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空間向量和立體幾何高考復習專題一
知識點一 求點面距離,面面角的向量求法
典例1、如圖，在長方體中，，，點E是棱AB的中點．
（1）證明：； （2）求點E到平面的距離； （3）求二面角的余弦值．
隨堂練習：如圖，在長方體中，，，E、M、N分別是、、
的中點.
（1）證明：平面；（2）求點C到平面的距離；
（3）設P為邊上的一點，當直線與平面所成角的正切值為時，求二面角 的余弦值.
典例2、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，，是的中點，，垂足為.
（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.
隨堂練習：如圖，正三棱柱中，，點，分別為，的中點.
（1）求點到平面的距離； （2）求二面角的余弦值.
典例3、如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．
（1）求點到平面的距離；（2）設是線段上的動點，當直線與所成的角的余弦值為時，求二面角的余弦值．
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，已知底面為直角梯形，，，
，平面平面，，.
（1）從下列條件① 條件②中再選擇一個作為已知條件，求證：平面PAB；
條件①：E，F分別為棱PD，BC的中點；條件②：E，F分別為棱PC，AD的中點.
（2）若點M在棱PD（含端點）上運動，當為何值時，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為.
知識點二 線面垂直證明線線垂直,面面角的向量求法
典例4、如圖，四邊形是菱形，，平面，，．
（1）證明：． （2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
隨堂練習：如圖，是以為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，.
（1）求證：； （2）求平面與平面夾角的余弦值.
典例5、已知四棱錐中，，，，，，面
面ABE，.
（1）求證： （2）求面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，
，，．
（1）證明：； （2）若，求二面角的余弦值．
典例6、如圖，在直三棱柱中，側面是正方形，且平面平面.
（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，E為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.
隨堂練習：如圖，直三棱柱，.
（1）證明：；（2）設為的中點，，求二面角的余弦值.
空間向量和立體幾何高考復習專題一答案
典例1、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.
解:（1）由長方體性質知：面，面，則，
又，則為正方形，即，而，
∴面，而面， ∴.
（2）由題設，，則，
由，且E是棱AB的中點，則，即，
若E到平面的距離為，則，可得.
（3）構建如下圖示的空間直角坐標系，則，
∴，若是面的法向量，
∴，令，則，
又是面的一個法向量，
∴，則銳二面角的余弦值.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析；（2）；（3）.
解: （1）證明：連接，，如圖，
因為E、M分別是、的中點，所以且，
又N是的中點，所以，
結合長方體的性質可得且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）因為，，為長方體，
E、M、N分別是、、的中點，
所以，，，
所以為等腰三角形，其底邊上的高為，
所以， 設點C到平面的距離為，則，
又， 所以，解得，
所以點C到平面的距離為；
（3）連接，如圖，
由平面可得即為直線與平面所成角，
又，所以,
分別以、、作為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，， 所以，，
設平面的一個法向量為，
則，令則， 得平面的一個法向量，
所以，
因為二面角為鈍角， 所以二面角的余弦值為.
典例2、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）1.
解：（1）證明：連接交于點，連接，易知為中點，
在中，，分別為，中點， ∴為的一條中位線， ∴，
∵平面，平面， ∴平面.
（2）過點作交于點，則點到平面的距離，即點到平面的距離，
∵平面，平面， ∴，
又，，平面，平面，
∴平面，則點到平面的距離即為的長度，
在中，，，故，
又，故，則，
∴， ∴，
∴，即點到平面的距離為.
（3）以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由（2）可得，，，，
∴，，，，
設平面的一個法向量為，則，則可取，
設平面的一個法向量為，則，則可取，
∴， ∴二面角的正弦值為1.
隨堂練習：答案： （1）；（2）.
解：（1）取的中點，連結，則平面，
是等邊三角形，，
以為原點，分別以，，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，
則，0，，，，，，0，，，，，，0，，
，，，，0，，，0，，
設平面的法向量為，，，則，即，
令可得，0，，
點到平面的距離為.
（2），，，，0，，
設平面的法向量為，，，則，即，
令可得，，， ，，
二面角的余弦值為.
典例3、答案：（1）；（2）．
解:（1），由于平面，
從而即為三棱錐的高，故．
設點到平面的距離為．
由平面得，又由于，故平面，所以．
由于，所以．故．
因為，所以．
（2）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點的坐標為，，，．
設， 因為，所以，
由，得，
又， 從而．
即時，． 又因為，所以． ，，
設平面的一個法向量為， 則，，
即得：，令，則．
所以是平面的一個法向量．
又，，
設平面的一個法向量為， 則，，
即，取，則，， 所以是平面的一個法向量．
從而，
由圖知二面角為鈍角故二面角的余弦值為-．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：若選條件①，取AD的中點為G，連接EG，GF，則，，
因為平面，平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因為， 所以平面∥平面，
又因為平面，所以∥平面PAB.
若選條件②，取BC的中點為G，連接EG，GF，則∥，∥，
因為平面，平面，平面，平面，
因為，所以平面∥平面PAB，
又因為平面EFG，所以∥平面PAB.
取AB中點為O，連接PO，CO， 因為，所以，
又因為平面PAB，平面平面ABCD，平面平面
所以平面ABCD，
又因為，，，所以，
又因為，，為AB中點，所以，，
又因為，所以四邊形OADC為矩形，所以，
故以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間
直角坐標系如圖，則，，，，所以，
又因為M在PD上，所以存在，使，所以，
又因為，所以，所以，
又因為，，
設平面PAD的法向量，則，所以，取，則. 所以.
設直線CM與平面PAD所成角為，
則，
故，所以或， 又因為，所以， 即.
典例4、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：連接． 因為四邊形是菱形，所以．
又平面，所以．
因為，所以平面． 又，所以平面就是平面，
因為平面，所以．
（2）設，相交于點O，以O為坐標原點，
，所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
不妨設，
則
設平面的法向量為，，，
則，取，可得．
取的中點G，連接．易證平面平面，
因為是正三角形，所以，
從而平面，即是平面的一個法向量．
因為，，所以，
所以，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析; （2）.
解：（1）取中點，連接，，
因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以.
因為是等邊三角形，所以.
，平面，平面， 所以平面.
因為平面，故.
（2）在中，，，，由余弦定理可得，
，故.
如圖，以，及過點垂直于平面的方向為，，軸的正方向
建立空間直角坐標系，
可得，所以，，，
設為平面的一個法向量， 則，即，
令，可得.
設為平面的一個法向量，
則，即， 令，可得.
所以，
故平面與平面夾角的余弦值為.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：過C作交AB于G，連接，
∵面面ABE，且AB為交線，平面， ∴面ABE，
又平面，∴，
∵，∴，
即，
即， ∴，即，
∵平面， ∴面ABCD，
又平面，∴；
（2）過D作交AB于O， ∴，∴面ABE，
由（1）得，
以O為坐標原點，以，，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，
由，，得，，，
∴，，，，，
∴，，，，
設面ADE，面BCE的法向量分別為，，
∴，即，令，則，
，即，令，則，
∴，
∴面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）．
解：（1）證明：∵，， ∴，，又，，
∴，且四邊形為直角梯形，，則，
∴， ∴，∴，
又∵平面，平面，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面AOP，∴．
（2）以為坐標原點，直線，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
，則，，．
易知平面的法向量為．
設平面的法向量為，
∵，， 由，有，
令，從而，，∴．
設二面角的平面角為，則，
即二面角的余弦值為．
典例6、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）設，則中點為M，且
∵平面平面且交線為，平面，∴平面，
∵平面，∴， 又直三棱柱，∴，
∵平面， ∴平面，
∵平面，∴.
（2）由（1）知平面， 所以直線與平面所成的角為，
不妨設
以B為原點，分別為x，y，z軸正向建立坐標系，，
設平面的法向量為 ，故可設，
設平面的法向量為， ，故可設，
設平面與平面所成銳二面角為， ∴.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）直三棱柱， 平面，并且平面 ，
又，且，平面 平面，
又平面， .
（2），，兩兩垂直，以為原點，建立空間直角坐標系，
如圖，則，所以的中點，則，，，
設平面的一個法向量，則，可取，
設平面的一個法向量，則，可取，
則，因所求角為鈍角，所以二面角的余弦值為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題二
知識點一 證明線面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法
典例1、如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點.
（1）求證:; （2）求二面角的大小.
隨堂練習：如圖，在正四棱錐中，，點M，N分別在上，且．
（1）求證：平面； （2）當時，求平面與平面所成二面角的正弦值．
典例2、如圖所示多面體中，底面是邊長為3的正方形，平面，，
，是上一點，．
（1）求證：平面； （2）求二面角的正弦值．
隨堂練習：在四棱錐中，，，，，且，
，平面平面.
（1）證明：//平面； （2）求二面角的余弦值.
典例3、如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，
，為的中點.
（1）求證：平面； （2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）點在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.
隨堂練習：如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，是線段的中點，設平面
與平面的交線為.
（1）證明∥平面BCM
（2）已知，為上的點，若與平面所成角的正弦值為是，求線段的長.
（3）在（2）的條件下，求二面角的正弦值.
知識點二 求點面距離,面面角的向量求法
典例4、如圖，四棱錐的底面是正方形，平面ABCD，.
（1）求點A到平面SBC的距離；（2）求二面角的大小.
隨堂練習：如圖，在長方體中，，，為的中點．
（1）證明：；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的平面角的余弦值．
典例5、已知正三棱柱底面邊長為2，M是BC上一點，三角形是以M為直角頂點等腰直角三角形.
（1）證明M是BC中點；（2）求二面角的大小；（3）直接寫出點C到平面的距離.
隨堂練習：如圖，三棱柱的棱長均為2，點在底面的射影O是的中點.
（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面所成角的余弦值.
典例6、如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，，，，．
（1）求證：平面； （2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
（3）求點到平面的距離．
隨堂練習：如圖，平面，，，，，
點，，分別為，，的中點．
（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大小；
（3）若為線段上的點，且直線與平面所成的角為，求線段的長．
空間向量和立體幾何高考復習專題二答案
典例1、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）依題意，平面，如圖，以為原點，
分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系.
依題意，可得，，
， ，即；
∵，為的中點，∴
（2），平面,
平面，故為平面的一個法向量.
設平面的法向量為，
， 即，
令，得，故. ，
由圖可得二面角為鈍角，
二面角的余弦值為，則二面角的大小為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 2（2）
解：（1）證明：連接AN并延長交BC于點E，
因為正四棱錐P ABCD，所以ABCD為正方形，所以．
又因為，所以，所以在平面PAE中，，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
（2）連接AC交BD于點O，連接PO，
因為正四棱錐P ABCD，所以平面ABCD，
又OA，平面ABCD，所以，，
又正方形ABCD，所以．
以，，為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
因為，所以，則，，
設平面AMN的法向量為，則，
取，； ，，
設平面PBC的法向量為， 則
取，； 所以，
設平面AMN與平面PBC所成的二面角為， 則，
所以平面AMN與平面PBC所成二面角的正弦值為．
典例2、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：過點作，交于點， 則，即，
因為，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
又平面，平面， 所以平面.
（2）由題意以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，平面的法向量為，
則，， 即，，
令，，則，，
設二面角為， 所以，即，
所以二面角的正弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）設點滿足，即，結合條件，
即，，即；
由條件，即，可得：，顯然線段不共線，
從而可得四邊形為平行四邊形，即可得：//，平面，
平面，故可得：//平面
（2）過點作作的垂線，垂足為，平面，
平面平面，平面平面，可得：平面
∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根據余弦定理：，
根據上述分析可得：，從而可得：.
綜上可得：三條直線兩兩垂直.故以點為原點，方向為軸，
方向為軸，方向為軸建立空間直角坐標系.則有點，， ，，，
設平面的法向量為，則可得：，
即有，令，可得；
平面與平面為同一個平面，顯然平面的一個法向量為.
可得：，結合圖形可知是銳二面角，
從而可得二面角的余弦值為
典例3、答案：（1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）記的中點為，連結，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，則，
因為，所以平行四邊形是矩形，則，
因為平面，平面，所以，則兩兩垂直，
（2）故以為坐標原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，，
因為為的中點，所以，則，
設平面的一個法向量為，而，，
則，令，則，
所以，則，
又平面，所以平面．
.
設平面的一個法向量為，而，，
所以，令，則，
設平面的一個法向量為，而，，
所以，令，則，
記平面與平面夾角為，則，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（3）依題意，不妨設，則，，
又由（2）得平面的一個法向量為，記直線與平面所成角為，
所以，解得（負值舍去），
所以，則， 而由（2）得平面的一個法向量為，
所以點到平面的距離為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）在正方形中，，
因為平面，平面，所以∥平面，
又因為平面，平面平面，所以，
因為平面
，平面，所以∥平面
（2）如圖建立空間直角坐標系，
因為，則有，，，，，
設，則有，，，
設平面的法向量為，則，即，令，則，
所以平面的一個法向量為，則
因為與平面所成角的正弦值為是，
所以， 解得.所以.
（3）由（2）可知平面的一個法向量為
因為是線段的中點，所以
于是，，設平面的法向量
則，即.令，得，，
，所以二面角的正弦值為.
