資源簡介

第24講 特殊四邊形
知識精講練
①理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它們之間的關(guān)系.
②正方形既是矩形，又是菱形（改動）；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系（新增）
知識點1 矩形、菱形、正方形
矩形 菱形 正方形
圖形
邊 兩組對邊① 且② 兩組對邊③ ，四條邊都④ 兩組對邊平行，四條邊都⑤
角 四個角都是⑥ 對角⑦ ，鄰角⑧ 四個角都是⑨
對角線 對角線⑩ 且互相平分 對角線 ，每一條對角線平分一組對角 對角線 且相等，每一條對角線平分一組對角
對稱性 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
有 條對稱軸 有 條對稱軸 有 條對稱軸
面積
【常用結(jié)論】矩形：矩形的兩條對角線將矩形分成四個面積相等的等腰三角形. 菱形：（1）菱形的兩條對角線將菱形分成四個面積相等的直角三角形； （2）對角線互相垂直的四邊形的面積; 正方形：正方形的兩條對角線將正方形分成四個面積相等的等腰直角三角形
知識點2 平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
從邊與角的角度看
從對角線的角度看
知識點3 梯形（2022年版課標新增）
圖形
概念 只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形
分類 （1）一般梯形; （2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形; （3）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形
性質(zhì) 梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半
面積 （上底下底）高
知識點4 中點四邊形
概念 依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形
原圖形 任意四邊形 矩形 菱形 正方形 對角線相等的四邊形 對角線垂直的四邊形 對角線垂直且相等的四邊形
中點四邊形形狀 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
判定依據(jù) 三角形的中位線定理
【溫馨提示】中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系決定的
考點小練
1．[2024濟寧改編]如圖，菱形的對角線，相交于點，是的中點，連接.若，則菱形的邊長為________.
第1題圖
2．如圖，已知是正方形對角線上一點，平分，則的度數(shù)是______________.
第2題圖
3．如圖，矩形的對角線與相交于點，，，分別為，的中點，則的長度為________.
第3題圖
4．如圖，四邊形的對角線與相交于點.
第4題圖
（1） 若要使四邊形是平行四邊形，可添加條件____________________________________
________；
（2） 若要使是矩形，可添加條件____________________________________；
（3） 若要使是菱形，可添加條件______________________________；
（4） 若要使矩形是正方形，可添加條件______________________________；
（5） 若要使菱形是正方形，可添加條件______________________________.
5．如圖，在梯形中,,, ，則__________.
第5題圖
6．在梯形中，， ， ，，，則梯形的面積為____________.
7．如圖，在四邊形中，對角線，垂足為，點,,,分別為邊,,,的中點.若，，則四邊形的面積為__________.
第7題圖
第1課時 矩形與菱形
重難點突破
重難點1 矩形的性質(zhì)與判定
例1 如圖，在四邊形中，，過點作交的延長線于點，連接，交于點，且，連接， .
例1題圖
（1） 求證：.
（2） 求證：四邊形是矩形.
（3） 若，，
① 求四邊形的周長；
② 求四邊形的面積.
式 .
變式1題圖
（1） 如圖1,若,,則__________ ,的長為________.
（2） 如圖2,點是邊上一動點.
① 若,,則的最小值為________;
② 若,, ,則的長為____________.
重難點2 菱形的性質(zhì)與判定
例2 如圖，在中，是的中點，過點作交于點，過點作交的延長線于點，連接，.
例2題圖
（1） 求證：.
（2） 求證：四邊形是菱形.
（3） 若， ， ，
① 求四邊形的面積；
② 求的長.
變式2．已知四邊形為菱形,對角線,交于點.
變式2題圖
（1） 若 ,則__________ .
（2） 若,.
① 菱形的周長為__________；
② ,間的距離為____________；
③ 如圖1,是的中點,則的長為________；若點為的中點,連接,則________.
（3） 如圖2，若菱形的邊長為4, ,點是邊上一動點（不與點,重合）,過點作交于點,連接,當是等腰三角形時,的長為____________________.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 矩形的性質(zhì)與判定（6年2考）
1．[2023新疆18題]如圖，和相交于點， ，，點，分別是，的中點.
第1題圖
（1） 求證：;
（2） 當 時，求證：四邊形是矩形.
