資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
人教版九年級數(shù)學(xué)下名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第27章 相似
27.2.2 相似三角形的性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1 理解并掌握相似三角形的對應(yīng)高、中線、角平分線的性質(zhì).
2 理解并掌握相似三角形的周長與面積的性質(zhì).
3 會用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題.
老師告訴你
應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)前提條件是兩個(gè)三角形相似，不滿足前提條件，不能應(yīng)用相似三角形性質(zhì)，由相似比求面積必須要平方，反過來，由面積比求相似比必須要開平方，
一、知識點(diǎn)撥
知識點(diǎn)1 相似三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.
性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.
相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
注意：要特別注意“對應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.
性質(zhì)3：相似三角形周長的比等于相似比
如圖一： ∽，則
圖一
由比例性質(zhì)可得：
性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方
如圖二，∽，則分別作出與的高和，則
圖二
注意：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．如圖為一把椅子的側(cè)面示意圖，已知地面，，，，則地面上兩點(diǎn)之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
例1-2．已知與相交于點(diǎn)O，若，則的面積與的面積之比為（ ）

A． B． C． D．
例1-3．在陽光下，嘉琪身高，自己影子的長是，同一時(shí)刻測得工廠的國旗旗桿比企業(yè)旗的旗桿影子長，則該旗桿的高度差是（ ）．
A． B． C． D．
例1-4．如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段和相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，測得，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．已知一個(gè)三角形的三邊為9、12、16，與它相似，其中，，那么 ．
2．如圖，已知，，，，則 ．
3．如圖，將腰長為的等腰三角形紙片，沿與底邊平行的方向剪去一個(gè)小的等腰三角形紙片，剩下一個(gè)等腰梯形紙片，如圖所示．若剪去紙片面積是剩下的紙片面積的 ，則剪去等腰三角形紙片的腰長為 ．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與直線交于點(diǎn)，它們的夾角為．直線交x負(fù)半軸于點(diǎn)A，直線與x正半軸交于點(diǎn)，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ．
5．如圖，將平移到的位置，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)分別交于點(diǎn)，若，則 ．
知識點(diǎn)2 射影定理
射影定理：如圖，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB
則，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
很容易推出：．
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
．
AC＋BC＜AB＋CD．
用圖中小寫字母a、b、c、p、q、h（常稱為勾股六線段）表達(dá)以上關(guān)系：
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ；
⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．
利用上述關(guān)系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h這六個(gè)量中，已知兩個(gè)量就可求出其余四個(gè)量來。同學(xué)們自己可任意設(shè)出兩個(gè)量，練習(xí)求另外四個(gè)量（在設(shè)的時(shí)候，要注意構(gòu)成直角三角形的基本條件：斜邊大于直角邊
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．閱讀與思考，完成后面的問題．
射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：
①；②；③．下面是該定理的證明過程（部分）：
∵是斜邊上的高，∴．∵，，
∴．∴（依據(jù)）．∴．即．
(1)材料中的“依據(jù)”是指　　　　；
(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；
(3)應(yīng)用：中，，，，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．（1）問題情境：如圖1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用與相似證明AC2＝AD AB，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，試證明這個(gè)定理．
（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對角線AC，BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明．
2．材料閱讀：直角三角形射影定理又稱“歐幾里德定理”．定理的內(nèi)容是：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)：每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．這一定理可以描述如下：
如圖，在中，滿足條件：，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論成立：① ② ③ ④

(1)自主探究：請證明結(jié)論③
已知：在中，是斜邊上的高，求證：
(2)直接運(yùn)用：運(yùn)用射影定理解決下面的問題：
如圖，在中，，是斜邊上的高，若，求的長．
二、題型訓(xùn)練
1.利用相似三角形性質(zhì)求線段長度
1．的三邊、、的長分別是6、7、8，邊上有一點(diǎn)M，，過點(diǎn)M的直線截其它邊的交點(diǎn)是點(diǎn)N，如果截得的相似于，那么的長為 ．
2．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則 ．
2.利用相似三角形性質(zhì)求比值
3．如圖，已知一個(gè)梯形被一條對角線分成兩個(gè)相似的三角形，且兩腰之比為，則上底和下底之比為 ．
