資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.2.3 相似三角形的應用舉例
學習目標：
1.能夠運用相似三角形的知識，解決不能直接測量物體的高度和測量河寬等一些實際問題.
2.通過把實際問題轉化成有關相似三角形的數學模型，進一步了解數學建模思想，培養分析問題、解決問題的能力.
老師告訴你
相似三角形的應用主要有以下兩個方面：
測高：（不能直接使用皮尺或刻度尺測量的）
測距：（不能直接測量的兩點間的距離）
解決實際問題的關鍵是根據已知條件準確作出圖形，構造與實物所在的三角形相似的三角形，利用相似三角形的性質進行求解。
一、知識點撥
知識點1 利用相似三角形測量高度
測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.
注意：測量旗桿的高度的幾種方法：
平面鏡測量法 影子測量法 手臂測量法 標桿測量法
【新知導學】
例1-1．古代一位數學家想出了一種測量建筑物高度的方法：如圖，為了測量建筑物的高度，先豎一根已知長度的木棒，比較木棒的影長與建筑物的影長，即可近似算出建筑物的高度．如果米，米，米，求該建筑物的高度．
例1-2．如圖，濤濤同學在公園里散步，他發現：當他站在甲、乙兩盞路燈（路燈足夠亮）之間，并且自己被兩邊的路燈照在水平地面上的影子成一直線時，甲燈照射的影子長2米，乙燈照射的影子長3米，已知濤濤同學身高為1.6米，兩盞路燈和的高度相同，兩路燈相距為15米，求路燈的高．
例1-3．研學實踐：如圖是紅軍長征起點紀念碑．學校組織同學們到此進行研學活動，并設計測量該紀念碑高度的方案．
測量方案：如下圖，線段表示紀念碑的高，他們在地面上點C處直立一根2米長的標桿．此時，地面上的點E、標桿的端點D與點A恰好在同一直線上，測得米；將標桿平移到點G處，此時地面上的點F、標桿的端點H與點A恰好在同一直線上，測得米，米．
數據應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內，點F，G，E，C，B在同一直線上，請根據上述數據，求紀念碑的高的長．
例1-4．土圭之法是在平臺中央豎立一根6尺長的桿子，觀察桿子的日影長度．古代的人們發現，夏至時日影最短，冬至日影最長，這樣通過日影的長度得到夏至和冬至，確定了四季．如圖，利用土圭之法記錄了兩個時刻桿的影長，發現第一時刻光線與桿的夾角和第二時刻光線與地面的夾角相等，測得第一時刻的影長為1.5尺，求第二時刻的影長．
【對應導練】
1.如圖，小涵為了測量一涼亭的高度（頂端到水平地面的距離），把一面鏡子放置在水平地面處（鏡子厚度忽略不計），她站在離鏡子2米處的點（即）剛好從鏡子中看到涼亭的頂端．測得的長為12米，若小涵眼睛離地面距離為1.6米，則塔高（ ）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
2 .如圖所示，小軍用如下方法測量教學樓的高度，在水平地面上放一面平面鏡，鏡子與教學樓的距離，當他與鏡子的距離時，他剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端，已知他眼睛距地面的高度為，則教學樓的高度為 ．
3 .如圖，小明欲測量一座信號發射塔的高度．他站在該塔的影子上前后移動，直到他自己影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時他距離該塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影長是2米．
（1）圖中△ABC與△ADE是否相似？為什么？
（2）求信號發射塔的高度．
4 .如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC．若樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4m，求路燈的高度OP．
知識點2 利用相似三角形測量距離
測量不能直接到達的兩點間的距離，常構造如下兩種相似三角形求解。
1．如甲圖所示，通常可先測量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據相似三角形的性質，求出AB的長.
2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據相似三角形的性質計算AB的長.