典例4、答案：（1）；（2）.
解:（1）設點A到平面SBC的距離為，因為平面ABCD，平面ABCD， 所以，
因為四邊形為正方形，所以， 因為，所以平面，
因為平面，所以， 因為，所以，
因為， 所以，
所以，解得， 所以點A到平面SBC的距離為，
（2）如圖，以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，
則， 所以，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
平面的一個法向量為， 所以，
由圖可知二面角為銳角， 所以二面角的大小為
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.
解:（1）如圖，以為原點，分別以，，的方向為，，軸正方向建立空間直角坐標系，
則，，，， 所以，．
因為， 所以．
（2）由（1），得，， 所以，，．
設平面的一個法向量為，
則，即，令，則，， 所以，
則點到平面的距離．
（3）因為，所以． 由（1）可知，且，
所以平面，即是平面的一個法向量．
由（2）得是平面的一個法向量，
所以．
又二面角的平面角是銳角， 所以二面角的平面角的余弦值為
典例5、答案：（1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）證明：在正三棱柱中，有底面，面，，
又是以點為直角頂點的等腰直角三角形， 且
，面 面，
面， ，
底面是邊長為2的正三角形， 點為中點．
（2）過作，交于．
以為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系．
由（1）知，，，，
，則、，，，
所以，，，
設面的一個法向量為，
則，取，得，
令面的一個法向量為， 則，令，則
設二面角的大小為，由圖知為銳角，
故，解得． 故二面角的大小為．
（3）過點作，由（1）知且，平面，
平面， 在平面內， ，
又，平面， 平面
由（1）知，，，，
， ， 點到平面的距離為．
隨堂練習：答案：（1）；（2）.
解:（1）由點在底面的射影O是的中點，可得平面，
又由是等邊三角形，所以兩兩垂直，
以分別為建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為三棱柱的棱長都是2，所以得，
可得，所以，
在平面中，，
設法向量為，則有，可得，
取，可得，所以平面的一個法向量為，
記點到平面的距離d，則.
（2）在平面中，，
設法向量為，則有，可得，
取，可得，所以，
設平面與平面所成角為，則，
所以平面與平面所成角的余弦值.
典例6、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）．
解:（1）證明：∵四邊形為直角梯形，四邊形為矩形， ∴，，
又∵平面平面，，且平面平面，∴平面
以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，
所在直線為軸建立空間直角坐標系，
，，，，， 則，．
∵，， ∴為平面的一個法向量．
又， ∴，即平面．
（2）由（1）知， 由（1）知，，
設平面的一個法向量，
則，∴， ∴平面AEF的一個法向量，
則， 平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
（3）由（1）知，又平面的一個法向量，
所以點到平面的距離．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）； （3）.
解：（1）證明：連接，，， ，
又，四邊形為平行四邊形.
點， 分別為，的中點， ，.
，，為的中點， ，, ，.
四邊形為平行四邊形. .
平面，平面， 平面.
（2）平面，，可以建立以為原點，
分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
依題意可得，，，，，，，，，，，，
設平面的法向量為，
則，令，則，即.
設平面的法向量為，
則，令，則，，即.
設平面與平面夾角為， 則.
所以平面與平面夾角為.
（3）設，即，
則，所以. 由知平面的法向量為，
由題意可得，
即，整理得， 解得或.
因為，所以. 所以，， 則.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題三
知識點一 線面垂直證明線線垂直,空間垂直的轉化,已知線面角求其他量
典例1、四棱錐中，底面為梯形，，，，，
為直二面角．
（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度．
隨堂練習：如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點，平面平面，為正三角
形，E，F分別是棱上的點，且滿足．
（1）求證：；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
典例2、在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，．
（1）證明：；
（2）點F在線段PD上，試確定點F的位置使BF與平面PAB所成的角的正弦值為．
隨堂練習：在如圖所示的多面體中，平面，平面，，且，
是的中點．
（1）求證：．（2）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角是60°．若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．
典例3、如圖（1），是中邊上的高線，且，將沿翻折，使得平
面平面，如圖（2）．
（1）求證：；（2）圖（2）中，是上一點，連接、，當與底面所成角的正切值為時，求直線與平面所成角的正弦值．
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點，分別
為，的中點．
（1）取的中點，連接，若平面平面，求證：；
（2）已知，，若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面 的夾角的余弦值．
知識點二 面面平行證明線線平行,面面角的向量求法,點到平面距離的向量求法
典例4、如圖，在直三棱柱中，為棱上靠近的三等分點，為棱的中點，點在棱上，且直線平面.
（1）求的長;（2）求二面角的余弦值.
隨堂練習： 已知底面ABCD為菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截幾何體如圖所示.
（1）若，求證：；
（2）若，，三棱錐GACD的體積為，直線AF與底面ABCD所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值.
典例5、如圖，在正方體中，為棱的中點，棱交平面于點．
（1）求證：平面平面；（2）求證：；（3）求二面角的余弦值．
隨堂練習： 如圖，三棱柱中，面面，．過
的平面交線段于點（不與端點重合），交線段于點．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）若到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值．
典例6、已知是邊長為4的等邊三角形，E，F分別是，的中點，將沿著翻折，得到四棱錐，平面平面，平面平面.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點C到平面的距離.
隨堂練習： 如圖所示，在中，斜邊，，將沿直線AC旋轉得到，
設二面角的大小為．
（1）取AB中點E，過點E的平面與AC，AD分別交于點F，G，當平面平面BDC時，求FG的長；
（2）當時，求二面角的余弦值．
（3）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
空間向量和立體幾何高考復習專題三答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）取的中點,連接，交于,連接,所以,
因為，，， 所以且,
所以四邊形為菱形，所以, 因為，為的中點，所以,
所以為的二面角的平面角，
因為二面角為直二面角， 所以，即,
因為，，平面, 所以平面,
又因為平面，所以. 又因為為的中點，為的中點，
所以,所以；
（2）由（1）知，，，，以為坐標原點，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，，由,得，
所以， 所以，
設為平面的一個法向量，則，即，
令，則，，
設直線與平面所成角為，則，
因為直線與平面所成角的正弦值為，，
所以，解得，
由（1）知，為的中點，所以. 所以的長度為.
隨堂練習：答案：（1）證明過程見解析； （2）存在，.
解：（1）設的中點為，連接， 因為是圓O的直徑，所以，
因為平面平面，平面平面，
所以平面，而平面， 所以；
（2）連接，因為，所以，
因為為正三角形，的中點為， 所以，
因為平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設， ，
設平面的法向量為， ，
所以有，
所以，，
假設存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，
所以有，或（舍去），
即存在，使得直線與平面所成角的正弦值為.
典例2、答案：（1）證明見解析 （2）點F在PD的中點處
解：（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴
取AB中點E，連接DE，∵，
∴，又∵，∴．
∴△ABD為直角三角形，且AB為斜邊，∴，
又，PD面PAD， AD面PAD， ∴BD⊥面PAD，又PA面PAD，∴
（2）由（1）知，PD，AD，BD兩兩互相垂直，分別以DA，DB，DP為x、y、z軸
建立如圖空間直角坐標系，
則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，
設平面PAB的一個法向量為， 則，則可取．
設點F的坐標是，則BF的坐標是(0,－,t)，
設BF與平面PAB所成的角為，
則 解得或
點F在線段PD上，則，即點F在PD的中點處滿足題意.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析； （2）存在，為棱的中點.
解：（1）∵，是的中點，∴. 又平面，∴.
∵，平面，平面，∴平面.
∵平面，∴．
（2）以為原點，分別以，為x，y軸，如圖建立坐標系.
則：，，，，，
，，，.
設平面的一個法向量，則：，
不妨取，，，所以.
假設在棱上存在一點，使得直線與平面所成的角是60°，
設且，，∴，
∴，，， ∴，
若直線與平面所成的角為60°，
則：，解得. 即點為棱的中點
所以在棱上存在一點，使直線與平面所成的角是60°.
典例3、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：由圖（1）知，在圖（2）中，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面， ；
（2）以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
不妨設則，，，，
設，由，，可得，
又平面的一個法向量為，，
由與底面所成角的正切值為，可得，
，解得， ，
設平面的法向量為，，，
由可取， 所以，
故直線與平面所成角的正弦值為．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）平面平面，且交線為， 過點作的垂線，垂足記為，
由于平面，所以平面， 由于平面，所以，
又平面，平面，所以，
由于是平面內的相交直線，
所以平面， 由于平面，所以.
（2）由于，，所以，
所以，由于平面，平面，
所以，即兩兩垂直.
以為坐標原點，向量，，方向分別為，，軸建立空間直角坐標系．
設，則，，， 故，，
設平面的一個法向量為，則， 即，
令，則，，故，
易得平面的一個法向量為，又，
設直線與平面所成角為， 則，解得，
設平面與平面的夾角為， 則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）在上取一點，使得，連接.
由已知得 ，所以 所以.
因為平面，平面， 所以平面.
又因為平面 ，平面， 所以平面平面.
平面平面，平面平面，
根據面面平行的性質可知.
在矩形中，可得， 所以，所以.
（2）以為坐標原點，分別以所在直線為 軸建立空間直角坐標系.
則.
，，
設平面的法向量為 ，
則，所以，取得
設平面的法向量為，
則所以取，得
所以
結合圖可知二面角的余弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）連接BD，交AC于點O，底面ABCD為菱形，∴，
由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，
又，BD，平面BDG， ∴平面BDG，因為平面BDG，∴
已知，又，AC，平面ACE， ∴平面ACE，
因為平面BDG，∴平面平面CFGD
平面平面，平面平面，
∴，則
（2）已知，，可求，
由，則
在直四棱柱中，底面ABCD，
所以為直線AF與底面ABCD所成角，，則
在平面ACF內作，可知底面ABCD，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，
則，，，，，
則
設平面BCE的法向量為， 則
取，得，，得，
由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一個法向量為
則， 所以銳二面角的余弦值為
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）
解：（1）在正方體中，平面.
因為平面，所以． 又因為是正方形，所以．
又因為，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在正方體中，平面平面.
又平面平面，平面平面，則．
又因為且，所以是平行四邊形．所以． 所以.
（3）因為底面，，所以兩兩垂直. 以所在直線分別為 軸、軸和軸，建立空間直角坐標系．設正方體邊長為，
則， ，，．
設平面的一個法向量為， 由得
令， 得.
因為平面，所以是平面的一個法向量
所以． 由圖可知，二面角的余弦值．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，平面，平面，則平面，
又平面平面，平面，于是得，
而平面平面，平面平面，平面平面，
則，所以四邊形為平行四邊形.
（2）在平面內過點A作，因平面平面，平面平面，
于是得平面，又，以點A為原點，建立如圖所以的空間直角坐標系，
因，，則，
，
，
設平面的法向量，則，令，得，
點B到平面的距離，解得，
因此，，而，設直線與平面所成角為，
于是得，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
典例6、答案： （1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）在中，E，F分別是，的中點，所以.
在四棱錐中，因為，平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以，
因為平面，平面，所以平面.
（2）在四棱錐中，取的中點O，的中點D，連結，，
因為，，又平面平面，平面平面，
平面， 所以平面，
因為平面，所以.
以點O為坐標原點，，，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，，，， ，，.
設是平面的一個法向量，
則，令，得，，即，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）由（2），點C到平面的距離.
隨堂練習：答案：（1）1；（2）；（3）不存在.
解:（1）如圖所示：
因為平面平面BDC，平面平面BDC=BD，平面平面EFG=EG， 所以，
因為E為AB的中點，所以G為AD的中點， 同理可證F為AC的中點， 所以，
在中，斜邊，， 所以，即， 所以；
（2）過點B作，連接DO，則，面，
因為，則平面平面ABC，因為平面平面ABC=AC， 所以平面ABC，
以O為原點，建立如圖所示空間直角坐標系；
在中，斜邊，， 所以，
則， 所以 ，
設平面BCD的一個法向量為， 則，即，
令 ，得 ，則， 因為平面ACD，
所以是平面ACD的一個法向量， 所以.
即二面角的余弦值是．
（3）假設存在，則，，
，
解得，則， 因為， 所以不存在，使得.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題四
知識點一 證明線面平行,線面角的向量求法
典例1、如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為的正方形，.再從條件①：、條件②：、條件③：平面平面、中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答.
（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習： 如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，點，分別是，
的中點，若，.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
典例2、如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，丄平面，且
，，點是的中點.
（1）求證:平面; （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習： 如圖，在直三棱柱中，D，E分別是棱AB，的中點，，．
（1）求證：平面；
（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得各條件相融．并求直線 與平面所成的角的正弦值．
條件①：； 條件②：； 條件③：到平面的距離為1．
典例3、在①平面平面，②，③平面這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.
如圖，在四棱錐中，底面是梯形，點在上，，，，，且______.
（1）求證：平面平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習： 已知底面為菱形的四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面平面
ABCD，E，F分別是棱PC，AB上的點.
（1）從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立；
①F是AB的中點；②E是PC的中點；③平面PFD.
（2）若.求PB與平面PDC所成角的正弦值.
