資源簡介

第7講 一元二次方程及其應用
知識精講練
了解一元二次方程的根與系數的關系.（刪除“*”，改為必學）
知識點1 一元二次方程及其解法
概念 等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2的方程
一般形式 ,,為常數，
解法 直接開平方法 （1）方程缺少一次項，即; （2）形如的方程
配方法 適用于：二次項系數化為1后，一次項系數為偶數的一元二次方程 步驟： （1）移項：將常數項移到方程的右邊； （2）變形：將二次項系數化為1； （3）配方：方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方； （4）求解：用直接開平方法求解
公式法 求根公式：① 使用求根公式時：（1）要先將方程化為一般式，再利用公式求解；，，代入公式時應注意其符號
因式分解法 通過因式分解，轉化為一次方程求解： 或，求得的值
【易錯提醒】方程求解過程中，等式兩邊不能同時約去含有相同未知數的因式，避免丟根
知識點2 一元二次方程根的判別式
概念 一般地，式子叫做一元二次方程的根的判別式
根的情況與判別式的關系 ② 一元二次方程有兩個不相等的實數根； （2） 一元二次方程有兩個③ 的實數根； 一元二次方程④ 實數根
【溫馨提示】根據根的情況求字母系數的值時應注意： （1）使用之前一定要把方程化為一般形式，以便正確找出，，的值； （2）若題目中未指明已知方程為一元二次方程，則應分情況討論
知識點3 一元二次方程根與系數的關系
根與系數的關系 若,是一元二次方程的兩根，則⑤ ，⑥
根與系數關系的代數式變形： ; ;
知識點4 一元二次方程的實際應用
增長（下降）率問題 （1）增長率 若起始量為，平均增長率為，終止量為，增長次數為2，則有 （2）降低率 若起始量為，平均降低率為，終止量為，降低次數為2，則有⑦
每每問題 （1）利潤售價-成本，總利潤每件利潤×銷售量; （2）若單價每漲價元，少賣出件，則漲價元，少賣出的件數為
面積問題 （1）基本圖形面積公式.如矩形面積長×寬 （2）圖形之間的面積關系.如圖所示，陰影部分面積總面積-空白部分面積 ⑧ ⑨ ⑩
循環問題 （1）單循環比賽問題（握手）：每兩隊之間比賽一場，則隊共比賽的場數為; （2）雙循環問題（互送禮物）：全班有人，每人向其他人送一份禮物，則共送出禮物的份數為
考點小練
1．若是關于的一元二次方程，則滿足____________.
2．按要求解下列方程：
（1） （配方法）；
（2） （公式法）；
（3） （因式分解法）.
3．已知關于的方程.
（1） 若是該一元二次方程的一個根，則為__________，
該方程的另一個根為____________；
（2） 若，則該一元二次方程根的情況是__________；
（3） 若該一元二次方程有實數根，則的取值范圍為________________________;
（4） 若該方程有實數根，則的取值范圍為____________.
4．[2024眉山]已知方程的兩根分別為，，則的值為________.
5．已知，是方程的兩個實數根，且，則的值為________.
6．某班學生在畢業時，每個同學都要給其他同學寫一份留言紀念，全班同學共寫了1980份留言，若設全班有名學生，則可列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7．我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步.設寬為步，根據題意可列方程：______________________.
重難點突破
重難點1 一元二次方程根的判別式
例1 [2024黑龍江多地市改編]已知關于的方程.
（1） 若該方程有實數根，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
（2） 若該方程為一元二次方程.
① 該方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為________________________；
② 該方程有兩個相等的實數根，則的值為________；
③ 該方程沒有實數根，則的取值范圍為____________.
當二次項系數含未知數，且題干未說明方程為一元二次方程時，應分類討論二次項系數，不要忽略二次項系數為0的情況.
重難點2 一元二次方程根與系數的關系
例2
（1） 已知關于的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是__________；
（2） 設 ， 是一元二次方程的兩個根，則________，________.
直接利用根與系數的關系求解；
將根代入一元二次方程，利用根與系數的關系，結合拆項法求解.
重難點3 一元二次方程的實際應用
例3 某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續增加，在售價不變的基礎上，3月的銷售量達到576個，設2，3兩個月的銷售量月平均增長率不變.
