位置擺放，則這兩個正方形（ ）
A．位似 B．相似 C．不相似 D．既不相似，又不位似
【答案】B
【分析】根據位似圖形和相似圖形的概念解答即可．
【詳解】解：∵兩個正方形對應頂點的連線所在的直線不相交于一點，
∴這兩個正方形不是位似圖形，
∵正方形的角都相等，邊長都成相同的比例，
∴這兩個正方形是相似圖形，
綜上，B選項正確，
故選：B．
【點睛】本題考查了位似圖形和相似圖形，對應頂點的連線所在的直線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形；所有正方形都是相似圖形，因為，角都相等，邊長都成相同的比例．
知識點2 、位似圖形的性質
（1）位似圖形的對應角相等，對應邊成比例．
（2）位似圖形的對應點的連線相交于一點，即經過位似中心．
（3）位似圖形的對應邊互相平行或在同一條直線上．
（4）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比．
【新知導學】
例2-1．如圖，以點O為位似中心，將縮小后得到，已知，則與的周長比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查位似圖形，相似三角形的性質，根據位似圖形一定相似，且相似比等于位似比，以及相似三角形的周長比等于相似比，即可得出結果．
【詳解】解：由題意，得：，且相似比為：，
∴與的周長比為；
故選A．
例2-2．如圖，菱形與菱形為位似圖形，位似中心為點，相似比為：．若，則菱形的周長為（ ）
A．9 B．16 C．24 D．36
【答案】D
【分析】本題考查的是位似圖形的概念、菱形的性質、根據相似多邊形的周長比等于相似比即可求解．
【詳解】解：∵菱形與菱形為位似圖形，位似中心為點，相似比為：．，
∴
∴
∴菱形的周長為
故選：D．
【對應導練】
1．如圖，與位似，點為位似中心，且點在邊上．若，，則的長為（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本題主要查了位似圖形性質，相似三角形的判定和性質．根據位似圖形性質，相似三角形的判定證明，再根據相似三角形的性質求解，即可解題．
【詳解】解： 與位似，點為位似中心，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故選：B．
2．如圖，與是位似圖形，點為位似中心，與的面積之比為，則 ．
【答案】
【分析】本題考查位似圖形，根據位似圖形面積比是位似比的平方，對應點到位似中心的距離比也是位似比即可得解．
【詳解】解：∵與是位似圖形，點為位似中心，與的面積之比為4：1，
∴，，
∴與的面積之比為，
∴
故答案為：．
3．如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形，若的面積等于2，則的面積= ．
【答案】18
【分析】本題考查的是位似變換，相似三角形的判定和性質．根據位似變換的概念得到，，從而得到得到，根據相似三角形的性質求出，再根據相似三角形的性質計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵和是以點O為位似中心的位似圖形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的面積等于2，
∴的面積為18．
故答案為：18．
知識點3、四種變換的異同
圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的
【新知導學】
例3-1．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網格中．
(1)畫出向上平移6個單位長度，再向右平移4個單位長度后的．
(2)以點為位似中心，將放大為原來的2倍，得到，請在網格中畫出．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖 位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；接著根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．也考查了平移變換．
（1）先作出平移后點A、B、C的對應點、、，然后順次連接即可；
（2）以點B為位似中心，將放大為原來的2倍，得到即可．
【詳解】（1）解：為所求三角形；
（2）解：根據題意畫出圖形，為所求三角形．
例3-2．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是一個單位長度
(1)將先向右平移5個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到，畫出的圖形；
(2)以O為位似中心，將放大為原來的二倍，得到，畫出三角形，并寫出的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)見解析，或
【分析】本題考查了作圖—平移變換、位似變換，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據平移的性質作出圖形即可；
（2）根據位似圖形的作圖畫出圖形即可，結合圖形即可得出坐標．
【詳解】（1）解：如圖：即為所求，
（2）解：如圖，即為所求，
，或．
【對應導練】
1．如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為．
(1)以原點為位似中心，將放大為原來的3倍，畫出放大后的．
