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人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定2
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.了解“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”和“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判定定理的證明過程，能運(yùn)用這兩個(gè)判定定理證明兩個(gè)三角形相似.
2.結(jié)合全等三角形的 SSS 和 SAS 的證明方法，會(huì)用類比、轉(zhuǎn)化的思想證明以上兩個(gè)相似三角形的判定定理.
3.通過對(duì)相似三角形兩個(gè)判定定理的學(xué)習(xí)，會(huì)用已知條件證明三角形相似并解決一些簡(jiǎn)單的問題.
老師告訴你
判定兩個(gè)三角形的三邊是否成比例應(yīng)按照長(zhǎng)邊對(duì)長(zhǎng)邊，短邊對(duì)短邊，分別計(jì)算它們的比，最后由比值是否相等來確定三邊是否成比例（即兩個(gè)三角形是否相似）
在判定方法2中，注意夾角相等的條件，如果對(duì)應(yīng)相等的角表示對(duì)應(yīng)成比例的兩邊的夾角，那么這兩個(gè)三角形不一定相似。
一、知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 利用三邊成比例證三角形相似
（1）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．
可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．
（2）利用三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意邊之間注意的對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要運(yùn)用短對(duì)短、長(zhǎng)對(duì)長(zhǎng)、中間對(duì)中間的方法找對(duì)應(yīng)邊.另外要注意兩個(gè)三角形的先后順序.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．如圖，10×2網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，圖中與△ABC相似的三角形的個(gè)數(shù)有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
例1-2．如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，則下列結(jié)論成立的是（　?。?br/>A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA
C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA
例1-3．如圖，在正方形網(wǎng)格上，若使△ABC∽△PBD，則點(diǎn)P應(yīng)在(　　)
A．P1處 B．P2處 C．P3處 D．P4處
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有點(diǎn)P、A、B、C，則圖中所形成的三角形中，相似的三角形是　 ?。?br/>2．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)三角形△ABC和△DEF，試證這兩個(gè)三角形相似．
3．如圖，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格紙中的格點(diǎn)，為使，則點(diǎn)R應(yīng)是甲，乙，丙，丁四點(diǎn)中的（　?。?br/>A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
知識(shí)點(diǎn)2 、利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形相似的方法
（1）如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．
利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似的方法：
依據(jù)題目給出的條件，若存在一組角對(duì)應(yīng)相等，則需要判斷出該角的兩邊是否成比例.若成比例，則兩個(gè)三角形相似；若不成比例，則兩個(gè)三角形不相似，若存在兩組邊成比例，則需要判斷兩邊的夾角是否相等.若相等，則兩個(gè)三角形相似；若不相等，則兩個(gè)三角形不相似。
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．如圖已知：，求證：.
例2-2． （1）如圖1，在中，，點(diǎn)分別在邊上，且，若，則的值是　 ??；
（2）如圖2，在（1）的條件下，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接和，的值變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)求出不變的值；
（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)分別在邊上，且，現(xiàn)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到位置，連接和，若，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
例2-3．如圖，下列條件不能判定的是（　?。?br/>A．， B．
C．， D．，
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊上，且，．求證：．
3 .如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)，AB=12，AC=8，AD=6，當(dāng)AP的長(zhǎng)度為__時(shí)，△ADP和△ABC相似．
知識(shí)點(diǎn)3 、利用相似三角形的判定求線段，角
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1 .如圖，在中，=8，=4,=6,,是的平分線，交于點(diǎn),求的長(zhǎng).
例3-2. 如圖①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上，且AE＝1．
（1）當(dāng)m＝3，AF：FB＝1：3時(shí)，求證：AEF∽BFC；
（2）當(dāng)m＝3.5時(shí)，用直尺和圓規(guī)在圖②的線段AB上確定所有使AEF與以點(diǎn)B、F、C為項(xiàng)點(diǎn)的三角形相似的點(diǎn)F（請(qǐng)保留畫圖痕跡）；
（3）探究：對(duì)于每一個(gè)確定的m的值，線段AB上存在幾個(gè)點(diǎn)F，使得AEF與以點(diǎn)B、F、C為頂點(diǎn)的三角形相似？（直接寫出結(jié)論即可）
題型訓(xùn)練
利用判定定理證明相似
1．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿邊BC以2cm/s的速度移動(dòng)．如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，以點(diǎn)P、B、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
2．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE＝ED，DF＝ DC，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng).