　　
注意：　
比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺= 圖上距離/ 實際距離;
太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應高的比;
視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角．
【新知導學】
例2-1．在初中物理中我們學過凸透鏡的成像規律．如圖為一凸透鏡，是凸透鏡的焦點．在焦點以外的主光軸上垂直放置一小蠟燭，透過透鏡后呈的像為．光路圖如圖所示：經過焦點的光線，通過透鏡折射后平行于主光軸，并與經過凸透鏡光心的光線匯聚于點．若焦距，物距，小蠟燭的高度，求蠟燭的像的長度以及像與透鏡之間的距離．
例2-2．為了估算河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個目標作為點，再在河的這一邊選點和點，使，然后再選點，使，確定與的交點為，如圖，測得米，米，米，你能求出兩岸之間的大致距離嗎？
例2-3．如圖，河的兩岸是平行的，兩岸邊各有一排樹，每排樹相鄰兩棵的間距是10m，在距離岸邊16m的A處看對岸，可以看到對岸的兩棵樹的樹干恰好被這岸的兩棵樹的樹干遮住，又知這岸的兩棵樹之間有一棵樹，對岸的兩棵樹之間有四棵樹，請你根據這些條件求出河寬．
【對應導練】
1．如圖，A，B兩點被池塘隔開，小吳為了測量A，B兩點間的距離，他在外選一點C，連接和，延長到D，延長到E，，連接，使，若小吳測得的長為200米，則的長為（　　）
A．100米 B．200米 C．300米 D．400米
2．為了測量河寬，有如下方法：如圖，取一根標尺橫放，使，并使點B，D，O和點A，C，O分別在同一條直線上，量得米，米，米，則河寬的長度為（　　）米．
A．24 B．30 C．32 D．40
3．如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔10米種一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發現北岸有兩根相鄰的電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有一棵樹，那么這段河的寬度為 米．
4．下表是小明數學學科項目化學習時候的記錄表，填寫活動報告的部分內容．
項目主題：測量河流的寬度．
項目探究：河流寬度不能直接測量，需要借助一些工具，比如：標桿，皮尺，自制的直角三角形模板…各組確定方案后，選擇測量工具，畫出測量示意圖，并進行實地測量，得到具體數據，從而計算出河流的寬度．
項目成果：下面是小明進行交流展示的部分測量方案及測量數據：
題目 測量河流寬度AB
目標示意圖
測量數據 ，，
如果你參與了這個項目學習，請你完成下列任務．
任務一：（1） 請你借助小明的測量數據，計算河流的寬度；
（2）請你寫出這個方案中求河流寬度時用到的相似三角形的知識．____________（寫出一個即可）
任務二：（3）小宇選擇的測量工具是標桿和皮尺，如圖是該方案的示意圖．其中線段表示河寬，請直接寫出需要測量的線段有哪些？
知識點3 利用相似三角形測有遮擋物的問題
【新知導學】
例3-1．汽車盲區是指駕駛員位于正常駕駛座位置時(如圖1)，其視線被車體遮擋而不能直接觀察到的那部分區域．預防進入汽車盲區，能有效預防交通事故發生，提高學生避險能力．小明在學習了交通安全知識后，對汽車盲區產生了興趣．如圖，是他研究的一個汽車盲區的示意圖，為駕駛員的盲區，駕駛員的眼睛點處與地面的距離為，車寬，車頭近似看成一個矩形，且滿足，求汽車盲區的長度．
例3-2．每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓的高度，同學們發現在鐘樓下方有建筑物遮擋，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為的長度．通過對示意圖的分析討論，制定了多種測量方案，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設的長為x米，的長為y米．
測量數據（精確到0.1米）如表所示：
直桿高度 直桿影長 的長
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次測量數據列出關于x，y的方程是______，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是______；
(2)該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得，則鐘樓的高度約為______米．
【對應導練】
1．如圖，小丁家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間地面的D處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點E射進房間地面的F處，AB⊥BD于點B，CE⊥BD于點O，小丁測得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求圍墻AB的高為多少米．
2．如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點D射進房間的地板E處，小明測得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．
二、題型訓練
1.測高度
1．小穎同學學了本學期第四單元第6節《利用相似三角形測高》后，用下面的方法來測量自己學校教學樓的高度．如圖，她在與教學樓底部A同一個水平的地面上放一面平面鏡，鏡子與教學樓的距離米，然后在射線AE上調整自己與鏡子的距離，直到剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B，此時她與鏡子的距離米，若小穎的眼睛距離地面高度米，請你幫小穎利用這些數據求出教學樓的高度是多少米？
2．大雁塔作為現存最早、規模最大的唐代四方樓閣式磚塔，造型簡潔、氣勢雄偉，是西安市的標志性建筑和著名古跡，是古城西安的象征．某校九年級一班的興趣小組準備去測量大雁塔的高度，測量方案如下：如圖，首先，小明站在處，位于點正前方3米點處有一平面鏡，通過平面鏡小明剛好可以看到大雁塔的頂端的像，此時測得小明的眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小剛在處豎立了一根高2米的標桿，發現地面上的點、標桿頂點和塔頂在一條直線上，此時測得為6米，為58米，已知，，，點、、、、在一條直線上，請根據以上所測數據，計算大雁塔的高度（平面鏡大小忽略不計）．
2.測寬度
3．下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內容，請你借助小明的測量數據，計算河流的寬度．
題目 測量河流寬度
目標示意圖
測量數據 ，，
則（ ）m
A． B． C．40 D．50
4．如圖，為了估算河的寬度，小明采用的辦法是：在河的對岸選取一點A，在近岸取點D、B，使點A、D、B在一條直線上，且與河的邊沿垂直，然后又在垂直于的直線上取一點C，測得如果，則河寬為 ．
3.裁剪問題
5．現有一張Rt△ABC紙片，直角邊BC長為12cm，另一直角邊AB長為24cm．現沿BC邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖．已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（　　）
A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張
