資源簡介

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人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定3
學習目標：
1.了解“兩角分別相等的兩個三角形相似”和“如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.”判定定理的證明過程，能運用這兩個判定定理證明兩個三角形相似.
2.通過對相似三角形兩個判定定理的學習，會用已知條件證明三角形相似并解決一些簡單的問題.
老師告訴你
1.公共角、對頂角、同角的余角（或補角）、同弧所對的圓周角都是相等的，這些在判定兩個三角形相似時經常用到；
2.如果兩個三角形是直角三角形，那么只要再找到一對銳角相等即可說明這兩個三角形相似，并且兩邊對應成比例時，兩個直角三角形相似。
一、知識點撥
知識點1 、三角形相似判定定理3
（1）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似．
（2）利用兩角判定兩個三角形相似的方法：如果根據已知條件，在兩個三角形中不能直接找出兩個角分別相等，那么可先結合三角形內角和定理、對頂角等知識，設法求出其中一個三角形中的第三個角，再判斷兩個三角形中是否有兩角分別相等，若有，則兩個三角形相似，否則兩個三角形不相似。
（3）常見模型：
【新知導學】
例1-1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一點，ED⊥AB，垂足為D，
求證：△ABC∽△EBD.
例1-2．如圖，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分線分別與AC、AB交于點D、E．
（1）在圖中作出AB的垂直平分線DE，并連接BD．
（2）證明：△ABC∽△BDC．
例1-3．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處．
（1）求證：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的長．
【對應導練】
1．如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，則圖中相似三角形有（　　）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點F．
（1）求證：△ACD∽△BFD；
（2）當tan∠ABD=1，AC=3時，求BF的長．
3．如圖，點P在△ABC的邊AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一個條件　 　．
知識點2、直角三角形相似判定定理
除了上面的方法外，直角三角形還有其他特殊的判定相似的方法，如下：
(1)有一個銳角分別相等的兩個直角三角形相似；
(2)兩條直角邊成比例的兩個直角三角形相似；
(3)斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似.
【上述三種直角三角形相似的判定方法，教材中并沒有作為定注意理給出，所以只能作為一種分析問題的依據，可在選擇題或填空題中使用，在解答題中不能作為定理直接使用】
【新知導學】
例2-1．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，兩兩相似的三角形對數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2-2．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿邊BC以2cm/s的速度移動．如果點P，Q分別從點A，B同時出發，經過幾秒鐘后，以點P、B、Q三點為頂點的三角形與△ABC相似？
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．
2．如圖，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在邊DC上有點P，使△PAD與△PBC相似，則這樣的點P有　 　個．
3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG，現在有如下4個結論：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S⊿BEF = ．在以上4個結論中，正確的有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
知識點3 解決關于添加條件判定兩個三角形相似的問題的方法
先明確要判定相似的兩個三角形已經具備了什么條件，注意對隱含條件的挖掘，再結合兩個三角形相似的判定方法所需的條件，添加缺少的條件即可.此類題的答案往往不唯一。
【新知導學】
例3-1．如圖，點D，E分別在△ABC的AB，AC邊上，增加下列哪些條件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE與△ACB一定相似（　　）
A．（1）（2） B．（2）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【對應導練】
1．如圖△ABC中，D、E是AB、AC上點，AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，試判斷△ADE與△ABC是否會相似．
2．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示運動時間（0≤t≤6），那么當t為何值時，△APQ與△ABD相似？說明理由．
二、題型訓練
1.利用相似求線段長度
1 .如圖，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，點M為AB的中點，在線段AC上取點N，使△AMN與△ABC相似，求MN的長．
2．如圖，一塊矩形木板，長，寬，小虎將一塊等腰直角三角板的一條直角邊靠在頂點上，另一條直角邊與邊交于點，三角板的直角頂點在邊上移動（不含端點），當線段最短時，的長為（　　）
A． B． C． D．
3．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF= DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．
2.利用相似證明線段成比例
4．在正方形中，點在邊上（不與點，重合），射線與射線交于點．
（1）求證：；
（2）若，，求的值．
5．已知：如圖，在中，，是中點，點在延長線上，點在邊上，．求證：
（1）；
（2）．
3.利用相似解決有關圓的問題
6．如圖所示，CD是⊙O的切線，點D在⊙O上，點C在直徑AB的延長線上，若BD= AD，AC=3，則CD=（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q.