(2)以直線為對稱軸，畫出（1）中關于直線對稱的．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】題目主要考查位似圖形的作圖及軸對稱圖形的作法，熟練掌握作圖方法是解題關鍵．
（1）根據位似圖形的作法作出圖形即可；
（2）根據軸對稱圖形的作法作出相應圖形即可．
【詳解】（1）如圖所示：即為所求；
（2）即為所求．
2．畫一面．
(1)根據給定的對稱軸畫出圖形的另一半．
(2)畫出圖①按4∶1放大后的圖形．
(3)通出將圖②繞A點按逆時針方向旋轉，再向下平移4格后的圖形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據軸對稱圖形的定義即可畫出另一半圖形1使它成為軸對稱圖形．
（2）根據圖形放大與縮小的方法，先數出圖形①的長和寬，就是把原長方形的長和寬都乘以4，即可畫出按4：1的比放大后的圖形2．
（3）根據圖形旋轉的方法，先把圖②繞A點逆時針旋轉90°后，向下平移4格后得到圖形3即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：圖1即是所求圖形；
（2）解：如圖所示：圖2即是所求圖形；
（3）解：如圖所示：圖3即是所求圖形；
【點睛】此題考查了圖形的平移、旋轉、放大與縮小的方法以及利用軸對稱圖形的定義畫軸對稱圖形的另一半，解題關鍵是熟練掌握畫圖方法，準確畫圖．
二、題型訓練
1.利用位似性質求周長、面積
1．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．
(1)在軸右側，以原點為位似中心，畫出，使它與位似，且相似比為（點A，B，C的對應點分別為點，，）；
(2)在（1）的條件下，求的面積．
【答案】(1)件解析
(2)1
【分析】本題主要考查了畫位似圖形，位似圖形的性質．
（1）連接，并延長使，同理作出點和點的對應點，再順次連接即可得；
（2）先求出的面積，再利用相似三角形的性質得出兩個三角形的面積比求解可得．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．
（2）解：根據圖象可得，
∵與的相似比為，
∴與的面積比為，
∴面積．
故答案為：1．
2．在如圖的小正方形網格中，每個小正方形的邊長均為．格點（頂點是網格線的交點）的兩個頂點坐標分別是，．
(1)請在圖中的網格平面內畫出平面直角坐標系，并寫出點的坐標；
(2)以為位似中心在網格內畫出的位似圖形，使與其位似圖形的相似比為，并計算的周長．
【答案】(1)見解析，
(2)見解析，
【分析】本題主要考查了坐標與圖形，勾股定理，位似圖形的性質和畫位似圖形：
（1）根據B、C坐標確定坐標軸的位置，畫出坐標系，再求出點A坐標即可；
（2）把A、B、C的橫縱坐標都乘以負2得到其對應點的坐標，描出，再順次連接；利用勾股定理求出對應的邊長，進而求出周長，再根據位似圖形的周長之比等于位似比即可得到答案．
【詳解】（1）解：坐標系如圖所示，則點A的坐標為；
（2）解：如圖所示，即為所求；
∵，，，
∴，，
，
∴的周長為，
∵與的相似比為，
∴與的周長比為，
∴的周長為．
2.利用位似性質求坐標
3．如圖所示，已知O是坐標原點，B，C兩點的坐標分別為，，與位似，O點為位似中心，點B的對應點為．
(1)在圖中畫出；
(2)與的周長比為_______；
(3)點是邊上一個點，其對應點的坐標為_______．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了求兩個位似圖形的相似比，在坐標系中畫位似圖形，求位似圖形的對應坐標等知識點，熟練掌握位似圖形的作圖方法及位似圖形的性質是解題的關鍵．
（1）按照畫位似圖形的方法在圖中畫出即可；
（2）根據位似中心，點及其對應點的坐標即可求出與的相似比；
（3）由于點為位似中心，點是邊上一個點，根據位似變換的坐標特征及相似比即可求出的對應點的坐標．
【詳解】（1）解：在圖中畫出如下：
（2）解：點的坐標為，O點為位似中心，點B 的對應點為，
與的相似比為：，
∴與的周長比為；
故答案為：；
（3）解：點為位似中心，點是邊上一個點，
的對應點的坐標為，即，
故答案為：．
4．如圖在平面直角坐標系中，與是關于點P為位似中心的位似圖形．
(1)在圖中標出點P的位置并寫出點P的坐標；
(2)以點O為位似中心，在y軸的右側畫出的另一個位似，使它與的相似比為．
(3)設點為內一點，則依上述變換后點M在，內的對應點的坐標是______．
【答案】(1)圖見解析；；
(2)見解析
(3)
【分析】此題考查了位似的作圖、坐標與圖形等知識．
（1）根據位似的作圖找到點P的位置并寫出點P的坐標即可；
（2）根據位似作圖找到的位置，順次連接即可；
（3）根據位似圖形的性質寫出答案即可．
【詳解】（1）解：如圖，點P即為所求，點P的坐標為；
（2）如圖，即為所求，
（3）點為內一點，則依上述變換后點M在，內的對應點的坐標是，
故答案為：
3.利用位似性質作圖
5．如圖，正方形網格中，的頂點都在格點上．
(1)請用無刻度直尺，在圖1線段上找一點P，使得；
(2)在圖2中，以原點O為位似中心，在y軸的右側，畫出的位似圖形，使它與的相似比為．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了畫位似圖形，相似三角形的性質與判定等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
（1）如圖所示，取格點，連接交于P，點P即為所求；
（2）把的橫縱坐標都乘以得到對應點的坐標，描出，再順次連接即可．