6．
探究不同裁剪方式的面積大小問題
素材1 圖1是一張直角三角形紙板，兩直角邊分別為，，小華、小明、小富同學分別用這樣的紙板裁剪出不一樣的矩形，并使矩形的四個頂點都在三角形的邊上．
素材2 小華同學按圖2的方式裁剪出一個正方形；小明同學按圖3的方式裁剪，且．
素材3 小富同學對紙板的裁剪按如下步驟：如圖4，步驟1：在直角紙板上裁下一個矩形，矩形的四個頂點都在的邊上；步驟2：取剩下的紙板裁下一個正方形，正方形的四個頂點都在邊上；且滿足矩形的邊長是正方形邊長的兩倍小．
問題解決
任務1 請比較小華、小明同學裁處的兩種矩形的面積大小，通過計算說明．
任務2 請求出小富同學裁下的矩形各邊長．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．為了證明光是沿直線傳播的這一性質，大約二千四百年前我國杰出的科學家墨翟和他的學生做了世界上第一個小孔成倒像的實驗，解釋了小孔成倒像的原理．如圖是小孔成像原理的示意圖，長的蠟燭在暗盒中所成的像的長是，則像到小孔的距離為（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．如圖，有一塊三角形余料，它的邊，高，現在要把它加工成長與寬的比為的矩形零件，要求一條長邊在上，其余兩個頂點分別在上，則矩形的周長為（ ）．
A． B． C． D．
3．如圖，利用標桿測量學校宿舍樓的高度．已知標桿的高是，測得，則宿舍樓的高是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖是裝了液體的高腳杯示意圖（左圖）（數據如圖），用去一部分液體后如右側圖所示，此時液面的寬度為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，小明在A時測得某樹的影長為，B時又測得該樹的影長為，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（　　）
A． B． C． D．
6．“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數學著作《九章算術》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由如圖所示（單位：尺），已知井的截面圖為矩形，設井深為尺，下列所列方程中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，路燈距地面8米，身高米的小明從點處沿所在的直線行走到點時，人影長度（　　）
A．變長 B．變長 C．變短 D．變短
8．如圖，是一張直角三角形紙片，，．若將斜邊上的高分成5等份，然后裁出4張寬度相等的長方形紙條，則這4張紙條的面積和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點A，B，Q在同一水平線上，和均為直角，與相交于點D．測得，，，則樹高 ．
10．工人師傅設計了一種測量蓄水池深度的方法．如圖所示，在池口處立一根垂直的木桿，從木桿的頂端觀察池水水岸，視線與池口的直徑交于點，如果測得米，米，米，那么為 米．
11．如圖，樓房的高度應為 ．
12．某數學興趣小組開展了“測量寶塔高度”的實踐活動，在點C處垂直于地面豎立一根高度為2米的標桿，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，寶塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得米，將標桿向右平移到點G處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，寶塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與塔底處的點A在同一直線上），這時測得米，米．求寶塔的高度為 米．
13．如圖，數學興趣小組學生測量小山坡上一棵大樹的高度，山坡與地面的夾角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影長為米，此刻大樹在斜坡上的影長為米，則大樹的高度是 米．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，陽陽要測量一座鐘塔的高度，他在與鐘塔底端處在同水平面上的地面放置一面鏡子，并在鏡子上做一個標記，當他站在離鏡子處1.4m的處時，看到鐘塔的頂端在鏡子中的像與標記重合．已知，，在同直線上，陽陽的眼睛離地面的高度m，m，求鐘塔的高度．
15．如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點，在近岸取點，使得，點在上，并且點在同一條直線上．若測得米，米，米，試求河的寬度．
16．如圖所示，晚上小亮走在大街上，他發現當他站在大街上高度相等的兩盞路燈和之間時，自己右邊的影子的長為，左邊的影子的長為，又知小亮的身高為，兩盞路燈之間的距離為，點、、、、在同一條直線上，問：路燈的高為多少米？
17．《周髀算經》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．小南利用“矩”可測量大樹的高度．如圖，通過不斷調整自己的姿勢和“矩”的擺放位置，使斜邊保持水平，并且邊與點B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長分別為，，小南的眼睛到地面的距離為，測得，求樹高．
18．如圖，小穎為測量學校旗桿的高度，在E處放置一塊鏡子，然后退到C處站立，剛好從鏡子中看到旗桿的頂部B．已知小穎的眼睛D離地面的高度，她離鏡子的水平距離，鏡子E離旗桿的底部A的距離，且A，C，E三點在同一水平直線上，求旗桿的高度．
19．每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓的高度，同學們發現在鐘樓下方有建筑物遮擋，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為的長度．通過對示意圖的分析討論，制定了多種測量方案，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設的長為x米，的長為y米．
測量數據（精確到0.1米）如表所示：
直桿高度 直桿影長 的長
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次測量數據列出關于x，y的方程是______，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是______；
(2)該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得，則鐘樓的高度約為______米．
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.2.3 相似三角形的應用舉例
學習目標：
1.能夠運用相似三角形的知識，解決不能直接測量物體的高度和測量河寬等一些實際問題.
2.通過把實際問題轉化成有關相似三角形的數學模型，進一步了解數學建模思想，培養分析問題、解決問題的能力.
老師告訴你
相似三角形的應用主要有以下兩個方面：
測高：（不能直接使用皮尺或刻度尺測量的）
測距：（不能直接測量的兩點間的距離）
解決實際問題的關鍵是根據已知條件準確作出圖形，構造與實物所在的三角形相似的三角形，利用相似三角形的性質進行求解。
一、知識點撥
知識點1 利用相似三角形測量高度
測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.