（1） 求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；
（2） 從4月起，在3月銷售量的基礎上，商場決定降價促銷.經調查發現，售價在35元至40元范圍內，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個.這種臺燈售價定為多少時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元？
設增長率為，根據題意列方程求解；
設降價錢數為，根據利潤單個利潤×銷售量，列出方程求解.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 一元二次方程及其解法（6年2考）
1．[2023新疆6題]用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．[2021新疆6題]一元二次方程的解為（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
拓展訓練
3．[2024涼山州]若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（ ）
A. 2 B. C. 2或 D.
命題點2 一元二次方程根的判別式（6年4考）
4．[2022新疆6題]若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5．[2019新疆6題]若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
6．[2020新疆5題]下列一元二次方程中，有兩個不相等實數根的是（ ）
A. B.
C. D.
7．[2024新疆12題4分]關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為__________.
拓展訓練
8．[2024濰坊]已知關于的一元二次方程，其中，滿足，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（ ）
A. 無實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 有兩個不相等的實數根 D. 無法確定
命題點3 一元二次方程根與系數的關系
拓展訓練
9．[2024綏化]小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是和.則原來的方程是（ ）
A. B.
C. D.
10．[2024煙臺]一元二次方程的兩根為，，則的值為________.
命題點4 一元二次方程的實際應用（6年2考）
11．[2022新疆8題]臨近春節的三個月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個月的銷售額為8萬元，第三個月的銷售額為11.52萬元，設這兩個月銷售額的月平均增長率為，則根據題意，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
12．[2019新疆7題]在某籃球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽36場. 設有個隊參賽，根據題意，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
拓展訓練
13．[2024云南]兩年前生產1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產技術的進步，現在生產1千克甲種藥品的成本為60元.設甲種藥品成本的年平均下降率為，根據題意，下列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
14．[2023龍東地區改編]如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是__________.
第14題圖第7講 一元二次方程及其應用
知識精講練
了解一元二次方程的根與系數的關系.（刪除“*”，改為必學）
知識點1 一元二次方程及其解法
概念 等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2的方程
一般形式 ,,為常數，
解法 直接開平方法 （1）方程缺少一次項，即; （2）形如的方程
配方法 適用于：二次項系數化為1后，一次項系數為偶數的一元二次方程 步驟： （1）移項：將常數項移到方程的右邊； （2）變形：將二次項系數化為1； （3）配方：方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方； （4）求解：用直接開平方法求解
公式法 求根公式：① 使用求根公式時：（1）要先將方程化為一般式，再利用公式求解；，，代入公式時應注意其符號
因式分解法 通過因式分解，轉化為一次方程求解： 或，求得的值
【易錯提醒】方程求解過程中，等式兩邊不能同時約去含有相同未知數的因式，避免丟根
知識點2 一元二次方程根的判別式
概念 一般地，式子叫做一元二次方程的根的判別式
根的情況與判別式的關系 ② 一元二次方程有兩個不相等的實數根； （2） 一元二次方程有兩個③相等的實數根； 一元二次方程④無實數根
【溫馨提示】根據根的情況求字母系數的值時應注意： （1）使用之前一定要把方程化為一般形式，以便正確找出，，的值； （2）若題目中未指明已知方程為一元二次方程，則應分情況討論
知識點3 一元二次方程根與系數的關系
根與系數的關系 若,是一元二次方程的兩根，則⑤ ，⑥
根與系數關系的代數式變形： ; ;
知識點4 一元二次方程的實際應用
增長（下降）率問題 （1）增長率 若起始量為，平均增長率為，終止量為，增長次數為2，則有 （2）降低率 若起始量為，平均降低率為，終止量為，降低次數為2，則有⑦
每每問題 （1）利潤售價-成本，總利潤每件利潤×銷售量; （2）若單價每漲價元，少賣出件，則漲價元，少賣出的件數為
面積問題 （1）基本圖形面積公式.如矩形面積長×寬 （2）圖形之間的面積關系.如圖所示，陰影部分面積總面積-空白部分面積 ⑧ ⑨ ⑩
循環問題 （1）單循環比賽問題（握手）：每兩隊之間比賽一場，則隊共比賽的場數為; （2）雙循環問題（互送禮物）：全班有人，每人向其他人送一份禮物，則共送出禮物的份數為
考點小練
1．若是關于的一元二次方程，則滿足____________.
【答案】
2．按要求解下列方程：
（1） （配方法）；
（2） （公式法）；
（3） （因式分解法）.
【答案】
（1） 解：，
，
，即，，
，.