4．已知兩個(gè)等邊三角形的面積比為，那么這兩個(gè)等邊三角形的角平分線的長度的比值為
3.利用相似三角形性質(zhì)求周長面積
5．已知：如圖，、是的兩條高．
(1)求證：．
(2)若，求的值．
6．如圖，在四邊形中，，，平分交于點(diǎn)，連接，，．
(1)求證：是等邊三角形；
(2)若，求四邊形的周長．
4.利用相似三角形性質(zhì)證明線段相等角相等
7．已知平行四邊形，，垂足為E，，垂足為F．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
8．已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接．
(1)求的面積；
(2)如果動點(diǎn)在直線上，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如果動點(diǎn)在直線上，且與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
5.利用相似三角形性質(zhì)證明線段成比例
9．已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，．
(1)求證：；
(2)延長、交于點(diǎn)，求證：．
10．如圖，已知梯形中，．是邊上一點(diǎn)，與對角線交于點(diǎn)，且．
求證：
(1)；
(2)．
三、課堂達(dá)標(biāo)
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．已知，且相似比為，則與面積的比是（ ）
A． B．1：3 C． D．
2．如圖，在中，，，下列四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，三角形中位線的定義和性質(zhì)，
先根據(jù)題意可知是的中位線，可知，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可知,進(jìn)而得出，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，．
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：D．
4．將沿方向平移至，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，，使得，則與的周長之比為（ ）
A． B． C． D．
5．兩個(gè)相似三角形的相似比為，則它們的面積比為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，點(diǎn)E是的邊上的一點(diǎn)，且，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，若，，則的周長為（ ）
A．21 B．28 C．36 D．42
7．如圖，矩形的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B，C在x軸上，對角線的延長線交y軸于點(diǎn)E，連接，若的面積是8，則k的值為（ ）

A． B． C． D．
8．如圖，是等腰三角形，．將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D落在邊上．若的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，則下列線段的比不等于的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，已知中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，．，，，則 ．
10．如圖，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以的速度沿著向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止，經(jīng)過 秒后，與相似．
11．如圖，是一塊余料，，現(xiàn)要把它加工成正方形零件，使得正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，都在三角形的三邊上，其中點(diǎn)，在邊上，加工后正方形的邊長為，則的面積為 ．
12．如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)．連接交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F．若，，，則的長度是 ，的長度是 ．

13．如圖，四邊形是菱形，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G．若，則的長為 ．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．如圖，相交于點(diǎn)O，．
(1)求證：；
(2)已知，的面積為6，求的面積．
15．已知，在中，，分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，，和相交于點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
16．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊，上，連接和，，若，，求的長．
17．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
18．如圖，點(diǎn)，在線段上，是等邊三角形，．
(1)求證：；
(2)若，，求的長度．
19．在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
(1)如圖1，證明：；
(2)已知平分，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，．
①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值．
人教版九年級數(shù)學(xué)下名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第27章 相似
27.2.2 相似三角形的性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1 理解并掌握相似三角形的對應(yīng)高、中線、角平分線的性質(zhì).
2 理解并掌握相似三角形的周長與面積的性質(zhì).
3 會用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題.
老師告訴你
應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)前提條件是兩個(gè)三角形相似，不滿足前提條件，不能應(yīng)用相似三角形性質(zhì)，由相似比求面積必須要平方，反過來，由面積比求相似比必須要開平方，
一、知識點(diǎn)撥
知識點(diǎn)1 相似三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.
性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.
相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
注意：要特別注意“對應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.
