資源簡介

第15講 二次函數綜合題
第1課時 二次函數性質綜合題（2021.23）
重難點突破
重難點 二次函數最值問題
利用對稱性、增減性判斷函數值的大小 拋物線上任意一點到其對稱軸的距離記為,則有:相等,值相等;時，越大,值越大,越小,值越小; 時,越大,值越小,越小，值越大
自變量區間范圍內利用增減性求最值 定軸定區間 若（,均為定值），先判斷對稱軸在不在區間內. ①當區間在對稱軸左側（右側），在區間的端點處取最值，當拋物線的開口向上時，離對稱軸越近的點函數值越小;當拋物線的開口向下時，離對稱軸越近的點函數值越大； ②當區間包含對稱軸時，在對稱軸處和區間的一個端點處（離對稱軸遠的端點）取最值
定軸動區間 當區間在對稱軸的左側時 當區間在對稱軸的右側時 當區間包含對稱軸，且左距大于右距時 當區間包含對稱軸，且左距小于右距時
動軸定區間 當對稱軸在區間的右側時 當對稱軸在區間的左側時 當區間包含對稱軸，且左距大于右距時 當區間包含對稱軸，且左距小于右距
例 [2024威海改編]已知拋物線與軸交點的坐標分別為，，且.
（1） 若拋物線與軸交點的坐標分別為，，且，試判斷下列每組數據的大小.（填“ ”“”或“ ”）
________；
________；
________.
（2） 若，，點，均在拋物線上，試比較，的大小.
（3） 當時，最大值與最小值的差為，求的值.
【答案】（1） ；；
（2） 解： 拋物線的對稱軸為直線，，，，， 拋物線開口向上，到對稱軸的距離大于3到對稱軸的距離，.
（3） 解：拋物線的頂點坐標為，，對稱軸為直線，當時，；當時，.
①當在取得最大值，在頂點取得最小值時，,且,則,此時有，解得（舍去）或；
②當在取得最大值，在頂點取得最小值時，,且,則,此時有，解得（舍去）或；
③當在取得最大值，取得最小值時，,則，，解得（舍去）.綜上所述，的值為或.
【解析】
（1） 【思路點撥】將原拋物線向上平移1個單位，得到新的拋物線，標注新、舊拋物線與 軸的交點坐標，通過變換進行比較即可.
（2） 【思路點撥】利用拋物線與 軸的交點坐標，判斷出對稱軸的范圍，利用點到對稱軸的距離，結合函數的增減性，判斷即可.
（3） 【思路點撥】自變量的取值范圍固定，一次項系數不確定，利用軸動區間定討論最值位置，進而求解.
新疆6年中考真題及拓展
1．[2021新疆23題]已知拋物線．
（1） 求拋物線的對稱軸；
（2） 把拋物線沿軸向下平移個單位，若拋物線的頂點落在軸上，求的值；
（3） 設點，在拋物線上，若，求的取值范圍．
【答案】（1） 解：拋物線的對稱軸為直線.
（2） 拋物線沿軸向下平移個單位，可得
.
拋物線的頂點落在軸上，
，
解得或．
（3） 拋物線的對稱軸為直線，
當和時，函數值相等；
當時，若,則;
當時，若，則,不符合題意,舍去，
的取值范圍為．
拓展訓練
2．[2024廣西]課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于的二次函數的最值問題展開探究.
【經典回顧】二次函數求最值的方法.
（1） 老師給出，求二次函數的最小值.
① 請你寫出對應的函數解析式；
② 求當取何值時，函數有最小值，并寫出此時的值.
【舉一反三】老師給出更多的值，同學們即求出對應的函數在取何值時，的最小值.記錄結果，并整理成如表：
… 0 2 4 …
… * 2 0 …
的最小值 … * …
注：*為②的計算結果.
【探究發現】老師：“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格，談談你的發現.”
甲同學：“我發現，老師給了值后，我們只要取，就能得到的最小值.”
乙同學：“我發現，的最小值隨值的變化而變化，當由小變大時，的最小值先增大后減小，所以我猜想的最小值中存在最大值.”