新 的中線，交于點，點，分別是，的中點.
第2題圖
（1） 求證：四邊形是平行四邊形；
（2） 當時，求證：是矩形.
命題點2 菱形的性質(zhì)與判定（6年2考）
3．[2019新疆19題]如圖，在菱形中，對角線，相交于點，是中點，連接.過點作交的延長線于點，連接.
第3題圖
求證：
（1） ；
（2） 四邊形是矩形.
1 ，且分別交對角線于點，，連接，.
第4題圖
（1） 求證：；
（2） 若，求證：四邊形為菱形.
溫 后提升練》P51～52習題
第2課時 正方形
重難點突破
重難點 正方形的性質(zhì)與判定
例
（1） 已知四邊形為平行四邊形.
例題圖
① 若 ,則要使平行四邊形為正方形,需添加的條件為______________________________;
② 連接,,若,則要使平行四邊形為正方形,需添加的條件為____________________________________.
（2） 如圖1,若四邊形為正方形,是上一點,連接,交于點,且.
① 的長為__________，____________;
② 若是的中點,則的長為________,____________;
（3） 若四邊形為正方形,連接,交于點.
① 如圖2,點,分別是,上的點,連接,,,.若四邊形是菱形,且,則__________,____________;
② 如圖3,是的中點,是上一點,為對角線上一點.若，,則的最小值為________.
變式1．[2024伊寧校級一模]如圖，在正方形中，對角線，交于點，點在上，交于點，且為的中點，交于點，連接交于點，連接.下列結(jié)論： ；；；.其中正確結(jié)論的序號為____.
變式1題圖
變式2．[2023十堰]如圖，的對角線，交于點，分別以點，為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，.
變式2題圖
（1） 試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2） 請說明當?shù)膶蔷€滿足什么條件時，四邊形是正方形？
新疆6年中考真題及拓展
命題點 正方形的性質(zhì)與判定（6年3考）
1．[2019新疆9題]如圖，正方形的邊長為2，點是的中點，與交于點，是上一點，連接分別交，于點，，且，連接，則以下結(jié)論中：；；；.正確的是（ ）
第1題圖
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
拓展訓練
2．如圖，已知正方形的邊長為3，點是對角線上的一點，于點，于點，連接，當時，（ ）
第2題圖
A. B. 2 C. D.
3．[2024重慶B卷]如圖，在邊長為4的正方形中，是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分交于點.若，則的長度為（ ）
第3題圖
A. 2 B. C. D.
4．如圖，在邊長為2的正方形中，點,分別是邊，的中點，連接，，點,分別是，的中點，連接，則的長度為（ ）
第4題圖
A. B. C. D.
5．如圖，在平行四邊形中，點，，，分別在邊，，，上，，，且平分.
第5題圖
（1） 求證：；
（2） 若 ，求證：四邊形是正方形.第24講 特殊四邊形
知識精講練
①理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它們之間的關(guān)系.
②正方形既是矩形，又是菱形（改動）；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系（新增）
知識點1 矩形、菱形、正方形
矩形 菱形 正方形
圖形
邊 兩組對邊①平行且②相等 兩組對邊③平行，四條邊都④相等 兩組對邊平行，四條邊都⑤相等
角 四個角都是⑥直角 對角⑦相等，鄰角⑧互補 四個角都是⑨直角
對角線 對角線⑩相等且互相平分 對角線 互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角 對角線 互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角
對稱性 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
有 兩條對稱軸 有 兩條對稱軸 有 四條對稱軸
面積
【常用結(jié)論】矩形：矩形的兩條對角線將矩形分成四個面積相等的等腰三角形. 菱形：（1）菱形的兩條對角線將菱形分成四個面積相等的直角三角形； （2）對角線互相垂直的四邊形的面積; 正方形：正方形的兩條對角線將正方形分成四個面積相等的等腰直角三角形
知識點2 平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
從邊與角的角度看
從對角線的角度看
知識點3 梯形（2022年版課標新增）
圖形
概念 只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形
分類 （1）一般梯形; （2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形; （3）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形
性質(zhì) 梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半
面積 （上底下底）高
知識點4 中點四邊形
概念 依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形
原圖形 任意四邊形 矩形 菱形 正方形 對角線相等的四邊形 對角線垂直的四邊形 對角線垂直且相等的四邊形
中點四邊形形狀 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
判定依據(jù) 三角形的中位線定理
【溫馨提示】中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系決定的
考點小練
1．[2024濟寧改編]如圖，菱形的對角線，相交于點，是的中點，連接.若，則菱形的邊長為________.