知識點二 證明線面平行,線面角的向量求法
典例4、如圖，在四棱錐中，，，平面ABCD，，
M為PC的中點.
（1）求證：平面PAD；
（2）設點N在平面PAD內，且平面PBD，求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，平面，，，，為
中點，___.
（1）求證：四邊形是直角梯形； （2）并求直線與平面所成角的正弦值.
從①；②平面這兩個條件中選一個，補充在上面問題中，并完成解答.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
典例5、如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點D為棱AC
上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E.
（1）求證：；
（2）若，從條件① 條件② 條件③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求直線AB與平面 所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，平面，，，，
，點，分別為棱，的中點.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
典例6、如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB
的中點，______．從①；②平面PAD這兩個條件中選一個，補充在上面問題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形． （2）求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．
（3）在棱PB上是否存在一點F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的
中點.
（1）證明:平面;
（2）在①，②這兩個條件中任一個，補充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角. 注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
空間向量和立體幾何高考復習專題四答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）選①②：由，，，易知：，
又，，面，則面；
選①③：由，，，易知：.
又面面，面面，面， ∴平面
（2）由（1）知：，，又四邊形是正方形，則，
如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，
∴，，
設面的一個法向量為，則，即
令，則，，即，
設直線與平面所成角為，則，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點，連接，
分別為中點，，；
四邊形為矩形，為中點，，；
且，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面.
（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，， ，，，
設平面的法向量，
則，令，解得：，，；
， 即直線與平面所成角的正弦值為.
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）連接BD交AC于F點，連接EF， 在中，∵EF是中位線，∴．
又∵平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC．
（2）由題意知，AC，AB，AP兩兩互相垂直，如圖，
以A為坐標原點，射線AC，AB，AP分別為x，y，z軸的正半軸
建立空間直角坐標系A-xyz．
則，，， ∴，
易知平面PAB的一個法向量為，
設直線CE與平面PAB所成角為，
則．
∴直線CE與平面PAB所成角的正弦值為．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取的中點為，連接.
分別是，的中點, . D是的中點，
直三棱柱， .，.
四邊形為平行四邊形.
又平面，平面，所以平面.
（2）選擇條件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以為原點，分別以所在方向為軸，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則， 所以，
設為平面的一個法向量， 則， 即，
令，則，，
設直線DE與平面所成的角為，則
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
選擇條件②：； 取的中點為，連接.
直三棱柱，分別是，的中點,
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分別是，的中點, ，.
以為原點，分別以所在方向為軸，軸，軸建立
如圖所示的空間直角坐標系，
則， 所以，
設為平面的一個法向量，則 ，即，
令，則，，
設直線DE與平面所成的角為，則.
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
選擇條件③：到平面的距離為1． 過點作,垂足為，
直三棱柱， 平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因為到平面的距離為1，
所以.又，所以
又因為是的中點, ,所以是的中點, .
又，.
以為原點，分別以所在方向為軸，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
設為平面的一個法向量，則，即，
令，則，，
設直線DE與平面所成的角為，則.
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
典例3、答案：選條件①（1）證明見解析；（2）；選條件②（1）證明見解析；（2）；選條件③（1）證明見解析；（2）.
解:方案一：選條件①.
（1）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面. 又，∴，，兩兩垂直.
以A為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
∴，，.
∵，， ∴，.
又，∴平面. 又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一個法向量為， 又，
設直線與平面所成角為， 則.
方案二：選條件②.
（1）∵底面為梯形，，∴兩腰，必相交.
又，，，平面，
∴平面.
又，∴，，兩兩垂直.
以A為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，. 又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一個法向量為， 又，
設直線與平面所成角為， 則.
方案三：選條件③.
（1）∵平面，平面，∴.
又，，平面，， ∴平面.
又，∴，，兩兩垂直.
以A為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面
（2）由（1）可得平面的一個法向量為， 又，
設直線與平面所成角為，
則.
隨堂練習：答案： （1）答案見解析 （2）
解：（1）選①F是AB的中點，②E是PC的中點為已知條件，證明③平面PFD，
取的中點，連接， 所以，，
，所以四邊形是平行四邊形，，
因為平面，平面，所以平面PFD.
選②E是PC的中點，③平面PFD為已知條件，證明 ①F是AB的中點，
取的中點，連接，
所以，因為，所以，
即平面平面，
因為平面PFD，所以， 所以四邊形是平行四邊形，，
（2）因為，所以 即F是AB的中點.
選①F是AB的中點，③平面PFD為已知條件，證明 ②E是PC的中點，
取的中點，連接， 所以，
四邊形是平行四邊形，，
因為平面，平面，所以平面PFD，
因為平面PFD，，所以平面平面，
平面，所以平面， 平面平面，所以，
因為是的中點，所以E是PC的中點.
取的中點，連接，
因為底面為菱形，，所以，
是邊長為2的等邊三角形，所以，
因為平面平面ABCD，平面平面，
所以平面，以為原點，
分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，
所以，，，，
，，，
設平面的法向量為，所以，即，令，
則， 所以，
設PB與平面PDC所成角的為， 所以.
所以PB與平面PDC所成角的正弦值為.
典例4、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）取PD的中點E，連接EM，AE，則且，
而，，則，又，
所以，，從而四邊形ABME是平行四邊形，故.
因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.
（2）當N為AE的中點時，面PBD，理由如下：
法一：面ABCD，面ABCD， ，又，，平面PAD，
所以面PAD，而面PAD，則，
又，E是PD的中點，即， 而，面ABME，
所以面ABME，在面ABME中作交AE于點N，
所以，又，面PBD，
所以面PBD，易知：，而，，
，即，而， N為AE的中點時，面PBD.
作于G，則面，是BN與平面ABCD所成角，
因為，， ，則.
即直線BN與平面AD所成角的正弦值為.
法二：易得AP，AB，AD兩兩垂直，故以A為原點，直線AB為x軸，直線AD為y軸，直線AP為z軸，建立空間直角坐標系，
則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
設，則，，.
因為平面PBD， 故，可得.
，又平面的法向量為，
設BN與平面ABCD所成角為，則.
即直線BN與平面ABCD所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案： （1）詳見解析 （2）詳見解析
解：選擇①
(1) 證明：如圖所示 因為平面，所以，
又因為，所以
又因為，，即
又因為 所以平面，所以
又因為，所以 又因為 所以四邊形是直角梯形.
選擇②.
因為平面，所以，
又因為，所以
又因為，，即
又因為 所以平面，所以
又因為平面， 平面， 平面∩平面
所以， 又因為 所以四邊形是直角梯形
選擇①.
(2)過作的垂線交于點，由題意易知，，
故以為坐標系原點，以、、為、、 軸建立空間直角坐標系，
如圖所示，由題意知，，，，
因為為的中點，由中點坐標公式知，
所以， ，
設平面的法向量為，則有，即， 令，得
設直線與平面所成的角為， 所以
所以直線與平面所成角的正弦值為 選擇②.解法同①
典例5、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面， 所以.
選①②：連接，取中點，連接，.
在菱形中，所以為等邊三角形. 又為中點，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面， 故，又，所以.
（2）以為原點，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，.
所以，.
設面的一個法向量為，則，令，故.
又，設直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
選②③：連接，取中點，連接，.
在菱形中，所以為等邊三角形.
又為中點，故，且，又，.
所以，則.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以為原點，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，. 所以，.
設面的一個法向量為，則，令，故.
又，設直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
選①③：取中點，連接，.
在中，因為，所以，且，.
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，， 所以，則.
由，面，則面，
由平面，故，又，所以.
以為原點，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，.
所以，.
設面的一個法向量為，則，令，故.
又，設直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因為平面，，，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
則，，，
設平面的一個法向量為， 則，令，則，，
則平面的一個法向量為，
所以，則，又平面 平面；
（2）由（1）得，所以，
設直線與平面所成角為． ．
直線與平面所成角的正弦值為．
典例6、答案：（1）證明見解析 （2） （3）存在，
解：（1）選擇①：證明：平面，平面，，，
因為，，
，，，
，平面，平面，
平面，， ，，
四邊形是直角梯形．
選擇②：證明：平面，平面，，，
，，， ，，
，平面，平面，
平面，， ，四邊形是直角梯形．
（2）過作的垂線交于點， 平面，，，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，0，，，2，，，2，，，0，，，，，
為的中點，，，， ，，，，2，，，2，，
設平面的法向量為，，，則，令，得，1，，
設直線與平面所成角為， 則，．
直線與平面所成角的正弦值為．
（3）設，則，，，，，
，，， 平面，，
，解得． 故存在點F，且．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）
解:（1）連接，交于，連接，
底面是菱形，為中點， 為中點，，
平面，平面，平面；
（2）選①：
以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，
底面是菱形，，，，
則，
設平面的法向量為， 則，取可得，
設與平面所成的角為， 則，
所以與平面所成的角為；
選②：
以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，
取中點，連接，
底面是菱形，，，平面，為的中點，
，平面，，，
， 則，
設平面的法向量為， 則，取可得，
設與平面所成的角為，
則，
所以與平面所成的角為；
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知識點一 證明線面垂直,錐體體積的有關計算,求二面角,面面角的向量求法
典例1、已知平行四邊形，，，點是 的中點.沿把進行翻折，使得平面平面.
（1）求證：平面；
（2）點是的中點，棱上一點使得，求二面角的余弦值.
隨堂練習：如圖，斜三棱柱中，為正三角形，為棱上的一點，平面，
平面.
（1）證明：平面；（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.
典例2、如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結AB，
AC，M為AC的中點.
（1）證明：平面ABC； （2）求二面角的余弦值.
隨堂練習：如圖，在四棱柱中，四邊形和四邊形都是矩形，，四
邊形是一個邊長為4的菱形，.
（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.
典例3、如圖，在多面體中，，，，四邊形是矩形，平面平面，.
（1）證明：平面；（2）若二面角的正弦值為，求的值.
隨堂練習：如圖，多面體中，，，為的中點，四邊形為矩形.
（1）證明：；
（2）若，，當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.
知識點二 線面角的向量求法,線面平行的性質
典例4、如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，平面，為棱 的中點.
（1）求證：平面； （2）再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，
求：直線與平面所成角的正弦值，以及點到平面的距離.
條件①：； 條件②：平面； 條件③：.
隨堂練習：如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面平面，，
M，N分別為，AC的中點．
（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值． 條件①：； 條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
典例5、如圖，在三棱柱中，，D為中點，四邊形為正方形．
（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線 與平面所成角的正弦值． 條件①：； 條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，為
的中點，為上一點，平面.
（1）求證：為的中點；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線 與平面所成角的正弦值. 條件①：； 條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
典例6、如圖，在三棱柱中，側面是邊長為2的正方形，，，分別是，
的中點.
（1）證明：平面；（2）若，再從條件①、條件②中選擇一個作為條件，求直線與平面所成角的正弦值. 條件①：異面直線與所成的角為45°；
條件②：是等腰三角形.
隨堂練習：如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形.再從條件① 條件②
條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）設是的中點，棱上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由. 條件①：；條件②：；條件③：平面平面.
注：如果選擇多種方案分別解答，那么按第一種方案解答計分.
空間向量和立體幾何高考復習專題五答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在中，，，，由余弦定理知，
，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）設是的中點，因為，，則為正三角形，
則，，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∴.
由題可知，，∴為正三角形，∴.
以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，
設，則，
，，
∵，∴，即，解得.
∴當點為棱的中點時滿足題意，即，
設平面的一個法向量為，，，
則，取，得， 又平面的一個法向量為，
∴， 由圖可知，二面角為銳角，∴二面角的余弦值是.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）設，則為的中點.連結，則平面平面.
因為平面，平面，平面 平面= ，所以，
從而為的中點，因此.
因為平面，所以.因為，所以平面.
（2）解法1： 以為坐標原點，為軸正方向，為單位長，
建立如圖所示的建立空間直角坐標系，設.
則，
，故， .
設為平面的法向量則 即可取
設為平面的法向量，則即
可取. 由可得，所以.
設為平面的法向量，則，即 可取.
因為，所以二面角的正弦值為.
解法2：
在平面內過點作，垂足為，因為平面平面，
所以平面，故.由（1）及題設平面，
所以，又，因此平面，所以， 因此.
以為坐標原點，為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的建立空間直角坐標系，
可知，可得
設為平面的法向量，則 即{可取
設為平面的法向量，則， 即可取
因為，于是二面角的正弦值.
所以二面角的正弦值.
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）設，則
，，平面 平面，
連接，，，
，
，即
又 ，平面ABC
（2），以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系
設平面的法向量為，平面的法向量為
，令，則
同理可得，
又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）由矩形得，由矩形得.又，
∴平面.又平面，∴.
又∵四邊形為菱形，∴，而，∴平面.
（2）在菱形ABCD中，，，
由余弦定理可得，則，
于是均為正三角形，取的中點M，易得，且.
以D為坐標原點，分別以，，所在直線為x軸 y軸 z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
則，，.
設平面的法向量為， 則取，得.
設平面的法向量為，則取，得.
設平面與平面的夾角為，則.