3 .在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0≤t≤6），那么當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABD相似？說明理由．
利用相似求線段長(zhǎng)度
4．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．
猜想：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)．根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明．
（1）【定理證明】請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程．
（2）【定理應(yīng)用】如圖②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，點(diǎn)P在BC上從B向C移動(dòng)，R、E、F分別是DC、AP、RP的中點(diǎn)，則EF＝　 ?。?br/>（3）【拓展提升】如圖③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，則EF＝　 ?。?br/>5．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF= DC，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．
利用相似求角度
6．理解與應(yīng)用
小明在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，在北京市義務(wù)教育課程改革實(shí)驗(yàn)教材第17冊(cè)書，第37頁遇到這樣一道題：
如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP.
要使△ACP∽△ABC，還需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是____________，或_________.
請(qǐng)回答：
（1）小明補(bǔ)充的條件是____________________，或_________________.
（2）請(qǐng)你參考上面的圖形和結(jié)論，探究、解答下面的問題：
如圖2，在△ABC中，∠A=60°，AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度數(shù)．
7. 如圖，四邊形是平行四邊形，E為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)交對(duì)角線于點(diǎn)F，．
(1)求證：；
(2)如果 ，則=________度．
課堂達(dá)標(biāo)
一、單選題：（每小題4分，共32分）
1 .如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的(　　)

A． B． C． D．
3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中能判斷△ABC∽△AED的是（　?。?br/>①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③；④．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．（2019·珠海市期末）如圖，D是△ABC一邊BC上一點(diǎn)，連接AD，使△ABC∽△DBA的條件是（　?。?br/>A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD
C．AB2＝CD BC D．AB2＝BD BC
5．如圖所示的4個(gè)三角形中，相似三角形有（　　）
A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)
6．如圖在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（　?。?br/>A． B． C． D．
7. 如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（　　）
A． B． C．D．
8．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正確的結(jié)論有（　?。?br/>A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
二、填空題：（每小題4分，共20分）
9 .如圖，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件_________：，使△ACB∽△ADE．
10 .如圖，下列條件能使△BPE和△CPD相似的有（ ）
①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤．
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
11．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)、、、、、、是邊上的7個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶@7個(gè)格點(diǎn)中任意選取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與相似，符合題意的三角形共有 個(gè)．
12．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，，2，另一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和2，要讓這兩個(gè)三角形相似，則另一個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)為 ．
13．如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)均在的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，現(xiàn)任選三個(gè)格點(diǎn)，組成一個(gè)格點(diǎn)三角形與相似（不全等），則這個(gè)格點(diǎn)三角形可以是 （寫出一個(gè)即可）．

三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14 .如圖，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分別是AB、A′B′上一點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由．
15 .如圖，在5×6的方格中，點(diǎn)A、B是兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求作圖．
（1）在圖1中，以AB為邊作矩形ABEF（要求E、F兩點(diǎn)均是格點(diǎn)）；
（2）在圖2中，點(diǎn)C、D是兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一個(gè)格點(diǎn)P，使△PAB和△PCD相似（找出一個(gè)即可）．
16 .如圖，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求證：△ABC∽△ADE．
17 .如圖：四邊形ABCD對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OD=2OA，OC=2OB．
（1）求證：△AOB∽△DOC；
（2）點(diǎn)E在線段OC上，若AB∥DE，求證：OD2=OE OC．
18 .如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB和AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，AD AB＝AE AC，DF∥AC，求證：△DOF∽△DOB．
19 .如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，且EF DF＝CF BF．求證：△CAB∽△DAE．
．
人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下名師點(diǎn)撥與訓(xùn)練
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定2
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.了解“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”和“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判定定理的證明過程，能運(yùn)用這兩個(gè)判定定理證明兩個(gè)三角形相似.
2.結(jié)合全等三角形的 SSS 和 SAS 的證明方法，會(huì)用類比、轉(zhuǎn)化的思想證明以上兩個(gè)相似三角形的判定定理.