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）連接OC交BQ于點D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的長.
8．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E.
（1）求證：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長.
三、課堂達標
閱卷人 一、選擇題（每小題4分，共32分）
得分
1． 如圖，已知在，為上一點，連結，不能判斷的是（　　）
A． B． C． D．
2．如圖，，則AE的長是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．10
3．如圖，在△ABC中，DE∥AB，且＝，則的值為（　　）
A． B． C． D．
4．如圖，已知△ABC，則下列4個三角形中，與△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，E是BC 邊上一點，若AB=6，
AE=3，∠AED=∠B，則AD的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
6．如圖，D是△ABC的邊AB上的一點，那么下列四個條件不能單獨判定△ABC∽△ACD的是（　　）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
7．如圖，是正方形，G是上（除端點外）的任意一點，于點E，，交于點F．下列結論不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如圖所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一個條件后，仍然無法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
= B． = C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
閱卷人 二、填空題（每小題4分，共20分）
得分
9．已知如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，寫出圖中的一組相似三角形　 　．
10．將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖所示的樣子，假設圖中的所有點、線都在同一平面內，圖中有相似（不包括全等）三角形有　 　對．
11．已知在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9當BD　 　時，△ABD∽△DBC．
12．如圖，點P是△ABC中AB邊上的一點，過P作直線（不與AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足條件的直線最多有　 　條．
13．如圖，在平面直角坐標系中有兩點A（4，0），B（0，2），如果點C在x軸上（C與A不重合）當點C的坐標為　 　時，使得△BOC∽△AOB．
閱卷人 三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
得分
14．如圖，在△ABC和OACD中，AD⊥CD于點D，AC⊥BC于點C．請再添加一個條件，使△ABC∽△CAD，并加以證明．
15．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點P在BD上由點B向點D方向移動，當點P移到離點B多遠時，△APB和△CPD相似？
16．如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C．
（1）設Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）寫出如圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明．
17．如圖，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，點P從點A出發，沿著AC邊向點C以1cm/s的速度運動，點Q從點C出發，沿著CB邊向點B以2cm/s的速度運動，如果P與Q同時出發，經過幾秒△PQC和△ABC相似？
如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點E，AE=ED，延長DB到點F，使DB到點F，使FB=BD，連接AF.
⑴△BDE∽△FDA；
⑵試判斷直線AF與⊙O的位置關系，并給出證明。
19．如圖所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，現有動點P從點A出發，沿線段AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段CB向點B方向運動.如果點P的速度是4 cm/s，點Q的速度是 2 cm/s，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，兩點都停止運動.設運動時間為t.
（1）當t=3 s時，P，Q兩點之間的距離是多少
（2）若△CPQ的面積為S，求S關于t的函數解析式.
（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定3
學習目標：
1.了解“兩角分別相等的兩個三角形相似”和“如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.”判定定理的證明過程，能運用這兩個判定定理證明兩個三角形相似.
2.通過對相似三角形兩個判定定理的學習，會用已知條件證明三角形相似并解決一些簡單的問題.
老師告訴你
1.公共角、對頂角、同角的余角（或補角）、同弧所對的圓周角都是相等的，這些在判定兩個三角形相似時經常用到；
2.如果兩個三角形是直角三角形，那么只要再找到一對銳角相等即可說明這兩個三角形相似，并且兩邊對應成比例時，兩個直角三角形相似。
一、知識點撥
知識點1 、三角形相似判定定理3
（1）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似．
（2）利用兩角判定兩個三角形相似的方法：如果根據已知條件，在兩個三角形中不能直接找出兩個角分別相等，那么可先結合三角形內角和定理、對頂角等知識，設法求出其中一個三角形中的第三個角，再判斷兩個三角形中是否有兩角分別相等，若有，則兩個三角形相似，否則兩個三角形不相似。
（3）常見模型：
【新知導學】
例1-1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一點，ED⊥AB，垂足為D，
求證：△ABC∽△EBD.
【答案】證明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°.
∵∠C=90°，
∴∠EDB=∠C.
∵∠B=∠B，
∴ΔΑBC∽ΔΕBD.
