資源簡介

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人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.1 圖形的相似
學習目標
1 了解相似圖形和相似多邊形的概念.
2 會根據條件判斷兩個多邊形是否為相似多邊形.
3 掌握相似多邊形的性質，能根據相似比進行相關的計算.
老師告訴你
相似形的特征：
相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形是全等；
（3）相似形不僅指平面圖形，也包括立體圖形；
（4）兩個圖形相似，可以看作由一個圖形放大或縮小得到的，不是把一個圖形拉長或加寬得到的。
一、知識點撥
知識點1 比例線段
1．線段的比：
如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n ，或寫成．
2．成比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
3．比例的基本性質：
（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項）．
【新知導學】
【例1-1】．如果線段a，b，c，d是成比例線段，則下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【例1-2】．下列各組線段中，能組成比例線段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，4，8
C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4
【例1-3】．已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則線段d的長為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【例1-4】．已知兩條線段的長為和，則它們的比例中項線段長為 ．
【對應導練】
1．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．已知線段是線段，的比例中項，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
3．小明家鄉有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺A，B，C在同一直線上，將這三點標在“等高線示意圖”后，剛好都在相應的等高線上，設A、B兩地的實際直線距離為m，B、C兩地的實際直線距離為n，則的值為 ．
4．已知，求的值．
知識點2 黃金分割比
1.黃金分割的定義： 點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.
注意：≈0.618AB(叫做黃金分割值).
2.作一條線段的黃金分割點：
如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：
（1）經過點B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.
注意：一條線段的黃金分割點有兩個.
【新知導學】
【例2-1】．已知點C把線段分成兩條線段，，下列說法錯誤的是（　　）
A．如果，那么C是線段的黃金分割點
B．如果，那么C是線段的黃金分割點
C．如果，那么C是線段的黃金分割點
D．如果，那么叫做黃金比
【例2-2】．若將一條線段分割成長、短兩條線段、，若短段與長段之比等于長段的長度與全長之比，即，則可得出這一比值等于，這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點叫做線段的黃金分割點，黃金分割總能給人以美的享受，從人體審美學的角度看，若一個人上半身長與下半身長之比滿足黃金比的話，則此人符合和諧完美的身體比例．一芭蕾舞演員的身高為，但其上半身長與下半身長之比大于黃金比，當其表演時掂起腳尖，身高就可以增加，這時上半身長與下半身長之比就恰好滿足黃金比，那么該演員的上半身長為 ．（結果保留根號）．
【對應導練】
1．如圖，樂器的一根弦，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C，D之間的距離 ．（結果保留根號）
2．（1）已知線段，請按照下面的作法畫出符合條件的圖形（保留作圖痕跡）；
①過點B作；②在上截取，連接，③以點C為圓心，以長為半徑作弧，交于點N；④以點A為圓心，以長為半徑作弧，交于點P．
（2）求證：點P是線段的黃金分割點．
知識點3 相似圖形
在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
注意：
　 (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩 個圖形是全等；
【新知導學】
【例3-1】．下列說法不正確的是（ ）
A．客機模型與客機相似
B．用放大鏡看到的圖形與原圖形相似
C．亮亮4歲時的照片與16歲時的照片相似
D．一棵樹與它在水中的倒影相似
【例3-2】．請認真觀察如圖所示的各組中的兩個圖形，哪些是形狀相同的圖形？哪些是形狀不同的圖形？
【對應導練】
1．某小區有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環形小路，使得小路內外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由．
2．觀察圖中①～⑨的圖形，其中哪些圖形分別與(1)，(2)，(3)，(4)相似？
知識點4 相似多邊形
相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．
注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．
（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．
【新知導學】
【例4-1】．下列說法中正確的是（ ）
A．各角分別相等的兩個多邊形一定是相似多邊形
B．各邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形
C．邊數相同的兩個多邊形是相似多邊形
D．邊數相同、各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形
【例4-2】．如圖，四邊形四邊形．
(1)求的度數；
(2)若，，求的長．
【對應導練】
1．如圖，從一個矩形中剪去一個正方形，若剩下的矩形與原矩形相似，求原矩形的長與寬的比．
2．如圖，四邊形與四邊形相似，，求和的長．

二、題型訓練
判斷兩個圖形是否相似
1．下列各組圖形中，能夠相似的一組圖形是（ ）
A． B． C． D．