典例3、答案：(1)證明見解析. (2) 或.
解: (1)取的中點,連接. 由，，.
則為正方形.所以. 又平面平面，且平面平面.
平面,所以平面. 又平面.則.
又四邊形是矩形，則,且. ∴平面.
(2)由題目條件和（1）可知兩兩垂直.
故以點為原點，以分別為 軸，建立空間直角坐標系.如圖.
設，則. 所以，,,,.
則,,.
設平面的一個法向量為. 所以，即 取
設平面的一個法向量為.所以，即取
二面角的正弦值為，則余弦值為.
即 ，解得：或 所以或.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）四邊形為矩形，，又，為中點，；
平面，，平面，
，平面，又平面，，
，，平面，平面，
又平面，.
（2），，，；
由（1）知：平面，
（當且僅當時取等號），
即時，三棱錐的體積最大， 又為中點，；
則以為坐標原點，為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
，，，
由（1）知：平面，平面的一個法向量為；
設平面的法向量，
則，令，解得：，，，
由圖形可知：二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.
典例4、答案： （1）證明見解析 （2）答案見解析
解：（1）連接，交于，連接，
底面是正方形，故是的中點，又為棱的中點，
所以，在△中，而面，面， 所以平面.
（2）選①：若分別是中點，連接，
由為棱的中點且底面是正方形，易知：，
又共線且，故，
所以為平行四邊形，故，而，則，
在△中，垂直平分，故，即，
由，故，
又平面，平面，則，又，
以為原點，為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則，故，
令為面的一個法向量，則，令，，
所以，即直線與平面所成角的正弦值為，
所以點到平面的距離.
選②：平面，平面，則，為棱的中點，
在△中，垂直平分，故，
又平面，平面，則，又，
以為原點，為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則，故，
令為面的一個法向量，則，令，，
所以，即直線與平面所成角的正弦值為，
所以點到平面的距離.
選③：由平面，平面，則，又，
由，面，故面，面， 所以，
在中，，則，故，
又平面，則，在中，，即，
又平面，平面，則，又，
以為原點，為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則，故，
令為面的一個法向量，則，令，，
所以，即直線與平面所成角的正弦值為，
所以點到平面的距離.
隨堂練習：答案： （1）見解析 （2）見解析
解：（1）取的中點為，連接， 由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，
而，則，
而平面，平面，故平面，
而，則，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
因為側面為正方形，故， 而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因為，故平面， 因為平面，故，
（2）若選①，則，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空間直角坐標系，則，
故，
設平面的法向量為，則，從而，取，則，
設直線與平面所成的角為，則.
若選②，因為，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故， 所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空間直角坐標系，則，
故，
設平面的法向量為，則，從而，取，則，
設直線與平面所成的角為，則.
典例5、答案： （1）證明見解析； （2）
解：（1）證明：取的中點，連接，
在三棱柱中，因為是的中點，所以，，
又因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，
又由且平面，所以平面平面，
因為平面，所以平面.
（2）若選條件①：
因為，，且，平面，所以平面，
又因為平面，所以，
以為原點，以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，
如圖所示：因為且四邊形為正方形， 可得，
則，
設平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
若選條件②：因為四邊形為正方形且，可得，
又因為，所以， 由，所以，
以為原點，以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，
如圖所示：因為且四邊形為正方形，可得，
則，
設平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）取的中點，易知.
因為平面,平面,所以平面.
因為平面，平面， 所以平面平面.
因為平面，所以平面.
因為平面，且平面平面，所以.
因為為的中點，所以為的中點.
（2）選擇條件①：，
因為底面是邊長為2的正方形，所以.
因為平面，所以平面. 因為平面，所以.
因為，所以兩兩垂直，
以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，
則， 所以，
設平面的法向量為， 則，令，得，
設直線與平面所成角為， 則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
選擇條件②：，
因為，,所以.
因為，,所以, 所以，即.
因為底面是邊長為2的正方形，所以.
因為平面，所以平面. 因為平面，所以.
因為，所以兩兩垂直，
以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，
則， 所以，
設平面的法向量為， 則，令，得，
設直線與平面所成角為， 則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
典例6、答案： （1）證明見解析 （2）答案見解析
解：（1）取的中點為，連接，，因為是的中點，
所以且， 又因為且， 所以且，
所以四邊形是平行四邊形， 即，平面
而平面，所以平面.
因為，，且，平面， 所以，
（2）又因為，所以分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系.
選擇條件①，因為為異面直線與所成的角，即，
所以，，
設，則， 解得， 所以，，
，， 所以，，，
設平面的法向量，則
令，則，，即，所以.
選擇條件②，設，則，，，
因為是等腰三角形，所以上式中只能，即，
所以，，，， 所以，，，
設平面的法向量為，則
令，則，，即， 所以.
隨堂練習：答案： （1）證明見詳解 （2） （3）存在點；
解：（1）因所求問題包括線面角大小，需要求出邊長，故①必選，
選②缺垂直條件，因為，又四邊形是邊長為4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面
所以，選①②無法證明平面；
故只能選擇①③，理由如下：因為平面平面，平面平面，
四邊形是邊長為4的正方形，所以，所以平面，
又因為平面，所以，，所以，
又因為，所以，平面，，所以平面；
（2）由（1）知兩兩垂直，故以方向為軸，方向為軸，方向為軸，
建立空間直角坐標系，則，故，，設平面的方向量為，則，即，令，得，故，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；
（3）假設存在設點，使得平面，則，因為平面，所以，，所以，，解得，故，，
所以存在點，為中點，使得平面，此時.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題六
知識點一 錐體體積的有關計算,證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,已知面面角求其他量
典例1、如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，
．
（1）證明：；（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，若存在， 求與所成角的余弦值；若不存在，請說明理由．
隨堂練習：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，側面PAD⊥底面ABCD，E為PA的中點，
過C，D，E三點的平面與PB交于點F，且PA=PD=AB=2.
（1）證明：；
（2）若四棱錐的體積為，則在線段上是否存在點G，使得二面角的余弦值為若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
典例2、如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，，且．
（1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值；
（3）棱上是否存在一點，使直線與平面所成的角是？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．
隨堂練習：請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．
①AB⊥BC，②FC與平面ABCD所成的角為，③∠ABC．
如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中點為F．
（1）在線段AB上是否存在一點G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由； （2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．
典例3、如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，且為的中點.
（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在點使得平面？若存在，請指明點的位置；若不存在，請說明理由.
隨堂練習：如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點，別是邊BC，CD的中點，
，．沿MN將翻折到的位置，連接PA、PB、PD，得到如圖2所示的五棱錐P—ABMND．
（1）在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結論；
（2）當四棱錐P—MNDB體積最大時，在線段PA上是否存在一點Q，使得平面QMN與平面PMN夾角的余弦值為？若存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．
知識點二 證明線面平行,面面角的向量求法
典例4、如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點.
（1）證明:平面; （2）在①，②這兩個條件中任一個，補充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角.
注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
隨堂練習：從①直線與平面ABCD所成的角為60°；②為銳角三角形且三棱錐的體
積為2這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并完成解答．
如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，E，F分別為AB，SC的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）若，，______，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
典例5、如圖，PO是三棱錐的高，點D是PB的中點，.
（1）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作為已知，證明另一個條件成立；條件①：平面；條件②：.注：若條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
（2）若，OB平分，，，在（1）的條件下，求平面PAB與平面PAC夾角的余弦值.
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點.
（1）證明：平面；
（2）請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.
①；②；③與平面所成的角為.
若平面，，且______________，求二面角的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
典例6、如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點F為的中點．
（1）已知點G為線段的中點，求證：CF∥平面；
（2）若，直線與平面所成的角為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇幾個作為已知，使四棱錐唯一確定，求：
（ⅰ）直線到平面的距離； （ⅱ）二面角的余弦值．
條件①：平面； 條件②：； 條件③：平面平面．
隨堂練習：如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側面是菱形，平
面平面，，分別是棱，的中點，是棱上一點，且．
（1）證明：平面；
（2）從①三棱錐的體積為1；②與底面所成的角為60°；③異面直線與所成的角為30°這三個條件中選擇-一個作為已知，求二面角的余弦值．
空間向量和立體幾何高考復習專題六答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）存在，且與所成角的余弦值為
解：證明：連接，設，
因為，則，且為等腰直角三角形，
因為，則，
因為，由余弦定理可得，
所以，，則， 平面，平面，，
，平面，平面，.
（2）因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則、、、、，
設，其中，
則，，
設平面的法向量為，
則，取，可得，
易知平面的一個法向量為，由題意可得，
因為，解得，此時，，
，，
所以，，
因此，在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，
且與所成角的余弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析；（2）存在，.
解:（1）證明：由題意得，AB//CD， 又AB 平面PAB，CD平面PAB，∴CD//平面PAB.
又CD 平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF， ∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.
（2）取AD的中點為O，連接PO，PA=PD，PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，則AD·PO=4， 又PO2+=4，∴PO=，AD=2.
取BC的中點為H，以OA，OH，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)，
∴=(，2，－)， =(0，－2，0).
假設存在點G，設，∴，則，
∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))，
設平面GCD的法向量為，
，可取，
又平面的一個法向量，二面角G－CD－B為銳角，
∴，解得λ=或λ=3（舍）.
存在點G，使得二面角G－CD－B的余弦值為，此時.
典例2、答案： （1）證明見解析 （2） （3）存在，，理由見解析.
解：（1）在正方形中，，又因為，，
所以面，因為面，所以，
因為，，，所以面，
因為面，所以， 因為，所以平面；
（2）由已知可得，，兩兩垂直，以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，連接，可得，
因為，所以，所以，，，，
，，，
設平面的一個法向量，
由，令，則，，所以，
設平面的一個法向量，
由，則，令，則，所以，
所以，
（3）因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.
存在，理由如下：
假設在棱上是否存在一點滿足條件，設，，
則，
因為平面，所以平面的一個法向量為，
所以
解得：，，
所以在棱上是否存在一點，使直線與平面所成的角是且的長為.
隨堂練習：答案： （1）存在，G是線段AB的中點，證明見解析；（2）詳見解析
解:(1)在線段AB上存在中點G，使得AF∥平面PCG．
證明如下：如圖所示：
設PC的中點為H，連結FH， 因為，， ，，
所以 所以四邊形AGHF為平行四邊形， 則AF∥GH，
又GH 平面PGC，AF 平面PGC， ∴AF∥平面PGC．
(2)選擇①AB⊥BC： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
由題意知AB，AD，AP彼此兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA＝AB＝2， 則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，(﹣2，﹣1，1)，
設平面FAC的一個法向量為(x，y，z) ∴，
取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)， 平面ACD的一個法向量為(0，0，1)，
設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，則cosθ， ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
選擇②FC與平面ABCD所成的角為：
∵PA⊥平面ABCD，取BC中點E，連結AE，取AD的中點M，連結FM，CM，
則FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD， FC與平面ABCD所成角為∠FCM，∴，
在Rt△FCM中，CM， 又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直， 以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA＝AB＝2， ∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)，
E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，( ，0，1)，
設平面EAC的一個法向量為(x，y，z) 則，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的一個法向量為：(0，0，1)，
設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，
則cosθ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
選擇③∠ABC： ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，取BC中點E，連結AE，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC的中點，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直，
以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA＝AB＝2，∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)，
E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，( ，0，1)，
設平面EAC的一個法向量為(x，y，z)，則，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的法向量(0，0，1)，
設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ， θ則cosθ．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
典例3、答案： （1）證明見詳解； （2）； （3）存在，為中點.
解：（1）平面，平面,
又又平面，
又平面,得證.
（2）為中點，過作于，連， 在中，為中點
又平面，平面, 為二面角的平面角，
在直角梯形中，
又 在中，
二面角的余弦值為.
（3）的中點為為的中位線，，
為平行四邊形，又平面,平面 平面.
隨堂練習：答案： （1）在翻折過程中總有平面PBD⊥平面PAG，證明見解析
（2）符合題意的點存在且為線段的中點．
解：（1）證明如下：∵點，分別是邊，的中點，
又，∴，且是等邊三角形， ∵是的中點，∴，
∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面， ∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）由題意知，四邊形為等腰梯形， 且，，，
所以等腰梯形的面積，
要使得四棱錐體積最大，只要點到平面的距離最大即可，
∴當平面時，點到平面的距離的最大值為.