3.通過對(duì)相似三角形兩個(gè)判定定理的學(xué)習(xí)，會(huì)用已知條件證明三角形相似并解決一些簡(jiǎn)單的問題.
老師告訴你
判定兩個(gè)三角形的三邊是否成比例應(yīng)按照長(zhǎng)邊對(duì)長(zhǎng)邊，短邊對(duì)短邊，分別計(jì)算它們的比，最后由比值是否相等來確定三邊是否成比例（即兩個(gè)三角形是否相似）
在判定方法2中，注意夾角相等的條件，如果對(duì)應(yīng)相等的角表示對(duì)應(yīng)成比例的兩邊的夾角，那么這兩個(gè)三角形不一定相似。
一、知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 利用三邊成比例證三角形相似
（1）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．
可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．
（2）利用三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意邊之間注意的對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要運(yùn)用短對(duì)短、長(zhǎng)對(duì)長(zhǎng)、中間對(duì)中間的方法找對(duì)應(yīng)邊.另外要注意兩個(gè)三角形的先后順序.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．如圖，10×2網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，圖中與△ABC相似的三角形的個(gè)數(shù)有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：AB=2，BC= ，AC= ，
對(duì)于圖①，三角形三邊為2，3 ，2 ，因?yàn)? = = ，所以圖①的三角形與△ABC相似；
對(duì)于圖②，三角形三邊為2 ，2 ，10，因?yàn)? = = ，所以圖②的三角形與△ABC相似；
對(duì)于圖③，三角形三邊為2 ， ，5，因?yàn)? ≠ = ，所以圖③的三角形不與△ABC相似；
對(duì)于圖④，三角形三邊為 ，2 ，5 ，因?yàn)? = = ，所以圖④的三角形與△ABC相似．
故選C．
【分析】先利用勾股定理計(jì)算出所有三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似對(duì)四組圖形矩形判斷．
例1-2．如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，則下列結(jié)論成立的是（　?。?br/>A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA
C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠APD=90°，而∠PAB≠∠PCA，∠PBA≠∠PAC，∴無法判定△PAB與△PCA相似，故A錯(cuò)誤；
同理，無法判定△PAB與△PDA，△ABC與△DCA相似，故C、D錯(cuò)誤；
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB= PA，AC= PA，AD= PA，BD=2PA，∴ = ，∴ ，∴△ABC∽△DBA，故B正確.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法一一判定即可得出答案.
例1-3．如圖，在正方形網(wǎng)格上，若使△ABC∽△PBD，則點(diǎn)P應(yīng)在(　　)
A．P1處 B．P2處 C．P3處 D．P4處
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【解答】從圖中可知，要使△ABC與△PBD相似，根據(jù)勾股定理，得BC=，BD=，那么，因?yàn)锳B=2，那么BP=4，故選擇P3處 .
選C
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形概念的理解，以及對(duì)其性質(zhì)的應(yīng)用。
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有點(diǎn)P、A、B、C，則圖中所形成的三角形中，相似的三角形是　 ?。?br/>【答案】△PBA∽△PAC
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】如圖，根據(jù)勾股定理求出各邊長(zhǎng)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似的判定，可得△PBA∽△PAC.
【分析】根據(jù)勾股定理求出各邊長(zhǎng)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似的判定即可得出答案。
2．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)三角形△ABC和△DEF，試證這兩個(gè)三角形相似．
【答案】解：由圖可知，AB=3， EF=2，由勾股定理得CB=，AC=，
DF=，DE=．
∵，
，
∴==
∴△ABC∽△DEF
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】根據(jù)勾股定理分別計(jì)算△ABC與△DEF三邊長(zhǎng)，根據(jù)三角形三邊的比值相等可以證明三角形相似，即可解題.