2．將下列圖形分別分成四小塊，使它們得的形狀大小完全相同，并且與原圖形相似，應怎樣分？（畫出大致圖形即可）
(1)
(2)
3．如圖1，將A4紙2次折疊，發現第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．
（1）A4紙較長邊與較短邊的比為　　；
（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．
2.黃金分割確定線段長度
4．如圖1，是古希臘時期的帕提儂神廟（），如圖把虛線表示的矩形畫出圖2中的，以矩形的寬為邊在其內部作正方形，我們驚奇的發現點是的黃金分割點，則（ ）

A． B． C． D．
5．如圖，過點作，使，連接，在上截取，在上截取，則有（ ）
A． B．點是線段的黃金分割點
C． D．
6．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點B落在點處，交于點E，若，則的值為 ．
3.比例性質的應用
7．如圖，線段、、、的端點都在邊長為1的小正方形的頂點上，這四條線段是成比例線段嗎？為什么？
8．活動·探究
運用數學知識解決實際問題是我們初中生的必修課，同時也是“雙減”的目標之一．青島市某數學跨學科學習小組開展了數學跨學科學習探究，請你幫他們完成探究．
探究一、地理學習（與地理跨學科學習小組共同完成）
（1）該等高線地形圖的等高距為 米；
（2）已知圖上，若該圖的比例尺是，則實際相距 ；
（3）估計王家莊的實際面積可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E點在點A的 偏 方向；
探究二、化學學習（與化學跨學科學習小組共同完成）
有兩組沒有標簽的化學試劑：
第一組 稀 稀 溶液 溶液
第二組 稀 澄清石灰水 溶液 溶液
還有一小瓶紫色石蕊試液；
與化學小組提供的實驗信息：
已知紫色石蕊試液遇到酸性溶液變紅，遇到堿性溶液變藍，遇到中性不變色酸堿鹽性質表格：
酸性 稀 稀 稀
堿性 澄清石灰水 溶液 溶液
中性 溶液 溶液
請你解決以下問題：
（5）數學小組中的調皮鬼鄭鋒設計了一個小游戲：從中取樣檢測，如果紫色石蕊試液變紅色，數學小組獲勝；如果不變色，那么化學小組獲勝．化學小組的葉子姐姐覺得她們小組被坑了．你來幫葉子姐姐用畫樹狀圖的方法判斷，本游戲是否公平？化學小組有沒有被鄭鋒同學坑？如果被坑了，請你幫葉子姐姐設置一個游戲規則，讓她坑鄭鋒一把（數學小組獲勝概率小，化學小組獲勝概率大），并再次畫樹狀圖證明你設計的規則能幫葉子姐姐坑到鄭鋒．
9．如圖，一塊矩形綢布的長，寬，按照圖中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應當是多少？

三、課堂達標
一、單選題（每小題3分，共32分）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列圖形一定是相似圖形的是（ ）
A．兩個等腰三角形 B．兩個面積相等的三角形
C．兩個正方形 D．兩個菱形
3．如圖，已知直線m，n被一組平行線所截，交點分別為A，B，C和D，E，F，則下列結論中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知點是線段的黃金分割點，那么的長是（ ）
A． B． C． D．
5．隨著銅仁市旅游業蓬勃發展，某旅投公司修建了許多特色房屋，如圖所示，陽光通過窗口射到室內，在地面上留下寬的亮區，已知亮區到窗口下的墻腳的距離，窗口高，那么窗口底部離地面的高度為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點都在橫線上．若線段，則線段的長是（ ）
A． B．2 C． D．4
7．下列各組圖形中，不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如圖，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如果，那么
10．已知線段，線段，則線段a，b的比例中項是 ．
11．若，且，則 ．
12．如圖，四邊形四邊形，則的度數是 ．
13．如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊，使邊落在邊上，點A落在點H處， 折痕為； 使邊落在邊上， 點B落在點G處， 折痕為． 若矩形與原矩形相似，， 則的長為 ．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．觀察下面這張殘破的圖（如圖所示），其中殘破的七邊形與七邊形相似，如果量得，，你能求出七邊形的面積嗎？

15．網格中每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點為格點，三角形和長方形的頂點都在格點上．
(1)在圖1的網格中按2：1畫出網格中三角形放大后的圖形①；
(2)在圖2的網格中按1：2畫出網格中長方形縮小后的圖形②；
(3)請直接寫出圖形①的面積與圖形②的面積的最簡整數比為 ．
16．黃金分割是漢字結構最基本的規律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩重、舒展美觀．已知一條分割線的端點，分別在習字格的邊，上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點處，且，若，求的長（結果保留根號）．
17．計算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
18．（1）已知線段，請按照下面的作法畫出符合條件的圖形（保留作圖痕跡）；
①過點B作；②在上截取，連接，③以點C為圓心，以長為半徑作弧，交于點N；④以點A為圓心，以長為半徑作弧，交于點P．
（2）求證：點P是線段的黃金分割點．
19．閱讀與思考
下面是博學小組研究性學習報告的部分內容．請認真閱讀并完成相應的任務．
仰視、俯視讀數是否有誤差的數學解釋實驗室使用量筒量取液體時，讀數要平視，量筒的液面近似地看成（C為的中點），讀數時，視線要與相切于點C，仰視和俯視讀數是否會有影響呢？通過實驗探究，如圖，當俯視點C時，記錄量筒上點D的高度為，點D在所在的上；當仰視點C時，記錄量筒上點E的高度為，C為的中點．設平視讀數時量筒上的記錄點為點F，，量筒的直徑為．求仰視與平視的誤差，俯視與平視的誤差如下：如圖，連接，，．∵C為的中點，∴．∵，∴是的中位線，∴．∵，∴是的___▲___，∴，∴，∴．∵，∴．∵C為的中點，……
任務：
(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內容：______；
(2)補全研究報告中“……”部分的內容；
(3)由研究報告，可知仰視讀數和俯視讀數______產生誤差．（填“會”或“不會”）
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
27.1 圖形的相似
學習目標：
1 了解相似圖形和相似多邊形的概念.