性質(zhì)3：相似三角形周長的比等于相似比
如圖一： ∽，則
圖一
由比例性質(zhì)可得：
性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方
如圖二，∽，則分別作出與的高和，則
圖二
注意：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．如圖為一把椅子的側(cè)面示意圖，已知地面，，，，則地面上兩點(diǎn)之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，則，，結(jié)合，得到，列式，結(jié)合，解答即可．
本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)，則，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選B．
例1-2．已知與相交于點(diǎn)O，若，則的面積與的面積之比為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解∶∵，
∴，
∴，
∴，
故選C
例1-3．在陽光下，嘉琪身高，自己影子的長是，同一時(shí)刻測得工廠的國旗旗桿比企業(yè)旗的旗桿影子長，則該旗桿的高度差是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形相似的應(yīng)用，掌握相似三角形對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．
設(shè)該旗桿的高度為，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到同一時(shí)刻同一地點(diǎn)物體的高度與其影長的比相等列比例式求解即可．
【詳解】解：設(shè)該旗桿的高度為，
根據(jù)題意得，，解得．即該旗桿的高度是．
故答案為：C．
例1-4．如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段和相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，測得，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，先根據(jù)已知條件得到，即可求得角度．
【詳解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
即，
∴，
故選：A．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．已知一個(gè)三角形的三邊為9、12、16，與它相似，其中，，那么 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意可分：
當(dāng)為的最長邊，為最短邊時(shí)，則有：，所以這種情況不符合題意；
當(dāng)為最短邊時(shí)，為最長邊時(shí)，則有：，解得：；
當(dāng)為最短邊時(shí)，則有，解得：；
故答案為或．
2．如圖，已知，，，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先得到，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例解題即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案為：．
3．如圖，將腰長為的等腰三角形紙片，沿與底邊平行的方向剪去一個(gè)小的等腰三角形紙片，剩下一個(gè)等腰梯形紙片，如圖所示．若剪去紙片面積是剩下的紙片面積的 ，則剪去等腰三角形紙片的腰長為 ．
【答案】/4厘米
【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題可知剪去三角形紙片面積是原三角形面積的，
∴兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比為，
∴剪去等腰三角形紙片的腰長為，
故答案為：．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與直線交于點(diǎn)，它們的夾角為．直線交x負(fù)半軸于點(diǎn)A，直線與x正半軸交于點(diǎn)，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了兩直線相交的問題，點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)已知條件證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出的長，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：，
，
軸軸，
，
，
，
，
，
點(diǎn)，點(diǎn)，
，，
，
，
點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
5．如圖，將平移到的位置，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)分別交于點(diǎn)，若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，于是可證得，根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方即可得出答案．
【詳解】解：由平移的性質(zhì)得，，，
∴，，
，
，
即，
∵，
，
，
故答案為：．
知識點(diǎn)2 射影定理
射影定理：如圖，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB
則，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
很容易推出：．
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
．
AC＋BC＜AB＋CD．
用圖中小寫字母a、b、c、p、q、h（常稱為勾股六線段）表達(dá)以上關(guān)系：
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ；
⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．
利用上述關(guān)系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h這六個(gè)量中，已知兩個(gè)量就可求出其余四個(gè)量來。同學(xué)們自己可任意設(shè)出兩個(gè)量，練習(xí)求另外四個(gè)量（在設(shè)的時(shí)候，要注意構(gòu)成直角三角形的基本條件：斜邊大于直角邊
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．閱讀與思考，完成后面的問題．
射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：
①；②；③．下面是該定理的證明過程（部分）：
∵是斜邊上的高，∴．∵，，
∴．∴（依據(jù)）．∴．即．
(1)材料中的“依據(jù)”是指　　　??；
(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；
(3)應(yīng)用：中，，，，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【答案】(1)兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似
(2)見解析
(3)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理證明和計(jì)算．
（1）根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”即可解答；
（2）②根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”證明即可得證；③根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”證明；
（3）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用證明的射影定理得，即可求出，由此求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：“依據(jù)”是：兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，
故答案為：兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；
