資源簡介

第19講 等腰三角形與直角三角形
知識精講練
①理解（改動）等腰三角形的概念. ②理解（改動）直角三角形的概念.
知識點1 等腰三角形
性質 （1）兩腰相等,兩底角①相等（等邊對等角,等角對等邊）; （2）等腰三角形的頂角②平分線、③底邊上的中線④底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）; （3）等腰三角形是軸對稱圖形,有一條對稱軸,其對稱軸是⑤頂角平分線（或底邊上的中線或底邊上的高）所在的直線; （4）拓展:兩腰上的高相等;兩腰上的中線相等;兩底角的平分線相等;頂角的外角平分線與底邊平行
判定 （1）有兩邊相等的三角形是等腰三角形（概念）; （2）有⑥兩個角相等的三角形是等腰三角形
面積 =⑦ （為底邊長,為底邊上的高）
知識點2 等邊三角形
性質 （1）等邊三角形的三條邊、三個內角都相等,并且每一個角都等于⑧60; （2）等邊三角形三條角平分線的交點、三條高的交點、三條中線的交點重合; （3）等邊三角形是軸對稱圖形,有⑨三條對稱軸
判定 （1）三邊都相等的三角形是等邊三角形; （2）三個角都相等的三角形是等邊三角形; （3）有一個角等于⑩60°的等腰三角形是等邊三角形
面積 （為三角形的邊長,為任意邊上的高,且）
知識點3 直角三角形
性質 （1）兩銳角之和等于 ; （2）斜邊上的中線等于斜邊的 一半; 角所對的直角邊等于斜邊的 一半; （4）若有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于 ； （5）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么
判定 （1）有一個角為⑩90°的三角形是直角三角形; （2）有兩個角四互余的三角形是直角三角形; （3）勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長滿足 ,那么這個三角形是直角三角形 （4）一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形（使用時需先證明）
面積
知識點4 等腰直角三角形
性質 （1）具有等腰三角形、直角三角形的一切性質; （2）兩直角邊相等; （3）兩個銳角相等,且都等于
判定 （1）頂角為的等腰三角形是等腰直角三角形; （2）兩條直角邊相等的直角三角形是等腰直角三角形; （3）有一個角為的直角三角形是等腰直角三角形; （4）有兩個角都為的三角形是等腰直角三角形
面積
考點小練
1．如圖，在中，，為邊上的中線.
第1題圖
（1） 若的一個內角為 ，則另外兩個內角的度數為________________________________________________.
（2） 若，則①的長為________；
②的面積為__________.
（3） 若 ，則
① 的形狀為____________；
② __________ ；
③ 的長為________；
④ 的面積為__________.
【答案】（1） ， 或 ，
（2） ；
（3） ① 等邊三角形
②
③
④
2．如圖,在中, ,,點是邊上的一個動點，連接.
第2題圖
（1） 若 ,則的度數為____________；
（2） 若 ,則的長為__________；
（3） 若,則的面積為__________；
（4） 若,,則的長為____________；
（5） 若為的中點,,則的周長為__________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3．如圖，在 中， ， ， 為 邊上的中線， 為 邊上的中線，若 ，則 的長為（ ）
第3題圖
A. B. C. D. 3
【答案】C
重難點突破
重難點1 等腰三角形的相關計算
例1 [2024內江]如圖，在中， ，，，則的度數為____________.
例1題圖
【答案】
變式1-1．[2024自貢]如圖，等邊鋼架的立柱于點，長.現將鋼架立柱縮短成， .則新鋼架減少用鋼（ ）
變式1-1題圖
A. B.
C. D.
【答案】D
變式1-2．[2024浙江]如圖，，分別是邊，的中點，連接，.若，，則的長為________.
變式1-2題圖
【答案】
重難點2 直角三角形的相關計算
例2 [2024南充]如圖，在中， ， ，，平分交于點，點為邊上一點，則線段長度的最小值為（ ）
例2題圖
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
解決線段最小值問題，一般通過①三點共線;②垂線段最短;③兩點之間，線段最短;④隱形圓來解決.
變式2-1．[2024安徽]如圖，在中，，點在的延長線上，且，則的長是（ ）
變式2-1題圖
A. B. C. D.
【答案】B
變式2-2．[2024烏魯木齊二模]如圖，在中， ，，，點在邊上，，，垂足為，與交于點，則的長是________.
變式2-2題圖
【答案】
變式2-3．在中， ， ，，是直線上的動點，若是等腰三角形，則的長度是________________________.
【答案】或或9
變式2-4．如圖，在中， ， ，，點是邊上一動點，點在邊上，且，則的最小值為____________.
變式2-4題圖
【答案】
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 等腰三角形的相關計算（2023.13）
1．[2023新疆13題]如圖，在中，若，， ，則__________ .
第1題圖
【答案】
拓展訓練
2．[2023錦州]如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，連接.若， ，則的度數為____________.
第2題圖
【答案】
3．如圖，是等邊三角形，點是邊的中點，點在邊上，且，連接，則__________ .
第3題圖
【答案】
命題點2 直角三角形的相關計算（6年3考）
4．[2021新疆7題]如圖，在中， ， ，，于點，是的中點，則的長為（ ）
第4題圖
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
5．[2024新疆14題4分]如圖，在中， ， ，.若點在直線上（不與點，重合），且 ，則的長為______________.
第5題圖
【答案】或12
6．[2020新疆15題]如圖，在中， ， ，，若是邊上的動點，則的最小值為________.
第6題圖
【答案】
拓展訓練
7．[2023揚州]我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成.如圖，直角三角形的直角邊長為,，斜邊長為，若，，則每個直角三角形的面積為__________.