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】由ED⊥AB，可得∠EDB=90°= ∠C ，又有公共角∠B，即可判定.
例1-2．如圖，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分線分別與AC、AB交于點D、E．
（1）在圖中作出AB的垂直平分線DE，并連接BD．
（2）證明：△ABC∽△BDC．
【答案】（1）解：如圖，DE即為所求；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣40°＝40°，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
【知識點】線段垂直平分線的性質；相似三角形的判定；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】（1）根據線段垂直平分線的尺規作圖法作圖即可；然后連接BD.
（2）根據垂直平分線的性質得BD＝AD，于是可求得∠ABD和∠DBC的度數，從而可得∠DBC＝∠BAC，再利用公共角，即可證得△ABC∽△BDC.
例1-3．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處．
（1）求證：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的長．
【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由翻折可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，AD＝10，
∴BC＝10，
由翻折可得：
AF＝10，
在Rt△ABF中，
，
∴CF＝10﹣6＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴CE＝3．
【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根據四邊形ABCD是矩形，得出∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可得：∠D=∠AFE=90°，利用同角的余角相等可以得出∠BAF=∠EFC，即可證出結論；
(2)由翻折可得：AF=10，根據勾股定理得出BF=6，利用 △ABF∽△FCE ，求解即可EC.
【對應導練】
1．如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，則圖中相似三角形有（　　）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
【答案】C
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根據條件證明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性質：對應角相等，再證明△APD∽△PGD，進而證明△APG∽△BFP
再證明時注意圖形中隱含的相等的角。
【解答】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD=∠A=∠B，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
故選C．
【點評】本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角。
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點F．
（1）求證：△ACD∽△BFD；
（2）當tan∠ABD=1，AC=3時，求BF的長．
【答案】（1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
【知識點】相似三角形的性質；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可證明．（2）先證明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得 = =1，即可解決問題．
3．如圖，點P在△ABC的邊AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一個條件　 　．
【答案】∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP AC
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A=∠A，
∴當∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或 = 即AB2=AP AC時，
△ABP∽△ACB，
故答案為∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP AC．
【分析】根據相似三角形的判定方法，即可解決問題．
知識點2、直角三角形相似判定定理
除了上面的方法外，直角三角形還有其他特殊的判定相似的方法，如下：
(1)有一個銳角分別相等的兩個直角三角形相似；
(2)兩條直角邊成比例的兩個直角三角形相似；
(3)斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似.
【上述三種直角三角形相似的判定方法，教材中并沒有作為定注意理給出，所以只能作為一種分析問題的依據，可在選擇題或填空題中使用，在解答題中不能作為定理直接使用】
【新知導學】
例2-1．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，兩兩相似的三角形對數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA.
故答案為：B.
【分析】根據垂直的概念可得∠ADC＝∠BDA＝90°，根據同角的余角相等可得∠B=∠DAC，∠C=∠BAD，然后根據相似三角形的判定定理進行解答即可.
例2-2．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿邊BC以2cm/s的速度移動．如果點P，Q分別從點A，B同時出發，經過幾秒鐘后，以點P、B、Q三點為頂點的三角形與△ABC相似？
【答案】解：設經x秒鐘△PBQ與△ABC相似，
則AP=2xcm，BQ=2xcm，
∵AB=10cm，BC=20cm，
∴BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，
∵∠B是公共角．
∵①當 = ，即 = 時，△PBQ∽△ABC，解得x= ；
②當 = ，即 = 時，△QBP∽△ABC，解得x= ．
∴經 或 秒時，以點P、B、Q三點為頂點的三角形與△ABC相似．
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先設經x秒鐘△PBQ與△ABC相似，由題意可得AP=2xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分別從當 = 與當 = 去分析，即可求得答案．
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．
【答案】證明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【知識點】等腰三角形的性質；相似三角形的判定
【解析】【分析】根據等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據兩組角對應相等的兩個三角形相似證明．
2．如圖，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在邊DC上有點P，使△PAD與△PBC相似，則這樣的點P有　 　個．
【答案】2
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD與△PBC相似，可知，∠D和∠C是對應角，
設DP=x，則PC=8-x，
①如圖1，當△DAP∽△CBP時，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如圖2，當△DAP∽△CPB時，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
綜上，DP=2或6.
