資源簡介

第21講 圖形的相似（含位似）
知識精講練
知識點1 比例線段
比例線段 對于四條線段，，，，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段成比例，簡稱比例線段
比例中項 如果或或，那么叫做和的比例中項
比例的性質 基本性質：
合比性質：如果,那么①
等比性質：如果，那么
黃金分割 點把線段分成兩條線段和，如果，那么稱線段被點黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，與的比叫做黃金比，即，線段有兩個黃金分割點和,且它們關于線段中點對稱
知識點2 平行線分線段成比例
基本事實 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例. 如圖,當時，,，
推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）,所得的對應線段成比例. 如圖1，,則,, ； 如圖2，,則 圖1 圖2
考點小練
1．已知，，，是成比例線段.
（1） 若，，，則線段的長為________；
（2） 若，，是和的比例中項，則的值為__________；
（3） 若，則________.
【答案】（1）
（2）
（3）
2．如圖，樂器上的一根弦，兩個端點，固定在樂器面板上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，則支撐點，之間的距離為____________________.（結果保留根號）
第2題圖
【答案】
3．如圖,,與相交于點,，，,則________,________.
第3題圖
【答案】；
4．如圖，在中，點,分別在邊,上，.已知,,則的長是________.
第4題圖
【答案】
知識點3 相似三角形的判定與性質
性質 相似三角形的對應角②相等，對應邊③成比例
相似三角形對應線段（邊、高、中線、角平分線）的比都等于相似比
相似三角形周長的比等于④相似比，面積的比等于⑤相似比的平方
判定方法 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似
兩角⑥分別相等的兩個三角形相似
兩邊⑦成比例且⑧夾角相等的兩個三角形相似
三邊⑨成比例的兩個三角形相似
判定思路 有平行截線——用平行線的性質，找等角 有一對等角，找; 有兩邊成比例，找; 直角三角形，找; 等腰三角形，找
知識點4 相似三角形的實際應用
常見類型 利用光的反射定律求物體的高度
利用影長計算建筑物的高度（同一時刻，物高與影長成比例，即）
構造相似三角形計算不能直接測量的物體高度
方法步驟 （1）將實際問題轉化為相似三角形問題； （2）找出一對相似三角形； （3）根據相似三角形的性質，表示出相應的量并求解
知識點5 相似多邊形
概念 兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比
性質 （1）相似多邊形的對應角⑩相等，對應邊成比例； （2）相似多邊形的周長比等于 相似比，面積比等于 相似比的平方
5．如圖，中，點，分別在邊，上，，，則____________；____________.
第5題圖
【答案】；
6．如圖，在中，點，分別在邊，上，若，則與四邊形的面積的比為____________.
第6題圖
【答案】
7．如圖，小明在地面上放了一個平面鏡，選擇合適的位置，剛好在平面鏡中看到旗桿的頂部，此時小明與平面鏡的水平距離為，旗桿底部與平面鏡的水平距離為.若小明的眼睛與地面的距離為，則旗桿的高度為____________.
第7題圖
【答案】
知識點6 圖形的位似
基本圖形
概念 如果一個圖形上的點，，,和另一個圖形上的點，，,分別對應，并且它們的連線,,,都經過同一點，,那么這兩個圖形叫做位似圖形，點是位似中心
性質 位似圖形是相似圖形，具有相似圖形的所有性質
位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離的比等于相似比
位似圖形對應點的連線或連線的延長線經過同一點
位似圖形的對應邊平行（或在同一條直線上）
【滿分技法】在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為，那么與原圖形上的點對應的位似圖形上的點的坐標為或
8．如圖，四邊形和四邊形相似，則____________，____________，的長度__________.
第8題圖
【答案】； ；
9．與是位似圖形，且與的相似比是，已知的面積是3，則的面積是__________.
【答案】
10．在平面直角坐標系中，有兩點，.以原點為位似中心，相似比為，把線段縮短，則點的對應點的坐標為________________________________.
【答案】或
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 相似三角形的判定與性質
1. 字模型
模型展示 正字型 ,
斜字型
模型分析 兩個三角形中有一個公共角
解題思路 圖中已經有一組角相等，（1）從已知條件、圖中隱含條件或通過證明得到另一組角相等;（2）證明相等的這組角的兩條邊對應成比例
拓展訓練
1．[2024河南]如圖，在中，對角線，相交于點，點為的中點，交于點.若，則的長為（ ）
第1題圖
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
2．[2024重慶A卷]如圖，在中，延長至點，使，過點作，且，連接交于點.若，，則________.