2 會根據條件判斷兩個多邊形是否為相似多邊形.
3 掌握相似多邊形的性質，能根據相似比進行相關的計算.
老師告訴你
相似形的特征：
相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形是全等；
（3）相似形不僅指平面圖形，也包括立體圖形；
（4）兩個圖形相似，可以看作由一個圖形放大或縮小得到的，不是把一個圖形拉長或加寬得到的。
一、知識點撥
知識點1 比例線段
1．線段的比：
如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n ，或寫成．
2．成比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
3．比例的基本性質：
（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項）．
【新知導學】
【例1-1】．如果線段a，b，c，d是成比例線段，則下列等式成立的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了成比例線段，以及比例的性質，能夠靈活對比例式進行變形是解本題的關鍵．根據題意可得，則，據此對每個選項進行對比變形即可求解．
【詳解】解：由題意得，，
∴，故B符合題意，A不符合題意；
C、，則，故C不符合題意；
D、，則，則，故不符合題意，
故選：B．
【例1-2】．下列各組線段中，能組成比例線段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，4，8
C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4
【答案】B
【分析】此題考查了比例線段．如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，選項一一分析，排除錯誤答案即可．
【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；
B、，故本選項符合題意；
C、，故本選項不符合題意；
D、，故本選項不符合題意．
故選：B．
【例1-3】．已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則線段d的長為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本題考查成比例線段，根據a，b，c，d是成比例線段，得到，進而利用比例性質求解即可．
【詳解】解：∵a，b，c，d是成比例線段，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故選：B．
【例1-4】．已知兩條線段的長為和，則它們的比例中項線段長為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了線段的比．根據比例的性質列方程求解即可．設它們的比例中項為，根據比例中項的定義可知，，代入數據可直接求得的值，注意兩條線段的比例中項為正數．
【詳解】解：設它們的比例中項為，
是長度分別為1、4的兩條線段的比例中項，
，
即，
（負數舍去），
它們的比例中項線段長為．
故答案為：2．
【對應導練】
1．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】本題考查了成比例線段，根據成比例線段的定義逐項判斷即可得解，熟練掌握成比例線段的定義是解此題的關鍵．
【詳解】解：A、，故四條線段不成比例，故不符合題意；
B、，故四條線段成比例，故符合題意；
C、，故四條線段不成比例，故不符合題意；
D、，故四條線段不成比例，故不符合題意；
故選：B．
2．已知線段是線段，的比例中項，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查比例中項的定義，根據線段是線段，的比例中項，則，然后代入求解即可，解題的關鍵是掌握比例中項的性質．
【詳解】解：∵線段是線段，的比例中項，
∴，
∴，
∴，
故選：．
3．小明家鄉有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺A，B，C在同一直線上，將這三點標在“等高線示意圖”后，剛好都在相應的等高線上，設A、B兩地的實際直線距離為m，B、C兩地的實際直線距離為n，則的值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了比例線段．根據題意，得出、兩地的實際直線距離，、兩地的實際直線距離，然后求根據比例線段求值即可．
【詳解】解：由題意，得、兩地的實際直線距離為，、兩地的實際直線距離為，
，
即．
故答案為：2．
4．已知，求的值．
【答案】
【分析】此題考查了比例的性質．設，且，則，代入即可求出答案．
【詳解】解：設，且，
則，
∴
知識點2 黃金分割比
1.黃金分割的定義： 點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.
注意：≈0.618AB(叫做黃金分割值).
2.作一條線段的黃金分割點：
如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：
（1）經過點B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.
注意：一條線段的黃金分割點有兩個.
