資源簡介

第22講 銳角三角函數及其應用
知識精講練
知識點1 銳角三角函數
正弦 ① 如圖，在中， ，，，
余弦 ②
正切 ③
【溫馨提示】一個角的三角函數值只與角度本身有關，與所在三角形邊長無關
知識點2 特殊角的三角函數值
銳角 銳角三角函數 基本圖形
④ ⑤
⑥ ⑦
⑧1
知識點3 解直角三角形
三邊關系 （勾股定理） 如圖，在中， ，，，，是斜邊上的高
三角關系
邊角關系 ， ⑨ ， ,
面積關系
知識點4 解直角三角形的實際應用
仰角、俯角 方向角 坡度（坡比）、坡角
視線在水平線上方的角叫仰角 視線在水平線下方的角叫俯角 點在點的北偏東⑩ 方向 點在點的 南偏東 方向 點在點的 北偏西 （或西北）方向 坡角為 坡度（坡比）
考點小練
1．如圖，在中， ,則________,__________,________.
第1題圖
【答案】； ；
2．在銳角三角形中，若，則的度數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．計算： .
解：原式
.
4．在中， ，，則________.
【答案】
5．如圖，在中，,,,則的長為______.
第5題圖
【答案】
6．如圖，滑雪場有一坡角為 的滑雪道，滑雪道長為220米，則滑雪道的坡頂到坡底的豎直高度的長為____________米.（結果精確到0.1米，，，）
第6題圖
【答案】
重難點突破
重難點 解直角三角形的實際應用
例 [2024新疆20題10分]數學活動課上為了測量學校旗桿的高度，某小組進行了以下實踐活動：
例題圖
（1）準備測量工具
①測角儀：把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀（圖1），利用它可以測量仰角或俯角；
②皮尺.
（2）實地測量數據
①將這個測角儀用手托起，拿到眼前，使視線沿著測角儀的直徑剛好到達旗桿的最高點（圖2）；
②用皮尺測出所站位置到旗桿底部的距離為，眼睛到地面的距離為.
（3）計算旗桿高度
① 根據圖3中測角儀的讀數，得出仰角 的度數為____________；
② 根據測量數據，畫出示意圖4，，，求旗桿的高度（精確到）；
（參考數據：，，，，，）
③ 若測量者仍站在原處（點），能否用三角板替代測角儀測出仰角 ？若能，請寫出測量方法；若不能，該如何調整位置才能用三角板測出仰角 ，請寫出測量方法.
【答案】① .
② 解：，，,，在中，，
,.
旗桿的高度約為.
③ 只有含 ， 角的三角板和含 角的三角板，而點的仰角為 ，
三角板測不出仰角 的度數；
如解圖，作，連接,則為等腰直角三角形， ，
.
，
，
向旗桿方向走，用 直角三角板測量即可.（答案不唯一）
例題解圖
變式1．[2024包頭]如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓的高度”的實踐活動.教學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）.
變式1題圖
（1） 請你設計測量教學樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所畫的圖形上（測出的距離用，等表示，測出的角用 ， 等表示），并對設計進行說明；
（2） 根據你測量的數據，計算教學樓的高度.（用字母表示）
【答案】
（1） 解：如解圖，在地面上取，測量，測量 ，
根據，
即可得出的長度.
變式1題解圖
（2） ，
，
.
變式2．[2024湖南省卷]某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動.
活動主題 測算某水池中雕塑底座的底面積
測量工具 皮尺、測角儀、計算器等
活動過程 模型抽象 某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：
測繪過程與數據信息 ①在水池外取一點，使得點，，在同一條直線上； ②過點 作，并沿 方向前進到點，用皮尺測得 的長為4米； ③在點 處用測角儀測得 ， ， ； ④用計算器計算得：，，，，，
請根據表格中提供的信息，解決下列問題：（結果保留整數）
（1） 求線段和的長度；
（2） 求底座的底面的面積.
【答案】
（1） 解：，， ，
，
，， 線段為7米，線段為3米.
（2） 如解圖，過點作于點 ，
，，，
底座的底面的面積為（平方米）.