（2） 請結合函數解析式，解釋甲同學的說法是否合理.
（3） 你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由.
【答案】① 解：，；
② ，
當時，取得最小值，為.
（2） 甲同學的說法合理，理由如下：
， 二次函數圖象的開口向上，二次函數有最小值，當時，取得最小值，
故甲同學的說法合理.
（3） 乙同學的猜想正確
時，.
，故有最大值，
當時，取得最大值，的最大值為.
3．[2024浙江]已知二次函數（，為常數）的圖象經過點，對稱軸為直線.
（1） 求二次函數的解析式；
（2） 若點向上平移2個單位長度，向左平移個單位長度后，恰好落在的圖象上，求的值；
（3） 當時，二次函數的最大值與最小值的差為，求的取值范圍.
【答案】
（1） 解： 二次函數，
拋物線的對稱軸為直線，，
又 圖象經過點，，，
二次函數的解析式為.
（2） 點向上平移2個單位長度，向左平移個單位長度， 平移后的點為.
又在的圖象上，
，
解得或（舍去），.
（3） ,當 時，
最大值與最小值的差為，
解得（不符合題意，舍去）.當時，最大值與最小值的差為，符合題意.
當時，最大值與最小值的差為，解得或，不符合題意.
綜上所述，的取值范圍為.
第2課時 二次函數與幾何綜合題（6年3考）
重難點突破
類型1 線段問題
例1 已知拋物線與軸交于,兩點,與軸交于點.
（1） 求拋物線的解析式;
（2） 如圖1,設拋物線的頂點為,若是拋物線對稱軸上一點,且,求點的坐標;
例1題圖1
（3） 如圖2,設拋物線的頂點為,若是軸上一點,當的值最小時,求點的坐標;
例1題圖2
（4） 如圖3,連接,若是第一象限內拋物線上一動點,過點作軸交于點,求線段的最大值.
例1題圖3
【答案】（1） 解:拋物線經過點,, 將,代入,得，解得， 拋物線的解析式為.
（2） 解:易得拋物線的對稱軸為直線 點在拋物線的對稱軸上, 設點的坐標為，令,則,解得或,，,.,,解得, 點的坐標為.
（3） 解:如解圖,作點關于軸的對稱點,連接,與軸的交點即為的值最小時點的位置.
由（1）可知拋物線的解析式為, 拋物線的頂點坐標為, 由對稱的性質得, 設直線的解析式為,
例1題解圖
將代入，解得, 直線的解析式為,令,解得. 點的坐標為.
（4） 解:由,得,直線的解析式為,
設點的坐標為,則點的
坐標為，
.， 當
時,取得最大值,最大值為.
【解析】
（2） 【思路點撥】設點 的坐標，利用兩點之間的距離，表示出線段長，利用等量關系求解.
（3） 【思路點撥】將軍飲馬問題，作點 的對稱點，當，，三點共線時，線段和取得最小值.
（4） 【思路點撥】設點 的坐標，利用兩點之間的距離，表示出 的長，利用二次函數的性質即可求解.
類型2 面積問題
例2 如圖1,二次函數的圖象與軸交于,兩點,與軸交于點,連接.
例2題圖1
（1） 求的面積;
（2） 如圖2,是直線下方拋物線上一點（點 不與點,重合）,連接,,若 ,求點的坐標;
例2題圖2
（3） 如圖3,是直線下方拋物線上一點（點 不與點,重合）,當點運動到什么位置時,四邊形的面積最大 求出此時點的坐標和四邊形面積的最大值;
例2題圖3
（4） 如圖4,是線段上的動點（點 不與點,重合）,過點作交于點,連接,求面積的最大值和此時點的坐標.
例2題圖4
【答案】
（1） 解:令,則，
解得,，
,，
.
令,則，
，，.
（2） 解：，，
，.
又 點為直線下方拋物線上一點，
.將代入,得,，
點的坐標為.
（3） 解：由（1）知,,,，
又由,易得直線的解析式為.
如圖3，過點作軸，交直線于點.
設,則,
,
,
.，, 當時,四邊形
的面積取得最大值,最大值為，此時點的坐標為.
