資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定1
學習目標：
1）理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法。
2）理解平行線分線段成比例定理推論過程。
3）運用平行線分線段成比例定理進行三角形相似證明及計算。
學習重點：掌握平行線分線段成比例定理和推論。
學習難點：運用平行線分線段成比例定理進行三角形相似證明及計算。
老師告訴你
“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”，這個定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構成相似三角形，因此在解有關三角形相似的題中，常常作平行線構造三角形與已知三角形相似。
在線段較多的圖形中尋找相似三角形時，如果圖中有線段平行的條件，那么在圖形中尋找符合“A”字形或“X”字形的基本圖形，這種方法是解答此類題常用的方法。
一、知識點撥
知識點1 、平行線分線段成比例
1．平行線分線段成比例的基本事實：
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
如圖所示，l3∥l4∥l5，直線l1，l2被l3，l4，l5所截，那么＝，＝，＝，….
2.要點解讀
(1)對應線段是指兩條平行線所截的線段，如AB與DE是對應線段，BC與EF是對應線段，AC與DF是對應線段．
(2)對應線段成比例是指同一直線上的兩條線段的比，等于另一條直線上與它們對應的線段的比．
【新知導學】
例1-1．如圖,直線,直線AC分別交,,于點A,B,C；直線DF分別交,,于點D,E,F.且,,則的值為( )
A. B. C. D.
例1-2．如圖,已知,直線,,分別交直線于點A、B、C,交直線于點D、E、F,那么下列比例式正確的是( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．如圖，在中，點D，E分別在AB，AC上，，下列比例式中，不正確的是( )
A. B. C. D.
2．在中,D.F.E分別在邊BC.AB.AC上一點,連接BE交FD于點G,若四邊形AFDE是平行四邊形,則下列說法錯誤的是( )
A. B. C. D.
3．如圖①,在中,點D、E分別是AB、AC上的點,.
(1)若,,,求CE的長.
(2)連接BE,作交AC于點F,如圖②,求證：.
知識點2 、平行線分線段成比例的基本事實應用在三角形上的結論：
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例．如圖①②③所示，若DE∥BC，則有＝，＝，＝.
【新知導學】
例2-1．如圖,在中,點D、E分別在、上,.若,,則的值為( )
A. B. C. D.2
例2-2．如圖，已知在中，點D，E，F分別是邊AB，AC，BC上的點，，，且，則( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．如圖,裝有某種液體的工業用桶中放置有一根攪拌棍.工人師傅為了解桶內所裝液體的體積,先在攪拌棍所處桶孔位置做好標記點A,并取出；然后測得攪拌棍接觸到液體部分m,攪拌棍A到底端D處的長度為,最后測量出桶的高為,圓桶內壁的底面直徑為.已知桶內的液面與桶底面平行,其平面示意圖如圖2所示.請你根據以上數據,幫工人師傅計算出桶內所裝液體的體積(結果保留)
2．如圖，已知，，，，.
（1）求CE的長；
（2）求AB的長.
3．如圖，點D、E是邊，上的點，，連接，，交點為F，，那么的值是___________.
4．如圖，已知點F在AB上，且，點D是BC延長線上一點，，連接FD、AC，交于點N，則___________.
知識點3、 用平行線判定三角形相似
定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．
因為DE∥BC，所以圖①②③中，△ABC∽△ADE.