∴這樣的點有2個.
故答案為：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD與△PBC相似，可知，∠D和∠C是對應角，分兩種情況討論：①當△DAP∽△CBP時，；②當△DAP∽△CPB時，，列出方程求解即可.
3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG，現在有如下4個結論：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S⊿BEF = ．在以上4個結論中，正確的有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知識點】三角形的面積；勾股定理；正方形的性質；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∵∠DFG=∠A=90°，DG=DG，
∴△ADG≌△FDG，①符合題意；
∵正方形邊長為12 ∴BE=EC=EF=6 設AG=GF=x 則EG=x+6，BG=12－x，
由勾股定理可得： 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8 ∴BG=2AG ②符合題意
BE=EF=6，△BEF為等腰三角形 易知△GDE不是等腰三角形 ③不符合題意
= ×6×8=24 · = ×24= ④符合題意.
故答案為：C.
【分析】根據折疊的性質和正方形的性質不難對①進行判斷；設AG=GF=x，表示出EG、BG的長，在△BEG中利用勾股定理計算出x的值，進而判斷②；根據△BEF和△GDE的形狀不同即可判斷③；先計算出△BEG的面積，再根據△BEF與△BEG的面積關系求解，進而判斷④.
知識點3 解決關于添加條件判定兩個三角形相似的問題的方法
先明確要判定相似的兩個三角形已經具備了什么條件，注意對隱含條件的挖掘，再結合兩個三角形相似的判定方法所需的條件，添加缺少的條件即可.此類題的答案往往不唯一。
【新知導學】
例3-1．如圖，點D，E分別在△ABC的AB，AC邊上，增加下列哪些條件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE與△ACB一定相似（　　）
A．（1）（2） B．（2）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】C
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠AED=∠B，∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB，故（1）正確；
（2）因為，∠C=∠C，不能判斷△ADE與△ACB相似，故（2）錯誤；
（3）∵，∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB，故（3）正確。
故答案為：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法一一判斷即可。
【對應導練】
1．如圖△ABC中，D、E是AB、AC上點，AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，試判斷△ADE與△ABC是否會相似．
【答案】解：△ADE∽△ACB；理由如下：
∵AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，
∴ = ， = ，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】由已知條件證出∴ ，再由∠A是公共角，根據兩組對應邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似，即可判定△ADE與△ABC相似．
2．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示運動時間（0≤t≤6），那么當t為何值時，△APQ與△ABD相似？說明理由．
【答案】解：設AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6﹣t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①當 = 時，△APQ∽△ABD，
∴ = ，
解得：t=3；
②當 = 時，△APQ∽△ADB，
∴ = ，
解得：t=1.2．
∴當t=3或1.2時，△APQ與△ABD相似
【知識點】矩形的性質；相似三角形的判定
【解析】【分析】由題意可設AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，然后分別從①當 = 時，△APQ∽△ABD；與②當 = 時，△APQ∽△ADB，然后利用方程即可求得t的值．
二、題型訓練
1.利用相似求線段長度
1 .如圖，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，點M為AB的中點，在線段AC上取點N，使△AMN與△ABC相似，求MN的長．
【答案】解：∵△ABC中，AB=4，點M為AB的中點，
∴AM=2．
當△AMN∽△ABC時， = ，即 = ，解得MN= ；
當△AMN∽△ACB時， = ，即 = ，解得MN=3．
∴MN的長為： 或3
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根據M是AB的中點得出AM=2，再分△AMN∽△ABC與△AMN∽△ACB兩種情況進行討論即可．
2．如圖，一塊矩形木板，長，寬，小虎將一塊等腰直角三角板的一條直角邊靠在頂點上，另一條直角邊與邊交于點，三角板的直角頂點在邊上移動（不含端點），當線段最短時，的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】二次函數的最值；相似三角形的性質；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖：
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC=2cm，AD=BC=3cm.
∴∠APE+∠AEP=90°
∴∠CPD=∠AEP.
∴△APE∽△DCP.
∴
即，
∴，
∴
∵0∴時，BE取得最小值，
即線段最短時，的長為1.5cm.
故答案為：D.
【分析】根據矩形性質和等腰直角三角形性質，得∠MPN=∠A=∠D=90°，于是可證得△APE∽△DCP，根據相似三角形性質可得，用AP表示出AE，即可得到BE關于AP的二次函數，根據二次函數的性質即可解決問題.