【詳解】（1）解；如圖所示，取格點，連接交于P，點P即為所求；
易得，則，
（2）如圖所示，即為所求．
6．圖中的小方格都是邊長為1的正方形，與是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
(1)畫出位似中心點O；
(2)求與的相似比；
(3)以點O為位似中心，再畫一個，使它與的相似比等于．
【答案】(1)作圖見解答過程
(2)
(3)作圖見解答過程
【分析】本題考查位似圖形的意義及作圖能力．畫位似圖形的一般步驟為：（1）確定位似中心；（2）分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；（3）根據相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．
（1）位似圖形對應點連線所在的直線經過位似中心，如圖，直線、的交點就是位似中心；
（2）與的位似比等于與的比，也等于與在水平線上的投影比，即位似比為；
（3）要畫，先確定點的位置，因為與的位似比等于，因此，所以．再過點畫交于，過點畫交于．
【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求；
（2）解：與的位似比等于；
（3）解：如圖所示，即為所求．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．下列圖中的兩個菱形是位似圖形，它們的位似中心是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【答案】A
【分析】本題考查位似變換，理解位似變換的定義是解題關鍵．根據位似圖形對應點的連線交于一點，交點就是位似中心解答即可．
【詳解】解：如圖，連接對應點，交于點P，則點即為位似中心．
故選：A．
2．如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為1：3．若，則的長為（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】本題考查位似三角形的性質，根據位似圖形的性質得到，從而得到，繼而得解．掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵和是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：OD=18，
故選：B．
3．如圖，與位似，點為位似中心，若，，則的長為（　?。?br/>A．15 B．20 C．10 D．5
【答案】C
【分析】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應邊的比等于相似比是解題的關鍵．
根據位似圖形的性質推知：，且相似比為，然后由相似三角形對應邊的比等于相似比解答．
【詳解】解：，
．
與位似，點為位似中心，
，且．
．
，
．
故選：C．
4．如圖，以點為位似中心，將四邊形放大到原來的3倍，得到四邊形，若四邊形的面積為1，則四邊形的面積是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換、及相似多邊形的性質，熟知相似多邊形的面積比等于相似比的平方是正確解決本題的關鍵．
由題意可知兩個多邊形的相似比為，可知兩個圖形的面積比為即可求出．
【詳解】解：以點為位似中心，將四邊形放大到原來的3倍，
，
四邊形的面積為1，
四邊形的面積是9，
故答案為：D．
5．如圖，將視力表中的兩個“”放在平面直角坐標系中，兩個“”是位似圖形，且相似比為，位似中心為坐標原點，點與點為一組對應點，若點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查關于原點位似的坐標特征，根據這個特征求解即可．
【詳解】解：兩個“”的相似比為，點的坐標為，
∴點的坐標為，
故選B．
6．如圖，四邊形與四邊形位似，點是它們的位似中心，若，則四邊形與四邊形的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查相似三角形及位似圖形的性質，利用位似圖形及相似三角形的性質即可求解，掌握相似三角形和位似圖形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形與四邊形位似，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形與四邊形的面積比為，
故選：．
7．如圖，在正方形網格中，以點О為位似中心，的位似圖形可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據位似的性質，連接，，，并延長，觀察交點即可求解
【詳解】解：連接，，，并延長如圖所示，
，
∴的位似圖形是，
故選：C．
8．如圖，與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、的坐標分別為、，的面積是6，則的面積為（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【分析】本題考查了圖形位似，坐標與圖形．熟練掌握位似圖形的面積比等于相似比平方，坐標與圖形的性質，是解決問題的關鍵．
由與是位似比為的位似圖形，得到面積比等于位似比的平方，即可求解．
【詳解】解：∵與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，點A、的坐標分別為、，
∴，且相似比為，
∴，
∵，
∴．
