資源簡介

第23講 平行四邊形與多邊形
知識精講練
了解多邊形（本標準中多邊形指凸多邊形）（新增）的概念（改動）及多邊形的頂點、邊、內角、外角與對角線等概念（刪除）.
知識點1 多邊形及其性質
邊形 內角和定理 邊形的內角和等于①
外角和定理 邊形的外角和等于②
對角線 過邊形的一個頂點可以引條對角線，把這個邊形分成個三角形，邊形共有③ 條對角線
正 邊形 邊 正邊形的各條邊④相等
內角 各內角相等，正邊形的每個內角為⑤
外角 各外角相等，正邊形的每個外角為
對稱性 當為奇數時，正邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形; 當為偶數時，正邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
【滿分技法】正邊形邊數的求法：①已知外角的度數，則； ②已知內角和，則； ③已知一個頂點引出的對角線條數,則一個頂點引出的對角線條數
知識點2 平行四邊形的性質與判定
圖形
性質 （1）邊：平行四邊形的對邊⑥平行且相等; （2）角：平行四邊形的對角⑦相等，鄰角⑧互補; （3）對角線：平行四邊形的對角線⑨互相平分; （4）對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是⑩對角線的交點; （5）四邊形具有不穩定性
判定 邊 （1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形; （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形; （3）一組對邊 平行且相等的四邊形是平行四邊形
角 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（需證明）
對角線 對角線互相 平分的四邊形是平行四邊形
面積 （表示一條邊長，表示此邊上的高） 【溫馨提示】平行四邊形被兩條對角線分成四個面積相等的三角形.若一條直線過平行四邊形的對角線的交點，則這條直線平分平行四邊形的面積和周長
考點小練
1．
（1） 一個邊形的內角和為 ，則__________；
（2） 一個邊形的內角和是它的外角和的2倍，則________；
（3） 正五邊形的一個內角度數為____________，有________條對稱軸；
（4） 從正八邊形的一個頂點出發，可以畫出________條對角線，它們將正八邊形分成________個三角形.
【答案】（1）
（2）
（3） ；
（4） ；
2．如圖，在中，對角線與交于點.
第2題圖
（1） 若 ，則____________ ，__________ ；
（2） 若，，.
① ________，____________；
② 的周長為______________，面積為__________；
③ 的面積為________.
【答案】（1） ；
（2） ① ；
② ；
③
3．如圖,在四邊形中,,要使四邊形是平行四邊形，還需要補充的一個條件是____________________________________.
第3題圖
【答案】（答案不唯一）
重難點突破
重難點 平行四邊形的性質與判定
例 【人教八下P46例3變式】如圖，在中，對角線，交于點，點在上，點在上，.
例題圖
（1） 求證：.
（2） 求證：四邊形是平行四邊形.
（3） 若，，.
① 求的長；
② 若，求四邊形的面積.
【答案】
（1） 證明： 四邊形是平行四邊形，
，
.
在和中，，
.
（2） 證明：，.
又， 四邊形是平行四邊形.
（3） ① 解：， .
，，.
四邊形是平行四邊形，
，.
在中，由勾股定理，得，.
② 解：，
.
，
，
，
.
變式．[2024北京]如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，.
變式題圖
（1） 求證：四邊形為平行四邊形；
（2） 若 ，，，求的長.
【答案】
（1） 證明：是的中點，
.
，
是的中位線，
，
.
，
四邊形為平行四邊形.
（2） 解：由（1）知，是的中位線，
.
四邊形為平行四邊形，
,
，，
，
，
，
.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 多邊形及其性質（6年3考）
1．[2023新疆11題]若一個正多邊形的每個內角為 ，則這個正多邊形的邊數是__.
【答案】十
2．[2021新疆12題]四邊形的外角和等于____________ ．
【答案】
3．[2019新疆11題]五邊形的內角和為____________度.
【答案】
拓展訓練
4．[2024濟南]若正多邊形的一個外角是 ，則這個正多邊形是（ ）
A. 正六邊形 B. 正七邊形 C. 正八邊形 D. 正九邊形
【答案】C
5．[2024棗莊]如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內，以為邊在該正邊形的外部作正方形.若 ，則的值為（ ）
第5題圖
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】A
6．[2024烏魯木齊模擬]將一個正八邊形與一個正六邊形如圖放置，頂點,,，四點共線，為公共頂點.則____________.
第6題圖
【答案】
命題點2 平行四邊形的性質與判定（6年2考）
7．[2022新疆18題]如圖，在中，點，分別為邊，的中點．延長到點，使，連接．
第7題圖
求證：
（1） ；
（2） 四邊形是平行四邊形．
【答案】
（1） 證明：是的中點，．
在和中，
，.
