資源簡介

第30講 圖形的對稱、平移與旋轉
知識精講練
知識點1 軸對稱圖形與中心對稱圖形
軸對稱圖形 中心對稱圖形
圖示
判斷方法 （1）找對稱軸——直線； （2）圖形沿對稱軸折疊后完全重合 （1）找對稱中心——點； （2）圖形繞對稱中心旋轉 后完全重合
【溫馨提示】（1）常見的軸對稱圖形：等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、正五邊形、正六邊形、圓等; （2）常見的中心對稱圖形：平行四邊形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等; （3）常見的既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形：菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等
知識點2 軸對稱與中心對稱
軸對稱 中心對稱
圖示
性質 （1）成軸對稱的兩個圖形是全等圖形； （2）對稱點所連線段被對稱軸垂直平分 （1）成中心對稱的兩個圖形是全等圖形； （2）對稱點所連線段都經過對稱中心，并且被對稱中心所平分
作圖方法 （1）找出原圖形的關鍵點，作出它們關于對稱軸（或對稱中心）的對稱點； （2）根據原圖形依次連接各對稱點即可
知識點3 圖形的折疊
實質 折疊的本質是軸對稱變換
圖示 將矩形沿對角線折疊，點的對應點為，連接交于點
性質 （1）對應邊① ，即，； （2）對應角② ，即，，， ，且關于③ 對稱； ④
知識點4 圖形的平移與旋轉
平移 旋轉
圖示
要素 平移方向和⑤ 旋轉中心、旋轉方向和⑥
性質 （1）平移前后，對應線段⑦ （或在同一條直線上）且相等，對應角相等； （2）各組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等； （3）平移前后的圖形⑧ （1）對應點到旋轉中心的距離⑨ ； （2）任何一組對應點與旋轉中心連線所成的角都⑩ 旋轉角； （3）旋轉前后的圖形
作圖步驟 （1）找出圖形中的關鍵點； （2）把關鍵點按要求進行平移或旋轉得到每個點的對應點； （3）按原圖形依次連接各關鍵點的對應點，得到變換后的圖形
考點小練
1．下列圖形中，
（1） 是軸對稱圖形的是______；
第1題圖
（2） 是中心對稱圖形的是____；
（3） 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是__；
（4） 既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形的是__.
2．[2024河北]如圖，與交于點，和關于直線對稱，點，的對稱點分別是點，.下列不一定正確的是（ ）
第2題圖
A. B.
C. D.
3．[2024吐魯番一模]如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點落在點處，若 ，____________.
第3題圖
4．如圖,將繞點逆時針旋轉后,能與重合.
第4題圖
（1） 與全等的三角形是______________；
（2） 若將繞點逆時針旋轉 后與重合,,那么的長為__________;
（3） 若將 繞點逆時針旋轉 后與重合,,那么的長為________;
（4） 若將 繞點逆時針旋轉 后與重合,且,則的度數為____________.
重難點突破
重難點1 與折疊有關的計算
例1 已知矩形，，，點是上一點.將沿折疊得到.
例1題圖
（1） 如圖1，若點的對應點恰好落在邊上，則的長為__________；
（2） 如圖2，若點的對應點恰好落在對角線上，則的長為________；
（3） 如圖3，若交于點，交于點，，則的長為__________.
（1）利用折疊前后，圖形對應邊相等，得出 ，結合勾股定理求解.
（2）設，則 ，利用折疊前后，圖形對應邊相等，得出 ， ，根據勾股定理，得出 ，從而得出 ，結合勾股定理求解.
（3）①設，則 ，利用折疊前后，圖形對應邊、角相等，得出 ， ， ；
②利用所得、所知條件可得 ，得出 ， ，進而得到 ， ， ；
③利用勾股定理求解.
變式1-1．[2024烏魯木齊新市區一模]如圖，正方形的邊長為2，是邊的中點，是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接.當最小時，它的長是________.
變式1-1題圖
變式1-2．[2024海南]如圖，矩形紙片中，，，點，分別在邊，上，將紙片沿折疊，使點的對應點在邊上，點的對應點為，則的最小值為________，的最大值為________.
變式1-2題圖
重難點2 與旋轉有關的計算
例2 [2024天津]如圖，中， ，將繞點順時針旋轉 得到，點，的對應點分別為，，延長交于點，下列結論一定正確的是（ ）
例2題圖
A. B.
C. D.
利用旋轉的性質，可判斷選項；
利用兩直線平行， 互補，可判斷選項；
利用旋轉前后，圖形的對應邊相等，可判斷選項；
利用旋轉的性質，得 ，結合 ，可判斷選項.
變式2-1．[2024呼和浩特改編]如圖，在中， ， ，將沿翻折 得到，將線段繞點順時針旋轉 得到線段，點為的中點，連接，.若，則的面積是__________.