第2題圖
【答案】
3．[2023湘潭]如圖，在中， ，是斜邊上的高.
第3題圖
（1） 證明：；
（2） 若，，求的長.
【答案】
（1） 證明：是斜邊上的高，
．
，
．
又為公共角，
．
（2） 解：由（1）知，
，
，
．
2.8字模型
模型展示 正8字型 ， 斜8字型
模型分析 兩個三角形中有一組對應角是對頂角
解題思路 圖中已經有一組對頂角，（1）從已知條件、圖中隱含條件或通過證明得到另一組角相等;（2）證明這組對頂角的兩條邊對應成比例
若題中未說明相似三角形對應的頂點，則需要分情況討論
拓展訓練
4．[2024遼寧]如圖，，與相交于點，且與的面積比是1，若，則的長為__________.
第4題圖
【答案】
5．如圖所示，,分別為的邊,上的點，,交于點,連接,若,，則________.
第5題圖
【答案】
命題點2 相似三角形的實際應用
拓展訓練
6．某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿的高度，把標桿直立在同一水平地面上（如圖）.同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是，.已知，，，在同一直線上，，，，則旗桿的高度為（ ）
第6題圖
A. B. C. D.
【答案】A
溫馨提示 請完成《課后提升練》P45～46習題
提分專題五 相似三角形中的常考模型［2023.23］
模型1 一線三等角模型（2023.23）
模型展示 點在線段上（同側型） 銳角一線三等角 一線三垂直 鈍角一線三等角
點在線段的延長線上（異側型） 銳角一線三等角 一線三垂直 鈍角一線三等角
結論 結論：
一線三垂直模型常出現背景
針對訓練
1．如圖，四邊形中，， ，，，，點為邊上一動點，若，則的長為____________.
第1題圖
【答案】或2
2．【模型構造】如圖，四邊形是矩形，，，點在第四象限，則點的坐標為________________.
第2題圖
【答案】
3．如圖，是等邊三角形，點，分別在邊，上， ，若，，則的長為____.
第3題圖
【答案】1或2
4．【模型構造】【問題探究】
（1） 數學課上，老師給出一道例題，如圖1，點在的延長線上，且，連接，求證：，請用你所學的知識進行證明；
第4題圖
【拓展訓練】
（2） 如圖2，點在的延長線上，且，連接，若， ，，求的值；
【知識遷移】
（3） 將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3，在平行四邊形中，為邊上的一點，為邊上的一點.若.求證：.
【答案】
（1） 證明：，，，
， .
（2） 解：如圖2，在上截取，連接.
，
是等邊三角形， ，
，
，
，
由（1）知,，，
，
,.
（3） 證明：如解圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點，
，.
四邊形是平行四邊形，
，，
.
由（1）知,，
，，
.
第4題解圖
模型2 旋轉“手拉手”模型
模型解讀 將繞點旋轉一定的角度，連接拉手線，，則，
模型展示
針對訓練
5．如圖，在和中， ，，連接，.若，，則的長為________.
第5題圖
【答案】
6．如圖，點在線段上，在的同側作等腰直角和等腰直角，與，分別交于點，，連接.對于下列結論：；；； .其中正確的結論有____.（寫出所有正確結論的序號）
第6題圖
【答案】①②③
7．如圖，在四邊形中，，相交于點，點在上，且，.
第7題圖
（1） 求證：；
（2） 若，，的周長為20，求的周長.
【答案】（1） 證明：，，.
（2） 解：，，，，.的周長為20，的周長.
8．在中， ，，在中， ，，請探索解答下列問題.
第8題圖
【問題發現】
（1） 如圖1，若點，分別在，上，求與的數量關系；
【類比探究】
（2） 將繞點旋轉至如圖2所示的位置，則與之間是否滿足（1）中的數量關系？說明理由；
【拓展延伸】
（3） 在（1）的條件下，若，將繞點旋轉的過程中，當，，三點共線時，求的長.
【答案】
（1） 解： ， ， ，
，
，，
，，
.
（2） 滿足.理由如下：
如圖2，過點作于，延長，交于點，.
，，，
， ，
，，，
,，，
.
（3） 解：如解圖1，當點 在線段 上時，
由勾股定理，得，
，；
如解圖2，當點在線段上時，
，.
綜上所述,當，，三點共線時，的長為或.
第8題解圖
模型3 對角互補模型
模型解讀
輔助線作法及結論
作法1：過點作，，垂足分別為，，則 作法2：過點作交于點，則
針對訓練
9．將兩個等腰直角三角板按如圖所示放置，點在上，與交于點，與交于點.若，則的值為________.