注意：測量旗桿的高度的幾種方法：
平面鏡測量法 影子測量法 手臂測量法 標桿測量法
【新知導學】
例1-1．古代一位數學家想出了一種測量建筑物高度的方法：如圖，為了測量建筑物的高度，先豎一根已知長度的木棒，比較木棒的影長與建筑物的影長，即可近似算出建筑物的高度．如果米，米，米，求該建筑物的高度．
【答案】該建筑物的高度為91米
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，根據已知證得是解題關鍵．
根據太陽光是平行光線可得出，再利用相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：太陽光線是平行光線，
,
,
（米）．
答：該建筑物的高度為91米．
例1-2．如圖，濤濤同學在公園里散步，他發現：當他站在甲、乙兩盞路燈（路燈足夠亮）之間，并且自己被兩邊的路燈照在水平地面上的影子成一直線時，甲燈照射的影子長2米，乙燈照射的影子長3米，已知濤濤同學身高為1.6米，兩盞路燈和的高度相同，兩路燈相距為15米，求路燈的高．
【答案】路燈的高為6.4米
【分析】本題考查三角形相似的判定和性質，熟練掌握相似的判定和性質是解題的關鍵．
根據題意，得，，，，，繼而得到，，之后列出比例式，解答即可．
【詳解】解：由題意知：，，，，，
，，
， ，
又，
，
，
解得，
，
，
答：路燈的高為米．
例1-3．研學實踐：如圖是紅軍長征起點紀念碑．學校組織同學們到此進行研學活動，并設計測量該紀念碑高度的方案．
測量方案：如下圖，線段表示紀念碑的高，他們在地面上點C處直立一根2米長的標桿．此時，地面上的點E、標桿的端點D與點A恰好在同一直線上，測得米；將標桿平移到點G處，此時地面上的點F、標桿的端點H與點A恰好在同一直線上，測得米，米．
數據應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內，點F，G，E，C，B在同一直線上，請根據上述數據，求紀念碑的高的長．
【答案】米
【分析】易證得，于是可得，即，又可證得，于是可得，即，進而可得，解方程即可求得的長，因而可得，據此即可求出的長．
【詳解】解：根據題意可得：，
又，
，
，
，
，
根據題意可得：，
又，
，
，
，
，
，
解得：，
經檢驗，是原分式方程的解，
，
，
紀念碑的高的長為米．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的實際應用，相似三角形的判定與性質，線段的和與差，解分式方程，等式的性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
例1-4．土圭之法是在平臺中央豎立一根6尺長的桿子，觀察桿子的日影長度．古代的人們發現，夏至時日影最短，冬至日影最長，這樣通過日影的長度得到夏至和冬至，確定了四季．如圖，利用土圭之法記錄了兩個時刻桿的影長，發現第一時刻光線與桿的夾角和第二時刻光線與地面的夾角相等，測得第一時刻的影長為1.5尺，求第二時刻的影長．
【答案】24尺
【分析】本題考查相似三角形的應用．熟練掌握相似三角形的判定與性質，是解題的關鍵．
由，得，知，故，即第二時刻的影長為24尺．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
根據題意得：，，
∴；
故第二時刻的影長為24尺．
【對應導練】
1.如圖，小涵為了測量一涼亭的高度（頂端到水平地面的距離），把一面鏡子放置在水平地面處（鏡子厚度忽略不計），她站在離鏡子2米處的點（即）剛好從鏡子中看到涼亭的頂端．測得的長為12米，若小涵眼睛離地面距離為1.6米，則塔高（ ）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
【答案】D
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質的應用，根據求解即可得到結論．
【詳解】解：由題意可得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即塔高為米，
故選：D．
2 .如圖所示，小軍用如下方法測量教學樓的高度，在水平地面上放一面平面鏡，鏡子與教學樓的距離，當他與鏡子的距離時，他剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端，已知他眼睛距地面的高度為，則教學樓的高度為 ．
【答案】12.8
【分析】本題考查相似三角形的應用舉例，先根據題意得出，再由相似三角形的對應邊成比例計算是解題的關鍵．先根據題意得出，再由相似三角形的對應邊成比例計算即可．
【詳解】解：依據題意，得，
，，
，
，
，
，
即，
，
教學樓的高度為．
故答案為：12.8．
3 .如圖，小明欲測量一座信號發射塔的高度．他站在該塔的影子上前后移動，直到他自己影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時他距離該塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影長是2米．
（1）圖中△ABC與△ADE是否相似？為什么？
（2）求信號發射塔的高度．
【答案】19.8米．
【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
即，
∴DC＝19.8（米），
∴古塔的高度為19.8米．
4 .如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC．若樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4m，求路燈的高度OP．
【答案】路燈的高度OP是m．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
答：路燈的高度OP是m．
知識點2 利用相似三角形測量距離
測量不能直接到達的兩點間的距離，常構造如下兩種相似三角形求解。
1．如甲圖所示，通常可先測量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據相似三角形的性質，求出AB的長.
2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據相似三角形的性質計算AB的長.
