資源簡介

第26講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
知識精講練
①探索并掌握（改動）點與圓的位置關(guān)系.
②探索切線與過切點的半徑的關(guān)系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線.（刪除）
③*探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓（刪除）的兩條切線長相等.
④*能用尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線.（新增）
知識點1點、直線與圓的位置關(guān)系
1.點與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系 與 的關(guān)系 圖示
點在圓外 ① ，如點 的半徑是,點到圓心的距離是
點在圓上 ② ，如點
點在圓內(nèi) ③ ，如點
2.直線與圓的位置關(guān)系的半徑是,圓心到直線的距離是
位置關(guān)系 相離 相切 相交
圖示
與 的關(guān)系 ④ ⑤ ⑥
公共點個數(shù) 0 1 2
知識點2 切線的性質(zhì)與判定
概念 直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點
性質(zhì)定理 圓的切線⑦ 于過切點的半徑
判定定理 經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
判定方法 （1）直線與圓的公共點已知：連半徑，證垂直； （2）直線與圓的公共點未知：作垂直，證半徑
【知識拓展】 （1）弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角； （2）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.如圖，
知識點3 切線長與切線長定理
概念 經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長
定理 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.如圖，，分別與相切于，兩點，則，
知識點4 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
三角形的外接圓 三角形的內(nèi)切圓
圓心 外心：三角形三條邊的⑧ 的交點 內(nèi)心：三角形三條⑨ 的交點
描述 經(jīng)過三角形的三個頂點的圓 與三角形三邊都相切的圓
圖示
性質(zhì) 三角形的外心到三個頂點的距離相等，即 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，即
角度關(guān)系 ⑩
【知識拓展】 （1）若直角三角形的兩條直角邊、斜邊的長分別為，，，則它的外接圓的半徑為，內(nèi)切圓的半徑為（切線長定理可得）或（等面積法可得）； （2）若的三邊長分別為,,，則它的內(nèi)切圓半徑為（等面積法可得）
考點小練
1．如圖,已知中, ,,,為的中點,以點為圓心,為半徑作圓.
第1題圖
（1） 若,則點在__,點在__,點在__;
（2） 若,則直線與的位置關(guān)系為____;
（3） 若直線與相切,則________；
（4） 若線段與有唯一公共點,則的取值范圍為____________________________.
2．如圖，是的直徑，是的弦，連接,過點的切線交的延長線于點.若,則__________ .
第2題圖
3．【人教九上P101 T3變式】如圖，,分別與相切于,兩點，, ,則________.
第3題圖
4．如圖，內(nèi)接于，是的直徑， ，則__________ ．
第4題圖
5．【人教九上P100例2變式】如圖，在中， ，為的內(nèi)切圓，與三邊的切點分別為，，.
第5題圖
（1） 若,,則
① 的面積為____；（結(jié)果保留）
② ________；
（2） 若 ，則____________.
重難點突破
重難點 切線的判定
類型1 有公共點，連半徑，證垂直
方法1 利用等角代換證垂直
例1 如圖,的直徑與弦相交于點,且,點在的延長線上，連接,,.求證:是的切線.
例1題圖
題干中直接給出角度關(guān)系或給出切線與弦的夾角等于某個圓周角時，常通過等角代換來證明.
方法2 利用平行證垂直
例2 如圖,是的直徑,是弦，延長至點，使.連接,過點作于點.求證:是的切線.
例2題圖
當(dāng)需要證明的切線和已知直線垂直時,可證明過切點的半徑與已知直線平行.
方法3 利用三角形全等證垂直
例3 如圖,是的直徑,為上一點,連接,,過點作于點，過點作的切線交的延長線于點,連接.求證:是的切線.
例3題圖
利用三角形全等證垂直，常在“共點雙切線型”圖形中運用，通過連接圓心與兩條切線的交點構(gòu)造全等三角形來證垂直.
類型2 無公共點，作垂直，證半徑
例4 如圖，在中， ，平分,以為圓心,長為半徑作.求證:是的切線.
例4題圖
， 徑長.
變式1．[2024新疆三模]如圖，是的直徑，弦于，與弦交于，過點的直線分別與，的延長線交于，，.
變式1題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 若，，求的長.
變式2．[2024蘭州]如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點為上一點，，延長至，使得.
變式2題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 若，，求的長.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 切線的性質(zhì)（6年2考）
1．[2019新疆22題]如圖，是的直徑，與相切于點，與的延長線交于點，于點.
第1題圖
（1） 求證：；
（2） 若，，求的半徑.
2．[2022新疆22題]如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，連接，延長交過點的切線于點．
第2題圖
（1） 求證：；
（2） 求證：；
（3） 若，，求的長．
拓展訓(xùn)練
3．[2024貴州23題]如圖，為半圓的直徑，點在半圓上，點在的延長線上，與半圓相切于點，與的延長線相交于點，與相交于點，.
