資源簡介

第16講 二次函數的實際應用
知識精講練
會求二次函數的最大值或最小值,并能確定相應自變量的值（新增）,能解決相應的實際問題.（改動）
知識點 建立二次函數模型解決實際問題
常見類型 關鍵步驟 【溫馨提示】 （1）求函數的最值時，要注意實際問題中自變量的取值范圍對最值的影響.若對稱軸的取值不在自變量的取值范圍內，則最值一般在自變量取值的端點處取得； （2）建立平面直角坐標系的標準是易于求二次函數的解析式
拋物線形問題 （1）建立方便求解析式的平面直角坐標系； （2）找到圖象上三個點的坐標； （3）用待定系數法求二次函數的解析式
銷售利潤問題 （1）理清各個量之間的關系，找出等量關系求得解析式； （2）根據要求確定函數的最值或建立方程求解
圖形面積問題 （1）利用幾何知識用變量表示出圖形的面積； （2）根據要求確定函數的最值或建立方程求解
重難點突破
重難點1 利潤問題
例1 [2024濟寧]某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內，銷售量（單位：件）與銷售單價（單位：元/件）之間是一次函數關系，其部分圖象如圖所示.
例1題圖
（1） 求這段時間內與之間的函數解析式；
（2） 在這段時間內，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務，當銷售單價為多少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】
（1） 解：設一次函數的解析式為
，
將，代入
，
得，
解得，
所求函數解析式為.
（2） 解：由題意，得，
.
商場獲得的利潤為，
又，，
當時，利潤最大，最大值為7920.
答：當銷售單價為116元時，商場獲得利潤最大，最大利潤是7920元.
【解析】
例1 （1）設一次函數解析式，利用待定系數法求解即可.（2）根據題意，確定取值范圍；②利用總利潤單件利潤×件數，求得利潤與件數之間的函數解析式；③結合的取值范圍與函數性質求解.
變式．[2024貴州]某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量（盒）與銷售單價（元）是一次函數關系，下表是與的幾組對應值.
銷售單價 元 … 12 14 16 18 20 …
銷售量 盒 … 56 52 48 44 40 …
（1） 求與的函數解析式；
（2） 糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3） 若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求的值.
【答案】
（1） 解：設，
將,代入，得，解得，
與的函數解析式為.
（2） 設日銷售利潤為元.
.
答：糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元.
（3） 的值為2.（詳解見P181）
【解析】
（3） 解：. 最大利潤為392元，,整理,得,即，解得，.當時，， 每盒糖果的利潤（元），舍去.的值為2.
重難點2 拋物線型問題
例2 [2024陜西]一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以為原點，以直線為軸，以橋塔所在直線為軸，建立平面直角坐標系.
已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點到的距離.（橋塔的粗細忽略不計）
例2題圖
（1） 求纜索所在拋物線的函數解析式；
（2） 點在纜索上，，且，，求的長.
【答案】
（1） 解：，.
，纜索的最低點到的距離，
纜索所在拋物線的頂點的坐標為，
故可設拋物線為.
將代入，
得，解得，
纜索所在拋物線的解析式為.
（2） 的長為.（詳解見P181）
【解析】
（2） 解： 纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，又 纜索所在拋物線為， 纜索所在拋物線為.令，，或.又，，的長為.（1）確定點，的坐標，設二次函數解析式，利用待定系數法求解；（2）利用與之間的關系，確定的解析式，將處縱坐標代入求解.
重難點3 面積問題
例3 [2024烏魯木齊新市區三模]某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15米）的空地上修建一個矩形花園，花園的一邊靠墻，另外三邊用總長40米的柵欄圍成（如圖所示）.若設花園的邊長為米，花園的面積為平方米.
例3題圖
（1） 求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2） 滿足條件的花園面積能否達到150平方米？若能，請求出的值；若不能，請說明理由；
（3） 當是多少時，矩形場地面積最大？最大面積是多少？
【答案】
（1） 解：由題意可知為，
則.
矩形的面積，
，
自變量的取值范圍為.
（2） 能達到.由題意知，當時，，解得，（不合題意，舍去），
故時，花園面積能達到150平方米.
（3） 當是15時，矩形場地面積最大，最大面積是187.5平方米.（詳解見P181）
【解析】
（3） 解：，,當時，隨的增大而增大， 當時，取最大值，最大值是.答：當是15時，矩形場地面積最大，最大面積是187.5平方米.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 利潤問題（2024.21）
1．[2024新疆21題12分]某公司銷售一批產品，經市場調研發現，當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額（萬元）與銷售量（噸）的函數解析式為：；成本（萬元）與銷售量（噸）的函數圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中，是其頂點.
第1題圖
（1） 求出成本關于銷售量的函數解析式；
（2） 當成本最低時，銷售產品所獲利潤是多少？
（3） 當銷售量是多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤 銷售額-成本）
【答案】（1） 解： 頂點為，， 可設拋物線為.又 拋物線過點，，， 成本關于銷售量的函數解析式為.
（2） 由題意知，當銷售量時，成本最低為，
又 銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額與銷售量的函數解析式為，
當時，銷售額為，
此時利潤為（萬元）.
答：當成本最低時，銷售產品所獲利潤是0.75萬元.
（3） 由題意知，利潤.
，，
當時，利潤取最大值，最大值為7.
答：當銷售量是3噸時，可獲得最大利潤，最大利潤是7萬元.