（2） 解：，
，，，
，
，
，.
（3） 解：整理方程得，
分解因式得，解得，.
3．已知關于的方程.
（1） 若是該一元二次方程的一個根，則為__________，
該方程的另一個根為____________；
（2） 若，則該一元二次方程根的情況是__________；
（3） 若該一元二次方程有實數根，則的取值范圍為________________________;
（4） 若該方程有實數根，則的取值范圍為____________.
【答案】（1） ；
（2） 無實數根
（3） 且
（4）
4．[2024眉山]已知方程的兩根分別為，，則的值為________.
【答案】
5．已知，是方程的兩個實數根，且，則的值為________.
【答案】
6．某班學生在畢業時，每個同學都要給其他同學寫一份留言紀念，全班同學共寫了1980份留言，若設全班有名學生，則可列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
7．我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步.設寬為步，根據題意可列方程：______________________.
【答案】
重難點突破
重難點1 一元二次方程根的判別式
例1 [2024黑龍江多地市改編]已知關于的方程.
（1） 若該方程有實數根，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
（2） 若該方程為一元二次方程.
① 該方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為________________________；
② 該方程有兩個相等的實數根，則的值為________；
③ 該方程沒有實數根，則的取值范圍為____________.
【答案】（1） A
（2） ① 且
②
③
當二次項系數含未知數，且題干未說明方程為一元二次方程時，應分類討論二次項系數，不要忽略二次項系數為0的情況.
重難點2 一元二次方程根與系數的關系
例2
（1） 已知關于的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是__________；
（2） 設 ， 是一元二次方程的兩個根，則________，________.
直接利用根與系數的關系求解；
將根代入一元二次方程，利用根與系數的關系，結合拆項法求解.
【答案】（1）
（2） ；
重難點3 一元二次方程的實際應用
例3 某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續增加，在售價不變的基礎上，3月的銷售量達到576個，設2，3兩個月的銷售量月平均增長率不變.
（1） 求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；
（2） 從4月起，在3月銷售量的基礎上，商場決定降價促銷.經調查發現，售價在35元至40元范圍內，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個.這種臺燈售價定為多少時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元？
設增長率為，根據題意列方程求解；
設降價錢數為，根據利潤單個利潤×銷售量，列出方程求解.
【答案】
（1） 解：設2，3兩個月的銷售量月平均增長率為，
依題意，得，
解得，（不符合題意，舍去）.
答：2，3兩個月的銷售量月平均增長率為.
（2） 解：解法一：設這種臺燈每個降價元時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元，依題意，得，整理，得，解得，（不符合題意，舍去），當時，.
答：這種臺燈售價定為38元時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元.
解法二：設這種臺燈售價定為元時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元，
依題意，得，
整理，得，
解得，（不符合題意，舍去）.
答：這種臺燈售價定為38元時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元.
新疆6年中考真題及拓展
命題點1 一元二次方程及其解法（6年2考）
1．[2023新疆6題]用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．[2021新疆6題]一元二次方程的解為（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
拓展訓練
3．[2024涼山州]若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（ ）
A. 2 B. C. 2或 D.
【答案】A
命題點2 一元二次方程根的判別式（6年4考）
4．[2022新疆6題]若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2019新疆6題]若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】D
6．[2020新疆5題]下列一元二次方程中，有兩個不相等實數根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7．[2024新疆12題4分]關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為__________.
【答案】
拓展訓練
8．[2024濰坊]已知關于的一元二次方程，其中，滿足，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（ ）
A. 無實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 有兩個不相等的實數根 D. 無法確定
【答案】C
命題點3 一元二次方程根與系數的關系
拓展訓練
9．[2024綏化]小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是和.則原來的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
10．[2024煙臺]一元二次方程的兩根為，，則的值為________.
【答案】
命題點4 一元二次方程的實際應用（6年2考）
11．[2022新疆8題]臨近春節的三個月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個月的銷售額為8萬元，第三個月的銷售額為11.52萬元，設這兩個月銷售額的月平均增長率為，則根據題意，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
12．[2019新疆7題]在某籃球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽36場. 設有個隊參賽，根據題意，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
拓展訓練
13．[2024云南]兩年前生產1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產技術的進步，現在生產1千克甲種藥品的成本為60元.設甲種藥品成本的年平均下降率為，根據題意，下列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
14．[2023龍東地區改編]如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是__________.
第14題圖
【答案】

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