第3題圖
（1） 寫出圖中一個與相等的角：__________________________；
（2） 求證：；
（3） 若，，求的長.
命題點2 切線的判定與性質(zhì)綜合（6年3考）
4．[2020新疆22題]如圖，在中，為的直徑，為上一點，是的中點，過點作的垂線，交的延長線于點.
第4題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 若，，求的長.
5．[2021新疆22題]如圖，是的直徑，，是的弦，為的中點，與交于點，過點作，交的延長線于點，且平分．
第5題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 求證：；
（3） 若，，求的長．
6．[2023新疆22題]如圖，是的直徑，點，是上的點，且，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，交的延長線于點，過點作于點，交于點.
第6題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 若，，求的長.第26講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
知識精講練
①探索并掌握（改動）點與圓的位置關(guān)系.
②探索切線與過切點的半徑的關(guān)系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線.（刪除）
③*探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓（刪除）的兩條切線長相等.
④*能用尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線.（新增）
知識點1點、直線與圓的位置關(guān)系
1.點與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系 與 的關(guān)系 圖示
點在圓外 ① ，如點 的半徑是,點到圓心的距離是
點在圓上 ② ，如點
點在圓內(nèi) ③ ，如點
2.直線與圓的位置關(guān)系的半徑是,圓心到直線的距離是
位置關(guān)系 相離 相切 相交
圖示
與 的關(guān)系 ④ ⑤ ⑥
公共點個數(shù) 0 1 2
知識點2 切線的性質(zhì)與判定
概念 直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點
性質(zhì)定理 圓的切線⑦垂直于過切點的半徑
判定定理 經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
判定方法 （1）直線與圓的公共點已知：連半徑，證垂直； （2）直線與圓的公共點未知：作垂直，證半徑
【知識拓展】 （1）弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角； （2）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.如圖，
知識點3 切線長與切線長定理
概念 經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長
定理 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.如圖，，分別與相切于，兩點，則，
知識點4 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
三角形的外接圓 三角形的內(nèi)切圓
圓心 外心：三角形三條邊的⑧垂直平分線的交點 內(nèi)心：三角形三條⑨角平分線的交點
描述 經(jīng)過三角形的三個頂點的圓 與三角形三邊都相切的圓
圖示
性質(zhì) 三角形的外心到三個頂點的距離相等，即 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，即
角度關(guān)系 ⑩2
【知識拓展】 （1）若直角三角形的兩條直角邊、斜邊的長分別為，，，則它的外接圓的半徑為，內(nèi)切圓的半徑為（切線長定理可得）或（等面積法可得）； （2）若的三邊長分別為,,，則它的內(nèi)切圓半徑為（等面積法可得）
考點小練
1．如圖,已知中, ,,,為的中點,以點為圓心,為半徑作圓.
第1題圖
（1） 若,則點在__,點在__,點在__;
（2） 若,則直線與的位置關(guān)系為____;
（3） 若直線與相切,則________；
（4） 若線段與有唯一公共點,則的取值范圍為____________________________.
【答案】（1） 上；外；內(nèi)
（2） 相離
（3）
（4） 或
2．如圖，是的直徑，是的弦，連接,過點的切線交的延長線于點.若,則__________ .
第2題圖
【答案】
3．【人教九上P101 T3變式】如圖，,分別與相切于,兩點，, ,則________.
第3題圖
【答案】
4．如圖，內(nèi)接于，是的直徑， ，則__________ ．
第4題圖
【答案】
5．【人教九上P100例2變式】如圖，在中， ，為的內(nèi)切圓，與三邊的切點分別為，，.
第5題圖
（1） 若,,則
① 的面積為____；（結(jié)果保留）
② ________；
（2） 若 ，則____________.
【答案】①
②
（2）
重難點突破
重難點 切線的判定
類型1 有公共點，連半徑，證垂直
方法1 利用等角代換證垂直
例1 如圖,的直徑與弦相交于點,且,點在的延長線上，連接,,.求證:是的切線.
例1題圖
證明：如解圖，連接.
，，
，,
.
，
例1題解圖
，即 ，
.
又為的半徑，
是的切線.
題干中直接給出角度關(guān)系或給出切線與弦的夾角等于某個圓周角時，常通過等角代換來證明.
方法2 利用平行證垂直
例2 如圖,是的直徑,是弦，延長至點，使.連接,過點作于點.求證:是的切線.
例2題圖
證明:如解圖,連接.
,,
是的中位線，
.
例2題解圖
又,
.
又是的半徑，
是的切線.
當(dāng)需要證明的切線和已知直線垂直時,可證明過切點的半徑與已知直線平行.
方法3 利用三角形全等證垂直
例3 如圖,是的直徑,為上一點,連接,,過點作于點，過點作的切線交的延長線于點,連接.求證:是的切線.
例3題圖
證明:如圖,連接是的切線，,,,,垂直平分，.