（4） 解：設，,，
,,，.
，，.
,
.，, 當時,的面積取得最大值,最大值為，此時點的坐標為.
【解析】
（1） 【思路點撥】利用三角形面積公式求解即可.【思路點撥】 與 有公共邊，由三角形面積公式，結合同底等高的三角形面積相等求解.
（3） 【思路點撥】利用分割法，將四邊形 分割為 與，則，為定值，要求 的最大值，即求 的最大值，過點 作 軸的平行線，利用面積公式，結合二次函數性質求解即可.
（4） 【思路點撥】設點 的橫坐標為,由 和 等高,,利用面積比等于線段比,從而用含 的式子表示出 的面積,再結合二次函數的增減性求解.
類型3 特殊圖形存在性問題
例3 已知拋物線與軸交于,兩點（點 在點 的左側）,與軸交于點,對稱軸為直線,點為拋物線的頂點.
（1） 如圖1,若是拋物線對稱軸上一點,當是等腰三角形時,求出點的坐標;
例3題圖1
（2） 如圖2,連接,已知是線段的中點,點從原點出發,在軸的正半軸上以每秒1個單位長度的速度向上勻速運動,設運動時間為秒,當為何值時,是以為斜邊的直角三角形 求出此時點的坐標;
例3題圖2
（3） 如圖3,若是拋物線上一點,點是軸上一點,當以點,,,為頂點的四邊形是平行四邊形時,求出點的坐標;
例3題圖3
（4） 如圖4,若是軸上一點,是平面內任意一點,當以點,,,為頂點的四邊形是矩形時,求出點的坐標.
例3題圖4
【答案】
（1） 解:,
拋物線對稱軸為直線,點的坐標為.
點在拋物線對稱軸上， 設點的坐標為，
令,則,解得,.
點在點左側,,,
,,.
是等腰三角形， 分三種情況討論：
①當時,即 ,解得,此時點的坐標為;②當時,即,解得或（舍去），此時點的坐標為;③當時,即,解得,,此時點的坐標為或.綜上所述,點的坐標為或或或.
（2） 解：由（1）知，令,得,是
的中點,， 點在軸正半軸上， 設點
P的坐標為,,,
,是以
為斜邊的直角三角形，,即，解得或， 點的坐標為或.
（3） 解：如解圖,由（1）知,①當為平行四邊形的邊時,若點在軸上方,滿足，,
例3題解圖
當時,,解得,,即,此時,若點在軸下方，,,故不存在;②當為平行四邊形的對角線時,滿足,.同①得,即點,重合,此時.綜上所述,點的坐標為或.
（4） 解:由（2）知,,,
設點的坐標為,
,,，
①當為矩形的邊時,顯然 ,
則,
即,
解得, 點的坐標為;
②當為矩形的對角線時,顯然 ,
此時點與原點重合,點的坐標為.
綜上所述,點的坐標為或.
【解析】
（1） 【思路點撥】當 是等腰三角形時,分,,三種情況討論,設出點 的坐標,分別表示出 的三邊長,根據等腰三角形的性質列出等量關系求解即可.
（2） 【思路點撥】先根據中點坐標公式求出點 的坐標,再根據題意設出點 的坐標，表示出,,后利用勾股定理列方程求解即可.
（3） 【思路點撥】分 為平行四邊形的邊和 為平行四邊形的對角線兩種情況進行討論,分別計算求出點 的坐標.
（4） 【思路點撥】分 為矩形的邊和 為矩形的對角線兩種情況進行討論,分別計算求出點 的坐標.
類型4 角度、相似三角形問題
例4 已知拋物線與軸交于,兩點（點 在點 左側）,與軸交于點,對稱軸為直線.
（1） 如圖1,若點是拋物線對稱軸上一點,當 時,求點的坐標;
例4題圖1
（2） 如圖2,若點是第一象限內拋物線上一點,過點作軸于點,當以點,,為頂點的三角形與相似時,求出點的橫坐標;
例4題圖2
（3） 如圖3,若點是第一象限內拋物線上一點,過點作軸于點,連接,,當時,求直線的解析式.