變式2-1題圖
變式2-2．[2024鹽城]如圖，在中， ，，點是的中點，連接，將繞點旋轉，得到.連接，當時，________________________.
變式2-2題圖
變式2-3．[2024大慶]如圖，在矩形中，，，點是邊的中點，點是邊上任意一點，將線段繞點順時針旋轉 ，點旋轉到點，則周長的最小值為____________.
變式2-3題圖
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 對稱圖形的判斷（6年2考）
1．[2023新疆2題]下列交通標志中是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2．[2021新疆2題]下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
拓展訓練
3．[2024山西]1949年，伴隨著新中國的誕生，中國科學院（簡稱“中科院”）成立.下列是中科院部分研究所的圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A. 山西煤炭化學研究所 B. 東北地理與農業生態研究所
C. 西安光學精密機械研究所 D. 生態環境研究中心
4．[2024濰坊]下列著名曲線中，既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
命題點2 與折疊有關的計算（2023.15）
5．[2023新疆15題]如圖，在中，，， ，點是上一動點，將沿折疊得到，當點恰好落在上時，的長為__________.
第5題圖
拓展訓練
6．[2024連云港]如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕，連接，再將矩形紙片折疊，使點落在上的點處，折痕為.若點恰好為線段最靠近點的一個五等分點，，則的長為____________.
第6題圖
命題點3 圖形的旋轉（6年3考）
7．[2019新疆14題]如圖，在中，，將繞點順時針旋轉 ，得到，延長交的延長線于點，則的長為____________.
第7題圖
8．[2021新疆15題]如圖，已知正方形邊長為1，為邊上一點，以點為中心，將按逆時針方向旋轉得，連接，分別交，于點，．若，則________.
第8題圖
9．[2022新疆15題]如圖，四邊形是正方形，點在邊的延長線上，點在邊上，以點為中心，將繞點順時針旋轉 與恰好完全重合，連接交于點，連接交于點，連接，若，則______.
第9題圖
拓展訓練
10．[2023菏澤]如圖，點是正方形內的一點，將繞點按順時針方向旋轉 ，得到.若 ，則__________度.
第10題圖第30講 圖形的對稱、平移與旋轉
知識精講練
知識點1 軸對稱圖形與中心對稱圖形
軸對稱圖形 中心對稱圖形
圖示
判斷方法 （1）找對稱軸——直線； （2）圖形沿對稱軸折疊后完全重合 （1）找對稱中心——點； （2）圖形繞對稱中心旋轉 后完全重合
【溫馨提示】（1）常見的軸對稱圖形：等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、正五邊形、正六邊形、圓等; （2）常見的中心對稱圖形：平行四邊形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等; （3）常見的既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形：菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等
知識點2 軸對稱與中心對稱
軸對稱 中心對稱
圖示
性質 （1）成軸對稱的兩個圖形是全等圖形； （2）對稱點所連線段被對稱軸垂直平分 （1）成中心對稱的兩個圖形是全等圖形； （2）對稱點所連線段都經過對稱中心，并且被對稱中心所平分
作圖方法 （1）找出原圖形的關鍵點，作出它們關于對稱軸（或對稱中心）的對稱點； （2）根據原圖形依次連接各對稱點即可
知識點3 圖形的折疊
實質 折疊的本質是軸對稱變換
圖示 將矩形沿對角線折疊，點的對應點為，連接交于點
性質 （1）對應邊①相等，即，； （2）對應角②相等，即，，， ，且關于③ 對稱； ④垂直平分
知識點4 圖形的平移與旋轉
平移 旋轉
圖示
要素 平移方向和⑤平移距離 旋轉中心、旋轉方向和⑥旋轉角
性質 （1）平移前后，對應線段⑦平行（或在同一條直線上）且相等，對應角相等； （2）各組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等； （3）平移前后的圖形⑧全等 （1）對應點到旋轉中心的距離⑨相等； （2）任何一組對應點與旋轉中心連線所成的角都⑩等于旋轉角； （3）旋轉前后的圖形 全等
作圖步驟 （1）找出圖形中的關鍵點； （2）把關鍵點按要求進行平移或旋轉得到每個點的對應點； （3）按原圖形依次連接各關鍵點的對應點，得到變換后的圖形
考點小練
1．下列圖形中，
（1） 是軸對稱圖形的是______；
第1題圖
（2） 是中心對稱圖形的是____；
（3） 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是__；
（4） 既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形的是__.
【答案】（1） ①④⑤⑥⑦
（2） ③⑥⑦
（3） ⑥⑦
（4） ②⑧
2．[2024河北]如圖，與交于點，和關于直線對稱，點，的對稱點分別是點，.下列不一定正確的是（ ）
第2題圖
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2024吐魯番一模]如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點落在點處，若 ，____________.