3．如圖，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格紙中的格點(diǎn)，為使，則點(diǎn)R應(yīng)是甲，乙，丙，丁四點(diǎn)中的（　?。?br/>A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【分析】根據(jù)勾股定理先求出△ABC各邊的長(zhǎng)，然后利用三組邊對(duì)應(yīng)成比例兩三角形相似，進(jìn)行分析判斷．
【解答】應(yīng)該為丙，因?yàn)楫?dāng)R在丙的位置時(shí)，若設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則△PQR的三邊分別為4、、．
△ABC的各邊分別為2、、．
各邊對(duì)應(yīng)成比例且比例相等均為2，則可以得到兩三角形相似．
故選：B
【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生對(duì)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似的掌握情況．
知識(shí)點(diǎn)2 、利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形相似的方法
（1）如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．
利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似的方法：
依據(jù)題目給出的條件，若存在一組角對(duì)應(yīng)相等，則需要判斷出該角的兩邊是否成比例.若成比例，則兩個(gè)三角形相似；若不成比例，則兩個(gè)三角形不相似，若存在兩組邊成比例，則需要判斷兩邊的夾角是否相等.若相等，則兩個(gè)三角形相似；若不相等，則兩個(gè)三角形不相似。
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1．如圖已知：，求證：.
【答案】證明：∵，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ABC=∠ADE．
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【分析】由，可證得△ABD∽△ACE，繼而可得∠DAE=∠BAC，即可證得△ABC∽△ADE，繼而證得結(jié)論．
例2-2． （1）如圖1，在中，，點(diǎn)分別在邊上，且，若，則的值是　 ?。?br/>（2）如圖2，在（1）的條件下，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接和，的值變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)求出不變的值；
（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)分別在邊上，且，現(xiàn)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到位置，連接和，若，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）解：不變，
由（1）可知，
，
，
旋轉(zhuǎn)，
，
，
，
（3）解：，
，
，
由旋轉(zhuǎn)可知：，
，
，
，
，
在中，，
，
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定；三角形的綜合
【解析】【解答】解：（1）∵DE//BC，
∴，
∴.
故答案為：.
【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例即可得到答案；
（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，再證明，即可得到，即可求解；
（3）根據(jù)MN//BC得到∠ACB=∠ANM=90°，由旋轉(zhuǎn)得到，進(jìn)而證明AE//CD，得到，在中，根據(jù)勾股定理求出EC的長(zhǎng)，根據(jù)，即可求出BD的長(zhǎng).
例2-3．如圖，下列條件不能判定的是（　　）
A．， B．
C．， D．，
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，此選項(xiàng)不符合題意；
B、∵
∴△ABC∽△ADE，此選項(xiàng)不符合題意；
C、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴不能判斷△ABC∽△ADE，此選項(xiàng)符合題意；
D、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴△ABC∽△ADE，此選項(xiàng)不符合題意.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)“有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)“三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似”可判斷兩個(gè)三角形相似，但給定的條件是“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且其中一邊的對(duì)角相等”，這兩個(gè)條件不能判斷兩個(gè)三角形相似，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似”可判斷D選項(xiàng).
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：小正方形的邊長(zhǎng)均為1 ，根據(jù)圖形可知：BC=2，AC=，∠ACB=135°，
由選項(xiàng)中圖形可知：A、C、D中的三角形中都不含有135°，故A、C、D三個(gè)選項(xiàng)都不符合題意；
由B選項(xiàng)圖形可知：含有135°，且135°角的兩邊分別為1和，
，且夾角相等，
B選項(xiàng)符合題意.
故答案為：B.
【分析】觀察圖像可得∠ACB=135°，再根據(jù)選項(xiàng)中的圖形可知A、C、D中均不含135°，不符合題意，再驗(yàn)證B選項(xiàng)即可.
2．如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊上，且，．求證：．
【答案】【解答】
解：∵，，，，∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先求出，的長(zhǎng)，再求出，又因?yàn)?，根?jù)相似三角形的判定可證得
3 .如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)，AB=12，AC=8，AD=6，當(dāng)AP的長(zhǎng)度為__時(shí)，△ADP和△ABC相似．
【詳解】當(dāng)△ADP∽△ACB時(shí)，
需有，∴，解得AP＝9；
當(dāng)△ADP∽△ABC時(shí)，
需有，∴，解得AP＝4．
∴當(dāng)AP的長(zhǎng)為4或9時(shí)，△ADP和△ABC相似．
知識(shí)點(diǎn)3 、利用相似三角形的判定求線段，角
【新知導(dǎo)學(xué)】
例3-1 .如圖，在中，=8，=4,=6,,是的平分線，交于點(diǎn),求的長(zhǎng).