（2）證明：②，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
③，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：如圖，根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．
【對應(yīng)導(dǎo)練】
1．（1）問題情境：如圖1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用與相似證明AC2＝AD AB，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，試證明這個(gè)定理．
（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對角線AC，BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】（1）由AA證明，再結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解題；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)及射影定理解得BC2＝BO BD，BC2＝BF BE，再運(yùn)用SAS證明△BOF∽△BED即可．
【詳解】證明：（1）如圖1，
（2）如圖2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF BE，
∴BO BD＝BF BE，即，
而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED．
【點(diǎn)睛】本題考查射影定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
2．材料閱讀：直角三角形射影定理又稱“歐幾里德定理”．定理的內(nèi)容是：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)：每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．這一定理可以描述如下：
如圖，在中，滿足條件：，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論成立：① ② ③ ④

(1)自主探究：請證明結(jié)論③
已知：在中，是斜邊上的高，求證：
(2)直接運(yùn)用：運(yùn)用射影定理解決下面的問題：
如圖，在中，，是斜邊上的高，若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
（1）利用三角形相似證明結(jié)論；
（2）設(shè)長為x，則，根據(jù)射影定理可得，求出長，再根據(jù)射影定理求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：設(shè)長為x，則，
根據(jù)射影定理可知，
即，
解得：，（舍去），
∴，
又∵，
∴．
二、題型訓(xùn)練
1.利用相似三角形性質(zhì)求線段長度
1．的三邊、、的長分別是6、7、8，邊上有一點(diǎn)M，，過點(diǎn)M的直線截其它邊的交點(diǎn)是點(diǎn)N，如果截得的相似于，那么的長為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，不可能相似于，故只需分兩種情況：①，②，進(jìn)行討論，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案，主要利用了相似三角形的對應(yīng)邊成比例，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，不可能相似于；
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，
①如圖1，，
，
，，，
，
解得，
∴．
②如圖2，，
，
，，，
，
解得，
∴
綜上所述，為或．
故答案為：或．
2．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查翻折變換，相似三角形的判定與性質(zhì)．首先根據(jù)等邊對等角及翻折的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得出，從而判斷出，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出，再進(jìn)一步求出的長即可．
【詳解】解：∵，
∴，
根據(jù)翻折可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
2.利用相似三角形性質(zhì)求比值
3．如圖，已知一個(gè)梯形被一條對角線分成兩個(gè)相似的三角形，且兩腰之比為，則上底和下底之比為 ．
【答案】
【分析】此題主要了相似三角形的性質(zhì)和梯形的定義．根據(jù)題意可得，則，即可求出答案．
【詳解】解：有題意可知，，
∴，
∵兩腰之比為，
∴，
∴，
即上底和下底之比為，
故答案為：．
4．已知兩個(gè)等邊三角形的面積比為，那么這兩個(gè)等邊三角形的角平分線的長度的比值為
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方．
根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得它們的相似比，又由相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比，即可求得答案．
【詳解】解：兩個(gè)等邊三角形的面積比為，
這兩個(gè)等邊三角形的相似比為：，
這兩個(gè)等邊三角形的角平分線的長度的比值為．
故答案為：．
3.利用相似三角形性質(zhì)求周長面積
5．已知：如圖，、是的兩條高．
(1)求證：．
(2)若，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由，可得，進(jìn)而可證得，于是可得，利用比例的性質(zhì)可得，然后即可根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”得出結(jié)論；
（2）由（1）可得，由于，利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，即，由（1）可得，則根據(jù)“相似三角形面積的比等于相似比的平方”即可求得的值．
【詳解】（1）證明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
，
，
，
即：，
由（1）可得：，
，
的值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，比例的性質(zhì)，相似三角形的判定，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，含度角的直角三角形，等式的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確找出圖中的相似三角形是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在四邊形中，，，平分交于點(diǎn)，連接，，．
(1)求證：是等邊三角形；
(2)若，求四邊形的周長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握這些判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）利用平行得出，，再利用得出的度數(shù)，再利用平行結(jié)合角平分線得出，即可證明；
（2）先利用等邊三角形和證明四邊形是菱形，再利用三角函數(shù)求出，即可求出四邊形的周長．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形；
（2）解：∵是等邊三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴,
又∵，，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形，
∵，，，
∴，
∴，
∴四邊形的周長為．
4.利用相似三角形性質(zhì)證明線段相等角相等
7．已知平行四邊形，，垂足為E，，垂足為F．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．
（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，而，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明；