假設符合題意的點存在．
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，又，
又，且，平面，平面，
平面，故平面的一個法向量為，
設（）， ∵，，故，
∴，，
平面的一個法向量為， 則，，
即
令，所以 ，
則平面的一個法向量， 設二面角的平面角為，
則，即，解得：，
故符合題意的點存在且為線段的中點．
典例4、答案：（1）證明見解析；（2）
解: （1）連接，交于，連接，
底面是菱形，為中點， 為中點，，
平面，平面，平面；
（2）選①：
以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，
底面是菱形，，， ，
則，
設平面的法向量為， 則，取可得，
設與平面所成的角為， 則，
所以與平面所成的角為；
選②：
以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標系，
取中點，連接，
底面是菱形，，，平面，為的中點，
，平面，，，
則，
設平面的法向量為， 則，取可得，
設與平面所成的角為， 則，
所以與平面所成的角為；
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖所示，取的中點為，連接，，
為中點，所以，
所以且，
因為為中點，四邊形為菱形，所以且，
所以且， 所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面．
選擇條件①：
因為平面，所以直線與平面所成角為．
因為，，所以，所以為正三角形．
取中點為，連接，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示
則，，，，，
，，．
設平面的一個法向量
則，即，令，則，
設平面的一個法向量，
則，即，令，則，
設平面與平面所成銳二面角為，則，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
選條件②：由，
解得， 因為，所以．則其對角,
取中點為，連接，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，以下步驟與選①一致.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）選擇條件①：平面PAC，證明條件②：成立. 延長BO交AC于點Q，連結PQ，
因為平面PAC，平面，平面PAC平面，則，
∵是PB的中點，∴，
連結OA，∵，∴，
∵是三棱錐的高，∴平面ABC，、平面ABC，
∴，，∴， ∴，∴；
選擇條件②：，證明條件①：平面成立.
取AB的中點E，連結OE、PE、DE，則， ∵PO是三棱錐的高，
∴平面ABC，平面ABC，∴，
又，平面POE，， ∴平面POE，平面POE，∴，
∵，∴，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，
又∵D是PB的中點，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，
∵，平面， ∴平面平面PAC，平面，
∴平面PAC；
（2）選擇條件①：由（1）得，取AB的中點E，連結OE，則，
∵，，∴，，
以點O為原點，OE，OP所在的直線分別為y軸，z軸，過和平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意可得，，，，，
設是平面的一個法向量，則，
∴，令，則，∴，
設是平面的一個法向量，則，
∴，令，則，∴，
∴，由圖，平面與平面夾角為銳二面角，
∴平面與平面夾角的余弦值為.
選擇條件②：由（1）得，∵，，∴，
以點O為原點，OE，OP所在的直線分別為y軸，z軸，過和平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意可得，，，，，
設是平面的一個法向量，則，
∴，令，則，∴，
設是平面的一個法向量，則，
∴令，則，∴，
∴，平面與平面夾角為銳二面角，
∴平面PAB與平面PAC夾角的余弦值為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）設AC,BD交于點O，因為是菱形，所以O為BD的中點.
連結OF.因為為的中點，所以為的中位線，所以.
因為面，面， 所以平面.
（2）過O作.以O為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.
選條件①：.
在菱形中， .因為，所以,.所以,,,,,,.
所以,.
設為面ACF的一個法向量，則：，不妨令x=2，則.
顯然為面ACD 的一個法向量. 設二面角的平面角為，由圖示，為銳角，
所以.
選條件②.
在菱形中，，所以,所以.因為，
所以,.
所以,,,,,,.
所以,.
設為面ACF的一個法向量，則：，
不妨令x=2，則. 顯然為面ACD 的一個法向量.
設二面角的平面角為，由圖示，為銳角，
所以.
選條件③：與平面所成的角為.
因為平面，所以為與平面所成的角，即.
在直角三角形中，由可得：.所以,.
所以,,,,,,.
所以,.
設為面ACF的一個法向量，則：，
不妨令x=2，則. 顯然為面ACD的一個法向量.
設二面角的平面角為，由圖示，為銳角，
所以.
典例6、答案：（1）證明過程見詳解 （2）（ⅰ）；（ⅱ）.
解：（1）取的中點，連接，，，；
因為分別為的中點，所以，平面，
平面，所以平面，
又因為分別為的中點，四邊形為平行四邊形，
所以且，則四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，所以平面，
因為，平面，所以平面平面，
因為平面，所以平面.
（2）選擇條件①和③
（ⅰ）因為平面，所以即為直線與平面所成的角，
由題意可知：，又，所以.
因為平面平面，且平面平面，因為平面，
所以，所以平面，平面，所以,
則四邊形為矩形，因為，所以，
設點到平面的距離為，由平面可知：，
在中，，
因為為的中點，所以，
所以，，
因為，平面，平面，所以平面，
所以點到平面的距離也就是直線到平面的距離.
因為，即，
也即，所以 故直線到平面的距離為.
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，則，，，
設平面的法向量為，平面的法向量為，
則有，也即，令，則；
則有，也即，令，則，
則，
由圖可知：二面角為銳二面角， 所以二面角的余弦值為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：取的中點，連接，，因為，分別是棱，的中點，
則，， 四邊形為平行四邊形，
， 平面，平面， 平面．
（2）在平面ACC1中過點作于，連接，
平面平面，平面平面， 平面，
選擇條件①：
三棱錐的體積，，
在中，， 點為的中點，，
故以為原點，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，則，即，
令，則，，， ，
顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．
選擇條件②：
與底面所成的角為，，， 點為的中點，，
故以為原點，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，， ，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，則，即，
令，則，，， ，
顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．
選擇條件③：
， 即為異面直線與所成的角，即，
，， ，即，，
故以為原點，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，， ，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，則，即，
令，則，，， ，
顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題七
知識點一 錐體體積的有關計算,證明線面垂直,已知面面角求其他量
典例1、如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點、作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點．
（1）證明：平面；
（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積．
隨堂練習：已知平面四邊形，，（如圖1所示），現將 沿邊折起，使得平面平面，點為線段的中點，為線段上一點，（如圖2所示）．
（1）求證：平面；
（2）若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．
典例2、如圖，在三棱柱中，平面，四邊形為菱形．
（1）證明：平面；
（2）若，，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．
隨堂練習：如圖所示，在三棱錐中，，為的中點.
（1）證明：平面；
（2）若點在棱上，且二面角為，求三棱錐的體積.
典例3、如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，G為的重心，M為線段的中點，與交于點F．
（1）當時，證明：平面；
（2）當平面與平面所成銳二面角為時，求三棱錐的體積．
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側面是正三角形，側面底面
，M是的中點．
（1）證明：平面；
（2）若，且二面角的大小為30°，求四棱錐的體積．
知識點二 證明線面垂直,面面角的向量求法
典例4、如圖，在四棱錐中，底面是矩形且，M為的中點，，．
（1）證明：平面；
（2）若，與平面所成的角為45°，求二面角的正弦值．
隨堂練習：如圖，四邊形是正方形，平面，，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
典例5、已知四棱錐 中，底面 ，平面平面 ，，.
（1）求證：平面 ；
（2）若 ，求二面角的余弦值.
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面為等邊三角形且垂直于底面
，分別為的中點．
（1）證明：平面； （2）求二面角的正弦值．
典例6、如圖，已知等邊中，E，F分別為AB，AC邊的中點，N為BC邊上一點，且，將沿EF折到的位置，使平面平面，M為EF中點.
（1）求證：平面平面； （2）求二面角的余弦值.
隨堂練習：如圖，等腰梯形中，，，現以為折痕把折起，使
點到達點的位置，且.
1、證明：平面；
2、若為上一點，且三棱錐的體積是三棱錐體積的2倍，求平面與平面夾角的余弦值.
【正確答案】 1、證明見解析 2、
空間向量和立體幾何高考復習專題七答案
典例1、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）由題設，底面圓，又是切線與圓的切點，
∴底面圓，則，且，而， ∴平面.
（2）由題設，若，可構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，
又，可得，
∴，，，有，，
若是面的一個法向量，則，
令，則， 又面的一個法向量為，
∴，可得， ∴該圓錐的體積．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因為， 所以為等邊三角形，
因為為的中點，所以． 因為平面平面，
平面平面平面， 所以平面，
又平面，所以，
又因為平面， 所以平面．
（2）如圖所示以為坐標原點，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，，． 所以，，
設， 則，
設平面的一個法向量為， 則，即 ，
取，有， 即．
平面的一個法向量．
設二面角的平面角為， 則，
解得，即為中點． 此時，
又因為， 所以．
典例2、答案：（1）證明見解析；（2）.
解:（1）因為四邊形為菱形，所以．
因為平面，平面，所以．
又因為，平面，平面， 所以平面．
（2）以B為坐標原點，分別以，BC所在的直線為x軸和z軸，
以過B點垂直平面的直線為y軸，建立空間直角坐標系如圖所示．
設，則，，， ．所以，．
設平面的法向量為，則
即令，得．
由條件知為平面的一個法向量．
設二面角的平面角為，易知為銳角． 則，解得．
所以．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）在三棱錐中，，O為的中點.，且，連接，
，得，
則，又，得， ，平面ABC.
（2）如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系
由已知得，
，取平面的一個法向量
設，則
設平面的法向量為，
取，得，
二面角為，
解得：（舍去）或，則，
所以，
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）延長交于N，連接，
因為G為的重心， 所以點N為的中點，且，
因為，故，所以， 故，故，
因為平面，所以， 因為底面為矩形，所以，
又因為，所以平面，故，
因為，所以， 又因為， 所以平面，所以平面.
（2）以C為原點，以所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設點G到平面的距離為， 則，
故，
設平面的法向量為，則,即，
取，則，即，
設平面的法向量為，則,即，
取，則，則，所以，
解得， 又，
故點G到平面的距離為，
因為，所以， 所以.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）．
解：（1）因為側面底面， 側面底面，
又底面為矩形， 所以，平面，
平面，平面， 所以，
又側面是正三角形，M是的中點，
所以，，，平面， 所以平面．
（2）取中點O，過點O作的平行線連接， 由（1）同理知平面，
以O為原點，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設，則，，，，，，，
記平面的法向量，則，，
從而，則可得，
因為平面， 則平面的法向量跟共線，可取，
因為二面角的大小為30°，
， 解得，
所以四棱錐的體積為．
典例4、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）因為在和Rt中，
，， 所以，
因為，， 所以，
因為，，平面， 所以平面，
因為平面， 所以，
因為，，平面， 所以平面．
（2）因為， 所以，
因為平面，平面， 所以，
因為，，平面， 所以平面，
所以為與平面所成的角， 則， 所以，
由勾股定理知：，
可如圖建立空間直角坐標系， 所以，，，，
所以，，
由（1）知，平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量為，則有， 即，
取，得， 所以，
設二面角的大小為， 則．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）四邊形是正方形，有，而平面，平面，則，
又，平面， 所以平面.
（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點分別為軸，
建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，
即有，，，
由（1）知是平面的一個法向量，設平面的法向量為，
則，令，得，設平面與平面夾角為，
則有
所以平面與平面夾角的余弦值為.
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明；因為平面平面，平面平面，
在平面內作，則 平面，平面， 所以.
因為PA⊥底面ABCD，平面，所以,
平面，則平面，
因為,∴平面.
（2）由（1）可知平面,平面,所以，
以A為原點分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為， 則，
所以
設平面的法向量為，則 ,即 ,
令，則取.
設平面 的法向量為，則,即,
令,則取.
所以，
由圖可知所求二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）如圖，取中點，連接，
則, 因為平面平面，且平面平面，平面
所以平面,
因為平面，所以 , 又因為F為CD的中點，所以，
又，平面PGB， 所以平面，平面，
所以， ，為的中點，
所以，又，平面，平面， 所以平面.
（2）不妨設正方形的邊長為2，以點為坐標原點，為軸，
垂直于的直線為軸，為軸建立空間坐標系，
則,
，
設平面與平面的法向量分別為，夾角為，
則
不妨設,所以，
， 所以.
典例6、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：因為為等邊的邊的中點，
所以是等邊三角形，且，，
因為是的中點，所以，，
又由于平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
因為，所以，且， 則四邊形是平行四邊形，則，
在正中，知，所以， 而，所以平面.
又因為平面， 所以平面平面.
（2）設等邊的邊長為4，取中點，連接，
由題設知，由（1）知平面，
又平面，所以，如圖建立空間直角坐標系，
則，，，，.
設平面的一個法向量為，
則由，得，令，則，
平面的一個法向量為， 所以，
顯然，二面角的平面角為銳角， 二面角的平面角的余弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）在梯形ABCD中取AD中點N，連接CN，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因為，所以，
所以點在以為直徑的圓上，所以.
又因為，，平面 所以平面.
（2）取中點，連接，因為，所以，
由（1）得平面，又因為面，
所以平面面，因為為兩平面交線， 所以面，
以為原點，為軸，過且與垂直的直線為軸，為軸建立直角坐標系，
設，則，，，，
由，得， 所以，
設平面的法向量為， 所以，即，
取，則，，所以，
又因為平面的法向量， 所以,
因為二面角為銳二面角，所以其余弦值為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題八
知識點一 證明線面垂直,求線面角,面面垂直證線面垂直,線面角的向量求法
典例1、已知，如圖四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，平面ABCD，
E，M分別是BC，PD中點，點F是棱PC上的動點．
（1）證明：平面PAD；
（2）請確定F點的位置，使得直線AF與平面PCD所成的角取最大值．
隨堂練習：已知正方體和平面，直線平面，直線平面.
（1）證明：平面平面；
（2）點為線段上的動點，求直線與平面所成角的最大值.