又，，, ，.
又是的半徑，
是的切線.
例3題圖
利用三角形全等證垂直，常在“共點雙切線型”圖形中運用，通過連接圓心與兩條切線的交點構(gòu)造全等三角形來證垂直.
類型2 無公共點，作垂直，證半徑
例4 如圖，在中， ，平分,以為圓心,長為半徑作.求證:是的切線.
例4題圖
證明:如解圖，過點作于點平分,
,
.
在和中，
例4題解圖
，
是的半徑，是的半徑，
是的切線.
過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長等于半徑長.
變式1．[2024新疆三模]如圖，是的直徑，弦于，與弦交于，過點的直線分別與，的延長線交于，，.
變式1題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 若，，求的長.
【答案】
（1） 證明：連接，如解圖.
變式1題解圖
，
.
，
.
，
.
，， ,
即 ，
.
又為的半徑，
是的切線.
（2） 解：如解圖，連接，
在中，，
設(shè)，則，，，
，，
是的切線，
.
又，
，
，即.
設(shè)，則.
，
.
，
，
.
變式1題解圖
變式2．[2024蘭州]如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點為上一點，，延長至，使得.
變式2題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 若，，求的長.
【答案】
（1） 證明：連接，如解圖，
變式2題解圖
為的直徑，
，，
.
在和中，
，
，
.
，，
.
，
，
即.
又為的半徑，
是的切線.
（2） 解：，
，
.
，，
.
在中，，
設(shè)，.
，，
，
，
即.
由，得，
由，得，
，
.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 切線的性質(zhì)（6年2考）
1．[2019新疆22題]如圖，是的直徑，與相切于點，與的延長線交于點，于點.
第1題圖
（1） 求證：；
（2） 若，，求的半徑.
【答案】
（1） 證明：如解圖，連接，
第1題解圖
與相切于點，．
，．
， ．
，
．
（2） 解：如解圖，連接，
是的直徑， ，
．
，．
，，
．
又，，
．
，
在中，，
在中，，
，．
設(shè)的半徑為，
則.
易得，
則，即.
解得，
的半徑為．
第1題解圖
2．[2022新疆22題]如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，連接，延長交過點的切線于點．
第2題圖
（1） 求證：；
（2） 求證：；
（3） 若，，求的長．
【答案】
（1） 證明：，.
，.
（2） 證明：如解圖，連接,
與相切于點，
．
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
，
．
，，
，，
，
．
第2題解圖
（3） 解：是的直徑， .
，，
．
，，
，
，
即，．
，,
，
，即，
，
.
拓展訓(xùn)練
3．[2024貴州23題]如圖，為半圓的直徑，點在半圓上，點在的延長線上，與半圓相切于點，與的延長線相交于點，與相交于點，.
第3題圖
（1） 寫出圖中一個與相等的角：__________________________；
（2） 求證：；
（3） 若，，求的長.
【答案】（1） 或
（2） 解：證明：如解圖，連接，
與半圓相切于點，
，
.
，
,
，
，
，.
第3題解圖
（3） 解：設(shè)，則，
，
，
.
，
，
解得或（不合題意,舍去），
，，.
，
，
，即，
，即，
，.
命題點2 切線的判定與性質(zhì)綜合（6年3考）
4．[2020新疆22題]如圖，在中，為的直徑，為上一點，是的中點，過點作的垂線，交的延長線于點.
第4題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 若，，求的長.
【答案】
（1） 證明：如解圖，連接,
是 的中點，
，
.
，
，
，.
，.
又是的半徑，
是的切線.
第4題解圖
（2） 解：如解圖，連接交于點，
為的直徑， .
是的中點，
，，
四邊形是矩形，
，.
，
.
，
，
，
.
易得，，
，
，
.
第4題解圖
5．[2021新疆22題]如圖，是的直徑，，是的弦，為的中點，與交于點，過點作，交的延長線于點，且平分．
第5題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 求證：；
（3） 若，，求的長．
【答案】
（1） 證明：如解圖，連接，
平分，.
，，
，.
,.
又是的半徑，是的切線.
第5題解圖
（2） 證明：如解圖,連接，是的直徑，
， .
，.
由題意，得，.
,.
第5題解圖
（3） 解：在中，，，
，.
由（2）知，，，
，，.
為的中點，
，.
在中，，，
，，
．
6．[2023新疆22題]如圖，是的直徑，點，是上的點，且，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，交的延長線于點，過點作于點，交于點.
第6題圖
（1） 求證：是的切線；
（2） 若，，求的長.
【答案】
（1） 證明:如解圖，連接，
第6題解圖
，,
.
，,
，.
， ，
.
又是的半徑，
是的切線.
（2） 解：設(shè)的半徑為，
在中，
,
設(shè)，，則,
,
.
是的直徑， ,,,,.
,
.
又,
，
.
,,,,
,.

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