3．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF= DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．
【答案】（1）證明：∵ABCD為正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD為正方形，
∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的邊長為4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10
【知識點】正方形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用正方形的性質，可得∠A=∠D，根據已知可得 ，根據有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．
2.利用相似證明線段成比例
4．在正方形中，點在邊上（不與點，重合），射線與射線交于點．
（1）求證：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）證明：由題意可知， 在正方形中，，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由題意可知， 在正方形中，，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
解得：或（舍去），
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知識點】正方形的性質；相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】（）先利用 正方形 的性質，證明， 得到對應邊成比例：，在通過等邊代換，即可證明； （）先利用 正方形 的性質，證明， 得到對應邊成比例： ，在帶入正方形邊長 ，將等式變形，即可得到一個只包含DE的等式，化簡即可求出DE的長，在利用正方形性質，證明， 得到 ，最后求出。
5．已知：如圖，在中，，是中點，點在延長線上，點在邊上，．求證：
（1）；
（2）．
【答案】（1）證明：，，
，，
，；
（2）證明：點是的中點，，
由（1）可知：，
，，
又，，
，
【知識點】相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質．
（1）根據題意，利用等邊對等角可得：，再根據，，可求出，利用相似三角形的判定定理可證明結論；
（2）根據相似三角形的性可得，根據D是中點，則，再根據，利用相似三角形的判定定理可證明，利用相似三角形的性質可列出比例式，再進行化簡可證明結論 ．
3.利用相似解決有關圓的問題
6．如圖所示，CD是⊙O的切線，點D在⊙O上，點C在直徑AB的延長線上，若BD= AD，AC=3，則CD=（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【知識點】圓周角定理；切線的性質；相似三角形的性質；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖所示，連接OD
∵ CD是⊙O的切線，
∴ ∠ODC=90°
∴ ∠ODB+∠CDB=90°
∵ AB為 ⊙O的直徑
∴ ∠ADB=∠ODB+∠ODA=90°
∴ ∠CDB=∠ODA
∵ OA=OD
∴ ∠ODA=∠A
∴ ∠CDB=∠ODA=∠A
∵ ∠C=∠C
∴
∴
∴
故答案為C
【分析】本題考查圓的切線性質，直徑定理，三角形相似的判定與性質等知識，熟練掌握切線性質與三角形相似的判定與性質是解題關鍵。先證 ∠CDB=∠ODA=∠A，結合公共角∠C，可證，得，則CD=，即可求出CD長.
7．如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q.
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）連接OC交BQ于點D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的長.
【答案】（1）證明：如圖，作AE⊥BC于點E，
∵AB=AC，
∴點O在AE上，
∵AP BC，
∴AE⊥AP，
∴PA是⊙O的切線.
（2）解：過點O作OF⊥AC交AC于F，則AF=CF
∵BP⊥AC，OF⊥AC
∴OF DQ
∴ ，
∵CD＝2OD＝2，
∴OD=1，OC=3；
∴ = ；
設FQ=x，則QC=2x，CF=AF=3x，AQ=4x；
∴AB=AC=6x，
在Rt△ABQ中，
BQ2= ，
即BQ2= ，
BQ2=20x2
∴BQ=2
在Rt△BCQ中，
=
=2
∴CE= =
在Rt△AEC中，
AE=
=
=
在△AOF和△ACE中，
，
∴△AOF∽△ACE
∴ ，
即
解得：x= ，
∴AQ=4 = ，
BC=2 = ，
QC=2 =
∵AP BC
∴∠P=∠QBC，∠PAQ=∠BCQ
∴△APQ∽△CBQ
∴
即
∴AP=
【知識點】勾股定理；垂徑定理；切線的判定；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）作AE⊥BC于點E，由垂徑定理和等腰三角形的性質可知點O在AE上，利用AP∥CB，可證得AE⊥AP，利用切線的判定定理可證得結論；
（2）過點O作OF⊥AC交AC于F，利用垂徑定理可知AF=CF，易證OF∥DQ，易求OD，OC的長，利用平行線分線段成比例定理，可求出FQ與QC的比值，設FQ=x，可表示出QC，CF，AF，AQ，AB的長；利用勾股定理表示出BQ、BC、CE及AE的長；再證明△AOF∽△ACE，利用相似三角形的性質可建立關于x的方程，解方程求出x的值；從而可求出AQ，BC，QC的長；然后證明△APQ∽△CBQ，利用相似三角形的對應邊成比例，可得到AP的長.