【詳解】∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠D，
∴∠CBD=∠D，
∴CD=BC=4，
又∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴= ，
∵CE+AE=AC=6，
∴AE=4.
例3-2. 如圖①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上，且AE＝1．
（1）當(dāng)m＝3，AF：FB＝1：3時(shí)，求證：AEF∽BFC；
（2）當(dāng)m＝3.5時(shí)，用直尺和圓規(guī)在圖②的線段AB上確定所有使AEF與以點(diǎn)B、F、C為項(xiàng)點(diǎn)的三角形相似的點(diǎn)F（請(qǐng)保留畫圖痕跡）；
（3）探究：對(duì)于每一個(gè)確定的m的值，線段AB上存在幾個(gè)點(diǎn)F，使得AEF與以點(diǎn)B、F、C為頂點(diǎn)的三角形相似？（直接寫出結(jié)論即可）
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，有3個(gè)；當(dāng)m=3時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)m=4時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)m＞4時(shí)，有1個(gè)．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A＝∠B＝90°，再由已知可推出，即可利用相似三角形的判定得出結(jié)論；（2）利用對(duì)稱性或輔助圓解決問題即可；（3）根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)分類討論即可解決問題；
【詳解】（1）證明： ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，
∵AE＝1，BC＝m＝3，AF：FB＝1：3，∴，∴AEF∽BFC；
解：（2）如圖，延長(zhǎng)DA，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE′，交AB于點(diǎn)F1；
連接CE，以CE為直徑作圓交AB于點(diǎn)F2、F3．點(diǎn)F1、F2、F3即為所求；
（3）如（2）中所作圖形，當(dāng)m=4時(shí)，由已知條件可得DE＝3，則CE＝5，即圓的直徑為5，由梯形中位線定理可得此時(shí)圓心到AB的距離為2.5，等于半徑，點(diǎn)F2、F3重合，符合條件的點(diǎn)F有2個(gè)；當(dāng)m＞4時(shí)，圓和AB相離，此時(shí)點(diǎn)F2、F3不存在，即符合條件的點(diǎn)F只有1個(gè)；當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，符合條件的點(diǎn)F有3個(gè)；
綜上所述，可得：當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，有3個(gè)；當(dāng)m=3時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)m=4時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)m＞4時(shí)，有1個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-相似變換，矩形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型
題型訓(xùn)練
利用判定定理證明相似
1．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿邊BC以2cm/s的速度移動(dòng)．如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，以點(diǎn)P、B、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
【答案】解：設(shè)經(jīng)x秒鐘△PBQ與△ABC相似，
則AP=2xcm，BQ=2xcm，
∵AB=10cm，BC=20cm，
∴BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，
∵∠B是公共角．
∵①當(dāng) = ，即 = 時(shí)，△PBQ∽△ABC，解得x= ；
②當(dāng) = ，即 = 時(shí)，△QBP∽△ABC，解得x= ．
∴經(jīng) 或 秒時(shí)，以點(diǎn)P、B、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先設(shè)經(jīng)x秒鐘△PBQ與△ABC相似，由題意可得AP=2xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分別從當(dāng) = 與當(dāng) = 去分析，即可求得答案．
2．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE＝ED，DF＝ DC，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng).
【答案】（1）證明：證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴
∵DF＝ DC，
∴
∴
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴ED∥BG，
∴
又∵DF＝ DC，正方形的邊長(zhǎng)為4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10.
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，由AE=ED得
，由 DF＝DC得，進(jìn)而得
，根據(jù)夾角相等，夾邊比值相等可證明△ABE∽△DEF；
根據(jù)正方形性質(zhì)可得ED∥BG，進(jìn)而得，由DF＝DC，正方形的邊長(zhǎng)為4，求得ED＝2，CG＝6，再由BG＝BC+CG，代入數(shù)據(jù)即可求出BG長(zhǎng).