典例2、如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內接正三角形，且，是線段上一點．
（1）若平面，求；
（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最大？
隨堂練習：如圖，在三棱柱中，底面，D為的中點，點P為棱上的動點（不包括端點），，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
典例3、在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，
，為棱上的點，且．
（1）求證：平面；
（2）若二面角的平面角的正切值為，求的長；
（3）在（2）的條件下，若為線段上一點，求與面所成角為，求的最大值．
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，.
（1）證明：平面；
（2）若，當四棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值.
知識點一 錐體體積的有關計算,證明面面垂直
典例4、邊長為1的正方形中，點M，N分別是DC，BC的中點，現將，分別沿AN，
AM折起，使得B，D兩點重合于點P，連接PC，得到四棱錐.
（1）證明：平面平面； （2）求四棱錐的體積.
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，．
（1）證明：平面PCD⊥平面PBC； （2）若，求三棱錐的體積．
典例5、如圖，在三棱柱中，，，，點D，E，F分別為線段BC，，的中點，且.
（1）證明：平面平面ABC； （2）若，求三棱錐的體積.
隨堂練習：如圖，三棱柱中，側面為矩形，是邊長為2的菱形，，．
（1）證明：平面平面； （2）若，求三棱柱的體積．
典例6、如圖，已知在四棱錐中，，，，，
E，F分別為棱PB，PA的中點．
（1）求證：平面平面EFDC；
（2）若直線PC與平面PAD所成的角為45°，求四棱錐的體積．
隨堂練習：如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，，
，是的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）點在棱上，滿足且三棱錐的體積為，求的值.
空間向量和立體幾何高考復習專題八答案
典例1、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在正方形中有，，，
，又因為，所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）連接MN,由題意可得，，
，由，所以為直角三角形，即，
，
設點到平面的距離為，由得，
，即，得，
即四棱錐的體積為
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，因為，所以,
又因為，，所以，即,
又因為底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，
又因為平面PCD，，
所以平面PCD,又因為平面PBC， 所以平面PCD⊥平面PBC.
（2）在直角三角形中，
在直角三角形中，
所以，
所以， 所以.
典例2、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖，取AC的中點O，連接OD，，因為，，
所以為等邊三角形，所以.
又因為，點O，D分別為線段AC，BC的中點，所以，所以，
因為，，平面，所以平面，
∵平面，則，
又因為，平面ABC，所以平面ABC，
又因為平面，所以平面平面ABC.
（2）如圖，過B作于點G，由（1）得平面平面ABC，
且平面平面，平面，所以平面，
在直角ABC中，，，，所以，由，
又因為點D為線段BC的中點，所以點D到平面的距離h為點B到平面的距離BG的一半，即.
因為點E，F分別為線段，的中點，所以，
又因為，所以的面積為，，
所以三棱錐的體積為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）因為側面是矩形，則，又因為，，，
即有，則，又，平面，
因此平面，而平面， 所以平面平面．
（2）由（1）知，平面，而平面，則，
因為，于是得，而是邊長為2的菱形，
因此是正三角形，，
所以三棱柱的體積.
典例3、答案：（1）見解析； （2）
解：（1）因為在平面中，，故，
因為，故，而，
，平面，故平面.
因為平面，故， 因為，，故，
因為，平面，故平面.
因為分別為棱的中點，故，
而，故，
故四點共面，而平面， 故平面平面.
（2）取的中點為，連接， 由（1）可得，，
故，而平面，
故平面，故為直線與平面所成的角， 故，
因為平面，平面，故，
故為等腰直角三角形，而，故，故，
故直角梯形的面積.
又平面，故平面平面，
而為等邊三角形，故，且.
因為平面，平面平面， 故平面，
故四棱錐的體積為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析. （2）.
解：（1）由題意底面， ,， 則底面為直角梯形，
連接 ，則,故四邊形為矩形，
則 ， 所以四邊形為正方形，所以 ，
因為側面為等邊三角形，O是 的中點， 所以 ，平面，
因為平面平面，平面平面，所以平面，
因為平面，所以， 因為平面 ，
所以平面， 因為平面 ，所以平面平面.
（2）因為底面中， ,，
側面 為等邊三角形，O是的中點，
所以,,, ，
因為平面，平面， 所以 ，
所以 ，
因為 ， 所以,所以 ,
設點到平面的距離分別為，
因為 ，所以 ,即，故，
因為三棱錐的體積為，
所以 所以 ，解得，
所以，即 因為，所以 .
典例4、答案： （1）證明見解析 （2）F為PC的中點
解：（1）連接AC，∵底面ABCD為菱形，， ∴△ABC為正三角形，
∵E是BC的中點，∴， 又， ∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵，PA、平面PAD， ∴平面PAD，
（2）由（1）知，AE、AD、AP兩兩垂直，故以AE、AD、AP所在直線分別為x，y，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，，
∴，，．
設，．
設平面PCD的法向量為， 則
令，則，， ∴．
設直線AF與平面PCD所成的角為，
則
當時，最大，此時F為PC的中點．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）最大值為.
解:（1）證明：連接，則，因為平面，平面，所以；
又因為，所以平面； 因為平面，所以；
同理；因為，所以平面；
因為平面，過直線作平面與平面相交于直線，則；
所以平面；又平面， 所以平面平面；
（2）設正方體的棱長為，以為坐標原點，，，分別為，，軸正方向
建立空間直角坐標系，則，，，，所以，.
設平面的法向量為， 則，即，取，則；
設，則，因為， 所以；
設直線與平面所成的角為， 則，
所以當時，取到最大值為，此時的最大值為.
典例5、答案：（1） （2）當時，直線與平面所成角的正弦值最大.
解：（1），所以，解得，
由于三角形是等邊三角形，圓是其外接圓，是圓的直徑，
所以垂直平分，，
在三角形中，由正弦定理得，則，
由于平面，所以， 由于，
所以三角形是等腰直角三角形，所以, 所以.
（2）由（1）得，設，，
結合圓錐的幾何性質，建立如圖所示空間直角坐標系，，
設， 則，
設平面的法向量為， 則，故可設，
設直線與平面所成角為， 則，
由于，當且僅當時等號成立，所以，
即當時，直線與平面所成角的正弦值最大.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.
解:（1）因為，，所以. 因為底面，平面，所以.
又因為，所以.
因為，，，，平面， 所以平面.
（2）如圖，取的中點E，連接. 由，可得平面，
又由，可得，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.
由，，可得， 所以，，，，.
設點P的坐標為，平面的法向量為.
由，，有，
取，則，，可得平面的法向量.
又由，設直線與平面所成的角為.
由，，， 有.
令，， 有
， 故當時，，的最大值為，
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
典例6、答案：（1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）因為平面，面，所以，，
因為，所以兩兩垂直，
如圖以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，
設，則，，，，，
所以，，，
因為，，所以，，
即，，因為，所以平面
（2）由（1）知：平面，取平面的法向量，
因為，，
設平面的一個法向量為，
由，取，則，，所以，
設二面角的平面角為，且為銳角， 則，所以
所以，
整理可得：，解得：，所以的長為.
（3）由（2）知的長為，即，
因為為線段上一點，所以，設，
所以，
平面的一個法向量，
則 ，
當時，最小為，
所以最大值為， 綜上所述：的最大值為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.
解: （1）取，中點，，連接，，.
由，得，， 又， 所以平面.
由，知四邊形是平行四邊形，則，
平面，平面，所以平面，
同理平面，且，
所以平面平面， 所以平面.
（2）由， 知四邊形是以的等腰梯形.
連接，則， 又平面，所以，
所以平面，又平面， 所以平面平面，
于是點在底面內的射影在上.
（在平面中，，點在以AC為直徑的圓上運動）
取中點，則， 于是當底面時，四棱錐的體積最大.
如圖，以為原點，分別以射線，，為，，軸的正半軸，
建立空間直角坐標系.
由題意得，，， ，.
所以，，.
設平面的法向量， 由，得，
取，則.
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題九
知識點一 證明面面垂直,面面角的向量求法
典例1、如圖，圓錐的高為是底面圓的直徑，為圓錐的母線，四邊形是底面圓
的內接等腰梯形，且，點在母線上，且．
（1）證明：平面平面； （2）求平面與平面的夾角的余弦值．
隨堂練習：如圖所示，在四棱錐中，，且平面.
（1）證明：平面平面； （2）求平面與平面夾角的余弦值.
典例2、如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為PB的中點，F為線段BC上的動點．
（1）求證：平面平面；
（2）試確定點的位置，使平面與平面所成的銳二面角為．
隨堂練習：如圖，在直三棱柱中，，，.
（1）證明：平面平面； （2）求二面角的大小.
典例3、如圖1，在梯形ABCD中，，，，現將沿AC翻折成直二面角，如圖2．
（1）證明：平面平面PAC；
（2）若異面直線PC與AB所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．
隨堂練習：如圖，圖1是由正方形，直角梯形組成的一個平面圖形，其中，將正方形沿折起，使得.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
知識點二 證明面面垂直,求二面角
典例4、如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其它四個側面都是側棱長為的等腰三角形．
（1）求二面角的大小；
（2）在線段上是否存在一點，使平面平面？若存在，請指出點的位置并證明，若不存在請說明理由．
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，
，，為棱上的一點．
（1）求證：平面平面； （2）求二面角的余弦值．
典例5、如圖，已知底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D為AB中點，E為CC1的中點.
（1）證明:平面CDC1⊥平面C1AB；（2）求二面角A-BC1-E的余弦值.
隨堂練習：如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，
E是MN的中點.
（1）求證：平面AEC⊥平面AMN； （2）求二面角M-AC-N的余弦值.
典例6、如圖，菱形ABCD的邊長為2，，E為AC的中點，將沿AC翻折使點D至點.
（1）求證：平面平面ABC；
（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.
隨堂練習：如圖，四棱錐中，平面，，．過
點作直線的平行線交于為線段上一點．
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成二面角的大小．
空間向量和立體幾何高考復習專題九答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，由已知，，且，
∴四邊形為菱形，∴，
在圓錐中，∵平面，平面， ∴．
∵，平面，平面， ∴平面．
又∵平面， ∴平面平面．
(2）取中點，易知平面，，
以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
∵，∴， ∴， ∴，．
設平面的一個法向量為．
因為所以，令，則，， ∴，
易知平面即平面，∴平面的一個法向量為，
設平面與平面的夾角為， 則，
∴平面與平面的夾角的余弦值為．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：平面平面.
. 平面， 平面.
又平面平面平面.
（2）由（1）易知兩兩垂直.
如圖，以為原點，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
則.
.
設平面的法向量為， 則即取，得.
易知平面的一個法向量為， ,
由圖可知，平面與平面的夾角為銳角，
平面與平面夾角的余弦值為.
典例2、答案：（1）見解析； （2）為的中點.
解：（1）因為底面，底面，故，
而，平面，，
故平面，而平面，故，
，為的中點，故，
平面，，故平面，
因平面，故平面平面.
（2）因為底面，，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
設，則， ，，
設平面的法向量為，
則即，取，則即.
設平面的法向量為，
則即，取，則即.
因為平面與平面所成的銳二面角為，
故，解得即為的中點.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）.
解：（1）連接，由三棱柱為直三棱柱可得平面，
平面，所以，
因為，，，平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為，所以四邊形是正方形，所以，
又因為，，平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面.
（2）因為，，，根據勾股定理可知：，
從而有：，，兩兩垂直，以為原點，分別以，，所在直線為軸，
軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，，，，
設平面的法向量為，因為，，
則，， 令，則，
設平面的法向量為，因為，，
則，，令，則，
設二面角的平面角為， 根據幾何體特征可知為銳角，
所以， 所以二面角的大小為.
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：取AB的中點E，連接CE， 因為AB＝4，CD＝2， 則AE＝DC，AE∥DC，
故四邊形ADCE為平行四邊形， 所以CE＝AD＝2 則CE＝AE＝EB，
故∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
又平面PAC⊥平面ACB，且平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ACB，
故CB⊥平面PAC， 又CB 平面， 故平面平面PAC；
（2）取AC的中點O，連接OE，則OE∥CB， 所以OE⊥AC，且OP⊥AC，
則OC，OE，OP兩兩互相垂直， 故以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
設|OC|＝a（a＞0）， 則，，，
故， 所以
因為異面直線PC與AB所成角的余弦值為 所以，解得，
故 ，
設面的法向量為， 則，令，可得
設面的法向量為，
，令，可得
又由圖可知二面角為銳角， 故二面角的余弦值為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖：連，
在直角三角形中，，
在三角形中，，，，滿足， 所以，
又，， 所以平面，
因為平面，所以，
又，， 所以平面，
因為平面，所以， 因為四邊形為正方形，所以，
因為，所以平面. 因為平面， 所以平面平面.
（2）由（1）知，兩兩垂直，
以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖：
則，，，， ，
，，，，
設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，
由，得， 取，得，得，
由，得， 取，得，得，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
典例4、答案： （1） （2）存在；設是的中點，為線段的中點；證明見解析.
解：（1）如圖，設分別是和的中點，連接，，,
則, ∵，是的中點, ∴;
又在正方形中有, ∴為二面角的平面角,
∵，，是的中點, ∴,
同理可得，又, ∴是等邊三角形，故,
∴二面角為.