命題點2 面積問題（2022.14）
2．[2022新疆14題]如圖，用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個圍欄的最大面積為__________．
第2題圖
【答案】
命題點3 拋物線型問題
拓展訓練
3．[2024青海]在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡，從點處拋出一個小球，落到點處.小球在空中所經過的路線是拋物線的一部分.
第3題圖
（1） 求拋物線的解析式；
（2） 求拋物線最高點的坐標；
（3） 斜坡上點處有一棵樹，點是上靠近點的一個三等分點，小球恰好越過樹的頂端，求這棵樹的高度.
【答案】
（1） 解： 點是拋物線
上的一點，
，
，，
拋物線的解析式為.
（2） 拋物線為，
拋物線最高點的坐標為，.
（3） 這棵樹的高度是2.（詳解見P181）
【解析】
（3） 解：如解圖，過點，分別作軸的垂線，垂足分別是，，， ，，. 點是的三等分點，.，，.，， 點的橫坐標為1.將代入中，得， 點的坐標為，，.答：這棵樹的高度是2.
第3題解圖第16講 二次函數的實際應用
知識精講練
會求二次函數的最大值或最小值,并能確定相應自變量的值（新增）,能解決相應的實際問題.（改動）
知識點 建立二次函數模型解決實際問題
常見類型 關鍵步驟 【溫馨提示】 （1）求函數的最值時，要注意實際問題中自變量的取值范圍對最值的影響.若對稱軸的取值不在自變量的取值范圍內，則最值一般在自變量取值的端點處取得； （2）建立平面直角坐標系的標準是易于求二次函數的解析式
拋物線形問題 （1）建立方便求解析式的平面直角坐標系； （2）找到圖象上三個點的坐標； （3）用待定系數法求二次函數的解析式
銷售利潤問題 （1）理清各個量之間的關系，找出等量關系求得解析式； （2）根據要求確定函數的最值或建立方程求解
圖形面積問題 （1）利用幾何知識用變量表示出圖形的面積； （2）根據要求確定函數的最值或建立方程求解
重難點突破
重難點1 利潤問題
例1 [2024濟寧]某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內，銷售量（單位：件）與銷售單價（單位：元/件）之間是一次函數關系，其部分圖象如圖所示.
例1題圖
（1） 求這段時間內與之間的函數解析式；
（2） 在這段時間內，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務，當銷售單價為多少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？
【解析】
例1 （1）設一次函數解析式，利用待定系數法求解即可.（2）根據題意，確定取值范圍；②利用總利潤單件利潤×件數，求得利潤與件數之間的函數解析式；③結合的取值范圍與函數性質求解.
變式．[2024貴州]某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量（盒）與銷售單價（元）是一次函數關系，下表是與的幾組對應值.
銷售單價 元 … 12 14 16 18 20 …
銷售量 盒 … 56 52 48 44 40 …
（1） 求與的函數解析式；
（2） 糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3） 若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求的值.
【解析】
（3） 解：. 最大利潤為392元，,整理,得,即，解得，.當時，， 每盒糖果的利潤（元），舍去.的值為2.
重難點2 拋物線型問題
例2 [2024陜西]一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以為原點，以直線為軸，以橋塔所在直線為軸，建立平面直角坐標系.
已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點到的距離.（橋塔的粗細忽略不計）
例2題圖
（1） 求纜索所在拋物線的函數解析式；
（2） 點在纜索上，，且，，求的長.
【解析】
（2） 解： 纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，又 纜索所在拋物線為， 纜索所在拋物線為.令，，或.又，，的長為.（1）確定點，的坐標，設二次函數解析式，利用待定系數法求解；（2）利用與之間的關系，確定的解析式，將處縱坐標代入求解.
重難點3 面積問題
例3 [2024烏魯木齊新市區三模]某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15米）的空地上修建一個矩形花園，花園的一邊靠墻，另外三邊用總長40米的柵欄圍成（如圖所示）.若設花園的邊長為米，花園的面積為平方米.
例3題圖
（1） 求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2） 滿足條件的花園面積能否達到150平方米？若能，請求出的值；若不能，請說明理由；
（3） 當是多少時，矩形場地面積最大？最大面積是多少？
【解析】
（3） 解：，,當時，隨的增大而增大， 當時，取最大值，最大值是.答：當是15時，矩形場地面積最大，最大面積是187.5平方米.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 利潤問題（2024.21）
1．[2024新疆21題12分]某公司銷售一批產品，經市場調研發現，當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額（萬元）與銷售量（噸）的函數解析式為：；成本（萬元）與銷售量（噸）的函數圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中，是其頂點.
第1題圖
（1） 求出成本關于銷售量的函數解析式；
（2） 當成本最低時，銷售產品所獲利潤是多少？
（3） 當銷售量是多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤 銷售額-成本）
命題點2 面積問題（2022.14）
2．[2022新疆14題]如圖，用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個圍欄的最大面積為__________．
第2題圖
命題點3 拋物線型問題
拓展訓練
3．[2024青海]在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡，從點處拋出一個小球，落到點處.小球在空中所經過的路線是拋物線的一部分.
第3題圖
（1） 求拋物線的解析式；
（2） 求拋物線最高點的坐標；
（3） 斜坡上點處有一棵樹，點是上靠近點的一個三等分點，小球恰好越過樹的頂端，求這棵樹的高度.
【解析】
（3） 解：如解圖，過點，分別作軸的垂線，垂足分別是，，， ，，. 點是的三等分點，.，，.，， 點的橫坐標為1.將代入中，得， 點的坐標為，，.答：這棵樹的高度是2.
第3題解圖

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