資源簡(jiǎn)介

第3講 整式及因式分解
知識(shí)精講練
①會(huì)把具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算.（改動(dòng)）
②理解（改動(dòng)）乘法公式，，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理（新增）.
③了解代數(shù)推理.（新增）
知識(shí)點(diǎn)1 代數(shù)式及其求值
代數(shù)式的概念 用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式；單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式
列代數(shù)式 把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)
代數(shù)式求值 直接代入法 把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來(lái)的運(yùn)算順序計(jì)算求值
整體代入法 把已知代數(shù)式看成一個(gè)整體代入所求代數(shù)式中計(jì)算求值，這種方法常需要對(duì)已知代數(shù)式或要求值的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，一般會(huì)用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式等
知識(shí)點(diǎn)2 整式的相關(guān)概念
單項(xiàng)式 概念：數(shù)或字母的積表示的式子，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式 系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù) 次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和
多項(xiàng)式 概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和 項(xiàng)：多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng) 次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，如的次數(shù)為2
整式 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式
同類(lèi)項(xiàng) 所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)，所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)
知識(shí)點(diǎn)3 整式的運(yùn)算
加減運(yùn)算 實(shí)質(zhì) 整式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是合并同類(lèi)項(xiàng)
合并同類(lèi)項(xiàng) （1）字母和字母的指數(shù)不變； （2）系數(shù)相加減作為新的系數(shù)
去括號(hào)法則 （1）括號(hào)前面是“”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都不變號(hào); （2）括號(hào)前面是“-”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都變號(hào)
冪的運(yùn)算（ ， 為正整數(shù)） （1）同底數(shù)冪相乘:底數(shù)不變，指數(shù)相加,即① ； （2）同底數(shù)冪相除:底數(shù)不變，指數(shù)相減,即② ； （3）冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘,即③ ； （4）積的乘方：先把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘,即④
乘法運(yùn)算 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式 把它們的系數(shù)與同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式如：⑤
單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加：
多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，如：⑥
完全平方公式 公式：⑦ 幾何背景： 【溫馨提示】完全平方公式的常見(jiàn)變形： ; ; ; ; ⑤
平方差公式 公式:⑧ 幾何背景： 【溫馨提示】平方差公式的變形: ; ; ③;
除法運(yùn)算 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，作為商的一個(gè)因式，對(duì)于只在被除式中含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式如：
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加如：
知識(shí)點(diǎn)4 因式分解
概念 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的⑨ 的形式
基本方法 提公因式法
公式法
十字相乘法
一般步驟 一提：有公因式，先提公因式; 二套:沒(méi)有公因式，兩項(xiàng)考慮運(yùn)用平方差公式，三項(xiàng)考慮運(yùn)用完全平方公式; 三檢查：檢查因式分解是否徹底,必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止
【溫馨提示】（1）分解因式與整式乘法是互逆運(yùn)算,可用整式乘法檢驗(yàn)分解因式的正確性; （2）因式分解最終的結(jié)果一定是乘積的形式
考點(diǎn)小練
1．
（1） 將糖裝入個(gè)包裝袋中，每袋糖的質(zhì)量相同，每袋裝入糖________；
（2） 購(gòu)買(mǎi)1個(gè)單價(jià)為元的面包和3瓶單價(jià)為元的飲料，所需錢(qián)數(shù)為_(kāi)___________元；
（3） 每天完成的工作量為，則完成的工作量所需時(shí)間為_(kāi)_______天.
2．若代數(shù)式的值為3，則的值為_(kāi)___________.
3．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 不是整式 B. 和是同類(lèi)項(xiàng)
C. 是三次二項(xiàng)式 D. 的系數(shù)和次數(shù)都是3
4．若與是同類(lèi)項(xiàng)，則的值為_(kāi)_________.
5．[2024德陽(yáng)]下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
6．計(jì)算：
（1） ____________；
（2） ____________；
（3） ____________；
（4） ____________________;
（5） ________________;
（6） ________________________;
（7） ______________________;
（8） ______________;
（9） ____________________;
（10） ____________;
（11） ______________.
7．若，，且，都是正整數(shù)，則____________.
（用含，的代數(shù)式表示）
8．下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
9．分解因式：
（1） __________________;
（2） ________________________;
（3） __________________;
（4） __________________.
新疆6年中考真題及拓展
命題點(diǎn)1 代數(shù)式及其求值（2024.10）
1．[2024新疆10題4分]若每個(gè)籃球30元，則購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球需________元.
拓展訓(xùn)練
2．【人教七上P82 T7變式】，兩地相距，甲、乙兩人駕車(chē)分別以，的速度從地到地，且甲用的時(shí)間較少.