故選：C．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，與是以原點O為位似中心的位似圖形，點的坐標為，點A的坐標為，則相似比為 ．
【答案】
【分析】先由勾股定理算出，，再結合位似的性質進行列式代入數值，進行計算即可作答．本題考查位似變換，勾股定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點的坐標為，點A的坐標為，
∴，，
∵與是以原點為位似中心的位似圖形，
∴，
∴相似比為，
故答案為：．
10．如圖，點，以為位似中心，將放大2倍，則點的對應點（在第四象限）的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查了位似變換及坐標與圖形，關于原點成位似的兩個圖形，若位似比是，則原圖形上的點，經過位似變化得到的對應點的坐標是或．以為位似中心，將放大倍，則點的對應點的坐標是的坐標同時乘以計算即可得到結果．
【詳解】解：將放大倍，點，點的對應點在第四象限，
點的坐標是，即，
故答案為：．
11．如圖，原點是和的位似中心，點與點是對應點，的面積是3，則的面積是 ．
【答案】12
【分析】本題考查了位似變換、相似三角形的性質，由題意得出和的位似比，從而得出和的面積的比是，即可得解．
【詳解】解：點與點是對應點，原點是位似中心，
和的位似比，
和的面積的比是，
又的面積是3，
的面積是12．
故答案為：12．
12．如圖，已知雙曲線經過直角三角形斜邊的中點，與直角邊相交于點，若的面積為6，則 ．
【答案】
【分析】作軸，由，結合點D是OB的中點，得到相似比為，，結合，，即可求解，
本題考查了，反比例函數的幾何意義，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是：熟練掌握反比例函數的幾何意義．
【詳解】解：過點作軸，交軸于點，
∴，
∵點D是OB的中點，
∴，相似比為，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
故答案為：．
13．如圖，已知點、及雙曲線．若以點P為位似中心，將放大為原來的兩倍后得到對應的，使得點D、F恰好在雙曲線上，則點P的坐標為 ．
【答案】或
【分析】分點P在第三象限和第一象限兩種情況，根據題意知，，設，則，根據，可求出點D、E、F的坐標，根據待定系數法求出設直線、的解析式，即可求出點P的坐標．
【詳解】解∶∵、，
∴，，
①當點P在第三象限時，
∵將放大為原來的兩倍后得到對應的，
∴，，
∵點D、F恰好在雙曲線上，
設，則，
∴，
解得，或（舍去），
經檢驗，是原方程的解，
∴，，
∴，
設直線的解析式為，直線的解析式為，
∴，，
解得，，
∴直線的解析式為，直線的解析式為，
聯立方程組，
解得，
∴；
②當點P在第一象限時， P與①中的E重合時，與關于點E位似，位似比為2，
∴，
綜上，P的坐標為或．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質，位似圖形的性質等知識，求出D、E、F的坐標是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數學思想．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，在平面直角坐標系中，與關于點位似，其中頂點，，的對應點依次為，，，且都在格點上．

(1)請利用位似的知識在圖中找到并畫出位似中心；
(2)寫出點的坐標為______，與的面積比為______， ______；
(3)請在圖中畫出，使之滿足如下條件：
①與關于點位似，且與的位似比為；
②與位于點的同側．
【答案】(1)見解析
(2)；；
(3)見解析
【分析】本題考查作圖-位似變換，熟練掌握位似三角形的性質是解答本題的關鍵．
（1）連接，，，相交于點P，則點P即為所求．
（2）由圖可得點P坐標；由題意可知與的位似比為，根據位似三角形的性質可得答案；利用割補法求三角形的面積即可．
（2）根據位似的性質，分別取，，的中點，，，再順次連接即可．
【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；

（2）解：由圖可得，，
，
與的位似比為，
與的面積比為，
，
故答案為：；；；
（3）解：如圖，即為所求．
15．在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為，

(1)以原點O為位似中心，在位似中心的異側畫出的一個位似圖形，使它與的位似比為；
(2)的上的一點M的坐標為，直接寫出點M在上的對應點的坐標為_______．
【答案】(1)作圖見詳解
(2)
【分析】本題主要考查作位似圖形，理解位似中心，位似比，掌握位似比的概念，作位似圖形的方法是解題的關鍵．
（1）根據位似圖形的定義，位似比的計算方法作圖即可求解；
（2）根據位似比，位似圖形所在象限確定點坐標即可．
【詳解】（1）解：以原點O為位似中心，與的位似比為，作圖如下，

∵，，
∴，
∴即為所求圖形；
（2）解：由（1）可知，與的位似比為，在第四象限，
∵，，
∴，
故答案為：．
16．如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，的頂點均在小正方形的格點上，請完成下列問題：
(1)畫出關于軸對稱的圖形，并寫出點的坐標；
(2)以點為位似中心，為位似比，在網格中畫出放大后的對應圖形，；
(3)求（2）中的面積．
【答案】(1)，圖見解析；
(2)圖見解析；
(3)30.