【新知導學】
【例2-1】．已知點C把線段分成兩條線段，，下列說法錯誤的是（　　）
A．如果，那么C是線段的黃金分割點
B．如果，那么C是線段的黃金分割點
C．如果，那么C是線段的黃金分割點
D．如果，那么叫做黃金比
【答案】D
【分析】本題屬于概念理解類題目，解題的關鍵是掌握黃金分割的定義“若點C把線段分成兩條線段和（），如果，那么稱線段被點C黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點，且”；根據黃金分割的定義，分別對各個選項進行判斷，問題即可得解．
【詳解】解：根據黃金分割的定義可知A、B、C正確，不符合題意，D錯誤，符合題意．
故選：D．
【例2-2】．若將一條線段分割成長、短兩條線段、，若短段與長段之比等于長段的長度與全長之比，即，則可得出這一比值等于，這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點叫做線段的黃金分割點，黃金分割總能給人以美的享受，從人體審美學的角度看，若一個人上半身長與下半身長之比滿足黃金比的話，則此人符合和諧完美的身體比例．一芭蕾舞演員的身高為，但其上半身長與下半身長之比大于黃金比，當其表演時掂起腳尖，身高就可以增加，這時上半身長與下半身長之比就恰好滿足黃金比，那么該演員的上半身長為 ．（結果保留根號）．
【答案】/
【分析】本題考查黃金分割比例的實際應用、解分式方程．理解題意，掌握“黃金比”的定義是解題關鍵．設演員的上半身長為，則掂起腳尖身高為，下半身長為．根據“黃金比”可列出關于x的方程，求解即可．
【詳解】解：設演員的上半身長為，
∵芭蕾舞演員的身高為，
∴掂起腳尖身高為，下半身長為．
∵此時上半身長與下半身長之比恰好滿足黃金比，
∴，
解得：，
經檢驗是原方程的解．
∴該演員的上半身長為．
故答案為：．
【對應導練】
1．如圖，樂器的一根弦，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C，D之間的距離 ．（結果保留根號）
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方程是解題的關鍵．設，則，由得，解方程求出的長，同理求出的長，進而可求出點C，D之間的距離．
【詳解】解：設，則，
，
，
解得（舍），
，
同理可求， ，
∴，
∴．
故答案為：．
2．（1）已知線段，請按照下面的作法畫出符合條件的圖形（保留作圖痕跡）；
①過點B作；②在上截取，連接，③以點C為圓心，以長為半徑作弧，交于點N；④以點A為圓心，以長為半徑作弧，交于點P．
（2）求證：點P是線段的黃金分割點．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】此題考查了基本作圖、勾股定理、黃金分割點等知識．
（1）按照作圖步驟作出圖形即可；
（2）設長為x，則長為，勾股定理求出則，則，得到，則，即可證明結論．
【詳解】（1）如圖，即為所求，
（2）證明：設長為x，則長為，
，
．
，
，
，
，
即點P是線段的黃金分割點．
知識點3 相似圖形
在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
注意：
　 (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩 個圖形是全等；
【新知導學】
【例3-1】．下列說法不正確的是（ ）
A．客機模型與客機相似
B．用放大鏡看到的圖形與原圖形相似
C．亮亮4歲時的照片與16歲時的照片相似
D．一棵樹與它在水中的倒影相似
【答案】C
【分析】本題考查相似圖形，解題的關鍵是理解相似圖形的定義，屬于中考?？碱}型．根據相似圖形的定義判斷即可．
【詳解】解：A．客機模型與客機相似，正確；
B．用放大鏡看到的圖形與原圖形相似，正確；
C．因為亮亮4歲和16歲的長相是不完全相同的，所以不是相似圖形，故不正確；
D．一棵樹與它在水中的倒影相似，正確；
故選C．
【例3-2】．請認真觀察如圖所示的各組中的兩個圖形，哪些是形狀相同的圖形？哪些是形狀不同的圖形？
【答案】③⑤中的圖形形狀相同，①②④⑥中的圖形形狀不同
【分析】本題考查相似圖形的識別，相似圖形是指形狀相同的圖形，根據題中的圖形逐個判斷即可得到答案，熟記相似圖形定義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：③⑤中的圖形形狀相同，①②④⑥中的圖形形狀不同．
【對應導練】
1．某小區有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環形小路，使得小路內外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由．
【答案】不能，見解析
【分析】設小路寬為x米，則小路的外邊緣圍成的矩形的長為米，寬為米，將兩個矩形的長與寬分別相比，得，解方程即可求解．
【詳解】設小路寬為x米，則小路的外邊緣圍成的矩形的長為米，寬為米，將兩個矩形的長與寬分別相比，得，
解得：，
經檢驗，是原方程的根，
即寬度為0米的小路不存在，
∴做不到．
【點睛】通過本題的探索可以發現：把一個矩形的長和寬同時增加或減小相同的長度，所得矩形與原來矩形一定不相似，因為（a、b、c都是正數）．
2．觀察圖中①～⑨的圖形，其中哪些圖形分別與(1)，(2)，(3)，(4)相似？
【答案】與(1)相似的圖形是⑥；與(2)相似的圖形是①⑦；與(3)相似的圖形是②④；與(4)相似的圖形是⑨
【分析】本題考查相似圖形，解題的關鍵是理解相似圖形的定義，屬于中考?？碱}型．根據相似圖形的定義判斷即可．
【詳解】解：與(1)相似的圖形是⑥；與(2)相似的圖形是①⑦；與(3)相似的圖形是②④；與(4)相似的圖形是⑨．
知識點4 相似多邊形
相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．