（1） 甲比乙少用的時(shí)間用代數(shù)式表示為_(kāi)_____________；
（2） 當(dāng)，，時(shí)，甲比乙少用的時(shí)間為_(kāi)___________.
命題點(diǎn)2 整式的運(yùn)算（必考）
3．[2023新疆5題]計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
4．[2024新疆3題4分]下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
5．[2024新疆13題4分]如圖，在正方形中，若面積，周長(zhǎng)，則__________.
第5題圖
拓展訓(xùn)練
6．[2024煙臺(tái)]下列計(jì)算結(jié)果為的是（ ）
A. B. C. D.
7．[2024蘭州]計(jì)算：（ ）
A. B. C. D.
8．[2024樂(lè)山]已知，，則__________.
9．將一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形紙片，用剪刀沿圖1中的虛線(xiàn)剪開(kāi)，分成四塊形狀和大小都一樣的小矩形紙片，然后按圖2的方式拼成一個(gè)正方形，則中間小正方形的面積為_(kāi)_____________.
第9題圖
命題點(diǎn)3 整式的化簡(jiǎn)與求值（6年2考）
答題規(guī)范
示范題：（2024甘肅省卷）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，. 第一步：展開(kāi)完全平方式與平方差公式 解：原式 第二步：合并同類(lèi)項(xiàng) 第三步：去括號(hào) 第四步：進(jìn)行除法計(jì)算 第五步：代值計(jì)算 當(dāng)，時(shí)，原式
10．[2023新疆16（2）題].
11．[2020新疆17題]先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.
拓展訓(xùn)練
12．[2024赤峰節(jié)選]已知，求代數(shù)式的值.
命題點(diǎn)4 因式分解（2020.11）
13．[2020新疆11題]分解因式：______________________.
拓展訓(xùn)練
14．[2024江西]因式分解：________________.
15．[2024達(dá)州]分解因式：__________________.
命題點(diǎn)5 規(guī)律探索（2022.9）
16．[2022新疆9題]將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
第16題圖
按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個(gè)數(shù)是（ ）
A. 98 B. 100 C. 102 D. 104第3講 整式及因式分解
知識(shí)精講練
①會(huì)把具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算.（改動(dòng)）
②理解（改動(dòng)）乘法公式，，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理（新增）.
③了解代數(shù)推理.（新增）
知識(shí)點(diǎn)1 代數(shù)式及其求值
代數(shù)式的概念 用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式；單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式
列代數(shù)式 把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)
代數(shù)式求值 直接代入法 把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來(lái)的運(yùn)算順序計(jì)算求值
整體代入法 把已知代數(shù)式看成一個(gè)整體代入所求代數(shù)式中計(jì)算求值，這種方法常需要對(duì)已知代數(shù)式或要求值的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，一般會(huì)用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式等
知識(shí)點(diǎn)2 整式的相關(guān)概念
單項(xiàng)式 概念：數(shù)或字母的積表示的式子，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式 系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù) 次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和
多項(xiàng)式 概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和 項(xiàng)：多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng) 次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，如的次數(shù)為2
整式 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式
同類(lèi)項(xiàng) 所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)，所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)
知識(shí)點(diǎn)3 整式的運(yùn)算
加減運(yùn)算 實(shí)質(zhì) 整式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是合并同類(lèi)項(xiàng)
合并同類(lèi)項(xiàng) （1）字母和字母的指數(shù)不變； （2）系數(shù)相加減作為新的系數(shù)
去括號(hào)法則 （1）括號(hào)前面是“”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都不變號(hào); （2）括號(hào)前面是“-”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都變號(hào)
冪的運(yùn)算（ ， 為正整數(shù)） （1）同底數(shù)冪相乘:底數(shù)不變，指數(shù)相加,即① ； （2）同底數(shù)冪相除:底數(shù)不變，指數(shù)相減,即② ； （3）冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘,即③ ； （4）積的乘方：先把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘,即④
乘法運(yùn)算 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式 把它們的系數(shù)與同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式如：⑤
單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加：
多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，如：⑥
完全平方公式 公式：⑦ 幾何背景： 【溫馨提示】完全平方公式的常見(jiàn)變形： ; ; ; ; ⑤
平方差公式 公式:⑧ 幾何背景： 【溫馨提示】平方差公式的變形: ; ; ③;
除法運(yùn)算 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，作為商的一個(gè)因式，對(duì)于只在被除式中含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式如：
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加如：
知識(shí)點(diǎn)4 因式分解
概念 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的⑨積的形式
基本方法 提公因式法
公式法
十字相乘法
一般步驟 一提：有公因式，先提公因式; 二套:沒(méi)有公因式，兩項(xiàng)考慮運(yùn)用平方差公式，三項(xiàng)考慮運(yùn)用完全平方公式; 三檢查：檢查因式分解是否徹底,必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止
【溫馨提示】（1）分解因式與整式乘法是互逆運(yùn)算,可用整式乘法檢驗(yàn)分解因式的正確性; （2）因式分解最終的結(jié)果一定是乘積的形式
考點(diǎn)小練
1．
（1） 將糖裝入個(gè)包裝袋中，每袋糖的質(zhì)量相同，每袋裝入糖________；
（2） 購(gòu)買(mǎi)1個(gè)單價(jià)為元的面包和3瓶單價(jià)為元的飲料，所需錢(qián)數(shù)為_(kāi)___________元；
（3） 每天完成的工作量為，則完成的工作量所需時(shí)間為_(kāi)_______天.