第9題圖
【答案】
10．如圖，已知是等邊三角形,是的中點,為邊上一點,且,為射線上一點, ,則________.
第10題圖
【答案】
11．如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點，另一邊交的延長線于點.
第11題圖1
（1） 求證：；
（2） 如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
第11題圖2
（3） 如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經過點，其他條件不變，若，，求的值.
第11題圖3
【答案】
（1） 證明： ， ，
.
在和中，，
，
.
（2） 解：成立，證明如下：
如解圖1，過點作于點，作于點.
四邊形為正方形，
平分.
又，，
，
四邊形是正方形，
.
，
，
，
，
.
第11題解圖1
（3） 解：如解圖2，過點作于點，作于點，垂足分別為，，
則 ，
，，
，
，
，，
，
即.
，
.
，
，.
第11題解圖2第21講 圖形的相似（含位似）
知識精講練
知識點1 比例線段
比例線段 對于四條線段，，，，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段成比例，簡稱比例線段
比例中項 如果或或，那么叫做和的比例中項
比例的性質 基本性質：
合比性質：如果,那么①
等比性質：如果，那么
黃金分割 點把線段分成兩條線段和，如果，那么稱線段被點黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，與的比叫做黃金比，即，線段有兩個黃金分割點和,且它們關于線段中點對稱
知識點2 平行線分線段成比例
基本事實 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例. 如圖,當時，,，
推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）,所得的對應線段成比例. 如圖1，,則,, ； 如圖2，,則 圖1 圖2
考點小練
1．已知，，，是成比例線段.
（1） 若，，，則線段的長為________；
（2） 若，，是和的比例中項，則的值為__________；
（3） 若，則________.
2．如圖，樂器上的一根弦，兩個端點，固定在樂器面板上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，則支撐點，之間的距離為____________________.（結果保留根號）
第2題圖
3．如圖,,與相交于點,，，,則________,________.
第3題圖
4．如圖，在中，點,分別在邊,上，.已知,,則的長是________.
第4題圖
知識點3 相似三角形的判定與性質
性質 相似三角形的對應角② ，對應邊③
相似三角形對應線段（邊、高、中線、角平分線）的比都等于相似比
相似三角形周長的比等于④ ，面積的比等于⑤
判定方法 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似
兩角⑥ 的兩個三角形相似
兩邊⑦ 且⑧ 相等的兩個三角形相似
三邊⑨ 的兩個三角形相似
判定思路 有平行截線——用平行線的性質，找等角 有一對等角，找; 有兩邊成比例，找; 直角三角形，找; 等腰三角形，找
知識點4 相似三角形的實際應用
常見類型 利用光的反射定律求物體的高度
利用影長計算建筑物的高度（同一時刻，物高與影長成比例，即）
構造相似三角形計算不能直接測量的物體高度
方法步驟 （1）將實際問題轉化為相似三角形問題； （2）找出一對相似三角形； （3）根據相似三角形的性質，表示出相應的量并求解
知識點5 相似多邊形
概念 兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比
性質 （1）相似多邊形的對應角⑩ ，對應邊成比例； （2）相似多邊形的周長比等于 ，面積比等于
5．如圖，中，點，分別在邊，上，，，則____________；____________.
第5題圖
6．如圖，在中，點，分別在邊，上，若，則與四邊形的面積的比為____________.
第6題圖
7．如圖，小明在地面上放了一個平面鏡，選擇合適的位置，剛好在平面鏡中看到旗桿的頂部，此時小明與平面鏡的水平距離為，旗桿底部與平面鏡的水平距離為.若小明的眼睛與地面的距離為，則旗桿的高度為____________.
第7題圖
知識點6 圖形的位似
基本圖形
概念 如果一個圖形上的點，，,和另一個圖形上的點，，,分別對應，并且它們的連線,,,都經過同一點，,那么這兩個圖形叫做位似圖形，點是位似中心
性質 位似圖形是相似圖形，具有相似圖形的所有性質
位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離的比等于相似比
位似圖形對應點的連線或連線的延長線經過同一點
位似圖形的對應邊平行（或在同一條直線上）
【滿分技法】在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為，那么與原圖形上的點對應的位似圖形上的點的坐標為或
8．如圖，四邊形和四邊形相似，則____________，____________，的長度__________.
第8題圖
9．與是位似圖形，且與的相似比是，已知的面積是3，則的面積是__________.