第1題圖
【答案】
2．如圖，已知是正方形對角線上一點，平分，則的度數(shù)是______________.
第2題圖
【答案】
3．如圖，矩形的對角線與相交于點，，，分別為，的中點，則的長度為________.
第3題圖
【答案】
4．如圖，四邊形的對角線與相交于點.
第4題圖
（1） 若要使四邊形是平行四邊形，可添加條件____________________________________
________；
（2） 若要使是矩形，可添加條件____________________________________；
（3） 若要使是菱形，可添加條件______________________________；
（4） 若要使矩形是正方形，可添加條件______________________________；
（5） 若要使菱形是正方形，可添加條件______________________________.
【答案】（1） ，（答案；不唯一）
（2） （答案不唯一）
（3） （答案不唯一）
（4） （答案不唯一）
（5） （答案不唯一）
5．如圖，在梯形中,,, ，則__________.
第5題圖
【答案】
6．在梯形中，， ， ，，，則梯形的面積為____________.
【答案】
7．如圖，在四邊形中，對角線，垂足為，點,,,分別為邊,,,的中點.若，，則四邊形的面積為__________.
第7題圖
【答案】
第1課時 矩形與菱形
重難點突破
重難點1 矩形的性質(zhì)與判定
例1 如圖，在四邊形中，，過點作交的延長線于點，連接，交于點，且，連接， .
例1題圖
（1） 求證：.
（2） 求證：四邊形是矩形.
（3） 若，，
① 求四邊形的周長；
② 求四邊形的面積.
【答案】（1） 證明： ，，，， ，.在和中，，.
（2） 證明：，.又， 四邊形是平行四邊形，，， 四邊形是平行四邊形.又 ， 四邊形是矩形.
（3） ① 解： 四邊形是矩形，，.，，.
② 解：在中,，，，，，.
變式1．已知四邊形為矩形,回答下列問題.
變式1題圖
（1） 如圖1,若,,則__________ ,的長為________.
（2） 如圖2,點是邊上一動點.
① 若,,則的最小值為________;
② 若,, ,則的長為____________.
【答案】（1） ；
（2） ①
② 或4
重難點2 菱形的性質(zhì)與判定
例2 如圖，在中，是的中點，過點作交于點，過點作交的延長線于點，連接，.
例2題圖
（1） 求證：.
（2） 求證：四邊形是菱形.
（3） 若， ， ，
① 求四邊形的面積；
② 求的長.
【答案】（1） 證明：是的中點，，，，.
（2） 證明：，.又， 四邊形是平行四邊形.， 四邊形是菱形.
（3） ① 解：， ，，，，
，，，
.
② 解：如解圖，過點作于點，
四邊形是菱形，， ，
，， ，
例2題解圖
.
，
，
，
，.
，
.
變式2．已知四邊形為菱形,對角線,交于點.
變式2題圖
（1） 若 ,則__________ .
（2） 若,.
① 菱形的周長為__________；
② ,間的距離為____________；
③ 如圖1,是的中點,則的長為________；若點為的中點,連接,則________.
（3） 如圖2，若菱形的邊長為4, ,點是邊上一動點（不與點,重合）,過點作交于點,連接,當是等腰三角形時,的長為____________________.
【答案】（1）
（2） ①
②
③ ；
（3） 或
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 矩形的性質(zhì)與判定（6年2考）
1．[2023新疆18題]如圖，和相交于點， ，，點，分別是，的中點.
第1題圖
（1） 求證：;
（2） 當 時，求證：四邊形是矩形.
【答案】
（1） 證明:在和中，
,
,
點,分別是,的中點，
，,.
（2） ，， 四邊形是平行四邊形. ， ，,，, 四邊形是矩形.
2．[2024新疆19題10分]如圖，的中線，交于點，點，分別是，的中點.
第2題圖
（1） 求證：四邊形是平行四邊形；
（2） 當時，求證：是矩形.