例4題圖3
【答案】
（1） 解:根據題意可得拋物線的對稱軸為直線,
點是拋物線對稱軸上的點，
點的橫坐標為.令,則，解得,，
點在點左側,,.令,則,,, .如圖1,連接, ， ,,.
（2） 解：如解圖,軸于點， ,
要使與相似，只需有一個銳角相等.
①當時,，
由（1）知,，，，
設直線的解析式為，
把,代入，得，解得.
直線的解析式為， 直線的解析式為，
聯立,解得或（舍去），
點的橫坐標為;
例4題解圖
②當時，,
,.設點的坐標為,則點的坐標為，,,,，解得或（舍去）， 點的橫坐標為.綜上所述,點的橫坐標為或.
（3） 解:如解圖,設與軸交于點，
例4題解圖
軸，
.
，
.
，
，
.
設,則，，
在中,由勾股定理得，
,解得,
.
設所在直線的解析式為，
把,代入，
得,解得,
直線的解析式為.
【解析】
（1） 【思路點撥】根據 可得 ，從而求得 的度數,后求解即可.
（2） 【思路點撥】分兩種情況討論：和 分別求解即可.
（3） 【思路點撥】通過角度關系和勾股定理求得 與 軸的交點坐標,再利用待定系數法求解即可.
新疆6年中考真題及拓展
1．[2020新疆23題]如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線的頂點是，將繞點順時針旋轉 后得到，點恰好在拋物線上，與拋物線的對稱軸交于點.
第1題圖
（1） 求拋物線的解析式；
（2） 是線段上一動點，且不與點，重合，過點作平行于軸的直線，與的邊分別交于，兩點，將以直線為對稱軸翻折，得到，設點的縱坐標為.
① 當在內部時，求的取值范圍；
② 是否存在點，使？若存在，求出滿足條件的值；若不存在，請說明理由.
【答案】
（1） 解： 拋物線的頂點是，
可設拋物線的解析式為
.
繞點順時針旋轉 后得到，
.
把代入，解得，
拋物線的解析式為，
即.
（2） ① ，
直線的解析式為.
，.
，，，
由題意,得，
.
② 存在點,使.
易得直線的解析式為，直線的解析式為，不妨設點在點的左邊，
當點在軸上及軸上方時，點在上，點在上，,，，
，
.
（ⅰ）當點在點上方時，,,
.
,,
,
解得（舍去），.
（ⅱ）當點在點下方，且點在軸或軸上方時，,，
.
,,
此時方程無解;
當點在軸下方時，,點在上，點在上，,，,
，,.
同理可得，
整理，得,
解得（舍去）,.
綜上所述，滿足條件的的值為或.
2．[2019新疆23題]如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過，，三點.
第2題圖
（1） 求拋物線的解析式及頂點的坐標；
（2） 將（1）中的拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到新拋物線.若新拋物線的頂點在內，求的取值范圍；
（3） 點為線段上一動點（點 不與點，重合），過點作軸的垂線交（1）中的拋物線于點，當與相似時，求的面積.
【答案】
（1） 解：設拋物線的解析式為
，
將代入，得，解得，
故拋物線的解析式為.
,
頂點的坐標為，.
（2） 拋物線向下平移個單位長度，再向左平移
個單位長度，得到新拋物線的頂點，
易得直線的解析式為，
直線的解析式為,
將點的坐標代入直線的解析式，
得，解得，
將點的坐標代入直線的解析式，
得，解得,
的取值范圍為.
（3） 如解圖，設直線交軸于點,
第2題解圖
由題意，得， .
軸， ,
.
易得，，
設，，
則，.
①當時，
，即，
解得或（舍去），
,
;
②當時，
,即,
解得或（舍去），
,
.
綜上所述，的面積為或.
3．[2023新疆23題]【建立模型】
（1） 如圖1，點是線段上的一點，，，，垂足分別為，，，.求證：；
第3題圖
【類比遷移】
（2） 如圖2，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉 得到，直線交軸于點.
① 求點的坐標；
② 求直線的解析式；
【拓展延伸】
（3） 如圖3，拋物線與軸交于，兩點（點 在點 的左側），與軸交于點，已知點，連接.拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標.