注意：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊的延長線相交，所構成的三角形與原三角形也相似，如圖①③.在用此定理判定兩個三角形相似時，只需DE∥BC這一條件就能確定△ABC∽△ADE，不必再用定義進行判定，其推理形式：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
【新知導學】
例3-1.如圖，線段、交于點，下列條件中，不能判定和相似的是（ ）

A． B．
C． D．
例3-2 .如圖，，則圖中相似三角形共有（ ）對．

A．3 B．4 C．5 D．6
【對應導練】
1 .如圖，平行四邊形ABCD中，過點B的直線與對角線AC、邊AD分別交于點E和F，過點E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形有（ ）
A．7對 B．6對 C．5對 D．4對
2 .如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，△DEF的面積與△BAF的面積之比為9：16，則DE：EC＝_____．
3 .如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE是直徑，交BC于點H，點D在上，連接AD，CD過點E作EF∥BC交AD的延長線于點F，延長BC交AF于點G．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的長．
二、題型訓練
1.利用平行線分線段成比例證明比例線段
1．在中，D為BC邊的中點，E為AC邊上任意一點，BE交AD于點O，李瑞同學在研究某一問題時，發現：
（1）當時，有（如圖①）；
（2）當時，有（如圖②）；
（3）當時，有（如圖③）.
在圖④中，當（n為正整數）時，參照上述研究結論，請用含n的代數式表示的一般結論并證明.
2．請閱讀以下材料，并完成相應的問題：
角平分線分線段成比例定理，如圖1，在中，AD平分，則.
下面是這個定理的部分證明過程.
證明：如圖2，過點C作.交BA的延長線于點E.
任務：
(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；
(2)如圖3，已知中，，，，AD平分，求的周長.
.
3．如圖，在中，D是上一點，E是內一點，，過點D作的平行線交的延長線于點與交于點P，求證：.
2.利用平行線分線段成比例證明三角形相似
4．已知：如圖，AC、BD相交于點O，E在AC上，F在BD上，且，.
（1）求BF的長；
（2）當，時，求EF的長.
5 .如圖，在中，點D，E，F分別在上，．設，
(1)證明：
(2)求的長．
6．由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個三角形相似；由教科書中實踐操作可得基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
(1)請依據上面定義和事實，完成下列問題：
①已知，如圖甲，中，點、分別在、上，且．
問：與相似嗎？試證明．
②你得到的結論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形________．
(2)依據（1）中②的結論完成下列問題：
已知，如圖乙，在和中，，．
①問：與相似嗎？試證明．
②你得到的結論是：________________的兩個三角形相似．
3.利用平行線分線段成比例求線段長度
7．如圖，已知，它們依次交直線于點和.若，，
（1）求的長.
（2）如果，求的長.
8．如圖,EG∥BC,GF∥DC,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.
9．如圖，在中，點F在上.
求線段的長.
三、課堂達標
一、單選題：（每小題4分，共32分）
1．在中，點、分別在邊、上，，那么下列條件中能夠判斷的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知線段、、，作線段，使，下列每個圖的兩條虛線都是平行線，則正確的作法是（　　）
A． B．
C． D．
3．如圖，直線，直線分別交，，于點，，，直線分別，，于點，，，若，，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知：在中，點D為上一點，過點D作的平行線交于點E，過點E作的平行線交于點F，連接，交于點K，則下列說法不正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，F是平行四邊形的邊上一點，直線交的延長線于點E，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，點P是 ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有（ ）
A．0對 B．1對 C．2對 D．3對
7．如圖，在平面直角坐標系中，點是第一象限內一點，過點作軸于點，連接，點是線段上一點，且．反比例函數的圖像經過點，與交于點．若，則的長為（ ）
A． B．2 C． D．3
8 .如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，則EC的長是
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
二、填空題：（每小題4分，共20分）
9．如圖，l1l2l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，則EF=_______．
10．如圖，、是三角形的邊、上的點，，已知，，，則________．
11．如圖、已知AD、BC相交于點O，，如果，，，那么______．
12．如圖，點是的弦延長線上一點，連接，取的中點，若，垂足為點，，則的長為_______．
13．如圖，有一塊紙質直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中點，現從中切出一條矩形紙條DEFG，其中E，F在BC上，點G在AB上．若BF＝4.5cm，CE＝2cm，則紙條GD的長為 _____．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．如圖，，直線m，n與a，b，c分別相交于點A，B，C和點D，E，F.若，，求的長.
15．如圖，已知直線，，分別截直線于點A，B，C，截直線于點D，E，F，且.