8．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E.
（1）求證：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長.
【答案】（1）證明：連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴ ，即AC·AD=AB·AE
（2）解：連接OD，∵BD是圓O的切線，則OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.
【知識點】含30°角的直角三角形；圓周角定理；切線的性質；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）連接DE，由題意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，從而可得△ADE∽△ABC，由相似比即可得；（2）連接OB，由BD是切線，得OD⊥BD，有E為OB中點，則可得OE=BE=OD，從而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；
三、課堂達標
閱卷人 一、選擇題（每小題4分，共32分）
得分
1． 如圖，已知在，為上一點，連結，不能判斷的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】由圖可得在中，
根據相似三角形的判定定理可得，
添加 ，能判定 ，故A選項不符合題意；
添加 ，能判定 ，故B選項不符合題意；
添加 ，能判定 ，故C選項不符合題意；
添加 ，不能判定 ，故D選項符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據圖形可得再利用相似三角形的判定定理進行逐一判斷即可求解.
2．如圖，，則AE的長是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．10
【答案】A
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴AE=3，
故答案為：A
【分析】根據平行線分線段成比例結合題意得到，進而代入數值即可求解。
3．如圖，在△ABC中，DE∥AB，且＝，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴的值為.
故答案為：A.
【分析】根據平行線分線段成比例的性質可得，據此解答.
4．如圖，已知△ABC，則下列4個三角形中，與△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由圖可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A選項中三角形各角的度數分別為75°，52.5°，52.5°，
B選項中三角形各角的度數都是60°，
C選項中三角形各角的度數分別為75°，30°，75°，
D選項中三角形各角的度數分別為40°，70°，70°，
∴只有C選項中三角形各角的度數與題干中三角形各角的度數相等，
故答案為：C.
【分析】根據“兩組對應邊的比相等且這兩邊的夾角相等的兩個三角形相似”并結合各選項可判斷求解.
5．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，E是BC 邊上一點，若AB=6，
AE=3，∠AED=∠B，則AD的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【答案】A
【知識點】相似三角形的性質；相似三角形的判定；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：由AB=AC得∠B=∠C，而∠AED=∠B，得∠C=∠AED
得∠AED=∠ACE，故△ADE~△AEC
得得AE2=AC·AD，即(3)2=6AD，得AD=3.
答案：A.
【分析】由AB=AC得∠B=∠C，即可得△ADE~△AEC，利用相似成比例線段即可求出AD的長.
6．如圖，D是△ABC的邊AB上的一點，那么下列四個條件不能單獨判定△ABC∽△ACD的是（　　）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
【答案】C
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即=，也可判定△ABC∽△ACD，
∴選項A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而選項C中的對兩邊成比例，但不是相應的夾角相等，所以選項C不能．
故選C．
【分析】根據相似三角形的判定定理對各個選項逐一分析即可．本題考查了相似三角形的判定，此題主要考查學生對相似三角形判定定理的理解和掌握，難度不大，屬于基礎題，要求學生應熟練掌握．
7．如圖，是正方形，G是上（除端點外）的任意一點，于點E，，交于點F．下列結論不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定；正方形的性質；相似三角形的判定；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故選項A正確，不符合題意；
∴，
∴，故選項B正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故選項C正確，不符合題意；
∵沒有等量關系，
故不能判定正確，故選項D錯誤，符合題意．
故答案為：D．
【分析】根據正方形的四邊相等，對邊平行，得AB=AD，AD∥BC，由平行線的性質及垂直的定義可得∠AED=∠DEF=∠BFE=90°，由同角的余角相等得∠BAF=∠ADE，從而用AAS判斷出△AED≌△ADE，據此可判斷A選項；由全等三角形的對應邊相等得DE=AF，AE=BF，然后根據線段的和差及等量代換可判斷B選項；由二直線平行，內錯角相等，得∠DAE=∠BGF，由垂線定義可得∠AED=∠GFB=90°，從而由有兩組角對應相等的兩個三角形相似得△BGF∽△DAE，據此可判斷C選項； 根據現有條件無法證明 DE-BG=FG，據此可判斷D選項.