【答案】
（1） 證明:，,,
，
， ,
.
在和中，,
.
（2） ① 解：如解圖1，過點作軸于點，根據題意，得.
由（1）同理得，，
，.
易得一次函數的圖象與軸交點為,與軸交點為,
，,
點的坐標為.
第3題解圖1
② 設直線的解析式為，
將,代入中，
得,解得,
直線的解析式為.
（3） 解:存在.對于，
當時，，
，，
，
.
,.
①如解圖2，當點在上方時，過點作交的延長線于點，則.
第3題解圖2
過點作軸,過點,分別作于點，于點,
易得，
.
軸,
,
,
設，，則，,
點的坐標為.
把代入中，得
,
解得（舍去），,
點的橫坐標是.
②如解圖3，當點在下方時，過點作交的延長線于點，則.
第3題解圖3
過點作軸，交軸于點，過點作于點，
易得，
.
由題可知
，
設,,則,，
點的坐標為，
把代入中,得
,
解得（舍去），,
點的橫坐標是.
綜上所述，點的橫坐標是或.
拓展訓練
4．[2024甘肅省卷]如圖1，拋物線交軸于，兩點，頂點為，點為的中點.
第4題圖
（1） 求拋物線的解析式；
（2） 過點作，垂足為，交拋物線于點.求線段的長；
（3） 點為線段上一動點（點除外），在右側作平行四邊形.
① 如圖2，當點落在拋物線上時，求點的坐標；
② 如圖3，連接，，求的最小值.
【答案】
（1） 解：由題意，得，
將點的坐標代入上式，得，
解得， 拋物線的解析式為.
（2） 由（1）知，，由中點坐標公式得點，當時，，則.
（3） ① 由（2）知，，
當時，，
則（不合題意的值已舍去），
即點，.
② 方法一：
設點，則點，
如解圖1，過點作直線軸，作點關于直線的對稱點，連接,，
第4題解圖
則，當，，共線時，為最小，
由，的坐標得，直線的表達式為，
將點的坐標代入上式得，
解得，則點，點，
則的最小值為；
方法二：如解圖2，作點關于軸的對稱點，連接，，，
則，.
為的中點，，.
，，.
又，，
則，則，當，，共線時，
為最小，
則，
即的最小值為.第15講 二次函數綜合題
第1課時 二次函數性質綜合題（2021.23）
重難點突破
重難點 二次函數最值問題
利用對稱性、增減性判斷函數值的大小 拋物線上任意一點到其對稱軸的距離記為,則有:相等,值相等;時，越大,值越大,越小,值越小; 時,越大,值越小,越小，值越大
自變量區間范圍內利用增減性求最值 定軸定區間 若（,均為定值），先判斷對稱軸在不在區間內. ①當區間在對稱軸左側（右側），在區間的端點處取最值，當拋物線的開口向上時，離對稱軸越近的點函數值越小;當拋物線的開口向下時，離對稱軸越近的點函數值越大； ②當區間包含對稱軸時，在對稱軸處和區間的一個端點處（離對稱軸遠的端點）取最值
定軸動區間 當區間在對稱軸的左側時 當區間在對稱軸的右側時 當區間包含對稱軸，且左距大于右距時 當區間包含對稱軸，且左距小于右距時
動軸定區間 當對稱軸在區間的右側時 當對稱軸在區間的左側時 當區間包含對稱軸，且左距大于右距時 當區間包含對稱軸，且左距小于右距
例 [2024威海改編]已知拋物線與軸交點的坐標分別為，，且.
（1） 若拋物線與軸交點的坐標分別為，，且，試判斷下列每組數據的大小.（填“ ”“”或“ ”）
________；
________；
________.
（2） 若，，點，均在拋物線上，試比較，的大小.
（3） 當時，最大值與最小值的差為，求的值.
【解析】
（1） 【思路點撥】將原拋物線向上平移1個單位，得到新的拋物線，標注新、舊拋物線與 軸的交點坐標，通過變換進行比較即可.