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，求的長.
16．已知:如圖所示, 是中的外角的平分線.求證: 。
17．如圖,梯形中, ,點是邊的中點,聯結并延長交的延長線于點,交于點.
（1）.若,,求線段的長;
（2）求證: .
18.如圖：△ABC中，MDAB，MNAE．求證：＝．
19 .如圖，已知，與相交于點，點在線段上，，．
(1)求證：；
(2)求．
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定1
學習目標：
1）理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法。
2）理解平行線分線段成比例定理推論過程。
3）運用平行線分線段成比例定理進行三角形相似證明及計算。
學習重點：掌握平行線分線段成比例定理和推論。
學習難點：運用平行線分線段成比例定理進行三角形相似證明及計算。
老師告訴你
“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”，這個定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構成相似三角形，因此在解有關三角形相似的題中，常常作平行線構造三角形與已知三角形相似。
在線段較多的圖形中尋找相似三角形時，如果圖中有線段平行的條件，那么在圖形中尋找符合“A”字形或“X”字形的基本圖形，這種方法是解答此類題常用的方法。
一、知識點撥
知識點1 、平行線分線段成比例
1．平行線分線段成比例的基本事實：
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
如圖所示，l3∥l4∥l5，直線l1，l2被l3，l4，l5所截，那么＝，＝，＝，….
2.要點解讀
(1)對應線段是指兩條平行線所截的線段，如AB與DE是對應線段，BC與EF是對應線段，AC與DF是對應線段．
(2)對應線段成比例是指同一直線上的兩條線段的比，等于另一條直線上與它們對應的線段的比．
【新知導學】
例1-1．如圖,直線,直線AC分別交,,于點A,B,C；直線DF分別交,,于點D,E,F.且,,則的值為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵直線
∴
故選：C.
例1-2．如圖,已知,直線,,分別交直線于點A、B、C,交直線于點D、E、F,那么下列比例式正確的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：A.∵,
∴,故A正確；
B.根據無法判斷,故B錯誤；
C.∵,
∴,
∵,
∴,故C錯誤；
D.∵,
∴,
∵,
∴,故D錯誤.
故選：A.
【對應導練】
1．如圖，在中，點D，E分別在AB，AC上，，下列比例式中，不正確的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，，
，，，
選項A、B、D均正確，選項C錯誤
.故選C.
2．在中,D.F.E分別在邊BC.AB.AC上一點,連接BE交FD于點G,若四邊形AFDE是平行四邊形,則下列說法錯誤的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵四邊形AFDE是平行四邊形,
∴,.
∴.
故A錯誤；
∵,
∴.
故B正確；
∵,
∴,.
∴.
故C正確；
∵,,
∴,.
∴.
故D正確.
故選：A.
3．如圖①,在中,點D、E分別是AB、AC上的點,.
(1)若,,,求CE的長.
(2)連接BE,作交AC于點F,如圖②,求證：.
答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)如圖①.
∵,∴,即,∴,∴；
(2)如圖②.
∵,∴.
∵,∴,∴,∴.
知識點2 、平行線分線段成比例的基本事實應用在三角形上的結論：
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例．如圖①②③所示，若DE∥BC，則有＝，＝，＝.
【新知導學】
例2-1．如圖,在中,點D、E分別在、上,.若,,則的值為( )
A. B. C. D.2
答案：A
解析：∵,,
∴,
∵,
∴；
故選：A.
例2-2．如圖，已知在中，點D，E，F分別是邊AB，AC，BC上的點，，，且，則( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，.
，
.，
.
故選A.
【對應導練】
1．如圖,裝有某種液體的工業用桶中放置有一根攪拌棍.工人師傅為了解桶內所裝液體的體積,先在攪拌棍所處桶孔位置做好標記點A,并取出；然后測得攪拌棍接觸到液體部分m,攪拌棍A到底端D處的長度為,最后測量出桶的高為,圓桶內壁的底面直徑為.已知桶內的液面與桶底面平行,其平面示意圖如圖2所示.請你根據以上數據,幫工人師傅計算出桶內所裝液體的體積(結果保留)
答案：桶內所裝液體的體積為立方米
解析：由題意得,,
,
,解得：,
∴桶內所裝液體的體積(立方米).