　　
注意：　
比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺= 圖上距離/ 實際距離;
太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應高的比;
視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角．
【新知導學】
例2-1．在初中物理中我們學過凸透鏡的成像規律．如圖為一凸透鏡，是凸透鏡的焦點．在焦點以外的主光軸上垂直放置一小蠟燭，透過透鏡后呈的像為．光路圖如圖所示：經過焦點的光線，通過透鏡折射后平行于主光軸，并與經過凸透鏡光心的光線匯聚于點．若焦距，物距，小蠟燭的高度，求蠟燭的像的長度以及像與透鏡之間的距離．
【答案】蠟燭的像的長度為，像與透鏡之間的距離為
【分析】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質和判定是解題的關鍵；
根據題意可得，，，，，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質可求出的長，這證明，從而利用相似三角形的性質可求出的長，即可解答；
【詳解】解：，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
蠟燭的像的長度為，像與透鏡之間的距離為；
例2-2．為了估算河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個目標作為點，再在河的這一邊選點和點，使，然后再選點，使，確定與的交點為，如圖，測得米，米，米，你能求出兩岸之間的大致距離嗎？
【答案】兩岸之間的大致距離為100米
【分析】本題主要考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．證明，由相似三角形的性質“對應邊成比例”求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即有，
解得米，
即兩岸間的大致距離為100米．
例2-3．如圖，河的兩岸是平行的，兩岸邊各有一排樹，每排樹相鄰兩棵的間距是10m，在距離岸邊16m的A處看對岸，可以看到對岸的兩棵樹的樹干恰好被這岸的兩棵樹的樹干遮住，又知這岸的兩棵樹之間有一棵樹，對岸的兩棵樹之間有四棵樹，請你根據這些條件求出河寬．
【答案】河寬為
【分析】本題主要考查了相似三角形的應用，正確作出輔助線、構造相似三角形成為解題的關鍵．
如圖：過點A作于點M，交于點N，易證可得，由意義可得，代入可得，最后根據線段的和差即可解答．
【詳解】解：如圖：過點A作于點M，交于點N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河寬為．
【對應導練】
1．如圖，A，B兩點被池塘隔開，小吳為了測量A，B兩點間的距離，他在外選一點C，連接和，延長到D，延長到E，，連接，使，若小吳測得的長為200米，則的長為（　　）
A．100米 B．200米 C．300米 D．400米
【答案】D
【分析】本題考查相似三角形的判定及性質，利用兩角相等可以得到，再利用相似性質即可求解；
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，即：，米，
∴，米
故選：D．
2．為了測量河寬，有如下方法：如圖，取一根標尺橫放，使，并使點B，D，O和點A，C，O分別在同一條直線上，量得米，米，米，則河寬的長度為（　　）米．
A．24 B．30 C．32 D．40
【答案】C
【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質，根據題意得到，由相似三角形的對應邊成比例求得答案．
【詳解】解：∵，
∴．
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米．
故選：C．
3．如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔10米種一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發現北岸有兩根相鄰的電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有一棵樹，那么這段河的寬度為 米．
【答案】
【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質，根據題意，河兩岸平行，證明來解決問題，列出方程，求解即可．
【詳解】解：如圖，設河寬為h，
米，P到的距離是米，
∴，
∴，
∴
∴，
解得：米，
∴河寬為米．
故答案為：．
4．下表是小明數學學科項目化學習時候的記錄表，填寫活動報告的部分內容．
項目主題：測量河流的寬度．
項目探究：河流寬度不能直接測量，需要借助一些工具，比如：標桿，皮尺，自制的直角三角形模板…各組確定方案后，選擇測量工具，畫出測量示意圖，并進行實地測量，得到具體數據，從而計算出河流的寬度．
項目成果：下面是小明進行交流展示的部分測量方案及測量數據：
題目 測量河流寬度AB
目標示意圖
測量數據 ，，
如果你參與了這個項目學習，請你完成下列任務．
任務一：（1） 請你借助小明的測量數據，計算河流的寬度；
（2）請你寫出這個方案中求河流寬度時用到的相似三角形的知識．____________（寫出一個即可）
任務二：（3）小宇選擇的測量工具是標桿和皮尺，如圖是該方案的示意圖．其中線段表示河寬，請直接寫出需要測量的線段有哪些？
【答案】（1）河流的寬度為；（2）相似三角形的對應邊成比例（答案不唯一）；（3）
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，熟知相似三角形的性質與判定定理是解題的關鍵：
（1）證明，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可；
（2）根據題意可知本題利用了“相似三角形的對應邊成比例”這一數學知識；
（3）證明，得到，要求出的長，需要知道的長，據此可得答案．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
故河流的寬度為；
（2）本題利用了“相似三角形的對應邊成比例”這一數學知識（答案不唯一）；
（3）如圖：根據題意可得，
則，
∴，
∴要求出的長，需要知道的長，
∴需要測量的線段為．
知識點3 利用相似三角形測有遮擋物的問題
【新知導學】
例3-1．汽車盲區是指駕駛員位于正常駕駛座位置時(如圖1)，其視線被車體遮擋而不能直接觀察到的那部分區域．預防進入汽車盲區，能有效預防交通事故發生，提高學生避險能力．小明在學習了交通安全知識后，對汽車盲區產生了興趣．如圖，是他研究的一個汽車盲區的示意圖，為駕駛員的盲區，駕駛員的眼睛點處與地面的距離為，車寬，車頭近似看成一個矩形，且滿足，求汽車盲區的長度．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的應用，矩形的性質，過點作于點，交于點，根據相似三角形的性質列出比例式，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作于點，交于點．
，，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
例3-2．每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓的高度，同學們發現在鐘樓下方有建筑物遮擋，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為的長度．通過對示意圖的分析討論，制定了多種測量方案，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設的長為x米，的長為y米．
測量數據（精確到0.1米）如表所示：
直桿高度 直桿影長 的長
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次測量數據列出關于x，y的方程是______，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是______；
(2)該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得，則鐘樓的高度約為______米．
【答案】(1)，
(2)43
【分析】本題考查了相似三角形的應用，由同一時刻測量，得到是本題的關鍵．
（1）由同一時刻測量，可得，分別代入第一次測量、第二次測量的數值，可得其關于、的方程；
（2）已經求得，將代入任一個方程，可求得的值，即得鐘樓的高度．
【詳解】（1）由同一時刻測量，可得，
第一次測量：，化簡得，，
第二次測量：，化簡得，，
故答案為：，；
（2）對于，代入，
得，，
解得：，
鐘樓米，
故答案為：43．
【對應導練】
1．如圖，小丁家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間地面的D處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點E射進房間地面的F處，AB⊥BD于點B，CE⊥BD于點O，小丁測得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求圍墻AB的高為多少米．
【答案】3m
【分析】根據垂直的定義得到∠FOE＝90°，推出，證明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再根據相似三角形的性質列方程組，再解方程組即可得到結論．
【詳解】解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：圍墻AB的高度是3m．
【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，熟練的利用相似三角形的性質列方程組是解本題的關鍵.