【分析】本題考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形及作位似圖形．掌握軸對稱和位似圖形的性質，是解題的關鍵
（1）根據軸對稱的性質，畫出即可；
（2）根據位似圖形的性質，畫出即可；
（3）用割補法求出面積即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求作三角形，
點的坐標為；
（2）如圖所示，即為所求作三角形，
（3）由題圖，知，
與的位似比為，
面積比為．
．
17．如圖，已知是坐標原點，M，N的坐標分別為．
(1)在軸的左側以為位似中心作的位似，所作新圖形與原圖形的相似比為；
(2)分別寫出M、N的對應點P、Q的坐標；
(3)求的面積；
(4)如果內部一點A的坐標為，直接寫出點A在內的對應點的坐標．
【答案】(1)圖見詳解
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查位似及割補法，熟練掌握位似圖形是解題的關鍵；
（1）根據位似比可得出點M、N的對應點P、Q，然后作圖即可；
（2）由圖（1）可直接進行求解；
（3）根據圖（1）及割補法可進行求解；
（4）根據位似的性質可進行求解．
【詳解】（1）解：所作如圖所示：
（2）解：由圖可得：；
（3）解：由圖可得：
；
（4）解：根據位似可知：
如果內部一點A的坐標為，直接寫出點A在內的對應點的坐標．
18．在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為，，，與是關于點為位似中心的位似圖形．
(1)寫出點的坐標為______；
(2)以原點為位似中心，在位似中心的同側畫出的一個位似，使它與的位似比為；
(3)的內部一點M的坐標為，直接寫出點在中的對應點的坐標為______．
【答案】(1)
(2)作圖見解析
(3)
【分析】本題考查位似圖形及位似變換
（1）分別延長、、，它們的交點為點，再寫出點坐標；
（2）把、點的橫縱坐標都乘以得到、點的坐標，然后描點并連線即可；
（3）利用（2）中對應點的坐標變換規律求解即可．
解題的關鍵是掌握：當相似的兩個圖形的對應頂點的連線相交于一點時，就說這兩個圖形位似，此時的相似比稱為位似比，交點稱為位似中心；在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或；如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為，那么與原圖形上的點對應的位似圖形上的點的坐標為或．
【詳解】（1）解：如圖，分別延長、、，它們的交點為點，
∵與是關于點為位似中心的位似圖形，
則點為所作，點坐標為；
故答案為：；
（2）如圖，，，
把、點的橫縱坐標都乘以得：、，
連接、，，
則即為所作；
（3）∵的內部一點M的坐標為，
由（1）知：與是關于原點為位似中心的位似圖形，且位似比為，
∴點在中的對應點的坐標為．
故答案為：．
19．如圖在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在AC上，點E在AB上，連接DE．
(1)當DE∥BC時，如圖1．
①若DE平分△ABC的面積（即把△ABC的面積分成相等的兩部分），求AD的長；
②若DE平分△ABC的周長，求AD的長；
(2)如圖2，試問：是否存在DE將△ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出AD的長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，
【分析】（1）①根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算；②根據勾股定理求出AB，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可；（2）過點E作EF⊥AC于F，根據相似三角形的性質用x表示出EF，根據三角形的面積公式計算，得到答案．
【詳解】（1）解：①∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∵DE平分△ABC的面積，
∴＝，
∴＝，即，
解得：AD＝；
②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴△ABC的周長＝3+4+5＝12，
∵DE平分△ABC的周長，
∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝；
（2）如下圖過點E作EF⊥AC于F，
設DE將△ABC的周長平分，
則AD+AE＝6，
設AD＝x，則AE＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+x，
當DE將△ABC的面積平分時，﹣x2+x＝×3×4×，
解得：x1＝，x2＝，
∵0＜x＜3，
∴x＝，
當AD＝時，DE將△ABC的周長和面積同時平分．
【點睛】本題考查相似比，勾股定理 ，三角形的相似，一元二次方程應用于實際問題的方法，解題的關鍵是根據已知條件表示出有關線段的長．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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