（2）存在點，使平面平面，此時為線段的中點．
證明如下 :設，，分別為，和的中點，連接，，，,
由（1）知是等邊三角形，故, 為的中點，故，
又∵，平面,
∴平面,平面 ，故,又,
平面,∴平面,
∵，分別為和的中點 ∴ ,
又為線段的中點,∴，故四邊形為平行四邊形,
∴,∴平面,又平面,
∴平面平面.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點，聯結，則 ，
因為平面平面且平面 平面，
所以平面，而 平面，所以，
因為，所以 ，
因為 平面且 平面， 所以 平面，
又因為 平面，所以平面平面；
（2）取PD的中點F，則 ，由（1）的結論知： 平面， 平面PAD，
， 平面PBD， 平面PBD， ，
平面 PBD，即平面 PAB在平面PBD上的投影是PBF，
在 中， ， ，
在 中， ， ， ，
設二面角的平面角為，由面積射影法， ，
即二面角的余弦值為；
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）∵△ABC為等邊三角形，D是AB的中點， ∴AB⊥CD.
∵CC1⊥平面ABC，AB 平面ABC， ∴CC1⊥AB.
∵CC1 平面CDC1，CD 平面CDC1，CC1∩CD=C， ∴AB⊥平面CDC1.
∵AB 平面C1AB， ∴平面CDC1⊥平面C1AB；
（2）解法一：取BC的中點O，連接AO，則AO⊥BC，作OH⊥BC1于點H，連接AH.
∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，，∴AO⊥平面BCC1B1，
又平面，，,平面，平面，
所以平面，又平面， ∴AH⊥BC1，AO⊥OH，
∴∠AHO為二面角A-BC1-E的平面角.
設AB=2a，那么AO=a，BO=a. ∵AA1=AB， ∴∠C1BC=45°， ∴OH=BO=a.
在Rt△AOH中，tan∠AHO=， ∴cos∠AHO=， 故二面角A-BC1-E的余弦值為；
解法二：取BC的中點O，連接AO， 則AO⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC， ∴AO⊥平面BCC1B1.
以O為原點，OA所在直線為x軸、OB所在直線為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
易知平面BC1E的一個法向量為.
設AB=2a，則. ∵AA1=AB， ∴C1. ∴.
設平面ABC1的法向量為. 則，即，
取y=，則x=1，z=， ∴為平面ABC1的一個法向量，
∴， 易知二面角A-BC1-E為銳二面角，
∴二面角A-BC1-E的余弦值為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因為MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， 所以∥，
又因為，四邊形ABCD是邊長為1的正方形， 所以四邊形為矩形，
所以，
又因為E是MN的中點， 所以⊥，⊥，
又因為， 所以⊥平面, 又因為平面AMN 所以平面AEC⊥平面AMN；
（2）連接BD交AC與點O，連接MO，NO，則O為AC中點，
因為都是邊長為的等邊三角形， 所以,
所以為二面角M-AC-N的平面角， 在中，，
所以.
典例6、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在菱形中，，∴和均為等邊三角形，
又∵E為AC的中點，∴，，，平面，
∴平面， 又∵平面ABC， ∴平面平面ABC.
（2）過作于點，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.
∴.
過M作于點，連接，
∵平面ABC，∴，∵平面，∴平面，
∵平面，∴. ∴即為二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值為.
隨堂練習：答案：（1）證明過程見解析 （2）
解：（1）因為平面，AB平面ABCD， 所以PA⊥AB，
因為， 所以⊥AD， 因為PAAD=A，平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，
因為CFAB，所以CF⊥平面PAD， 因為CF平面CFG， 所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因為，，
由勾股定理得：，則∠ADB=30°， 同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，
故，，，
過點B作BE⊥PC于點E，連接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
則，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因為，所以DE⊥PC，
所以∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，
故平面與平面所成二面角的大小為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題十
知識點一 證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,已知面面角求其他量
典例1、如圖，在四棱錐中，平面平面，點在棱上，設.
（1）證明：.
（2）設二面角的平面角為，且，求的值.
隨堂練習：如圖，四棱錐的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面與平面相互垂直，、分別為、的中點.
（1）求證：；
（2）若二面角的余弦值為，求的值.
典例2、如圖，在四面體中，是正三角形，是直角三角形，．
（1）求證：；
（2）已知點E在棱上，且，設，若二面角的余弦值為，求．
隨堂練習：如圖，在三棱錐中， 二面角是直二面角， ， 且，
為上一點， 且平面．分別為棱上的動點， 且．
（1）證明： ；
（2）若平面與平面所成角的余弦值為， 求的值．
典例3、三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，
點在線段上.
（1）求證：；
（2）若點在上，滿足，點滿足，求實數使得二面角 的余弦值為.
隨堂練習：如圖，四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，.
（1）求證：平面ABCD；
（2）設，當平面PAM與平面PBD夾角的余弦值為時，求的值.
知識點二 面面垂直證線面垂直,線面角的向量求法
典例4、如圖，在四棱錐 中， 已知底面， 底面是正方形，.
（1）求證： 直線 平面； （2）求直線 與平面所成的角的正弦值.
隨堂練習：如圖，在直三棱柱中，，，，交于點E，D為的中點.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
典例5、如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點，點在線段上，且.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求平面與平面所成角的正弦值.
隨堂練習：已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，，F為棱PC上的點，過AF的平面分別交PB，PD于點E，G，且BD∥平面AEFG．
（1）證明：EG⊥平面PAC．
（2）若F為PC的中點，，求直線PB與平面AEFG所成角的正弦值．
典例6、如圖，在四棱錐中，底面為正方形，點在底面內的投影恰為中點，且．
（1）若，求證：面；
（2）若平面與平面所成的銳二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．
隨堂練習：三棱柱中，，，側面為矩形，，二面角的正切值為．
（1）求側棱的長；
（2）側棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點的位置并證明；若不存在，說明理由．
空間向量和立體幾何高考復習專題十答案
典例1、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：取的中點，連接. 因為，所以.
又，所以四邊形是平行四邊形，從而.
因為，所以，從而.
因為，所以，則.
因為平面平面，平面平面， 平面，
所以平面，平面，從而.
又，平面，
所以平面，因為平面，所以；
（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.
，
，可得.
設平面的法向量為， 由，
不妨令，則.
因為平面，所以可取平面的一個法向量為，
因為，所以，
解得或（舍去）.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）6.
解：（1）在四棱錐中，是正三角形，是的中點，則，
又平面平面，平面平面，平面，
則有平面，而平面， 所以.
（2）取的中點，連接，
在直角梯形中，，、分別為、的中點，
則，又，即有，
由（1）知平面，又、平面，則，.
以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖，
則，
，設平面的一個法向量，
則，令，得，
由（1）知，平面，則是平面的一個法向量，
，
因二面角的余弦值為，則，又，解得，的值是6.
典例2、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：因為是正三角形，所以
因為，公共邊，所以，所以，
因為是直角三角形，所以，
取的中點O，連接，，則，，
因為是正三角形，所以， 因為，所以平面，
又因為平面，所以．
（2）在直角中，，
因為，所以，所以，
以O為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則．
可得平面的法向量為
設，由，可得， 可得
設面的法向量為，則，
取，可得，所以， 則，
又因為，解得．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：平面平面，平面平面，，且平面，
平面， 又平面， ，
又平面，平面， ， 且，平面，
平面， 又平面， ．
（2）如圖，
以點為原點，分別以，，過點且與平面垂直的直線為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標系，
設，則， ，，，，
則，，，
由，可得，
， ，，
因為平面與平面所成角的余弦值為，所以，
設為平面的法向量，則，
即，令，則，， 所以，
取平面的法向量， 則，
令，則，化簡得，即（負值舍去）， 所以．
典例3、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：因為，，則且，
，平面，
所以為直線與平面所成的線面角，即，
，故，，
，平面， 平面，因此，.
（2）設，由（1）可知且，，
因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、 軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設平面的法向量為，，，
由，取，則，
由已知可得，解得.
當點為線段的中點時，二面角的平面角為銳角，合乎題意.
綜上所述，.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取CD的中點E，連接BE，
四邊形ABCD為直角梯形，，
且E為CD的中點，且，所以，四邊形ABED為矩形，
， ，
，
，
，平面，平面，平面PAD，
平面PAD，，
，平面，平面，平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA AB AD兩兩垂直，以點A為坐標原點，分別以AB AD AP所在直線為x y z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則， 所以，，
設平面PBD的法向量為， 由，得，
令，得.
，
設平面PAM的法向量為，
由，得，令，則， ，
由于平面PAM與平面PBD夾角的余弦值為，
則，整理可得，
，解得.
典例4、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）因為 平面， 且平面，所以 .
在正方形 中，. 而, 平面， 故 平面.
（2）以為坐標原點，分別以為軸， 建立如圖所示空間直角坐標系.
設 ，則， 從而.
設平面 的法向量為， ，令 ， 則.
設直線 與平面所成的角為，則，
故直線 與平面的所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）在直三棱柱中，平面，
因為平面， 所以 ．因為 ， ，平面,
所以 平面，因為平面，
所以 ．又因為 ，平面， 所以平面.
（2）由（1）知知 兩兩垂直，
則以點A為原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，
則 ，
設 ,, ， 因為 ，∴ ，故,
由（1）知平面 故平面的一個法向量為 ，,
設直線與平面所成角為，
則.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）證明：如圖，以為原點，分別以，為軸，軸,
過D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，得，，，
所以，，即，，又，所以平面；
（2）由可是，
由，可得，所以，
設為平面的法向量，
則不妨設，則，故，
設直線與平面所成角為，所以，
則直線與平面所成角的正弦值為；
（3）因為為平面的法向量，設二面角的大小為，
所以，所以.則二面角的正弦值為．
隨堂練習：答案：（1）見解析 （2）
解：（1）連接相交于，連接,
因為底面ABCD為正方形，所以，又，為中點，
所以,,平面，所以平面,
又平面平面,平面 ,BD∥平面AEFG,
因此,所以 EG⊥平面PAC
（2）由，為的中點,故， 又，且為的中點，所以，
平面 所以平面，
設正方形的邊長為2，則，
所以，，，
故建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，,,
，，， 所以，，，
記平面的法向量為，所以即，
令，解得，，所以，
記直線與平面所成的角是， 則．
所以直線與平面所成的角的正弦值為．
典例6、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖，連接，.
已知，不妨設，.
已知點在底面的投影落在中點，所以四棱錐為正四棱錐，
即，
底面為正方形，，得，同理得，
為的中點，，，得，
，，同理可得，
平面，平面，且，平面.
（2）如圖，過點做底面垂線，垂足為中點.
以所在直線為軸，以過點且與平行的直線為軸，
以所在直線為軸如圖建立空間直角坐標系.
不妨假設底面正方形的邊長為，.
因此得，，，，，.
，，，，
設平面的法向量為，
由，得，解得：，，，故；
設平面的法向量為，
由，得，解得：，，，故；
由平面與平面所成的銳二面角為，
得，解得或（舍）.
得，，設直線與平面所成角為，
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案： （1）2； （2）在側棱上存在點，證明見解析.
解：（1），. 側面為矩形，，
，平面，平面，
平面，則.
則 是二面角的平面角，則，所以，.
設. ，， ，
， ，
又，
在中，由余弦定理
得：， 即，
平方整理得，得或（舍， 即側棱的長為2.
（2）建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系如圖：
過作底面. ，，則，
， 則，.
所以，0，，，0，，，，，，，
則，，，，，，
設平面的法向量為，，，
由，，
則，令，則，即，0，， ，0，，
設，0，，，
，，，0，，，，
與平面所成角的正切值，.
即，
平方得，得，即在處．
即在側棱上存在點，使得直線與平面所成角的正切值為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題十一
知識點一 求點面距離,線面角的向量求法,點到平面距離的向量求法
典例1、如圖，在直三棱柱中，E，F，G分別為線段及的中點，P為線段上的點，，三棱柱的體積為240．
（1）求點F到平面的距離；
（2）試確定動點P的位置，使直線與平面所成角的正弦值最大．
隨堂練習：如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點，已知，．
（1）證明：平面； （2）求與平面所成角的正弦值；
（3）求到平面的距離．
典例2、如圖，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知
，動點 在棱 上，點 在棱 上，且 .
（1）求證： ;
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值;
（3）在滿足（2）的條件下，求點到平面的距離.
隨堂練習：如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，
點為棱的中點．
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點到平面的距離．
典例3、已知是銳角三角形，分別以為直徑作三個球.這三個球交于一點.
（1）若，求到平面的距離；
（2）記直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為，證明：為定值.
隨堂練習：如圖所示，在三棱柱中，，，，平面
平面，點是線段的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（3）若點在線段上，且平面，求點到平面的距離.
知識點二 證明線面垂直,求點面距離,證明面面垂直
典例4、如圖，四棱錐的底面是梯形，為延長線上一點，平面是中點.
（1）證明：；
（2）若，三棱錐的體積為，求點到平面的距離.
隨堂練習：邊長為1的正方形中，點M，N分別是DC，BC的中點，現將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點重合于點P，連接PC，得到四棱錐.