2．如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點D射進房間的地板E處，小明測得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．
【答案】4m
【分析】首先根據DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后證明AB=BE，再證明△ABF∽△COF，可得，然后代入數值可得方程，解出方程即可得到答案．
【詳解】解：延長OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
設AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴，
，
解得：x=4．
經檢驗：x=4是原方程的解．
答：圍墻AB的高度是4m．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的應用，解決問題的關鍵是求出AB=BE，根據相似三角形的判定方法證明△ABF∽△COF．
二、題型訓練
1.測高度
1．小穎同學學了本學期第四單元第6節《利用相似三角形測高》后，用下面的方法來測量自己學校教學樓的高度．如圖，她在與教學樓底部A同一個水平的地面上放一面平面鏡，鏡子與教學樓的距離米，然后在射線AE上調整自己與鏡子的距離，直到剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B，此時她與鏡子的距離米，若小穎的眼睛距離地面高度米，請你幫小穎利用這些數據求出教學樓的高度是多少米？
【答案】教學大樓的高度是米
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，根據，，得出，進而得出，即可求解．
【詳解】解：∵由題意得，，，
∴，
∴，即，
解得：，
答：教學樓的高度是米．
2．大雁塔作為現存最早、規模最大的唐代四方樓閣式磚塔，造型簡潔、氣勢雄偉，是西安市的標志性建筑和著名古跡，是古城西安的象征．某校九年級一班的興趣小組準備去測量大雁塔的高度，測量方案如下：如圖，首先，小明站在處，位于點正前方3米點處有一平面鏡，通過平面鏡小明剛好可以看到大雁塔的頂端的像，此時測得小明的眼睛到地面的距離為1.5米；然后，小剛在處豎立了一根高2米的標桿，發現地面上的點、標桿頂點和塔頂在一條直線上，此時測得為6米，為58米，已知，，，點、、、、在一條直線上，請根據以上所測數據，計算大雁塔的高度（平面鏡大小忽略不計）．
【答案】大雁塔的高度為64米
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數構建方程解決問題．
設米，證明，推出，可得，再證明，推出，構建方程求解即可．
【詳解】解：設米．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
經檢驗是分式方程的解，
答：大雁塔的高度為64米．
2.測寬度
3．下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內容，請你借助小明的測量數據，計算河流的寬度．
題目 測量河流寬度
目標示意圖
測量數據 ，，
則（ ）m
A． B． C．40 D．50
【答案】D
【分析】本題主要考查相似三角形的應用，先根據平行線的判定得到，再由平行的性質得，利用相似三角形對應邊成比例，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案為：D．
4．如圖，為了估算河的寬度，小明采用的辦法是：在河的對岸選取一點A，在近岸取點D、B，使點A、D、B在一條直線上，且與河的邊沿垂直，然后又在垂直于的直線上取一點C，測得如果，則河寬為 ．
【答案】45
【分析】本題考查了相似三角形的應用．證明，利用相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
解得：，
即河寬為．
故答案為：45
3.裁剪問題
5．現有一張Rt△ABC紙片，直角邊BC長為12cm，另一直角邊AB長為24cm．現沿BC邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖．已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（　　）
A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張
【答案】C
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形與原三角形相似，根據相似三角形對應邊上的比等于相似比即可求解．
【詳解】
設這張正方形紙條是第n張.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案選：C.
【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的應用，解題的關鍵是熟練的掌握相似三角形的應用.