答：桶內所裝液體的體積為立方米.
2．如圖，已知，，，，.
（1）求CE的長；
（2）求AB的長.
答案：（1）
（2）
解析：（1），，即，
解得，則.
（2），，
即，解得.
3．如圖，點D、E是邊，上的點，，連接，，交點為F，，那么的值是___________.
答案：/
解析：如圖所示，過D作，交于G，
則，即：，，
，即：，
∴.
故答案為：.
4．如圖，已知點F在AB上，且，點D是BC延長線上一點，，連接FD、AC，交于點N，則___________.
答案：
解析：如圖，過點F作，交AC于點E，
，，，
，即.
，.
，，
即.
知識點3、 用平行線判定三角形相似
定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．
因為DE∥BC，所以圖①②③中，△ABC∽△ADE.
注意：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊的延長線相交，所構成的三角形與原三角形也相似，如圖①③.在用此定理判定兩個三角形相似時，只需DE∥BC這一條件就能確定△ABC∽△ADE，不必再用定義進行判定，其推理形式：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
【新知導學】
例3-1.如圖，線段、交于點，下列條件中，不能判定和相似的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題中已知是對頂角，應用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．
【詳解】解：A、由，能判定故本選項不符合題意．
B、由能判定，故本選項不符合題意．
C、由、能判定，故本選項不符合題意．
D、已知兩組對應邊的比相等：，但其夾角不一定對應相等，不能判定和相似，故本選項符合題意．
故選：D
【點睛】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似．
例3-2 .如圖，，則圖中相似三角形共有（ ）對．

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】因為是公共角，，所以可得；易得，所以，可得；所以共有4對．
【詳解】∵
∴，
∴，
∴；
∴共有4對．
故選：B
【點睛】本題考查相似三角形的判定：有兩組對應角相等的三角形相似．
【對應導練】
1 .如圖，平行四邊形ABCD中，過點B的直線與對角線AC、邊AD分別交于點E和F，過點E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形有（ ）
A．7對 B．6對 C．5對 D．4對
【答案】C
【分析】
根據平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根據相似三角形的判定定理：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或其它兩邊的延長線，所截的三角形與原三角形相似即可推出其它各對三角形相似．
【詳解】
圖中相似三角形有△ABC∽△CDA,△AGE∽△ABC,△AFE∽△CBE,△BGE∽△BAF,△AGE∽△CDA共5對，
理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC,AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，
∴△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC,AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE.
故選：C.
【點睛】
本題考查相似三角形的判定, 平行四邊形的性質.
2 .如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，△DEF的面積與△BAF的面積之比為9：16，則DE：EC＝_____．
【答案】3：1
【分析】
根據平行四邊形的性質可得出DE∥AB、DC＝AB，進而可得出△DEF∽△BAF，根據相似三角形的性質可得出，再結合EC＝CD DE即可求出結論．
【詳解】
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DE∥AB，DC＝AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵△DEF的面積與△BAF的面積之比為9：16，
∴，
∵．
故答案為3：1．
3 .如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE是直徑，交BC于點H，點D在上，連接AD，CD過點E作EF∥BC交AD的延長線于點F，延長BC交AF于點G．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的長．
【答案】（1）見解析；（2），
【分析】
（1）因為AE是直徑，所以只需證明EFAE即可；
（2）因EF∥BG，可利用，將要求的EF的長與已知量建立等量關系；因四邊形ABCD是圓內接四邊形，可證得，由此建立CD與已知量之間的等量關系．
【詳解】
（1）證明：∵AB＝AC，
．
又∵AE是O的直徑，
．
．
∵AB=AC，
∴AEBC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EFAE．
∴EF是O的切線．
（2）如圖所示，連接OC，設O的半徑為r．
在Rt△COH中，
∵，
又∵OH=AH-OA=3-r，
解得，．
∵EF∥BC，
∴．
∵四邊形ABCD內接于，
【點睛】
本題考查了等腰三角形的性質、垂徑定理及推論、相似三角形的判定與性質、圓內接四邊形的性質等知識點，熟知上述各類圖形的判定或性質是解題的基礎，尋找未知量與已知量之間的等量關系是關鍵。
二、題型訓練
1.利用平行線分線段成比例證明比例線段
1．在中，D為BC邊的中點，E為AC邊上任意一點，BE交AD于點O，李瑞同學在研究某一問題時，發現：
（1）當時，有（如圖①）；
（2）當時，有（如圖②）；
（3）當時，有（如圖③）.