（2） 【思路點撥】利用拋物線與 軸的交點坐標，判斷出對稱軸的范圍，利用點到對稱軸的距離，結合函數的增減性，判斷即可.
（3） 【思路點撥】自變量的取值范圍固定，一次項系數不確定，利用軸動區間定討論最值位置，進而求解.
新疆6年中考真題及拓展
1．[2021新疆23題]已知拋物線．
（1） 求拋物線的對稱軸；
（2） 把拋物線沿軸向下平移個單位，若拋物線的頂點落在軸上，求的值；
（3） 設點，在拋物線上，若，求的取值范圍．
拓展訓練
2．[2024廣西]課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于的二次函數的最值問題展開探究.
【經典回顧】二次函數求最值的方法.
（1） 老師給出，求二次函數的最小值.
① 請你寫出對應的函數解析式；
② 求當取何值時，函數有最小值，并寫出此時的值.
【舉一反三】老師給出更多的值，同學們即求出對應的函數在取何值時，的最小值.記錄結果，并整理成如表：
… 0 2 4 …
… * 2 0 …
的最小值 … * …
注：*為②的計算結果.
【探究發現】老師：“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格，談談你的發現.”
甲同學：“我發現，老師給了值后，我們只要取，就能得到的最小值.”
乙同學：“我發現，的最小值隨值的變化而變化，當由小變大時，的最小值先增大后減小，所以我猜想的最小值中存在最大值.”
（2） 請結合函數解析式，解釋甲同學的說法是否合理.
（3） 你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由.
3．[2024浙江]已知二次函數（，為常數）的圖象經過點，對稱軸為直線.
（1） 求二次函數的解析式；
（2） 若點向上平移2個單位長度，向左平移個單位長度后，恰好落在的圖象上，求的值；
（3） 當時，二次函數的最大值與最小值的差為，求的取值范圍.
第2課時 二次函數與幾何綜合題（6年3考）
重難點突破
類型1 線段問題
例1 已知拋物線與軸交于,兩點,與軸交于點.
（1） 求拋物線的解析式;
（2） 如圖1,設拋物線的頂點為,若是拋物線對稱軸上一點,且,求點的坐標;
例1題圖1
（3） 如圖2,設拋物線的頂點為,若是軸上一點,當的值最小時,求點的坐標;
例1題圖2
（4） 如圖3,連接,若是第一象限內拋物線上一動點,過點作軸交于點,求線段的最大值.
例1題圖3
【解析】
（2） 【思路點撥】設點 的坐標，利用兩點之間的距離，表示出線段長，利用等量關系求解.
（3） 【思路點撥】將軍飲馬問題，作點 的對稱點，當，，三點共線時，線段和取得最小值.
（4） 【思路點撥】設點 的坐標，利用兩點之間的距離，表示出 的長，利用二次函數的性質即可求解.
類型2 面積問題
例2 如圖1,二次函數的圖象與軸交于,兩點,與軸交于點,連接.
例2題圖1
（1） 求的面積;
（2） 如圖2,是直線下方拋物線上一點（點 不與點,重合）,連接,,若 ,求點的坐標;
例2題圖2
（3） 如圖3,是直線下方拋物線上一點（點 不與點,重合）,當點運動到什么位置時,四邊形的面積最大 求出此時點的坐標和四邊形面積的最大值;
例2題圖3
（4） 如圖4,是線段上的動點（點 不與點,重合）,過點作交于點,連接,求面積的最大值和此時點的坐標.
例2題圖4
【解析】
（1） 【思路點撥】利用三角形面積公式求解即可.【思路點撥】 與 有公共邊，由三角形面積公式，結合同底等高的三角形面積相等求解.
（3） 【思路點撥】利用分割法，將四邊形 分割為 與，則，為定值，要求 的最大值，即求 的最大值，過點 作 軸的平行線，利用面積公式，結合二次函數性質求解即可.
（4） 【思路點撥】設點 的橫坐標為,由 和 等高,,利用面積比等于線段比,從而用含 的式子表示出 的面積,再結合二次函數的增減性求解.
類型3 特殊圖形存在性問題
例3 已知拋物線與軸交于,兩點（點 在點 的左側）,與軸交于點,對稱軸為直線,點為拋物線的頂點.