注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．
（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．
【新知導學】
【例4-1】．下列說法中正確的是（ ）
A．各角分別相等的兩個多邊形一定是相似多邊形
B．各邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形
C．邊數相同的兩個多邊形是相似多邊形
D．邊數相同、各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形
【答案】D
【分析】本題考查的是相似多邊形的判定，熟知相似多邊形的判定方法是解答此題的關鍵．根據相似多邊形的定義：對應邊成比例，對應角相等的兩個多邊形相似，進行判定即可．
【詳解】解：邊數相同，各邊成比例，各角分別相等的兩個多邊形一定是相似多邊形，故ABC錯誤，D正確．
故選：D．
【例4-2】．如圖，四邊形四邊形．
(1)求的度數；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】該題主要考查了相似多邊形的性質和四邊形內角和，解題的關鍵是掌握相似多邊形的性質．
（1）根據四邊形內角和算出的度數，再根據相似多邊形的性質即可求解；
（2）根據相似多邊形的性質得出，即可求解；
【詳解】（1）解：在四邊形，，
∵四邊形四邊形，
∴．
（2）解：∵四邊形四邊形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【對應導練】
1．如圖，從一個矩形中剪去一個正方形，若剩下的矩形與原矩形相似，求原矩形的長與寬的比．
【答案】
【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質、解一元二次方程等知識．根據相似得到，則，用公式法解一元二次方程得到，根據矩形的長和寬均為正數即可得到答案．
【詳解】解：設原矩形的長是a，寬是b（，且），則剩下矩形的長為b，寬為．
由題意可得，所以．
將的兩邊同除以，得，
所以．
因為矩形的長和寬均為正數，所以．
故原矩形的長和寬的比為．
2．如圖，四邊形與四邊形相似，，求和的長．

【答案】，
【分析】此題考查了相似四邊形的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是注意掌握相似四邊形的對應角相等與相似四邊形的對應邊成比例性質定理的應用．四邊形與四邊形相似，根據相似四邊形的對應角相等，即可求得，，，相似四邊形的對應邊成比例，即可求得的長，又由四邊形的內角和等于，即可求得的度數，即可求出的度數．
【詳解】解：四邊形與四邊形相似，，
，，，
，
，
．
二、題型訓練
判斷兩個圖形是否相似
1．下列各組圖形中，能夠相似的一組圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據相似圖形的定義，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．
【詳解】解：A、對應邊的比值不相等，對應角不對應相等，不符合相似形的定義，故錯誤；
B、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故正確;
C、形狀不同，不符合相似形的定義，故錯誤；
D、形狀不同，不符合相似形的定義，故錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查的是相似形的定義，結合圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換．
2．將下列圖形分別分成四小塊，使它們得的形狀大小完全相同，并且與原圖形相似，應怎樣分？（畫出大致圖形即可）
(1)
(2)
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】(1)分別取各邊的中點，根據要求及原圖的形狀作圖即可；
(2)分別取各邊的中點，根據要求及原圖的形狀作圖即可．
【詳解】（1）解：作圖如下：
（2）解：作圖如下：
【點睛】本題考查了作全等形和相似形，根據原圖形，作出全等形是解決本題的關鍵．
3．如圖1，將A4紙2次折疊，發現第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．
（1）A4紙較長邊與較短邊的比為　　；
（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．
【答案】（1）；（2）相似，理由見解析
【分析】（1）根據邊的關系得出比例等式解答即可；
（2）根據相似圖形的判定解答即可．
【詳解】
解：（1）如圖1，設AB＝x，
由上面兩個圖，由翻折的性質我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=x，
∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（+2）x，
∴，
故答案為：．
（2）由（1）知：A5紙長邊為A4紙短邊，長為（+1）x，A5紙短邊長為（）x，
∴對A5紙，長邊：短邊，
∴A4紙與A5紙相似．
【點睛】此題考查了相似圖形，關鍵是根據相似圖形判斷和性質解答．
2.黃金分割確定線段長度
4．如圖1，是古希臘時期的帕提儂神廟（），如圖把虛線表示的矩形畫出圖2中的，以矩形的寬為邊在其內部作正方形，我們驚奇的發現點是的黃金分割點，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查相黃金分割，根據黃金分割列出比例式，設，，得出，進而求即可．
【詳解】解：∵點是的黃金分割點，
∴
∵四邊形為正方形，
∴，
設，，
∴
∴（負值舍去）
∴
故選：B．