在圖④中，當（n為正整數）時，參照上述研究結論，請用含n的代數式表示的一般結論并證明.
答案：（n為正整數）.證明見解析
解析：（n為正整數）.證明如下：
過D作交AC于F，如圖，
，，.
，，，
，，
（n為正整數）.
2．請閱讀以下材料，并完成相應的問題：
角平分線分線段成比例定理，如圖1，在中，AD平分，則.
下面是這個定理的部分證明過程.
證明：如圖2，過點C作.交BA的延長線于點E.
任務：
(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；
(2)如圖3，已知中，，，，AD平分，求的周長.
答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)證明：如圖2，過C作.交BA的延長線于E，
，
，，，
，
，
，
.
(2)如圖3，，，，
，
AD平分，
，即，
，
，
的周長.
3．如圖，在中，D是上一點，E是內一點，，過點D作的平行線交的延長線于點與交于點P，求證：.
答案：證明：,
2.利用平行線分線段成比例證明三角形相似
4．已知：如圖，AC、BD相交于點O，E在AC上，F在BD上，且，.
（1）求BF的長；
（2）當，時，求EF的長.
答案：（1）4
（2）4
解析：（1）
（2）
，
，
，
，
，
5 .如圖，在中，點D，E，F分別在上，．設，
(1)證明：
(2)求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)4．
【分析】（1）利用可直接得到；
（2）利用平行線分線段成比例可得：，從而代入求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
（2）∵，
．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與平行線分線段成比例，掌握由平行判斷相似的方法和平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
6．由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個三角形相似；由教科書中實踐操作可得基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
(1)請依據上面定義和事實，完成下列問題：
①已知，如圖甲，中，點、分別在、上，且．
問：與相似嗎？試證明．
②你得到的結論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形________．
(2)依據（1）中②的結論完成下列問題：
已知，如圖乙，在和中，，．
①問：與相似嗎？試證明．
②你得到的結論是：________________的兩個三角形相似．
【答案】(1)①相似；證明見解析；②相似
(2)①相似；證明見解析；②兩邊對應成比例，夾角相等
【分析】（1）①過點D作DF∥AC，利用三角形相似的定義證明即可；②由①可知平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似；
（2）①根據兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明；②由①中可知兩邊成比例且夾角相等，可以判定三角形相似進而可得答案．
【詳解】（1）①相似．
證明如下：如圖，過點D作交BC于點F
易得：四邊形DECF是平行四邊形，即DE=FC
由已知得 ，，
∵DE∥BC
∴
又∵DF∥AC
∴
∴
∴由相似三角形定義得：∽．
② 解：由①可知平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似
故答案為：相似．
（2）①相似．
證明如下：如圖，在AB上取一點D，使，過點D作交AC于點E
∵，，
∴∽
∴，， ，
∵，，
∴
∴
在和中，
∴≌（SAS）
又∵∽
∴ ∽．
②解：由題意知，兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似
故答案為：兩邊對應成比例，夾角相等．
【點睛】本題考查相似三角形的定義及事實的應用，全等三角形的判定，平行線的性質．理解題意綜合運用知識是解決本題的關鍵．
3.利用平行線分線段成比例求線段長度
7．如圖，已知，它們依次交直線于點和.若，，
（1）求的長.