10．在平面直角坐標系中，有兩點，.以原點為位似中心，相似比為，把線段縮短，則點的對應點的坐標為________________________________.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 相似三角形的判定與性質
1. 字模型
模型展示 正字型 ,
斜字型
模型分析 兩個三角形中有一個公共角
解題思路 圖中已經有一組角相等，（1）從已知條件、圖中隱含條件或通過證明得到另一組角相等;（2）證明相等的這組角的兩條邊對應成比例
拓展訓練
1．[2024河南]如圖，在中，對角線，相交于點，點為的中點，交于點.若，則的長為（ ）
第1題圖
A. B. 1 C. D. 2
2．[2024重慶A卷]如圖，在中，延長至點，使，過點作，且，連接交于點.若，，則________.
第2題圖
3．[2023湘潭]如圖，在中， ，是斜邊上的高.
第3題圖
（1） 證明：；
（2） 若，，求的長.
2.8字模型
模型展示 正8字型 ， 斜8字型
模型分析 兩個三角形中有一組對應角是對頂角
解題思路 圖中已經有一組對頂角，（1）從已知條件、圖中隱含條件或通過證明得到另一組角相等;（2）證明這組對頂角的兩條邊對應成比例
若題中未說明相似三角形對應的頂點，則需要分情況討論
拓展訓練
4．[2024遼寧]如圖，，與相交于點，且與的面積比是1，若，則的長為__________.
第4題圖
5．如圖所示，,分別為的邊,上的點，,交于點,連接,若,，則________.
第5題圖
命題點2 相似三角形的實際應用
拓展訓練
6．某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿的高度，把標桿直立在同一水平地面上（如圖）.同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是，.已知，，，在同一直線上，，，，則旗桿的高度為（ ）
第6題圖
A. B. C. D.
溫馨提示 請完成《課后提升練》P45～46習題
提分專題五 相似三角形中的常考模型［2023.23］
模型1 一線三等角模型（2023.23）
模型展示 點在線段上（同側型） 銳角一線三等角 一線三垂直 鈍角一線三等角
點在線段的延長線上（異側型） 銳角一線三等角 一線三垂直 鈍角一線三等角
結論 結論：
一線三垂直模型常出現背景
針對訓練
1．如圖，四邊形中，， ，，，，點為邊上一動點，若，則的長為____________.
第1題圖
2．【模型構造】如圖，四邊形是矩形，，，點在第四象限，則點的坐標為________________.
第2題圖
3．如圖，是等邊三角形，點，分別在邊，上， ，若，，則的長為____.
第3題圖
4．【模型構造】【問題探究】
（1） 數學課上，老師給出一道例題，如圖1，點在的延長線上，且，連接，求證：，請用你所學的知識進行證明；
第4題圖
【拓展訓練】
（2） 如圖2，點在的延長線上，且，連接，若， ，，求的值；
【知識遷移】
（3） 將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3，在平行四邊形中，為邊上的一點，為邊上的一點.若.求證：.
模型2 旋轉“手拉手”模型
模型解讀 將繞點旋轉一定的角度，連接拉手線，，則，
模型展示
針對訓練
5．如圖，在和中， ，，連接，.若，，則的長為________.
第5題圖
6．如圖，點在線段上，在的同側作等腰直角和等腰直角，與，分別交于點，，連接.對于下列結論：；；； .其中正確的結論有____.（寫出所有正確結論的序號）
第6題圖
7．如圖，在四邊形中，，相交于點，點在上，且，.
第7題圖
（1） 求證：；
（2） 若，，的周長為20，求的周長.
8．在中， ，，在中， ，，請探索解答下列問題.
第8題圖
【問題發現】
（1） 如圖1，若點，分別在，上，求與的數量關系；
【類比探究】
（2） 將繞點旋轉至如圖2所示的位置，則與之間是否滿足（1）中的數量關系？說明理由；
【拓展延伸】
（3） 在（1）的條件下，若，將繞點旋轉的過程中，當，，三點共線時，求的長.
模型3 對角互補模型
模型解讀
輔助線作法及結論
作法1：過點作，，垂足分別為，，則 作法2：過點作交于點，則
針對訓練
9．將兩個等腰直角三角板按如圖所示放置，點在上，與交于點，與交于點.若，則的值為________.
第9題圖
10．如圖，已知是等邊三角形,是的中點,為邊上一點,且,為射線上一點, ,則________.
第10題圖
11．如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點，另一邊交的延長線于點.
第11題圖1
（1） 求證：；
（2） 如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
第11題圖2
（3） 如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經過點，其他條件不變，若，，求的值.
第11題圖3

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