5．如圖，過點作，使，連接，在上截取，在上截取，則有（ ）
A． B．點是線段的黃金分割點
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理，含30度的直角三角形性質以及黃金分割的定義，熟練掌握基本知識點是解題關鍵．
設，則，通過勾股定理求出，進而得到，再逐一判斷即可．
【詳解】解：設，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故C錯誤，
∴，故D正確，
∴，故點不是線段的黃金分割點，故B錯誤，
若，在直角三角形中會有，但是與前面得到矛盾，故，故A錯誤．
故選：D ．
6．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點B落在點處，交于點E，若，則的值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識點，利用黃金比例表示各線段的長是解題的關鍵．設寬，根據比例表示長，證明，在中，利用勾股定理即可求得結果．
【詳解】解：設寬為，
∵寬與長的比是，
∴長為：，
由折疊的性質可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
設，
在中，，
變形得：，
∴，
故答案為∶．
3.比例性質的應用
7．如圖，線段、、、的端點都在邊長為1的小正方形的頂點上，這四條線段是成比例線段嗎？為什么？
【答案】成比例，理由見解析
【分析】本題考查勾股定理，運用勾股定理求出各邊的長，判斷即可解答．
【詳解】解：成比例．理由如下：
， ，
， ，
∴，
∴，
∴線段、、、成比例．
8．活動·探究
運用數學知識解決實際問題是我們初中生的必修課，同時也是“雙減”的目標之一．青島市某數學跨學科學習小組開展了數學跨學科學習探究，請你幫他們完成探究．
探究一、地理學習（與地理跨學科學習小組共同完成）
（1）該等高線地形圖的等高距為 米；
（2）已知圖上，若該圖的比例尺是，則實際相距 ；
（3）估計王家莊的實際面積可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E點在點A的 偏 方向；
探究二、化學學習（與化學跨學科學習小組共同完成）
有兩組沒有標簽的化學試劑：
第一組 稀 稀 溶液 溶液
第二組 稀 澄清石灰水 溶液 溶液
還有一小瓶紫色石蕊試液；
與化學小組提供的實驗信息：
已知紫色石蕊試液遇到酸性溶液變紅，遇到堿性溶液變藍，遇到中性不變色酸堿鹽性質表格：
酸性 稀 稀 稀
堿性 澄清石灰水 溶液 溶液
中性 溶液 溶液
請你解決以下問題：
（5）數學小組中的調皮鬼鄭鋒設計了一個小游戲：從中取樣檢測，如果紫色石蕊試液變紅色，數學小組獲勝；如果不變色，那么化學小組獲勝．化學小組的葉子姐姐覺得她們小組被坑了．你來幫葉子姐姐用畫樹狀圖的方法判斷，本游戲是否公平？化學小組有沒有被鄭鋒同學坑？如果被坑了，請你幫葉子姐姐設置一個游戲規則，讓她坑鄭鋒一把（數學小組獲勝概率小，化學小組獲勝概率大），并再次畫樹狀圖證明你設計的規則能幫葉子姐姐坑到鄭鋒．
【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，東；（5）不公平；化學小組被坑了；設置新游戲規則：從中取樣檢測，如果紫色石蕊試液變紅色，化學小組獲勝；如果不變色，那么數學小組獲勝；證明見解析
【分析】本題主要考查了比例尺的應用，樹狀圖或列表法求解概率，用方位角表示位置等等：
（1）根據圖示和等高線的定義求解即可；
（2）根據比例尺等于圖上距離比上實際距離進行求解即可；
（3）結合實際情況可知，王家莊的長和寬大約為2000米，1000米，據此根據長方形面積公式求解即可；
（4）根據點A和點E的位置結合地圖中上北下南，左西右東的方位進行求解即可；
（5）畫出樹狀圖或列出表格可求出數學小組獲勝的概率為，化學小組獲勝的概率為，則數學小組獲勝的概率大于化學小組獲勝的概率，故不公平，化學小組被坑了；在原來規則下，把數學小組和化學小組獲勝的條件互換即可．
【詳解】解：（1）由等高線的定義和所給圖形可知該等高線地形圖的等高距為100米，
故答案為：100；
（2），
故答案為：；
（3）結合實際情況可知，王家莊的長和寬大約為2000米，1000米，則王家莊的面積大約為，
故選：G；
（4）觀察圖形可知，點E在點A南偏東方向，
故答案為：南；東；
（5）設分別用A、B、C表示三種酸性溶液，用D、E、F表示三種堿性溶液，用G、H表示兩種中性溶液，
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，一共有8種等可能性的結果數，其中能使紫色石蕊試液變紅色的有3種，變藍色的有3種，不變色的有2種，
∴數學小組獲勝的概率為，化學小組獲勝的概率為，
∵，
∴數學小組獲勝的概率大于化學小組獲勝的概率，
∴不公平，化學小組被坑了；、
設置新游戲規則：從中取樣檢測，如果紫色石蕊試液變紅色，化學小組獲勝；如果不變色，那么數學小組獲勝；證明如下：
設分別用A、B、C表示三種酸性溶液，用D、E、F表示三種堿性溶液，用G、H表示兩種中性溶液，
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，一共有8種等可能性的結果數，其中能使紫色石蕊試液變紅色的有3種，變藍色的有3種，不變色的有2種，
∴化學小組獲勝的概率為，數學小組獲勝的概率為，
∵，
∴數學小組獲勝的概率小于化學小組獲勝的概率．
9．如圖，一塊矩形綢布的長，寬，按照圖中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應當是多少？

【答案】
【分析】根據題意，得到，代入比例式計算即可．
【詳解】解：根據題意可知，，寬，，
由，
得
即
∴
開平方，得， （舍去）．
【點睛】本題考查了比例式的計算，求算術平方根，熟練掌握比例式的計算是解題的關鍵．
三、課堂達標