（2）如果，求的長.
答案：（1）
即
又∵,即
∴
(2)過A作交BE于H，交CF于G
∵
∴
又∵
又∵
故
8．如圖,EG∥BC,GF∥DC,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.
答案：∵EG∥BC,
∴.
又∵GF∥DC,
∴.
∴,即.
∴FD=4.
∴AD=AF+FD=10.
9．如圖，在中，點F在上.
求線段的長.
答案：
又四邊形是平行四邊形，
三、課堂達標
一、單選題：（每小題4分，共32分）
1．在中，點、分別在邊、上，，那么下列條件中能夠判斷的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可先假設，由平行得出其對應線段成比例，進而可得出結論．
【詳解】如圖，
可假設，
∵
∴，故A選項錯誤，
，故D選項錯誤；
反過來，當時，不能得到，故B選項錯誤；
當時，能得到，故C選項正確；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了由平行線分線段成比例來判定兩條直線是平行線的問題，能夠熟練掌握并運用．
2．已知線段、、，作線段，使，下列每個圖的兩條虛線都是平行線，則正確的作法是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據平行線分線段成比例定理判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
觀察選項可知，選項B符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理，找準對應關系是解題的關鍵．
3．如圖，直線，直線分別交，，于點，，，直線分別，，于點，，，若，，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據平行線分線段成比列得到，代入數值即可求解．
【詳解】 直線 ，
，
，
，
．
故答案為： ．
【點睛】本題考查平行線線段成正比例，解題的關鍵是明確題意，找出問題所求的關鍵．
4．已知：在中，點D為上一點，過點D作的平行線交于點E，過點E作的平行線交于點F，連接，交于點K，則下列說法不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行線分線段成比例，逐一進行判斷即可；
【詳解】A、∵，∴；選項正確，不符合題意；
B、∵，∴；選項正確，不符合題意；
C、∵，∴；選項錯誤，符合題意；
D、∵，∴；
∵，∴；
∴；選項正確，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例．熟練掌握平行線分線段對應成比例，是解題的關鍵．
5．如圖，F是平行四邊形的邊上一點，直線交的延長線于點E，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據平行線分線段成比例逐個選項判斷即可．
【詳解】∵平行四邊形
∴，，，，
∵
∴，故選項A正確，不符合題意；
，故選項B正確；，不符合題意
∵
∴，故選項C錯誤，符合題意；
∴，故選項D正確，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例，利用平行四邊形得到平行進而得到比例是解題的關鍵．
6．如圖，點P是 ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有（ ）
A．0對 B．1對 C．2對 D．3對
【答案】D
【解析】
試題分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質得出即可．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3對相似三角形．
故選D．
7．如圖，在平面直角坐標系中，點是第一象限內一點，過點作軸于點，連接，點是線段上一點，且．反比例函數的圖像經過點，與交于點．若，則的長為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】過點作軸于點，則可得，從而得到，讓根據得出的坐標為，然后得出點的縱坐標，進而得出答案．
【詳解】解：過點作軸于點，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴點的縱坐標為，
∵在反比例函數的圖像上，
∴的坐標為，
∴，，
∴點的橫坐標為，
∴點的縱坐標為，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，平行線分線段成比例定理，讀懂題意得出的縱坐標是解本題的關鍵．
8 .如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，則EC的長是
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
【答案】B
【解析】
∵DE∥BC，∴．
又∵AE=6，，∴．
故選B．
二、填空題：（每小題4分，共20分）
9．如圖，l1l2l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，則EF=_______．
【答案】4
