資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.4.1 一元一次方程的應用
學習目標與重難點
學習目標：
1. 掌握用一元一次方程解決簡單實際問題的基本步驟，能用一元一次方程解決簡單的實際問題。
2. 經歷用一元一次方程解決簡單實際問題，發展學生邏輯思維和解決問題的能力
3. 感受數學建模的過程，體會數學在實際生活中的應用，發展用數學解決實際問題的意識
學習重點：掌握用一元一次方程解決簡單實際問題的基本步驟
學習難點：找出等量關系，列出正確的方程，能用一元一次方程解決簡單的實際問題
預習自測
1.一種商品的原價是90元，現在打八折銷售仍可獲利20%，則此商品的進價是（ ）元．
A．72 B．86.4 C．60 D．14.4
2.甲、乙兩數的和是2.53，乙數的小數點向右移動一位就會與甲數相等，則甲數是（ ）
A．0.23 B．2.3 C．0.023 D．23
3.甲組有33個人，乙組有27個人，從乙組調若干人到甲組后，甲組的人數恰好是乙組人數的3倍，則變化后乙組的人數有（ ）人．
A．12 B．13 C．14 D．15
教學過程
一、問題提出、導入新課
一艘輪船在甲、乙兩個碼頭之間航行，順水航行時需 4 h，逆水航行時需5 h。已知水流速度為2 km/h，則輪船在靜水中的航行速度是多少？
本題的等量關系是：
三、合作交流、新知探究
探究一：一元一次方程的應用
教材第111頁
想一想：順水航行與逆水航行對輪船的速度有影響嗎？是如何影響輪船的航行速度的呢？
嘗試解這個問題：
練一練：例1：某房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數與凳子腿數的和為60條，有幾張椅子和幾條凳子？
本題的等量關系是：
嘗試解這個問題：
例2：刺繡是我國民間傳統手工藝之一。我國刺繡主要有湘繡、蘇繡、蜀繡、粵繡四大類。若刺繡一件作品，甲單獨繡需要 15 天才能完成，乙單獨繡需要 12 天才能完成。現在甲先單獨繡 1 天，接著乙又單獨繡 4天，剩下的工作由甲、乙兩人合繡。
試問：再合繡多少天可以完成這件作品？
本題的等量關系：
完成下表：
工作效率 工作時間 工作總量
甲
乙
嘗試解這個問題：
做一做：結合上述 3個實例，用流程圖總結用一元一次方程解決有關實際問題的具體步驟，并與同學交流。
三、自主檢測
1.如圖，已知正方形的邊長為4，甲、乙兩動點分別從正方形ABCD的頂點A、C同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環行，乙點依逆時針方向環行，若乙的速度是甲的速度的3倍，則它們第2018次相遇在邊 ．
2.一件工作，甲單獨做15小時完成，乙單獨做10小時完成．甲先單獨做9小時后因事離開，余下的任務由乙單獨完成，則乙還需要 小時才能完成此工作．
3.《九章算術》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四”意思是：有一群人共同出資買某物品，每人出8錢，盈余3錢；每人出7錢，不足4錢．那么根據條件，該物品值 錢．
4.如圖，已知A，B兩點在數軸上，點A表示的數為 15，OB=2OA，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向右運動．點N以每秒2個單位長度的速度從點O向右運動（點M、點N同時出發）
(1)數軸上點B對應的數是______；
(2)經過幾秒，點M、點N到原點O的距離相等？
(3)當點M運動到什么位置時，恰好使AM=3BN？
5.2024年春節即將來臨，甲、乙兩單位準備組織退休職工到某風景區游玩．甲、乙兩單位共人，其中甲單位人數多于乙單位人數，且甲單位人數不夠人．經了解，該風景區的門票價格如下表：
數量張 張及以上
單價元張 元 元 元
如果兩單位分別單獨購買門票，一共應付5500元．
如果甲、乙兩單位聯合起來購買門票，那么比各自購買門票共可以節省多少錢？
甲、乙兩單位各有多少名退休職工準備參加游玩？
如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么你有幾種購買方案？通過比較，你該如何購買門票才能最省錢？
知識點總結
用一元一次方程解決實際問題的基本步驟：
分析實際題目找出等量關系
設出未知數列出方程
解一元一次方程
檢驗解的合理性
答案
預習自測
1.【答案】C
【解析】設進價為x元，然后根據題意列一元一次方程求解即可．
解：設進價為x元，
90×80%-x=0.2x