（2）由得，則，由相似三角形的性質(zhì)得，則，所以，則．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
，垂足為，，垂足為，
，
；
（2）證明：∵，，，
，
，
，
，
，
，
與相等或互為相反數(shù)，
，，
．
8．已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接．
(1)求的面積；
(2)如果動點(diǎn)在直線上，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如果動點(diǎn)在直線上，且與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而可以求出的面積；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，，分兩種情況：點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方，分別求解即可；
（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)在直線上，設(shè)，可得，所以，分兩種情況討論：當(dāng)∽時(shí)，當(dāng)∽時(shí)，分別列式計(jì)算求出的值，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
令，則，
，
，
令，，則，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
，
，
的面積；
（2）設(shè)直線的解析式為，
，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
，解得，
直線的解析式為，
，分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖，設(shè)與軸交于點(diǎn)，
，，
又，
≌，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖，設(shè)與軸交于點(diǎn)，
同理得，，直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
，
在直線上，
設(shè)，
，
，
當(dāng)∽時(shí)，
，
，
，
，
，
；
當(dāng)∽時(shí)，
，
，
，
，
，
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了三角形的面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
5.利用相似三角形性質(zhì)證明線段成比例
9．已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，．
(1)求證：；
(2)延長、交于點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是找到相似的三角形．
（1）由，得出，根據(jù)，得出，進(jìn)一步證明，從而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知證明即可．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如圖所示，延長和相交于點(diǎn)F，
由（1）得，
，
，
，
∴，
，
又，
，
又，
．
10．如圖，已知梯形中，．是邊上一點(diǎn)，與對角線交于點(diǎn)，且．
求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由可證，得到，再由得到，即可證明；
（2）由得到，得到，進(jìn)而得到，即可得到．
【詳解】（1）∵，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定方法是解題的關(guān)鍵．
三、課堂達(dá)標(biāo)
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．已知，且相似比為，則與面積的比是（ ）
A． B．1：3 C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解答．
【詳解】解：∵，且相似比為，
∴與面積的比是，
故選：C
2．如圖，在中，，，下列四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)平行線分線段成比例得出，，可判斷①②；先判定，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出③正確，判定四邊形是平行四邊形，得出，根據(jù)兩個(gè)三角形的周長之比等于相似比，為，得出④正確．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴①正確，
∵，
∴，
∴②正確，
∵，
∴③正確，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴兩個(gè)三角形的周長之比等于相似比，為，
∴④正確，
∴正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)，
故選：D．
3．如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，三角形中位線的定義和性質(zhì)，
先根據(jù)題意可知是的中位線，可知，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可知,進(jìn)而得出，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，．
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：D．
4．將沿方向平移至，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，，使得，則與的周長之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平移的性質(zhì)得到，從而可得到，利用相似三角形周長于相似比可得答案．
【詳解】解：∵沿方向平移至，
∴，即，
∴,,
∴，
∴與的周長之比，
故選：C．
5．兩個(gè)相似三角形的相似比為，則它們的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】解：∵相似三角形的相似比是，
∴面積比為，
故選：C．
6．如圖，點(diǎn)E是的邊上的一點(diǎn)，且，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，若，，則的周長為（ ）
A．21 B．28 C．36 D．42
【答案】C
【分析】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，則可證明，由相似三角形得性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出，，進(jìn)而可求出，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求周長即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴的周長為：．
故選：C．
7．如圖，矩形的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B，C在x軸上，對角線的延長線交y軸于點(diǎn)E，連接，若的面積是8，則k的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)與圖形結(jié)合．解題的關(guān)鍵是將的面積與點(diǎn)D的坐標(biāo)聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．設(shè)，則可表示；由矩形及點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，；再由，可證明，由相似三角形的性質(zhì)即可求得的值，從而求得k的值．
【詳解】解：設(shè)，則；
在矩形中，，軸；
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
∴；
∵的面積是8，
∴，
即，
∴，
即
∴；
故選：C．