第3題圖
【答案】
4．如圖,將繞點逆時針旋轉后,能與重合.
第4題圖
（1） 與全等的三角形是______________；
（2） 若將繞點逆時針旋轉 后與重合,,那么的長為__________;
（3） 若將 繞點逆時針旋轉 后與重合,,那么的長為________;
（4） 若將 繞點逆時針旋轉 后與重合,且,則的度數為____________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
重難點突破
重難點1 與折疊有關的計算
例1 已知矩形，，，點是上一點.將沿折疊得到.
例1題圖
（1） 如圖1，若點的對應點恰好落在邊上，則的長為__________；
（2） 如圖2，若點的對應點恰好落在對角線上，則的長為________；
（3） 如圖3，若交于點，交于點，，則的長為__________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（1）利用折疊前后，圖形對應邊相等，得出 ，結合勾股定理求解.
（2）設，則 ，利用折疊前后，圖形對應邊相等，得出 ， ，根據勾股定理，得出 ，從而得出 ，結合勾股定理求解.
（3）①設，則 ，利用折疊前后，圖形對應邊、角相等，得出 ， ， ；
②利用所得、所知條件可得 ，得出 ， ，進而得到 ， ， ；
③利用勾股定理求解.
變式1-1．[2024烏魯木齊新市區一模]如圖，正方形的邊長為2，是邊的中點，是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接.當最小時，它的長是________.
變式1-1題圖
【答案】
變式1-2．[2024海南]如圖，矩形紙片中，，，點，分別在邊，上，將紙片沿折疊，使點的對應點在邊上，點的對應點為，則的最小值為________，的最大值為________.
變式1-2題圖
【答案】；
重難點2 與旋轉有關的計算
例2 [2024天津]如圖，中， ，將繞點順時針旋轉 得到，點，的對應點分別為，，延長交于點，下列結論一定正確的是（ ）
例2題圖
A. B.
C. D.
【答案】D
利用旋轉的性質，可判斷選項；
利用兩直線平行，同旁內角互補，可判斷選項；
利用旋轉前后，圖形的對應邊相等，可判斷選項；
利用旋轉的性質，得 ，結合 ，可判斷選項.
變式2-1．[2024呼和浩特改編]如圖，在中， ， ，將沿翻折 得到，將線段繞點順時針旋轉 得到線段，點為的中點，連接，.若，則的面積是__________.
變式2-1題圖
【答案】
變式2-2．[2024鹽城]如圖，在中， ，，點是的中點，連接，將繞點旋轉，得到.連接，當時，________________________.
變式2-2題圖
【答案】或
變式2-3．[2024大慶]如圖，在矩形中，，，點是邊的中點，點是邊上任意一點，將線段繞點順時針旋轉 ，點旋轉到點，則周長的最小值為____________.
變式2-3題圖
【答案】
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 對稱圖形的判斷（6年2考）
1．[2023新疆2題]下列交通標志中是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2021新疆2題]下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
拓展訓練
3．[2024山西]1949年，伴隨著新中國的誕生，中國科學院（簡稱“中科院”）成立.下列是中科院部分研究所的圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A. 山西煤炭化學研究所 B. 東北地理與農業生態研究所
C. 西安光學精密機械研究所 D. 生態環境研究中心
【答案】A
4．[2024濰坊]下列著名曲線中，既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
命題點2 與折疊有關的計算（2023.15）
5．[2023新疆15題]如圖，在中，，， ，點是上一動點，將沿折疊得到，當點恰好落在上時，的長為__________.
第5題圖
【答案】
拓展訓練
6．[2024連云港]如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕，連接，再將矩形紙片折疊，使點落在上的點處，折痕為.若點恰好為線段最靠近點的一個五等分點，，則的長為____________.
第6題圖
【答案】
命題點3 圖形的旋轉（6年3考）
7．[2019新疆14題]如圖，在中，，將繞點順時針旋轉 ，得到，延長交的延長線于點，則的長為____________.
第7題圖
【答案】
8．[2021新疆15題]如圖，已知正方形邊長為1，為邊上一點，以點為中心，將按逆時針方向旋轉得，連接，分別交，于點，．若，則________.
第8題圖
【答案】
9．[2022新疆15題]如圖，四邊形是正方形，點在邊的延長線上，點在邊上，以點為中心，將繞點順時針旋轉 與恰好完全重合，連接交于點，連接交于點，連接，若，則______.
第9題圖
【答案】
拓展訓練
10．[2023菏澤]如圖，點是正方形內的一點，將繞點按順時針方向旋轉 ，得到.若 ，則__________度.
第10題圖
【答案】

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