3 .在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0≤t≤6），那么當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABD相似？說明理由．
【答案】解：設(shè)AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6﹣t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①當(dāng) = 時(shí)，△APQ∽△ABD，
∴ = ，
解得：t=3；
②當(dāng) = 時(shí)，△APQ∽△ADB，
∴ = ，
解得：t=1.2．
∴當(dāng)t=3或1.2時(shí)，△APQ與△ABD相似
【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定
【解析】【分析】由題意可設(shè)AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，然后分別從①當(dāng) = 時(shí)，△APQ∽△ABD；與②當(dāng) = 時(shí)，△APQ∽△ADB，然后利用方程即可求得t的值．
利用相似求線段長(zhǎng)度
4．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．
猜想：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)．根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明．
（1）【定理證明】請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程．
（2）【定理應(yīng)用】如圖②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，點(diǎn)P在BC上從B向C移動(dòng)，R、E、F分別是DC、AP、RP的中點(diǎn)，則EF＝　 　．
（3）【拓展提升】如圖③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，則EF＝　 ?。?br/>【答案】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，
∴，
∴△ADE∽△ABC，
∴，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）
（3）2
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：（2）解：連接AR，
∵E是AP的中點(diǎn)，F(xiàn)是PR的中點(diǎn)，
∴EF＝AR，
∵R是CD的中點(diǎn)，
∴DR＝CD，
∵CD＝4，
∴DR＝2，
∵AD＝6，
∴AR＝2，
∴EF＝，
故答案為：；
（3）解：∵E是AC的中點(diǎn)，
∴DE＝BC，
∵BC＝16，
∴DE＝8，
∵∠AFB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DF＝AB，
∵AB＝12，
∴DF＝6，
∴EF＝2，
故答案為：2．
【分析】(1)利用兩邊成比例且夾角相等證明 △ADE∽△ABC ，即可證明DE∥BC，且DE＝BC ；
(2)連接AR，在△ADR中求出AR，再由中位線的性質(zhì)求EF即可；
(3)在直角△AFB中，利用斜邊的中線等于斜邊的一半，求出DF，再由中位線定義求DE，即可求EF.
5．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF= DC，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明：∵ABCD為正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD為正方形，
∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的邊長(zhǎng)為4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10
【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得 ，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長(zhǎng)，即可求得BG的長(zhǎng)．
利用相似求角度
6．理解與應(yīng)用
小明在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，在北京市義務(wù)教育課程改革實(shí)驗(yàn)教材第17冊(cè)書，第37頁遇到這樣一道題：
如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP.
要使△ACP∽△ABC，還需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是____________，或_________.
請(qǐng)回答：
（1）小明補(bǔ)充的條件是____________________，或_________________.
（2）請(qǐng)你參考上面的圖形和結(jié)論，探究、解答下面的問題：
如圖2，在△ABC中，∠A=60°，AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度數(shù)．
【答案】解：（1）∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或；
（2）如圖，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD=BC，
∵∠A=∠A，AC2=AB(AB+BC)，
∴△ACB∽△ADC．
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，
∵∠ACB+∠BCD+∠D +∠A=180°，
∴3∠D+60°=180°，
∴∠D=40°
∴∠B=80°.