第7題圖
【答案】
8．[2024吐魯番模擬]若三角形的兩邊長為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為____________________.
【答案】或第19講 等腰三角形與直角三角形
知識精講練
①理解（改動）等腰三角形的概念. ②理解（改動）直角三角形的概念.
知識點1 等腰三角形
性質 （1）兩腰相等,兩底角① （等邊對等角,等角對等邊）; （2）等腰三角形的頂角② 、③ ④ 相互重合（簡寫成“三線合一”）; （3）等腰三角形是軸對稱圖形,有一條對稱軸,其對稱軸是⑤ ; （4）拓展:兩腰上的高相等;兩腰上的中線相等;兩底角的平分線相等;頂角的外角平分線與底邊平行
判定 （1）有兩邊相等的三角形是等腰三角形（概念）; （2）有⑥ 相等的三角形是等腰三角形
面積 =⑦ （為底邊長,為底邊上的高）
知識點2 等邊三角形
性質 （1）等邊三角形的三條邊、三個內角都相等,并且每一個角都等于⑧ ; （2）等邊三角形三條角平分線的交點、三條高的交點、三條中線的交點重合; （3）等邊三角形是軸對稱圖形,有⑨ 條對稱軸
判定 （1）三邊都相等的三角形是等邊三角形; （2）三個角都相等的三角形是等邊三角形; （3）有一個角等于⑩ 的等腰三角形是等邊三角形
面積 （為三角形的邊長,為任意邊上的高,且）
知識點3 直角三角形
性質 （1）兩銳角之和等于 ; （2）斜邊上的中線等于斜邊的 ; 角所對的直角邊等于斜邊的 ; （4）若有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于 ； （5）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么
判定 （1）有一個角為⑩ 的三角形是直角三角形; （2）有兩個角四互余的三角形是直角三角形; （3）勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長滿足 ,那么這個三角形是直角三角形 （4）一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形（使用時需先證明）
面積
知識點4 等腰直角三角形
性質 （1）具有等腰三角形、直角三角形的一切性質; （2）兩直角邊相等; （3）兩個銳角相等,且都等于
判定 （1）頂角為的等腰三角形是等腰直角三角形; （2）兩條直角邊相等的直角三角形是等腰直角三角形; （3）有一個角為的直角三角形是等腰直角三角形; （4）有兩個角都為的三角形是等腰直角三角形
面積
考點小練
1．如圖，在中，，為邊上的中線.
第1題圖
（1） 若的一個內角為 ，則另外兩個內角的度數為________________________________________________.
（2） 若，則①的長為________；
②的面積為__________.
（3） 若 ，則
① 的形狀為____________；
② __________ ；
③ 的長為________；
④ 的面積為__________.
2．如圖,在中, ,,點是邊上的一個動點，連接.
第2題圖
（1） 若 ,則的度數為____________；
（2） 若 ,則的長為__________；
（3） 若,則的面積為__________；
（4） 若,,則的長為____________；
（5） 若為的中點,,則的周長為__________.
3．如圖，在 中， ， ， 為 邊上的中線， 為 邊上的中線，若 ，則 的長為（ ）
第3題圖
A. B. C. D. 3
重難點突破
重難點1 等腰三角形的相關計算
例1 [2024內江]如圖，在中， ，，，則的度數為____________.
例1題圖
變式1-1．[2024自貢]如圖，等邊鋼架的立柱于點，長.現將鋼架立柱縮短成， .則新鋼架減少用鋼（ ）
變式1-1題圖
A. B.
C. D.
變式1-2．[2024浙江]如圖，，分別是邊，的中點，連接，.若，，則的長為________.
變式1-2題圖
重難點2 直角三角形的相關計算
例2 [2024南充]如圖，在中， ， ，，平分交于點，點為邊上一點，則線段長度的最小值為（ ）
例2題圖
A. B. C. 2 D. 3
解決線段最小值問題，一般通過①三點共線;②垂線段最短;③兩點之間，線段最短;④隱形圓來解決.
變式2-1．[2024安徽]如圖，在中，，點在的延長線上，且，則的長是（ ）
變式2-1題圖
A. B. C. D.
變式2-2．[2024烏魯木齊二模]如圖，在中， ，，，點在邊上，，，垂足為，與交于點，則的長是________.
變式2-2題圖
變式2-3．在中， ， ，，是直線上的動點，若是等腰三角形，則的長度是________________________.
變式2-4．如圖，在中， ， ，，點是邊上一動點，點在邊上，且，則的最小值為____________.
變式2-4題圖
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 等腰三角形的相關計算（2023.13）
1．[2023新疆13題]如圖，在中，若，， ，則__________ .
第1題圖
拓展訓練
2．[2023錦州]如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，連接.若， ，則的度數為____________.
第2題圖
3．如圖，是等邊三角形，點是邊的中點，點在邊上，且，連接，則__________ .
第3題圖
命題點2 直角三角形的相關計算（6年3考）
4．[2021新疆7題]如圖，在中， ， ，，于點，是的中點，則的長為（ ）
第4題圖
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．[2024新疆14題4分]如圖，在中， ， ，.若點在直線上（不與點，重合），且 ，則的長為______________.
第5題圖
6．[2020新疆15題]如圖，在中， ， ，，若是邊上的動點，則的最小值為________.
第6題圖
拓展訓練
7．[2023揚州]我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成.如圖，直角三角形的直角邊長為,，斜邊長為，若，，則每個直角三角形的面積為__________.
第7題圖
8．[2024吐魯番模擬]若三角形的兩邊長為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為____________________.

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