變式2題解圖
新疆6年中考真題及拓展
命題點 銳角三角函數的實際應用（必考）
1.背靠背型（6年2考）
模型展示
解題思路 過點作于點，構造和 過點作于點，構造，和矩形 過點作于點，過點作于點，構造， 和矩形
1．[2022新疆21題]周末，王老師布置了一項綜合實踐作業，要求利用所學知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為 ，看這棟樓底部的俯角為 ，已知兩樓之間的水平距離為，求這棟樓的高度．（參考數據：，，）
第1題圖
解：如解圖，過點作于點，
則，
在中， ，，
，
在中， ，，
，
.
答：這棟樓的高度大約為．
第1題解圖
2．[2019新疆20題]如圖，一艘海輪位于燈塔的東北方向，距離燈塔80海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東 方向上的處.
（1） 求海輪從處到處的途中與燈塔之間的最短距離；（結果保留根號）
（2） 若海輪以每小時30海里的速度從處到處，試判斷海輪能否在5小時內到達處，并說明理由.
（參考數據：，，）
【答案】
（1） 解：如圖，過點作于點，由題意，得， ，在中，.答：海輪從處到處的途中與燈塔之間的最短距離為 海里.
（2） 不能，理由如下：
， ，
在中，,在中，，.，
海輪不能在5小時內到達處.
2.母子型（6年3考）
模型展示
解題思路 過點作，交延長線于點，構造和
模型拓展
3．[2020新疆20題]如圖，為測量建筑物的高度，在點測得建筑物頂部點的仰角為 ，再向建筑物前進30米到達點，測得建筑物頂部點的仰角為（，，三點在一條直線上），求建筑物的高度.（結果保留整數.參考數據：，，，，，）
第3題圖
解：在中，
，
.在中，，
，
,解得.
答：建筑物的高度約為16米.
4．[2023新疆20題]烽燧即烽火臺，是古代軍情報警的一種措施，史冊記載，夜間舉火稱“烽”，白天放煙稱“燧”. 克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內時代最早、保存最完好、規模最大的古代烽燧（如圖1）. 某數學興趣小組利用無人機測量該烽燧的高度，如圖2，無人機飛至距地面高度31.5米的處，測得烽燧的頂部處的俯角為 ，測得烽燧的底部處的俯角為 ，試根據提供的數據計算烽燧的高度.
第4題圖
（參考數據：，，，，，）
解:如圖2，過點作的垂線，交的延長線于
點,由題意易知，四邊形是矩形，
.在中， ，
,
.
在中， ，
, ，（米）.
答:烽燧的高度約為13.5米.
3.擁抱型
模型展示
解題思路 直接利用三角函數求邊的長度解決問題
模型展示
解題思路 過點作于點，作于點，構造，和矩形 過點作于點，構造和矩形
拓展訓練
5．[2024新疆二模]綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度，如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，，點，，在同一條水平直線上.某學習小組在觀景臺處測得塔頂部的仰角為 ，在觀景臺處測得塔頂部的仰角為 .
第5題圖
（1） 求的長；
（2） 求塔的高度.（結果取整數）（參考數據：，）
【答案】（1） 解：，，.
（2） 解：如解圖，過點作于點，過點作于點，則，，
在中，，，
.
， ，.
設，則，
，
在中， ，
，，
解得.
答：塔的高度約為.
第5題解圖第22講 銳角三角函數及其應用
知識精講練
知識點1 銳角三角函數
正弦 ① 如圖，在中， ，，，
余弦 ②
正切 ③
【溫馨提示】一個角的三角函數值只與角度本身有關，與所在三角形邊長無關
知識點2 特殊角的三角函數值
銳角 銳角三角函數 基本圖形
④ ⑤
⑥ ⑦
⑧
知識點3 解直角三角形
三邊關系 （勾股定理） 如圖，在中， ，，，，是斜邊上的高
三角關系
邊角關系 ， ⑨ ， ,
面積關系
知識點4 解直角三角形的實際應用
仰角、俯角 方向角 坡度（坡比）、坡角
視線在水平線上方的角叫仰角 視線在水平線下方的角叫俯角 點在點的北偏東⑩ 方向 點在點的 方向 點在點的 方向 坡角為 坡度（坡比）
考點小練
1．如圖，在中， ,則________,__________,________.
第1題圖
2．在銳角三角形中，若，則的度數是（ ）
A. B. C. D.
3．計算： .
4．在中， ，，則________.
5．如圖，在中，,,,則的長為______.