【答案】
（1） 證明：和是的中線，
點和點分別為和的中點，
是的中位線，
，.
同理可得，，，
，， 四邊形是平行四邊形.
（2） 的中線，交于點， 點是的重心，，，分別是，的中點，，，，，.又 四邊形是平行四邊形， 四邊形是矩形.
命題點2 菱形的性質(zhì)與判定（6年2考）
3．[2019新疆19題]如圖，在菱形中，對角線，相交于點，是中點，連接.過點作交的延長線于點，連接.
第3題圖
求證：
（1） ；
（2） 四邊形是矩形.
【答案】
（1） 證明：，．
是的中點，．
在和中，，．
（2） ，， 四邊形是平行四邊形． 四邊形是菱形，， ， 四邊形是矩形．
4．[2020新疆18題]如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點，，連接，.
第4題圖
（1） 求證：；
（2） 若，求證：四邊形為菱形.
【答案】
（1） 證明： 四邊形是平行四邊形，
，，
.
，，.
在和中，
，
，
.
（2） 由（1）知，,.
又,
四邊形是平行四邊形.
又,
四邊形為菱形.
溫馨提示 請完成《課后提升練》P51～52習題
第2課時 正方形
重難點突破
重難點 正方形的性質(zhì)與判定
例
（1） 已知四邊形為平行四邊形.
例題圖
① 若 ,則要使平行四邊形為正方形,需添加的條件為______________________________;
② 連接,,若,則要使平行四邊形為正方形,需添加的條件為____________________________________.
（2） 如圖1,若四邊形為正方形,是上一點,連接,交于點,且.
① 的長為__________，____________;
② 若是的中點,則的長為________,____________;
（3） 若四邊形為正方形,連接,交于點.
① 如圖2,點,分別是,上的點,連接,,,.若四邊形是菱形,且,則__________,____________;
② 如圖3,是的中點,是上一點,為對角線上一點.若，,則的最小值為________.
【答案】① （答案不唯一）
② （答案不唯一）
（2） ① ；
② ；
（3） ① ；
②
變式1．[2024伊寧校級一模]如圖，在正方形中，對角線，交于點，點在上，交于點，且為的中點，交于點，連接交于點，連接.下列結(jié)論： ；；；.其中正確結(jié)論的序號為____.
變式1題圖
【答案】①②③④
變式2．[2023十堰]如圖，的對角線，交于點，分別以點，為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，.
變式2題圖
（1） 試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2） 請說明當?shù)膶蔷€滿足什么條件時，四邊形是正方形？
【答案】
（1） 解：四邊形為平行四邊形.
理由： 四邊形為平行四邊形，
，.
以點，為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧交于點，
，，
四邊形為平行四邊形.
（2） 當，時，四邊形為正方形.
，
.
，，，
.
四邊形為正方形.
新疆6年中考真題及拓展
命題點 正方形的性質(zhì)與判定（6年3考）
1．[2019新疆9題]如圖，正方形的邊長為2，點是的中點，與交于點，是上一點，連接分別交，于點，，且，連接，則以下結(jié)論中：；；；.正確的是（ ）
第1題圖
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】A
拓展訓練
2．如圖，已知正方形的邊長為3，點是對角線上的一點，于點，于點，連接，當時，（ ）
第2題圖
A. B. 2 C. D.
【答案】C
3．[2024重慶B卷]如圖，在邊長為4的正方形中，是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分交于點.若，則的長度為（ ）
第3題圖
A. 2 B. C. D.
【答案】D
4．如圖，在邊長為2的正方形中，點,分別是邊，的中點，連接，，點,分別是，的中點，連接，則的長度為（ ）
第4題圖
A. B. C. D.
【答案】B
5．如圖，在平行四邊形中，點，，，分別在邊，，，上，，，且平分.
第5題圖
（1） 求證：；
（2） 若 ，求證：四邊形是正方形.
【答案】
（1） 證明： 四邊形是平行四邊形，
.
在與中，
，.
（2） 四邊形是平行四邊形，
，，.
，，，，
，.
，，
四邊形為平行四邊形，
，.
平分，，
，
，
平行四邊形是菱形.
又 ，
四邊形是正方形.

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