8．如圖，是等腰三角形，．將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D落在邊上．若的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，則下列線段的比不等于的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，，即可得到，再證明得到，推出，當(dāng)時(shí)，幾個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)是否符合題意．
【詳解】解：∵將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，，
∴，
∴，，，
∴，故A、C選項(xiàng)不符合題意；
∵的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B選項(xiàng)不符合題意，
當(dāng)時(shí)，故D選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，已知中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，．，，，則 ．
【答案】10
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案為：10．
10．如圖，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以的速度沿著向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止，經(jīng)過 秒后，與相似．
【答案】或
【詳解】分兩種情況分別計(jì)算，①設(shè)經(jīng)過x秒后，得，②設(shè)經(jīng)過x秒后，得，代入用x表示的線段計(jì)算即可．
本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．
【解答】解：①設(shè)經(jīng)過x秒后，
∵，
∴
∴
解得；
②設(shè)經(jīng)過x秒后，
∵，
∴
∴
解得，
∴經(jīng)過或秒，與相似．
故答案為：或．
11．如圖，是一塊余料，，現(xiàn)要把它加工成正方形零件，使得正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，都在三角形的三邊上，其中點(diǎn)，在邊上，加工后正方形的邊長為，則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．首先根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，可證，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可以得到，從而求出的長度，然后于根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算求出結(jié)果．
【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
解得：，
，
故答案為： ．
12．如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)．連接交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F．若，，，則的長度是 ，的長度是 ．

【答案】
【分析】先證明，得出，則，求出，再由勾股定理求得，即可由勾股定理求得的長；然后連接，證明，得出，再由求解．
【詳解】解：是的直徑，
，
∵是的直徑，是的切線，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即，
解得：或(不符合題意，舍去)，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得：；
如圖所示，連接，
，
，
，，
，
，
；
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定等等，證明是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，四邊形是菱形，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G．若，則的長為 ．
【答案】3
【分析】延長、交于點(diǎn)，過作交直線于，由菱形得到，，，再證明，得到，，然后由勾股定理和直角三角形求出，再證明，得到，代入即可得到，解方程即可求解．
【詳解】解：延長、交于點(diǎn)，過作交直線于，
∵四邊形是菱形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，利用倍長中線的思路去做輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．如圖，相交于點(diǎn)O，．
(1)求證：；
(2)已知，的面積為6，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．
（1）對頂角相等，結(jié)合，即可得出；
（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求解即可．
掌握兩組對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：∵，又，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
所以的面積為．
15．已知，在中，，分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，，和相交于點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)：
（1）根據(jù)，，即可求得答案．
（2）根據(jù)，即可求得答案．
【詳解】（1）∵，，
∴．
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
16．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊，上，連接和，，若，，求的長．
【答案】1.5
【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，則，
∴，
∴．
17．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
（1）根據(jù)相似三角形的判定得出即可；
（2）根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可．
【詳解】（1），，
（2），
，
，，．
18．如圖，點(diǎn)，在線段上，是等邊三角形，．
(1)求證：；
(2)若，，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，由三角形的內(nèi)角定理證明，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）證明：為等邊三角形，
．
，
，
．
，
，
，
．
（2）解：，
，
為等邊三角形，
設(shè)，
，
解得（負(fù)值舍去），
．
19．在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
(1)如圖1，證明：；
(2)已知平分，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，．
①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)①，②
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分的性質(zhì)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可證，由此即可求證；
（2）①在中，運(yùn)用勾股定理可得，根據(jù)垂直的定義可得即，可證，由此即可求解；②根據(jù)，平分，由角平分線的性質(zhì)定理可得，可證，由（1）可知，可得，過點(diǎn)作，與延長線交于點(diǎn)，如圖，則，可證，得到，則，由相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：，
，
，
又，
，
，即；
（2）解：①在中，，
平分，
，
，，
，即，
，
；
②，，平分，
，
又，，
，
，則，
由（1）可知，則，且，
，
解得，
過點(diǎn)作，與延長線交于點(diǎn)，如圖，則，
，，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，即，
，
，
，則，
．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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