一、單選題（每小題3分，共32分）
1．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查比例的性質，根據比例的性質即可解答．
【詳解】解：根據比例的性質可得．
故選：B．
2．下列圖形一定是相似圖形的是（ ）
A．兩個等腰三角形 B．兩個面積相等的三角形
C．兩個正方形 D．兩個菱形
【答案】C
【分析】本題主要考查了相似圖形，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關鍵．
根據相似圖形的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、兩個等腰三角形不一定相似，不符合題意；
B、兩個面積相等的三角形不一定相似，不符合題意；
C、兩個正方形一定相似，符合題意；
D、兩個菱形不一定相似，不符合題意．
故選：C．
3．如圖，已知直線m，n被一組平行線所截，交點分別為A，B，C和D，E，F，則下列結論中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理．根據平行線分線段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，，，
但不能得到，即選項D不正確．
故選：D
4．已知點是線段的黃金分割點，那么的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查黃金分割點的概念．根據黃金分割點的定義，知是較長線段；則，代入數據即可得出的長．
【詳解】解：由于P為線段的黃金分割點，且是較長線段，
則．
故選：A．
5．隨著銅仁市旅游業蓬勃發展，某旅投公司修建了許多特色房屋，如圖所示，陽光通過窗口射到室內，在地面上留下寬的亮區，已知亮區到窗口下的墻腳的距離，窗口高，那么窗口底部離地面的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的應用，由得到，進而得到，代入已知條件即可求解，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得
故選：．
6．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點都在橫線上．若線段，則線段的長是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，可得，由此即可求解．
【詳解】解：根據題意，，
∴，
故選：B ．
7．下列各組圖形中，不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了相似圖形的判定，理解相似圖形的定義是解題關鍵．如果兩個圖形形狀相同，但大小不一定相等，那么這兩個圖形相似，結合題中選項中所給的兩個圖形，運用上述的定義進行判定即可．
【詳解】解：A. 兩個圖形均為正方形，是相似圖形，不符合題意
B. 兩個圖形是相似圖形，不符合題意；
C. 一個矩形，一個正方形，兩個圖形不是相似圖形，符合題意；
D. 兩個圖形均為圓形，是相似圖形，不符合題意．
故選：C．
8．如圖，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了比例的性質，連接，設，則，，設，則，表示出，，結合求出，即可得解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，
∴設，則，
∵，
∴
∴，
設，則，
∴，，
∴，
∴，
∴或（不符合題意，舍去），
∴，
故選：D．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如果，那么
【答案】12
【分析】本題考查了比例的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．由可得把兩式相乘即可得到．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：12．
10．已知線段，線段，則線段a，b的比例中項是 ．
【答案】
【分析】此題考查比例的性質，設線段的比例中項是c，則，即可求出c，正確理解比例中項定義是解題的關鍵．
【詳解】解：設線段的比例中項是c，則
∴
∴（負值舍去）
故答案為：．
11．若，且，則 ．
【答案】10
【分析】本題主要查了比例的基本性質．根據，可得，再由，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：10
12．如圖，四邊形四邊形，則的度數是 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查了相似多邊形的性質，解題的關鍵是知道相似多邊形的對應邊的比相等，對應角相等．利用相似多邊形對應角相等、對應邊成比例即可求解．
【詳解】解：四邊形四邊形，
，
，
故答案為：．
13．如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊，使邊落在邊上，點A落在點H處， 折痕為； 使邊落在邊上， 點B落在點G處， 折痕為． 若矩形與原矩形相似，， 則的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了相似多邊形的性質，矩形的判定和性質，折疊的性質，設，由折疊的性質可得到，利用矩形的性質得到，最后利用相似多邊形的性質計算即可求解，熟練掌握相似多邊形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：設，
∵四邊形是一張矩形紙片，
∴，，
由折疊的性質得，，，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵矩形與原矩形相似，
∴，
∴，
解得，（舍去），
故答案為：．