（1） 如圖1,若是拋物線對稱軸上一點,當是等腰三角形時,求出點的坐標;
例3題圖1
（2） 如圖2,連接,已知是線段的中點,點從原點出發,在軸的正半軸上以每秒1個單位長度的速度向上勻速運動,設運動時間為秒,當為何值時,是以為斜邊的直角三角形 求出此時點的坐標;
例3題圖2
（3） 如圖3,若是拋物線上一點,點是軸上一點,當以點,,,為頂點的四邊形是平行四邊形時,求出點的坐標;
例3題圖3
（4） 如圖4,若是軸上一點,是平面內任意一點,當以點,,,為頂點的四邊形是矩形時,求出點的坐標.
例3題圖4
【解析】
（1） 【思路點撥】當 是等腰三角形時,分,,三種情況討論,設出點 的坐標,分別表示出 的三邊長,根據等腰三角形的性質列出等量關系求解即可.
（2） 【思路點撥】先根據中點坐標公式求出點 的坐標,再根據題意設出點 的坐標，表示出,,后利用勾股定理列方程求解即可.
（3） 【思路點撥】分 為平行四邊形的邊和 為平行四邊形的對角線兩種情況進行討論,分別計算求出點 的坐標.
（4） 【思路點撥】分 為矩形的邊和 為矩形的對角線兩種情況進行討論,分別計算求出點 的坐標.
類型4 角度、相似三角形問題
例4 已知拋物線與軸交于,兩點（點 在點 左側）,與軸交于點,對稱軸為直線.
（1） 如圖1,若點是拋物線對稱軸上一點,當 時,求點的坐標;
例4題圖1
（2） 如圖2,若點是第一象限內拋物線上一點,過點作軸于點,當以點,,為頂點的三角形與相似時,求出點的橫坐標;
例4題圖2
（3） 如圖3,若點是第一象限內拋物線上一點,過點作軸于點,連接,,當時,求直線的解析式.
例4題圖3
可得 ，從而求得 的度數,后求解即可.
（2） 【思路點撥】分兩種情況討論：和 分別求解即可.
（3） 【思路點撥】通過角度關系和勾股定理求得 與 軸的交點坐標,再利用待定系數法求解即可.
新疆6年中考真題及拓展
1．[2020新疆23題]如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線的頂點是，將繞點順時針旋轉 后得到，點恰好在拋物線上，與拋物線的對稱軸交于點.
第1題圖
（1） 求拋物線的解析式；
（2） 是線段上一動點，且不與點，重合，過點作平行于軸的直線，與的邊分別交于，兩點，將以直線為對稱軸翻折，得到，設點的縱坐標為.
① 當在內部時，求的取值范圍；
② 是否存在點，使？若存在，求出滿足條件的值；若不存在，請說明理由.
2．[2019新疆23題]如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過，，三點.
第2題圖
（1） 求拋物線的解析式及頂點的坐標；
（2） 將（1）中的拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到新拋物線.若新拋物線的頂點在內，求的取值范圍；
（3） 點為線段上一動點（點 不與點，重合），過點作軸的垂線交（1）中的拋物線于點，當與相似時，求的面積.
3．[2023新疆23題]【建立模型】
（1） 如圖1，點是線段上的一點，，，，垂足分別為，，，.求證：；
第3題圖
【類比遷移】
（2） 如圖2，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉 得到，直線交軸于點.
① 求點的坐標；
② 求直線的解析式；
【拓展延伸】
（3） 如圖3，拋物線與軸交于，兩點（點 在點 的左側），與軸交于點，已知點，連接.拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標.
拓展訓練
4．[2024甘肅省卷]如圖1，拋物線交軸于，兩點，頂點為，點為的中點.
第4題圖
（1） 求拋物線的解析式；
（2） 過點作，垂足為，交拋物線于點.求線段的長；
（3） 點為線段上一動點（點除外），在右側作平行四邊形.
① 如圖2，當點落在拋物線上時，求點的坐標；
② 如圖3，連接，，求的最小值.

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