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【分析】
（1）已知一個(gè)角相等，根據(jù)三角形相似的判定添加條件；
（2）通過延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD=BC，構(gòu)造相似三角形，再由三角形內(nèi)角和定理求角。
7. 如圖，四邊形是平行四邊形，E為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)交對(duì)角線于點(diǎn)F，．
(1)求證：；
(2)如果 ，則=________度．
【答案】(1)見解析；
(2)70
【分析】（1）先證明，再證明即可；
（2）作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，得平行四邊形，利用等腰三角形轉(zhuǎn)化角即可完成證明．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：如圖：作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：70．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似的判定，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，其中添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵．
課堂達(dá)標(biāo)
一、單選題：（每小題4分，共32分）
1 .如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定
【解析】【分析】三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形互為相似三角形，可求出三邊的長(zhǎng)，即可得出。
【解答】原三角形的邊長(zhǎng)為：，2，．
A中三角形的邊長(zhǎng)為：1，，．
B中三角形的周長(zhǎng)為：1，，．
因?yàn)椋赃B個(gè)三角形相似；
C中三角形的邊長(zhǎng)為：，，3．
D中三角形的邊長(zhǎng)為：2，，．
故選B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形互為相似三角形。
2．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
試題解析：∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故選C．
3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中能判斷△ABC∽△AED的是（　　）
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③；④．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可．
【解答過程】解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C時(shí)，△ABC∽△AED．
∵，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判斷三角形相似，
故選：B．
4．（2019·珠海市期末）如圖，D是△ABC一邊BC上一點(diǎn)，連接AD，使△ABC∽△DBA的條件是（　　）
A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD
C．AB2＝CD BC D．AB2＝BD BC
【答案】D
【分析】
根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比例且夾角相等進(jìn)行判斷，要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角．
【詳解】
∵∠B＝∠B，
∴當(dāng)時(shí)，
△ABC∽△DBA，
當(dāng)AB2＝BD BC時(shí)，△ABC∽△DBA，
故選D．
5．如圖所示的4個(gè)三角形中，相似三角形有（　?。?br/>A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)
【解題思路】先分別求出三角形的三條邊，根據(jù)相似三角形的判定方法判斷即可．
【解答過程】解：第一個(gè)三角形的三邊的三邊之比為：1：2：，
第二個(gè)三角形的三邊的三邊之比為：：：，
第三個(gè)三角形的三邊的三邊之比為：1：2：，
第一個(gè)四角形的三邊的三邊之比為：1：1：，
只有第一和第三個(gè)三角形的三邊成比例，
所以只有第一和第三個(gè)三角形相似，
故選：A．
6．如圖在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來，利用一角相等且夾邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)條件篩選即可．
【詳解】
解：根據(jù)勾股定理，AC=，BC=，AB=
所以，,,,則+=
所以，利用勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形
所以,=
A.不存在直角，所以不與△ABC相似；
B.兩直角邊比（較長(zhǎng)的直角邊：較短的直角邊）=≠2，所以不與△ABC相似；
C.選項(xiàng)中圖形是直角三角形，且兩直角邊比（較長(zhǎng)的直角邊：較短的直角邊）=2，故C中圖形與所給圖形的三角形相似．
D. 不存在直角，所以不與△ABC相似.
故選：C．
7. 如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（　?。?br/>A． B． C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定分別進(jìn)行判斷即可得出答案．
【詳解】
解：在三角形紙片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．
A、∵ = = ，對(duì)應(yīng)邊 = = ， ≠，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵ = ，對(duì)應(yīng)邊 = ，即： = ，∠C=∠C，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，故此選項(xiàng)正確；
C、∵ = ，對(duì)應(yīng)邊 = =， ≠ ，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵ = = ，
= ， ≠，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選B．
8．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正確的結(jié)論有（　?。?br/>A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【解題思路】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，結(jié)合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，據(jù)此知HC＜EC，即可判斷①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根據(jù)SAS推出△GAE≌△CEF，即可判斷②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判斷③；求出∠FEC＜45°，根據(jù)相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判斷④．
【解答過程】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴∠BEG＝45°，
∴∠BEA＞45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠HEC＜45°，
則HC＜EC，
∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①錯(cuò)誤；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中，
∵
∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正確；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正確；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④錯(cuò)誤；
故選：C．
二、填空題：（每小題4分，共20分）
9 .如圖，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件_________：，使△ACB∽△ADE．
【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【分析】
由∠A是公共角，且DE與BC不平行，可得當(dāng)∠ADE=∠C或∠AED=∠B或時(shí)，△ADE∽△ACB．
【詳解】
①補(bǔ)充∠ADE=∠C，理由是：
∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB．
故答案為：∠ADE=∠C．
②補(bǔ)充∠AED=∠B，理由是：
∵A是公共角，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB．
③補(bǔ)充，理由是：
∵∠A是公共角，，
∴△ADE∽△ACB．
故答案為：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