8．如圖所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一個條件后，仍然無法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
= B． = C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
【答案】A
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠DAB=∠CAE，
∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∠DAE=∠BAC，
A、 = ，且∠DAE=∠BAC，不能判定 △ABC∽△ADE ，A符合題意；
B、 = ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，B不符合題意；
C、 ∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，C不符合題意；
D、 ∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，D不符合題意.
故答案為：A.
【分析】先由∠DAB=∠CAE，得到∠DAE=∠BAC，再利用相似三角形的判定定理逐項判斷即可.
閱卷人 二、填空題（每小題4分，共20分）
得分
9．已知如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，寫出圖中的一組相似三角形　 　．
【答案】△ABC∽△ACD
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ADC和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠C=∠ADC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
②在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠BDC=∠ADC=90°，
又∵∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴Rt△ADC∽Rt△BCD；
③在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠C=∠BDC=90°，∠B=∠B，
∴Rt△ABC∽Rt△BCD．
故答案是：△ABC∽△ACD．
【分析】由題意及圖形可知：此圖中共有3個直角三角形，根據相似三角形的判定和性質判斷即可．
10．將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖所示的樣子，假設圖中的所有點、線都在同一平面內，圖中有相似（不包括全等）三角形有　 　對．
【答案】3
【知識點】三角形全等的判定；相似三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：有3對相似三角形．
①∵∠EAD=∠B=45°，∠AED=∠BEA，
∴△ADE∽△BAE．②∵∠DAE=∠C=45°，∠ADE=∠CDA，
∴△ADE∽△CDA．③∴∠DEA=∠DAC，
∴∠BEA=∠DAC．
∵∠B=∠C=45°，
∴△BAE∽△CDA．
故答案為：3．
【分析】充分利用特殊角度90°和45°的角尋找相等關系．在△ADE和△CDA中，∠ADE=∠CDA（公共角），∠DAE=∠C=45°，所以它們相似．同理，△ADE與△AEB相似．根據相似形的傳遞性，△CDA與△AEB相似．
11．已知在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9當BD　 　時，△ABD∽△DBC．
【答案】6
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴ ，
∵AB=4，BC=9，
∴ ，
解得BD=6；
故答案為：6．
【分析】根據兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似，列出比例式進行計算即可得解．
12．如圖，點P是△ABC中AB邊上的一點，過P作直線（不與AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足條件的直線最多有　 　條．
【答案】4
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：第一種情況如圖1所示，過點P作PD∥BC，
理由：因為一條直線平行于三角形的一邊，且與三角形的另兩邊相交，則所得三角形與原三角形相似．
第二種情況如圖2所示，以PA為角的一邊，在△ABC內作∠APE=∠C，
理由：因為△APE與△ACB中還有公共角∠A，所以這兩個三角形也相似．
第三種情況如圖3所示，過點P作PF∥AC，
理由：因為一條直線平行于三角形的一邊，且與三角形的另兩邊相交，則所得三角形與原三角形相似．
第四種情況如圖4所示，作∠BPG=∠C，
理由：因為△GBP與△ACB中還有公共角∠B，所以這兩個三角形也相似．
故答案為：4．
【分析】兩個角對應相等的兩個三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．利用相似三角形的判定方法分別得出符合題意的圖形即可．
13．如圖，在平面直角坐標系中有兩點A（4，0），B（0，2），如果點C在x軸上（C與A不重合）當點C的坐標為　 　時，使得△BOC∽△AOB．
【答案】（1，0）或（﹣1，0）
【知識點】坐標與圖形性質；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△BOC∽△AOB，
∴ = ，
∴ = ，
∴OC=1，
∵點C在x軸上，
∴點C的坐標為（1，0）或（﹣1，0）
故答案為：（1，0）或（﹣1，0）．
【分析】根據△BOC∽△AOB，得出 = ，再根據A、B點的坐標，即可得出答案．
閱卷人 三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
得分
14．如圖，在△ABC和OACD中，AD⊥CD于點D，AC⊥BC于點C．請再添加一個條件，使△ABC∽△CAD，并加以證明．
【答案】添加條件：AB∥CD．
證明：∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA
∴△ABC∽△CAD．
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】本題的已知條件中已經有 AD⊥CD，AC⊥BC，即∠ADC=∠ACB=90° ，要想使 △ABC∽△CAD， 只需再找一組對應角相等，或夾角兩邊對應成比例，添加 AB∥CD，利用兩直線平行內錯角相等，即為∠CAB=∠DCA .