6．
探究不同裁剪方式的面積大小問題
素材1 圖1是一張直角三角形紙板，兩直角邊分別為，，小華、小明、小富同學分別用這樣的紙板裁剪出不一樣的矩形，并使矩形的四個頂點都在三角形的邊上．
素材2 小華同學按圖2的方式裁剪出一個正方形；小明同學按圖3的方式裁剪，且．
素材3 小富同學對紙板的裁剪按如下步驟：如圖4，步驟1：在直角紙板上裁下一個矩形，矩形的四個頂點都在的邊上；步驟2：取剩下的紙板裁下一個正方形，正方形的四個頂點都在邊上；且滿足矩形的邊長是正方形邊長的兩倍小．
問題解決
任務1 請比較小華、小明同學裁處的兩種矩形的面積大小，通過計算說明．
任務2 請求出小富同學裁下的矩形各邊長．
【答案】任務一：，見解析；任務二：矩形的各邊長為，，，
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質，
任務1：小華：設正方形的邊長為x，，由題意得：，再利用相似三角形的性質求得x，小明：由題意得：，再由及求得，然后比較大小即可；
任務2：由題意得：，可設，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，從而得出．最后求解即可；
【詳解】解：任務一：小華：設正方形的邊長為x，
由題意得：
，得：
小明：由題意得：
∵
，得．
∵
，得：
∵
．
任務二：由題意得：
設：，，
同理：
，得
∵
，得：
．
矩形的邊長為：；．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．為了證明光是沿直線傳播的這一性質，大約二千四百年前我國杰出的科學家墨翟和他的學生做了世界上第一個小孔成倒像的實驗，解釋了小孔成倒像的原理．如圖是小孔成像原理的示意圖，長的蠟燭在暗盒中所成的像的長是，則像到小孔的距離為（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形性質，理解相似三角形的性質是解答關鍵．
設像到小孔的距離為，根據相似三角形的性質來求解．
【詳解】解：設像到小孔的距離為，
由題意可知與相似，
，
．
故選：C．
2．如圖，有一塊三角形余料，它的邊，高，現在要把它加工成長與寬的比為的矩形零件，要求一條長邊在上，其余兩個頂點分別在上，則矩形的周長為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了相似三角形的應用，直接利用相似三角形的判定與性質得出，進而得出，的長，即可得出答案．
【詳解】解：矩形中，，，
∴，
，
，
∵，
，
，
∵矩形零件的長與寬的比為，
設，，則，，
，
解得：，
，，
矩形的周長為：．
故選：D．
3．如圖，利用標桿測量學校宿舍樓的高度．已知標桿的高是，測得，則宿舍樓的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形相似的判定和性質，熟練掌握三角形相似的判定定理和性質定理是解題關鍵．根據題意可求出，再根據，可證明，即得出，最后代入數據求解即可．
【詳解】解：∵，
∴．
由題意可知，
∴，
∴，即，
解得：，
∴宿舍樓的高是．
故選B．
4．如圖是裝了液體的高腳杯示意圖（左圖）（數據如圖），用去一部分液體后如右側圖所示，此時液面的寬度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查相似三角形的應用，解本題的關鍵熟練掌握相似三角形的判定與性質．高腳杯前后的兩個三角形相似．根據相似三角形的判定和性質即可得出結果．
【詳解】解：如圖：過O作，垂足為M，過O作，垂足為N，
∵，
∴，即相似比為，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：A．
5．如圖，小明在A時測得某樹的影長為，B時又測得該樹的影長為，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的應用，能夠將實際問題轉化為相似三角形的問題是解題的關鍵．根據題意做出示意圖，證明，由相似三角形的性質可得出，進而可求出答案．
【詳解】解：根據題意做出示意圖，則，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（負值舍去）．
故選：D．
6．“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數學著作《九章算術》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由如圖所示（單位：尺），已知井的截面圖為矩形，設井深為尺，下列所列方程中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的應用舉例，證明是解題的關鍵．根據題意可證明得到，然后代入數值即可得到答案．
【詳解】解：如圖，
由題意得，，，，，，
，
，即，
故選：D
7．如圖，路燈距地面8米，身高米的小明從點處沿所在的直線行走到點時，人影長度（　　）
A．變長 B．變長 C．變短 D．變短
【答案】C
【分析】此題考查相似三角形對應邊成比例，應注意題中三角形的變化．小明在不同的位置時，均可構成兩個相似三角形，可利用相似比求人影長度的變化．
【詳解】解：設小明在處時影長為，長為，處時影長為．
，，
，，
，，
則，
；
，
，
，
故變短了米．
故選：C．
8．如圖，是一張直角三角形紙片，，．若將斜邊上的高分成5等份，然后裁出4張寬度相等的長方形紙條，則這4張紙條的面積和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定 和性質，勾股定理，三角形面積公式，矩形的性質，求出每個矩形的長度和寬是解答關鍵．
先利用勾股定理求出，再利用面積計算法求出，接著證明，進而求出，分別計算出從上往下數每個矩形的長，再利用每個矩形的寬均為，代銷入矩形面積公式中求解．
【詳解】解：如圖
，，，
，
，
即，
．
斜邊上的高分成5等份，
．
，
，，
，
，
即，
，
即從上往下數，第一個矩形的長為，
同理可得從上往下數，第二個矩形的長為，
從上往下數，第三個矩形的長為，
從上往下數，第四個矩形的長為，
而所有矩形的寬都為，
所以4張紙條的面積和為．
故選：B．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點A，B，Q在同一水平線上，和均為直角，與相交于點D．測得，，，則樹高 ．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．根據題意可得，然后利用相似三角形的性質列出比例式即可求解．
【詳解】解：∵和均為直角，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，，
∴,
∴
故答案為：．
10．工人師傅設計了一種測量蓄水池深度的方法．如圖所示，在池口處立一根垂直的木桿，從木桿的頂端觀察池水水岸，視線與池口的直徑交于點，如果測得米，米，米，那么為 米．
【答案】7
【分析】本題考查了相似三角形的應用．根據題意可得：，，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質進行計算即可解答．
【詳解】解：由題意得：，，
，
，
，
，
，
解得：，
為7米，
故答案為：7．
11．如圖，樓房的高度應為 ．
【答案】/10米
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，根據相似三角形的判定證得，可得，即可求解．