（2） 點，分別為邊，的中點，
，，，， 四邊形是平行四邊形．
拓展訓練
8．[2024大慶]如圖，在平行四邊形中，，分別是，的平分線，且點，分別在邊，上.
第8題圖
（1） 求證：四邊形是平行四邊形；
（2） 若 ，，求的面積.
【答案】
（1） 證明： 四邊形是平行四邊形，
，，
.
，分別是，的平分線，，，，.又， 四邊形是平行四邊形.
（2） 解：如圖，過點作于點，則 四邊形是平行四邊形，， ，是的平分線， ， ，是等邊三角形，，.在中，由勾股定理，得..由（1），得四邊形是平行四邊形，，，，，.
第8題圖第23講 平行四邊形與多邊形
知識精講練
了解多邊形（本標準中多邊形指凸多邊形）（新增）的概念（改動）及多邊形的頂點、邊、內角、外角與對角線等概念（刪除）.
知識點1 多邊形及其性質
邊形 內角和定理 邊形的內角和等于①
外角和定理 邊形的外角和等于②
對角線 過邊形的一個頂點可以引條對角線，把這個邊形分成個三角形，邊形共有③ 條對角線
正 邊形 邊 正邊形的各條邊④
內角 各內角相等，正邊形的每個內角為⑤
外角 各外角相等，正邊形的每個外角為
對稱性 當為奇數時，正邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形; 當為偶數時，正邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
【滿分技法】正邊形邊數的求法：①已知外角的度數，則； ②已知內角和，則； ③已知一個頂點引出的對角線條數,則一個頂點引出的對角線條數
知識點2 平行四邊形的性質與判定
圖形
性質 （1）邊：平行四邊形的對邊⑥ ; （2）角：平行四邊形的對角⑦ ，鄰角⑧ ; （3）對角線：平行四邊形的對角線⑨ ; （4）對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是⑩ ; （5）四邊形具有不穩定性
判定 邊 （1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形; （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形; （3）一組對邊 的四邊形是平行四邊形
角 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（需證明）
對角線 對角線互相 的四邊形是平行四邊形
面積 （表示一條邊長，表示此邊上的高） 【溫馨提示】平行四邊形被兩條對角線分成四個面積相等的三角形.若一條直線過平行四邊形的對角線的交點，則這條直線平分平行四邊形的面積和周長
考點小練
1．
（1） 一個邊形的內角和為 ，則__________；
（2） 一個邊形的內角和是它的外角和的2倍，則________；
（3） 正五邊形的一個內角度數為____________，有________條對稱軸；
（4） 從正八邊形的一個頂點出發，可以畫出________條對角線，它們將正八邊形分成________個三角形.
2．如圖，在中，對角線與交于點.
第2題圖
（1） 若 ，則____________ ，__________ ；
（2） 若，，.
① ________，____________；
② 的周長為______________，面積為__________；
③ 的面積為________.
3．如圖,在四邊形中,,要使四邊形是平行四邊形，還需要補充的一個條件是____________________________________.
第3題圖
重難點突破
重難點 平行四邊形的性質與判定
例 【人教八下P46例3變式】如圖，在中，對角線，交于點，點在上，點在上，.
例題圖
（1） 求證：.
（2） 求證：四邊形是平行四邊形.
（3） 若，，.
① 求的長；
② 若，求四邊形的面積.
變式．[2024北京]如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，.
變式題圖
（1） 求證：四邊形為平行四邊形；
（2） 若 ，，，求的長.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 多邊形及其性質（6年3考）
1．[2023新疆11題]若一個正多邊形的每個內角為 ，則這個正多邊形的邊數是__.
2．[2021新疆12題]四邊形的外角和等于____________ ．
3．[2019新疆11題]五邊形的內角和為____________度.
拓展訓練
4．[2024濟南]若正多邊形的一個外角是 ，則這個正多邊形是（ ）
A. 正六邊形 B. 正七邊形 C. 正八邊形 D. 正九邊形
5．[2024棗莊]如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內，以為邊在該正邊形的外部作正方形.若 ，則的值為（ ）
第5題圖
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
6．[2024烏魯木齊模擬]將一個正八邊形與一個正六邊形如圖放置，頂點,,，四點共線，為公共頂點.則____________.
第6題圖
命題點2 平行四邊形的性質與判定（6年2考）
7．[2022新疆18題]如圖，在中，點，分別為邊，的中點．延長到點，使，連接．
第7題圖
求證：
（1） ；
（2） 四邊形是平行四邊形．
] 中，，分別是，的平分線，且點，分別在邊，上.
第8題圖
（1） 求證：四邊形是平行四邊形；
（2） 若 ，，求的面積.

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