【答案】（1）
（2）
（3）
2．若代數(shù)式的值為3，則的值為_(kāi)___________.
【答案】
3．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 不是整式 B. 和是同類(lèi)項(xiàng)
C. 是三次二項(xiàng)式 D. 的系數(shù)和次數(shù)都是3
【答案】B
4．若與是同類(lèi)項(xiàng)，則的值為_(kāi)_________.
【答案】
5．[2024德陽(yáng)]下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
6．計(jì)算：
（1） ____________；
（2） ____________；
（3） ____________；
（4） ____________________;
（5） ________________;
（6） ________________________;
（7） ______________________;
（8） ______________;
（9） ____________________;
（10） ____________;
（11） ______________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
7．若，，且，都是正整數(shù)，則____________.
（用含，的代數(shù)式表示）
【答案】
8．下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
9．分解因式：
（1） __________________;
（2） ________________________;
（3） __________________;
（4） __________________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
新疆6年中考真題及拓展
命題點(diǎn)1 代數(shù)式及其求值（2024.10）
1．[2024新疆10題4分]若每個(gè)籃球30元，則購(gòu)買(mǎi)個(gè)籃球需________元.
【答案】
拓展訓(xùn)練
2．【人教七上P82 T7變式】，兩地相距，甲、乙兩人駕車(chē)分別以，的速度從地到地，且甲用的時(shí)間較少.
（1） 甲比乙少用的時(shí)間用代數(shù)式表示為_(kāi)_____________；
（2） 當(dāng)，，時(shí)，甲比乙少用的時(shí)間為_(kāi)___________.
【答案】（1）
（2）
命題點(diǎn)2 整式的運(yùn)算（必考）
3．[2023新疆5題]計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024新疆3題4分]下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024新疆13題4分]如圖，在正方形中，若面積，周長(zhǎng)，則__________.
第5題圖
【答案】
拓展訓(xùn)練
6．[2024煙臺(tái)]下列計(jì)算結(jié)果為的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
7．[2024蘭州]計(jì)算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．[2024樂(lè)山]已知，，則__________.
【答案】
9．將一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形紙片，用剪刀沿圖1中的虛線(xiàn)剪開(kāi)，分成四塊形狀和大小都一樣的小矩形紙片，然后按圖2的方式拼成一個(gè)正方形，則中間小正方形的面積為_(kāi)_____________.
第9題圖
【答案】
命題點(diǎn)3 整式的化簡(jiǎn)與求值（6年2考）
答題規(guī)范
示范題：（2024甘肅省卷）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，. 第一步：展開(kāi)完全平方式與平方差公式 解：原式 第二步：合并同類(lèi)項(xiàng) 第三步：去括號(hào) 第四步：進(jìn)行除法計(jì)算 第五步：代值計(jì)算 當(dāng)，時(shí)，原式
10．[2023新疆16（2）題].
解：原式
.
11．[2020新疆17題]先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.
解：原式
，
當(dāng)時(shí)，原式.
拓展訓(xùn)練
12．[2024赤峰節(jié)選]已知，求代數(shù)式的值.
解：原式
.
，
.
當(dāng)時(shí)，
原式.
命題點(diǎn)4 因式分解（2020.11）
13．[2020新疆11題]分解因式：______________________.
【答案】
拓展訓(xùn)練
14．[2024江西]因式分解：________________.
【答案】
15．[2024達(dá)州]分解因式：__________________.
【答案】
命題點(diǎn)5 規(guī)律探索（2022.9）
16．[2022新疆9題]將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
第16題圖
按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個(gè)數(shù)是（ ）
A. 98 B. 100 C. 102 D. 104
【答案】B

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