10 .如圖，下列條件能使△BPE和△CPD相似的有（ ）
①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤．
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷①；根據(jù)“兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明，可得，進(jìn)而判斷④，即可說明②；根據(jù)平角定義得，再結(jié)合“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷③即可；最后根據(jù)“兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷⑤即可．
【詳解】∵，，
∴，
所以①符合題意；
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
所以④符合題意，②不符合題意；
∵，
∴．
∵，
∴，
所以③符合題意；
∵，，
∴，
所以⑤符合題意．
則符合題意的有4個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)、、、、、、是邊上的7個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶@7個(gè)格點(diǎn)中任意選取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與相似，符合題意的三角形共有 個(gè)．
【答案】5
【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理與網(wǎng)格．欲求有幾個(gè)符合條件的三角形與相似，先利用勾股定理求出的三邊的長(zhǎng)度，然后再去求以，，為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的三邊長(zhǎng)，比較對(duì)應(yīng)三邊時(shí)否成比例，便可判定是不符合．按這種方法一一計(jì)算判定可得結(jié)論．
【詳解】解：則，，．
連接，
，，．
，
．
同理可找到，，，和相似，共5個(gè)．
故答案為：5．
12．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，，2，另一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和2，要讓這兩個(gè)三角形相似，則另一個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)為 ．
【答案】或
【分析】此題考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定分情況列比例式進(jìn)行分析解答即可．
【詳解】解：設(shè)另一個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)為x，
當(dāng)2為最長(zhǎng)邊時(shí)，，
解得，
當(dāng)為最長(zhǎng)邊時(shí)，，
解得，，
當(dāng)和對(duì)應(yīng)時(shí)，，，，即此種情況不存在，
綜上可知，要讓這兩個(gè)三角形相似，則另一個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)為或，
故答案為：或
13．如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)均在的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，現(xiàn)任選三個(gè)格點(diǎn)，組成一個(gè)格點(diǎn)三角形與相似（不全等），則這個(gè)格點(diǎn)三角形可以是 （寫出一個(gè)即可）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三邊的長(zhǎng)，再根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似在圖中找到與三邊對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形即可．
【詳解】解：由網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得，
，，
∴，，
∴，
同理可得，，
故答案為：（答案不唯一）．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14 .如圖，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分別是AB、A′B′上一點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由．
【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定解答即可．
【解答過程】解：相似，理由如下：
∵．
∴，
又∵，
∴，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A＝∠A′，
又∵，
∴△ABC∽△A′B′C′．
15 .如圖，在5×6的方格中，點(diǎn)A、B是兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求作圖．
（1）在圖1中，以AB為邊作矩形ABEF（要求E、F兩點(diǎn)均是格點(diǎn)）；
（2）在圖2中，點(diǎn)C、D是兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一個(gè)格點(diǎn)P，使△PAB和△PCD相似（找出一個(gè)即可）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的定義作出圖形即可．
（2）連接BD，AC，延長(zhǎng)BD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
【詳解】解：（1）如圖，四邊形ABEF即為所求．
（2）如圖，點(diǎn)P即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖 應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．
16 .如圖，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求證：△ABC∽△ADE．
【答案】見解析
【分析】
先由已知條件得到：，∠BAC=∠DAE；根據(jù)兩邊及其夾角的三角形相似的判定定理求解即可.
【詳解】
證明：如圖，∵AB AE=AD AC，
∴．
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
17 .如圖：四邊形ABCD對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OD=2OA，OC=2OB．
（1）求證：△AOB∽△DOC；
（2）點(diǎn)E在線段OC上，若AB∥DE，求證：OD2=OE OC．
【答案】見解析
【分析】
（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等，可證△AOB∽△DOC；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得△DOC∽△EOD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解．
【詳解】
證明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，
,
又∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC．
（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．
∴∠ABO=∠DCO．
∵AB∥DE，
∴∠ABO=∠EDO．
∴∠DCO=∠EDO．
∵∠DOC=∠EOD，
∴△DOC∽△EOD,
∴ ,
18 .如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB和AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，AD AB＝AE AC，DF∥AC，求證：△DOF∽△DOB．
【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定得出△ABE與△ACD相似，利用相似三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C，再利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定解答即可．
【解答過程】證明：∵AD AB＝AE AC，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽∠ACD，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠ODF，
∴∠B＝∠ODF，
∵∠DOF＝∠BOD，
∴△DOF∽△DOB
19 .如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，且EF DF＝CF BF．求證：△CAB∽△DAE．
【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，進(jìn)而證明△CAB∽△DAE即可．
【解答過程】證明：∵EF DF＝CF BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
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