【分析】根據l1∥l2∥l3，由平行線分線段成比例定理得到成比例線段，代入已知數據計算即可得到答案．
【詳解】∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵AB=5，DE=2，AC=15，
∴BC=10，
∴
∴EF=4，
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理的內容，找準對應關系是解題的關鍵．
10．如圖，、是三角形的邊、上的點，，已知，，，則________．
【答案】
【分析】根據平行線分線段成比例可得，代入數據即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，， ，
∴，
∴，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，找到對應線段是解題的關鍵．
11．如圖、已知AD、BC相交于點O，，如果，，，那么______．
【答案】6
【分析】根據平行線分線段成比例、比例的基本性質求得，則即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例、比例的性質；由平行線分線段成比例定理得出比例式求出是解決問題的關鍵．
12．如圖，點是的弦延長線上一點，連接，取的中點，若，垂足為點，，則的長為_______．
【答案】10
【分析】作OD⊥AB于點D，根據垂徑定理得：BD＝4，根據平行線分線段成比例定理可得B是PD的中點，最后利用勾股定理計算即可．
【詳解】解：過O作OD⊥AB于D，則∠ODB＝90°，
∴BD＝AB，
∵AB＝8，
∴BD＝4，
∵CB⊥AP，
∴∠CBP＝90°，
∴∠CBP＝∠ODB
∴ODBC，
∴
∵C是OP的中點，
∴ PC＝PO
∴＝
∴B是PD的中點，
∴PB＝BD＝4，
∵BC＝3，
∴PC＝，
∴OP＝2PC＝10，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了垂徑定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理是關鍵．
13．如圖，有一塊紙質直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中點，現從中切出一條矩形紙條DEFG，其中E，F在BC上，點G在AB上．若BF＝4.5cm，CE＝2cm，則紙條GD的長為 _____．
【答案】6.5cm
【分析】設GD=xcm，根據D是AC的中點，得到AD=CD，根據矩形DEFG中，EF=GD=xcm，GD∥EF，推出AG=BG，BC=BF+EF+CF=4.5cm+xcm+2cm=(x+6.5)cm，推出GD=BC，得到x= (x+6.5)，得到GD=6.5cm．
【詳解】設GD=xcm，
∵D是AC的中點，
∴AD=CD，
∵矩形DEFG中， DG∥EF，
∴
∴AG=BG，
∵EF=DG=xcm，BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴BC=BF+EF+CF=4.5cm+xcm+2cm=(x+6.5)cm，
∴DG=BC，
∴x= (x+6.5)，
∴x==6.5，
∴DG=6.5cm．
故答案為：6.5cm．
【點睛】本題主要考查了矩形，三角形中位線，平行線分線段成比例定理，解決問題的關鍵是熟練掌握矩形的邊是性質，三角形中位線的性質．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．如圖，，直線m，n與a，b，c分別相交于點A，B，C和點D，E，F.若，，求的長.
答案：6
解析：，
，
，，
，
.
15．如圖，已知直線，，分別截直線于點A，B，C，截直線于點D，E，F，且.
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，求的長.
答案：(1)
(2)
解析：（1），，，，
，
即，
解得；
（2），，，
，
即，
解得.
16．已知:如圖所示, 是中的外角的平分線.求證: 。
答案：證明:過作與的延長線交于,則,
∵ (兩直線平行,同位角相等)
(兩直線平行,內錯角相等)
(已知)
(等量代換)
,
∴。
17．如圖,梯形中, ,點是邊的中點,聯結并延長交的延長線于點,交于點.
（1）.若,,求線段的長;
（2）求證: .
答案：（1）.∵,
∴.
且,
則.
（2）.同理:∵,
∴.
即.
18.如圖：△ABC中，MDAB，MNAE．求證：＝．
【答案】證明見解析
【分析】根據平行線分線段成比例定理證明即可．
【詳解】證明：∵MDAB，
∴＝．
∵MNAE，
∴＝．
∴＝＝，
即＝．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握該知識點是解題關鍵．
19 .如圖，已知，與相交于點，點在線段上，，．
(1)求證：；
(2)求．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】（1）由，推出，得到，即可得到；
（2）由，推出，由，推出，據此即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
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