解得x=60
所以該商品的進價為60元．
故選C．
2.【答案】B
【解析】本題主要考查了一元一次方程的應用，設甲數為x，則乙數為2.53-x，根據乙數的小數點向右移動一位就會與甲數相等，即甲數是乙數的10倍列出方程求解即可．
【詳解】解：設甲數為x，則乙數為2.53-x，
由題意得，x=10（2.53-x），
解得x=2.3，
故選：B．
3.【答案】D
【解析】本題考查一元一次方程的應用，設從乙組調x人到甲組，根據變化后甲組的人數恰好是乙組人數的3倍，列出方程進行求解即可．
解：設從乙組調x人到甲組，由題意，得：
33+x=3（27-x），
解得：x=12，
∴27-12=15，即：變化后乙組的人數有15人；
故選D．
自主檢測
1.【答案】DC
【解析】此題利用行程問題中的相遇問題，根據乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地點，找出規律即可解答．
解：正方形的邊長為4，因為乙的速度是甲的速度的3倍，時間相同，甲乙所行的路程比為1：3，把正方形的每一條邊平均分成2份，由題意知：
第一次相遇甲乙行的路程和為8，甲行的路程為8×=2，乙行的路程為8-2=6，在AD邊相遇；
第二次相遇甲乙行的路程和為16，甲行的路程為16×=4，乙行的路程為16-4=12，在DC邊相遇；
第三次相遇甲乙行的路程和為16，甲行的路程為16×=4，乙行的路程為16-4=12，在CB邊相遇；
第四次相遇甲乙行的路程和為16，甲行的路程為16×=4，乙行的路程為16-4=12，在AB邊相遇；
∵2018=504×4+2，∴甲、乙第2018次相遇在邊DC上．
故答案為：DC．
2.【答案】4
【解析】甲單獨做15小時，每小時完成，乙單獨做10小時，效率為．甲單獨做9小時，完成了，剩下留給乙完成．假設乙需要x小時，則可以根據方程1即可求解．
【詳解】解：假設乙還需要x小時完成此工作．
1，
解得x＝4．
故答案為：4．
3.【答案】53
【解析】根據題意設一共有x人，列出一元一次方程，解出人數，則可求出該物品值多少錢．
【詳解】解：設：一共有x人，
8x-3=7x+4
解得：x=7，
∴8x-3=56-3=53，
∴該物品值53錢，
故答案為：53．
4.【答案】(1)30
(2)經過3秒或15秒后，點M，點N到原點O的距離相等；
(3)經過10秒或30秒后，恰好使AM=3BN．
【解析】（1）根據點A表示的數為-15，OB=2OA，可得點B對應的數；
（2）根據題意，列出方程可解出時間x的值；
（3）根據題意，列出方程可解出時間t的值．
（1）解：OB=2OA=30．
故B對應的數是30．
故答案為：30；
（2）解：設經過x秒，點M、點N到原點O的距離相等，
點M表示的數為3x-15，點N表示的數為2x，
根據題意得：2x=|3x-15|，
∴2x=3x-15或2x=15-3x，
解得：x=15或x=3，
答：經過3秒或15秒后，點M，點N到原點O的距離相等；
（3）解：設經過t秒，AM=3BN
AM=3t，點N表示的數為2t，則BN=|30-2t|，
根據題意得：3t=3|30-2t|，
∴3t=3(30-2t)或3t=3(2t-30)，
解得：t=10或t=30，
答：經過10秒或30秒后，恰好使AM=3BN．
5.【答案】見解析
【解析】解：
如果甲、乙兩單位聯合起來購買門票需元，
則比各自購買門票共可以節省：元；
設甲單位有退休職工人，則乙單位有退休職工人．
依題意得：，
解得：．
則乙單位退休職工人數為：．
答：甲單位有名退休職工，乙單位有名退休職工準備參加游玩；
甲單位有名退休職工，有名退休職工因身體原因不能外出游玩，故剩余人需要購買門票，
方案一：各自購買門票需元；
方案二：聯合購買門票需元；
方案三：聯合購買張門票需元；
因為，
故應該甲乙兩單位聯合起來選擇按元一張購買張門票最省錢．
本題考查了列一元一次方程解決實際問題，設計方案建立方程求出各單位退休職工的人數是關鍵．
運用分別購票的費用和聯合購票的費用就可以得出結論；
設甲單位有退休職工人，則乙單位有退休職工人，根據“如果兩單位分別單獨購買門票，一共應付元”建立方程求出其解即可；
有三種方案：方案一：各自購買門票；方案二：聯合購買門票；方案三：聯合購買張門票．分別求出三種方案的付費，比較即可．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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