【詳解】解：由圖可得，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
12．某數學興趣小組開展了“測量寶塔高度”的實踐活動，在點C處垂直于地面豎立一根高度為2米的標桿，這時地面上的點E，標桿的頂端點D，寶塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得米，將標桿向右平移到點G處，這時地面上的點F，標桿的頂端點H，寶塔的塔尖點B正好在同一直線上（點F，點G，點E，點C與塔底處的點A在同一直線上），這時測得米，米．求寶塔的高度為 米．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．證明出，相似，再根據相似三角形的性質定理建立等式求解，即可得到結論．
【詳解】解：由題意知，，
，
，
由題知，，
，
，
，
，
米，米，米，
，
米．
，
米，
故答案為：．
13．如圖，數學興趣小組學生測量小山坡上一棵大樹的高度，山坡與地面的夾角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影長為米，此刻大樹在斜坡上的影長為米，則大樹的高度是 米．
【答案】/
【分析】本題考查了相似三角形的應用，勾股定理，含角的直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握相關知識并正確作出輔助線．過點作于點，推出，得到米，再根據勾股定理求出米，由題意得：米，米，，利用相似三角形的性質求出米，即可求解．
【詳解】解：過點作于點，
，
，
米，
米，
米，
由題意得：米，米，，
，即，
米，
米，
大樹的高度是米，
故答案為：．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，陽陽要測量一座鐘塔的高度，他在與鐘塔底端處在同水平面上的地面放置一面鏡子，并在鏡子上做一個標記，當他站在離鏡子處1.4m的處時，看到鐘塔的頂端在鏡子中的像與標記重合．已知，，在同直線上，陽陽的眼睛離地面的高度m，m，求鐘塔的高度．
【答案】
【分析】先證明，后利用相似三角形性質求出即可.
【詳解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故鐘塔的高度為．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，掌握相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等是解題的關鍵.
15．如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點，在近岸取點，使得，點在上，并且點在同一條直線上．若測得米，米，米，試求河的寬度．
【答案】40米
【分析】證得△ABE和△DCE相似，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．
【詳解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(對頂角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即，
∴米
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應邊成比例，確定出相似三角形是解題的關鍵．
16．如圖所示，晚上小亮走在大街上，他發現當他站在大街上高度相等的兩盞路燈和之間時，自己右邊的影子的長為，左邊的影子的長為，又知小亮的身高為，兩盞路燈之間的距離為，點、、、、在同一條直線上，問：路燈的高為多少米？
【答案】路燈高6.6米．
【分析】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質．
首先根據已知條件求證出，，然后根據相似三角形的性質求得兩個相似三角形的相似比，進而求出路燈的高度．
【詳解】解：設米，則米，再設路燈的高為h米，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
則，
解得：，
故，
解得：．
答：路燈高6.6米．
17．《周髀算經》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．小南利用“矩”可測量大樹的高度．如圖，通過不斷調整自己的姿勢和“矩”的擺放位置，使斜邊保持水平，并且邊與點B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長分別為，，小南的眼睛到地面的距離為，測得，求樹高．
【答案】樹高為
【分析】本題主要考查了相似三角形的應用舉例，據題意可得，，即可得出，由相似三角形的性質可得出，即可得出，再根據即可得出答案．
【詳解】解：據題意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：樹高為．
18．如圖，小穎為測量學校旗桿的高度，在E處放置一塊鏡子，然后退到C處站立，剛好從鏡子中看到旗桿的頂部B．已知小穎的眼睛D離地面的高度，她離鏡子的水平距離，鏡子E離旗桿的底部A的距離，且A，C，E三點在同一水平直線上，求旗桿的高度．
【答案】
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質．根據題意可得，可證得，即可求解．
【詳解】解：根據光的反射定律得：，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
19．每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓的高度，同學們發現在鐘樓下方有建筑物遮擋，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為的長度．通過對示意圖的分析討論，制定了多種測量方案，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設的長為x米，的長為y米．
測量數據（精確到0.1米）如表所示：
直桿高度 直桿影長 的長
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次測量數據列出關于x，y的方程是______，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是______；
(2)該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得，則鐘樓的高度約為______米．
【答案】(1)，
(2)43
【分析】本題考查了相似三角形的應用，由同一時刻測量，得到是本題的關鍵．
（1）由同一時刻測量，可得，分別代入第一次測量、第二次測量的數值，可得其關于、的方程；
（2）已經求得，將代入任一個方程，可求得的值，即得鐘樓的高度．
【詳解】（1）由同一時刻測量，可得，
第一次測量：，化簡得，，
第二次測量：，化簡得，，
故答案為：，；
（2）對于，代入，
得，，
解得：，
鐘樓米，
故答案為：43．
列方程求值
得比例線段
證明三角形相似
根據題意建立相似三角形模型
解題思路
列方程求值
得比例線段
證明三角形相似
根據題意建立相似三角形模型
解題思路
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