第5題圖
6．如圖，滑雪場有一坡角為 的滑雪道，滑雪道長為220米，則滑雪道的坡頂到坡底的豎直高度的長為____________米.（結果精確到0.1米，，，）
第6題圖
重難點突破
重難點 解直角三角形的實際應用
例 [2024新疆20題10分]數學活動課上為了測量學校旗桿的高度，某小組進行了以下實踐活動：
例題圖
（1）準備測量工具
①測角儀：把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀（圖1），利用它可以測量仰角或俯角；
②皮尺.
（2）實地測量數據
①將這個測角儀用手托起，拿到眼前，使視線沿著測角儀的直徑剛好到達旗桿的最高點（圖2）；
②用皮尺測出所站位置到旗桿底部的距離為，眼睛到地面的距離為.
（3）計算旗桿高度
① 根據圖3中測角儀的讀數，得出仰角 的度數為____________；
② 根據測量數據，畫出示意圖4，，，求旗桿的高度（精確到）；
（參考數據：，，，，，）
③ 若測量者仍站在原處（點），能否用三角板替代測角儀測出仰角 ？若能，請寫出測量方法；若不能，該如何調整位置才能用三角板測出仰角 ，請寫出測量方法.
變式1．[2024包頭]如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓的高度”的實踐活動.教學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）.
變式1題圖
（1） 請你設計測量教學樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所畫的圖形上（測出的距離用，等表示，測出的角用 ， 等表示），并對設計進行說明；
（2） 根據你測量的數據，計算教學樓的高度.（用字母表示）
變式2．[2024湖南省卷]某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動.
活動主題 測算某水池中雕塑底座的底面積
測量工具 皮尺、測角儀、計算器等
活動過程 模型抽象 某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：
測繪過程與數據信息 ①在水池外取一點，使得點，，在同一條直線上； ②過點 作，并沿 方向前進到點，用皮尺測得 的長為4米； ③在點 處用測角儀測得 ， ， ； ④用計算器計算得：，，，，，
請根據表格中提供的信息，解決下列問題：（結果保留整數）
（1） 求線段和的長度；
（2） 求底座的底面的面積.
新疆6年中考真題及拓展
命題點 銳角三角函數的實際應用（必考）
1.背靠背型（6年2考）
模型展示
解題思路 過點作于點，構造和 過點作于點，構造，和矩形 過點作于點，過點作于點，構造， 和矩形
1．[2022新疆21題]周末，王老師布置了一項綜合實踐作業，要求利用所學知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為 ，看這棟樓底部的俯角為 ，已知兩樓之間的水平距離為，求這棟樓的高度．（參考數據：，，）
第1題圖
2．[2019新疆20題]如圖，一艘海輪位于燈塔的東北方向，距離燈塔80海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東 方向上的處.
（1） 求海輪從處到處的途中與燈塔之間的最短距離；（結果保留根號）
（2） 若海輪以每小時30海里的速度從處到處，試判斷海輪能否在5小時內到達處，并說明理由.
（參考數據：，，）
2.母子型（6年3考）
模型展示
解題思路 過點作，交延長線于點，構造和
模型拓展
3．[2020新疆20題]如圖，為測量建筑物的高度，在點測得建筑物頂部點的仰角為 ，再向建筑物前進30米到達點，測得建筑物頂部點的仰角為（，，三點在一條直線上），求建筑物的高度.（結果保留整數.參考數據：，，，，，）
第3題圖
4．[2023新疆20題]烽燧即烽火臺，是古代軍情報警的一種措施，史冊記載，夜間舉火稱“烽”，白天放煙稱“燧”. 克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內時代最早、保存最完好、規模最大的古代烽燧（如圖1）. 某數學興趣小組利用無人機測量該烽燧的高度，如圖2，無人機飛至距地面高度31.5米的處，測得烽燧的頂部處的俯角為 ，測得烽燧的底部處的俯角為 ，試根據提供的數據計算烽燧的高度.
第4題圖
（參考數據：，，，，，）
3.擁抱型
模型展示
解題思路 直接利用三角函數求邊的長度解決問題
模型展示
解題思路 過點作于點，作于點，構造，和矩形 過點作于點，構造和矩形
拓展訓練
5．[2024新疆二模]綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度，如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，，點，，在同一條水平直線上.某學習小組在觀景臺處測得塔頂部的仰角為 ，在觀景臺處測得塔頂部的仰角為 .
第5題圖
（1） 求的長；
（2） 求塔的高度.（結果取整數）（參考數據：，）

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