15．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點P在BD上由點B向點D方向移動，當點P移到離點B多遠時，△APB和△CPD相似？
【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當 或 時，△PAB與△PCD是相似三角形，
∵AB=6，CD=4，BD=14，
∴ 或 ，
解得：BP=2或12或 ，
即PB=2或12或 時，△PAB與△PCD是相似三角形
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】由題意得出∠B=∠D=90°，根據相似三角形的判定得出當 或 時，△PAB與△PCD是相似三角形，代入求出即可．
16．如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C．
（1）設Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）寫出如圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明．
【答案】（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，
∴S1=S矩形BDEF，
∴S2+S3=S矩形BDEF，
∴S1=S2+S3．
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
證明△BCD∽△DEC；
證明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EDC=∠CBD，
又∵∠BCD=∠DEC=90°，
∴△BCD∽△DEC．
【知識點】矩形的性質；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根據S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．
（2）根據矩形的性質，結合圖形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，選擇一對進行證明即可．
17．如圖，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，點P從點A出發，沿著AC邊向點C以1cm/s的速度運動，點Q從點C出發，沿著CB邊向點B以2cm/s的速度運動，如果P與Q同時出發，經過幾秒△PQC和△ABC相似？
【答案】解：設經過x秒，兩三角形相似，則CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
（1）當CP與CA是對應邊時，，
即，
解得x=4秒；
（2）當CP與BC是對應邊時，，
即，
解得x=秒；
故經過4或秒，兩個三角形相似．
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】設經過x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．
如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點E，AE=ED，延長DB到點F，使DB到點F，使FB=BD，連接AF.
⑴△BDE∽△FDA；
⑵試判斷直線AF與⊙O的位置關系，并給出證明。
【答案】解：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=BD，AE=ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD
∴，
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA．
（2）直線AF與⊙O相切．
證明：連接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線，
∴AB=AC，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直線AF與⊙O相切．
【知識點】直線與圓的位置關系；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）因為∠BDE公共，夾此角的兩邊BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA．
（2）連接OA、OB、OC，證明△OAB≌△OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，則BE∥FA，從而AO⊥FA，得出直線AF與⊙O相切．
19．如圖所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，現有動點P從點A出發，沿線段AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段CB向點B方向運動.如果點P的速度是4 cm/s，點Q的速度是 2 cm/s，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，兩點都停止運動.設運動時間為t.
（1）當t=3 s時，P，Q兩點之間的距離是多少
（2）若△CPQ的面積為S，求S關于t的函數解析式.
（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似
【答案】（1）解：由題意，得AP=4t cm，CQ=2t cm，
則CP=(20-4t) cm.
當t=3 s時，
CP=20-4t=8(cm)，CQ=2t=6(cm)，
由勾股定理，得PQ==10(cm).
即當t=3 s時，P，Q兩點之間的距離為10 cm.
（2）解：Rt△CPQ的面積S=CP·CQ=×(20-4t)×2t=20t-4t2(0即S關于t的函數解析式為S=20t-4t2(0（3）解：分兩種情況：
①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，
CP∶CA=CQ∶CB，
即(20-4t)∶20=2t∶15，解得t=3；
②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，
CP∶CB=CQ∶CA，
即(20-4t)∶15=2t∶20，解得t=.
∵0<3<<5，故都符合題意.
綜上，當t為3 s或 s時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似.
【知識點】三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定；三角形-動點問題
【解析】【分析 】（1）先用含t的代數式分別表示出CP，CQ的長，把t=3代入可得CP=20-4t=8(cm)，CQ=2t=6(cm)，再利用勾股定理即可解答；
（2） 根據三角形的面積計算公式即可表示出S關于t的函數解析式；
（3）分兩種情空討論：①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，利用相似三角形的性質即可求解；②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，利用相似三角形的性質即可求解.
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