三、解答題（共6小題，每小題8分，共48分）
14．觀察下面這張殘破的圖（如圖所示），其中殘破的七邊形與七邊形相似，如果量得，，你能求出七邊形的面積嗎？

【答案】能，
【分析】先得出兩個相似圖形的相似比，再根據相似多邊形面積比等于相似比的平方，即可求解．
【詳解】解：能．求解過程如下：
七邊形與七邊形相似，且其相似比等于，
七邊形與七邊形的面積比為，則，
．
故七邊形的面積為．
【點睛】本題主要考查了相似圖形的性質，解題的關鍵是掌握相抵圖形面積比等于相似比的平方．
15．網格中每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點為格點，三角形和長方形的頂點都在格點上．
(1)在圖1的網格中按2：1畫出網格中三角形放大后的圖形①；
(2)在圖2的網格中按1：2畫出網格中長方形縮小后的圖形②；
(3)請直接寫出圖形①的面積與圖形②的面積的最簡整數比為 ．
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
(3)9：4
【分析】（1）原三角形的底和高都是3和3，根據圖形放大與縮小的方法，把三角形的底和高按2:1擴大后，得到的是底為6，高為6的三角形，由此可畫出這個三角形；
（2）原長方形的長和寬分別是8和4，根據圖形變大與縮小的變化方法，把長方形的長和寬按1:2縮小后，得到的是長為4寬為2的長方形，由此可畫出這個長方形；
（3）根據三角形的面積=×底×高和長方形面積=長×寬，分別計算出所畫圖形的面積，然后計算它們的比．
【詳解】（1）解：如圖1，①即為所求．
（2）解：如圖2，②即為所求．
（3）解：①的面積：
②的面積：
面積比：18:8=9:4
∴圖形①的面積與圖形②的面積最簡整數比為9:4．
故答案為：9:4．
【點睛】本題考查圖形的放大與縮?。ò匆欢ū壤褕D形放大或縮小，形狀不變，邊和大小會發生變化，各邊的變化都符合指定的比，面積會擴大或者縮小比的平方倍），化簡整數比（把比的前項和后項同時除以他們的最大公因數），初步體會圖形的相似．解題的關鍵是理解按2：1放大就是把原圖的各邊長放大2倍，按1：2縮小就是把原圖的各邊長乘以及化簡比結果是一個比，有比號．
16．黃金分割是漢字結構最基本的規律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩重、舒展美觀．已知一條分割線的端點，分別在習字格的邊，上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點處，且，若，求的長（結果保留根號）．
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割，正方形的性質，矩形的判定和性質，理解黃金分割知識是解答關鍵．
根據正方形的性質和平行線的性質得到四邊形是矩形，再利用矩形的性質和黃金分割來求解．
【詳解】解：四邊形是正方形，
．
又，
，
，
四邊形是矩形，
．
又，
．
17．計算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】此題主要考查了比例的性質，正確將已知變形是解題關鍵．
（1）利用已知條件得到，進而代入求出答案．
（2）設，代入化簡即可．
【詳解】（1）解：因為，
所以，
所以．
（2）解：設，
所以．
18．（1）已知線段，請按照下面的作法畫出符合條件的圖形（保留作圖痕跡）；
①過點B作；②在上截取，連接，③以點C為圓心，以長為半徑作弧，交于點N；④以點A為圓心，以長為半徑作弧，交于點P．
（2）求證：點P是線段的黃金分割點．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】此題考查了基本作圖、勾股定理、黃金分割點等知識．
（1）按照作圖步驟作出圖形即可；
（2）設長為x，則長為，勾股定理求出則，則，得到，則，即可證明結論．
【詳解】（1）如圖，即為所求，
（2）證明：設長為x，則長為，
，
．
，
，
，
，
即點P是線段的黃金分割點．
19．閱讀與思考
下面是博學小組研究性學習報告的部分內容．請認真閱讀并完成相應的任務．
仰視、俯視讀數是否有誤差的數學解釋實驗室使用量筒量取液體時，讀數要平視，量筒的液面近似地看成（C為的中點），讀數時，視線要與相切于點C，仰視和俯視讀數是否會有影響呢？通過實驗探究，如圖，當俯視點C時，記錄量筒上點D的高度為，點D在所在的上；當仰視點C時，記錄量筒上點E的高度為，C為的中點．設平視讀數時量筒上的記錄點為點F，，量筒的直徑為．求仰視與平視的誤差，俯視與平視的誤差如下：如圖，連接，，．∵C為的中點，∴．∵，∴是的中位線，∴．∵，∴是的___▲___，∴，∴，∴．∵，∴．∵C為的中點，……
任務：
(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內容：______；
(2)補全研究報告中“……”部分的內容；
(3)由研究報告，可知仰視讀數和俯視讀數______產生誤差．（填“會”或“不會”）
【答案】(1)直徑
(2)見解析
(3)會
【分析】（1）根據直角所對的弦是直徑即可求解；
（2）進而得出，即可得出，進而即可求解；
（3）根據（2）的結論，即可求解．
【詳解】（1）∵，∴是的直徑
故答案為：直徑．
（2）如圖，連接，，．
∵C為的中點，∴．
∵，∴是的中位線，
∴．
∵，∴是的直徑，
∴，∴，
∴．
∵，∴．
∵C為的中點，，
∴，
∴
∴，
（3）∵
∴由研究報告，可知仰視讀數和俯視讀數會產生誤差．
【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的中位線的性質，直角所對的弦是直徑，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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