（1）證明：平面平面； （2）求四棱錐的體積.
典例5、如圖,在四棱錐中,已知棱兩兩垂直且長度分別1,1,2,,．
（1）若中點為,證明:平面; （2）求點到平面的距離．
隨堂練習：在邊長為2的正方形外作等邊（如圖1），將沿折起到的位置，使得（如圖2）.
（1）求證：平面平面；
（2）若F，M分別為線段的中點，求點P到平面的距離.
典例6、如圖，在四棱錐中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中點.
（1）求證：平面平面PBC； （2）若，求P到平面AEC的距離.
隨堂練習：如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內接正三角形，為圓柱的一條母線，
P為的中點，Q為的中點，
（1）若，證明：平面；
（2）設，圓柱的側面積為，求點B到平面的距離.
空間向量和立體幾何高考復習專題十一答案
典例1、答案：（1） （2）P為中點
解：（1）在中，，為的中點，，即，
由直三棱柱的體積，則=240 解得，
以為原點，并分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，
由為的中點，則，由為的中點，則，
在平面中，取，，設該平面的法向量為，
則，即，令，則，
故平面的一個法向量為，
取，由點面距公式，可得到平面的距離.
（2）由（1）可知：，，，，，
由，平面，則設，，
設，即，，
在平面內，取，，設其法向量，
則，即，令，則，
故平面的一個法向量，取，
設直線與平面所成角為，則，
則
當時，P與B重合， 當時，，
令，
當時，即，P為中點時，
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）證明：連接，，連接，
在直三棱柱中為矩形，則為的中點，又為的中點，所以，
平面，平面． 平面．
（2），，，，．
由直三棱柱中，底面，底面，，．
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則，令，則，，
所以，
設與平面所成的角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為；
（3）設到平面的距離為，則；
典例2、答案：（1）證明見解析； （2）； （3）點到平面的距離為.
解：（1）因為四邊形是矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
（2）因為平面平面 ，平面平面，
平面，， 所以平面，又，
所以兩兩相互垂直，
以為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，,
設，則， 所以，，
設平面的法向量為，， 則，，
取，可得，
設直線 與平面的夾角為， 則，
所以， 化簡可得，又， 所以，所以；
（3）由(2) 平面的法向量為，，又，
設點到平面的距離為， 則.
所以點到平面的距離為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2） （3）1
解：（1）連接BD，交AC于點O， 又P，O分別為DF和DB的中點， 所以BF//PO，
因為PO 平面APC，BF 平面APC， 所以BF//平面APC；
（2）直線AF⊥平面，AB 平面ABCD， 所以AF⊥AB，
由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB， 所以以A為原點，AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系， ，
所以，，，
設平面BCF的法向量，則 ，
令，則
設直線DE與平面BCF所成角的正弦值θ，所以 ，
所以直線DE與平面BCF所成角的正弦值；
（3）由（2），
設平面APC的法向量為，則， 令，則
所以平面APC的法向量，
則點E到平面APC的距離， 所以E到平面APC的距離1．
典例3、答案：（1）； （2）證明見解析.
解：（1）依題意得，故可以為軸，為軸，
為軸建立空間直角坐標系.
而，故，故，則，
設平面的法向量為 則，故，
設到平面的距離為d，則.
（2）按（1）方式建系，設，
則，故，
設平面的法向量為，
同（1）可得：，
，，
故 故為定值.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）取線段的中點，連結，
因為平面平面，，所以平面，所以平面，
因為，，所以是正三角形，
又點是線段的中點，所以.可以建立以為原點，
分別以，，的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），
可得，，，，，，，，
證明：，，設為平面的法向量，
則，即， 不妨令，可得，
又，故， 因此平面.
（2）依意，，由（I）知為平面的法向量.
因此， 所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）依題意，設，，
所以，因此
，
設為平面的法向量， 則，即，
不妨令，可得，
，因為平面，所以，解得， 所以，
設點到平面的距離為，，
則， 所以點到平面的距離為.
典例4、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，
平面平面，同理，，，
.
又平面,平面. 平面.
取的中點，連接為的中點， ，.
， ，
為的中點， .
又平面，平面. 平面.
（2）.
，且四邊形為矩形，即，
又由（1），平面，， 平面.
∴.
連接，中，中.
為中點，點到平面的距離中，
.
由（1）知面， 在中，，
中， ∴，
.
設點到平面的距離為，則即，
解得.所以點到平面的距離為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在正方形中有，，，
，又因為，所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）連接MN,由題意可得，，
，由，所以為直角三角形，即，
，
設點到平面的距離為，由得，
，即，得，
即四棱錐的體積為
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明:取中點為,連接,如圖所示:
分別為中點, ,且,
,, ,
故四邊形為平行四邊形, 故,
不含于平面,平面, 故平面;
（2）連接,兩兩垂直且長度分別為1,1,2, 且,, ,
將底面拿出考慮如下:
,,,
, , ,
記到平面的距離為, 則,
解得:, 故到平面的距離為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）由于，所以，
由于四邊形是正方形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面， 所以平面平面.
（2）連接，由于三角形是等邊三角形，所以，
由于平面平面且交線為，平面， 所以平面.
由于是的中點，所以到平面的距離是，
且到平面的距離等于到平面的距離，設這個距離為.
由于平面，所以，
所以，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，，
在三角形中，，
則為銳角，， 所以，
， 由得，
解得， 所以點P到平面的距離為.
典例6、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.
取AB的中點M，連接CM， ∵，，∴，，
∴四邊形ADCM為平行四邊形.
∵，∴為菱形，∴.
∵，∴四邊形BMDC為平行四邊形, ∴,
∴.又有，平面PBC,
∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.
（2）∵，，，∴，
又有，，，∴.
，E為PD的中點，， ∴在中，.
由, 得, 求得.
在中，，則，∴的面積.
設P到平面AEC的距離為d，又，解得.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）∵D，O為圓柱底面的圓心， ∴平面.
而為圓柱的一條母線， ∴.
又∵P為的中點，Q為的中點，
∴， ∴四邊形為平行四邊形， ∴.
又∵P在上，而平面， ∴O為P在內的投影，
且是圓內接正三角形. ∴三棱錐為正三棱錐.
∴， ∴，
即. ∵，平面. ∴平面，
∵， ∴平面.
（2）設點B到面的距離為h，設圓柱底面半徑為r，
由母線及圓柱的側面積為， 得，解得， 則.
在中，， 則，
， 又，
且， ∴，解得.
故點B到平面的距離為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題十二
知識點一 證明線面平行,面面角的向量求法
典例1、在三棱錐中，，，，分別為，的中點，，，分別為，，的中點，平面，與平面所成的角為．
（1）求證：平面； （2）求平面與平面的夾角的余弦值．
隨堂練習：在正方體中，E，F分別是，的中點．
（1）求證：∥平面；
（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值．
典例2、如圖1，已知△ABC是邊長為4的正三角形，D，E，F分別是AB，AC，BC邊的中點，將△ADE沿DE折起，使點A到達如圖2所示的點P的位置，M為DP邊的中點．
（1）證明：平面MEF．
（2）若平面平面BCED，求平面MEF與平面PDE所成銳二面角的余弦值．
隨堂練習：如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點），平面平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點．
（1）求證：平面ABE；
（2）當四棱錐E-ABCD體積最大時，求二面角N-AE-B的余弦值．
典例3、如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F分別是AB，AC，BC的中點，沿DE把 折起，得到如圖2所示的四棱錐.
（1）證明：平面.
（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.
隨堂練習：已知正方形的邊長為4，E、F分別為AD、BC的中點，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點M在線段AB上．
（1）若M為AB的中點，且直線MF與由A，D，E三點所確定平面的交點為O，試確定點O的位置，并證明直線平面EMC；
（2）是否存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為；若存在，求此時二面角的余弦值，若不存在，說明理由．
知識點二 線面垂直證明線線垂直,面面垂直證線面垂直,面面角的向量求法
典例4、已知矩形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，，且.
（1）求證：； （2）求平面與平面夾角的余弦值.
隨堂練習：如圖，在四棱錐P - ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AC = CD = 2，，，PC = 3.
（1）證:AD⊥PC
（2）求平面PAB與平面PCD的夾角的正弦值.
典例5、如圖1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE為折痕將折起，使點C到達的位置，且，如圖
（1）證明： （2）求二面角余弦值.
隨堂練習：如圖，在直三棱柱，，．
（1）證明：；
（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
典例6、四棱錐，底面為矩形，側面底面，．
（1）證明：；
（2）設與平面所成的角為，求二面角的大小．
隨堂練習：如圖，直三棱柱中，，E，F分別是AB，的中點．
（1）證明：EF⊥BC；
（2）若，直線EF與平面ABC所成的角為，求平面與平面FEC夾角的余弦值．
空間向量和立體幾何高考復習專題十二答案
典例1、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）連結． ∵，分別為，的中點， ∴，即四邊形是梯形，
∵，為分別為，的中點， ∴，而平面，平面
∴平面，
∵、為分別為 、的中點， ∴，而平面，平面
∴平面，又，平面，平面，
∴平面平面，平面， ∴平面；
（2）∵，為的中點， ∴，
∵平面，故，，兩兩垂直．
分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．
不妨設，由得，，
∵與平面所成的角為，而平面， ∴，∴，
∴，，，
易知為平面的法向量， ，，
設為平面的法向量， ∴，
令，則為平面的一個法向量，
∴， ∴平角與平面的夾角的余弦值為.
隨堂練習：答案：（1）見解析； （2）.
解：（1）如圖，連接，，連接，
∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形， ∴∥且，
∵E是中點，G是中點，∴∥CG且，
∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，
∵平面，CE平面，∴CE∥平面；
（2）如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，
則，
則，
設平面的法向量為， 則，取；
設平面EDC的法向量為， 則，
取，則；
設平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，
則， ∴
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：連接DF，DC，設DC與EF交于點，連接MQ．
因為D，E，F分別是AB，AC，BC邊的中點，所以且，
則四邊形DFCE為平行四邊形，所以為DC的中點，
因為為DP的中點，所以，
又因為平面，平面MEF，所以平面MEF
（2）取DE的中點，連接OP，OF，則，
因為平面平面BCED，平面平面，
所以平面BCED，PO，OD，OF兩兩垂直．
如圖所示，以為原點，以的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，，， ，．
設平面MEF的法向量為，則，
即令，得．
易知為平面PDE的一個法向量，由，
得平面MEF與平面PDE所成銳二面角的余弦值為．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：如圖所示，取EC的中點的F，連接MF，NF，
因為M，F分別為ED和EC的中點，所以，
因為，所以，
因為平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因為，平面，平面， 所以平面平面，
因為平面，所以平面.
（2）如圖所示，過E作交AB于O，
因為平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，故EO為四棱錐E-ABCD的高，
要使四棱錐E-ABCD體積最大，則E為弧的中點，所以O與AB的中點，
取CD的中點G，連接OG，因為，，所以，
因為平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG兩兩垂直，
以O為原點，分別以AB為x軸，以OE為y軸，以OG為z軸建立空間直角坐標系，
設，所以，
可得，，，則，，
設平面的一個法向量，則，可得，
令，則平面的一個法向量為，
平面的一個法向量為，則，
由圖可知二面角的平面角為銳角， 所以二成角的余弦值為．
典例3、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）在中，因為E，F分別是AC，BC的中點，所以，
則在圖2中，，而平面，平面， 所以平面.
（2）依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點M，連接，FM，如圖，
則，，即是二面角的平面角，，
取中點N，連接，則有，在中，
由余弦定理得：，
于是有，，即，
而，，，平面，則平面，
又平面，從而有平面平面，
因平面平面，平面，
因此，平面，過點N作，則兩兩垂直，
以點N為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，，
設平面的法向量，則，令，得，
設平面的法向量，則，令，得，
顯然有，即， 所以平面與平面的夾角為.
隨堂練習：答案： （1）點O在EA的延長線上，且，證明見解析； （2）存在，.
解：（1）依題意，四邊形是矩形，點M為AB的中點，如圖1，延長FM與EA的延長線交于點O，
又平面ADE，即有平面ADE，因，且，
因此點A為線段EO中點，即AO=2，M為線段FO的中點，
連接DF交CE于N，連接MN，矩形CDEF中，N是線段DF中點，
于是得，而平面，平面， 所以平面.
（2）依題意，，，，平面，平面，
則平面，且為二面角的平面角，即.
連接，而，
即有為正三角形，取的中點H，連接DH，則，
由平面，平面，得平面平面，
又平面，平面平面，于是得平面，
取BF中點G，連接HG，由矩形得，即有兩兩垂直，
以點H為原點，射線分別為軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖2，
則點，，.
假設存在點M滿足條件，因點M在線段AB上，設，，
，，.
設平面的一個法向量，則，
令，得，
因直線DE與平面EMC所成的角為60°，
則，解得或，
即存在點滿足直線DE與平面EMC所成的角為60°，
點為線段AB的靠近點A或B的四等分點.
設平面的一個法向量，則，
令，得， 則.
令平面MEC與平面ECF的夾角為，
則，
顯然或時，. 由圖可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
典例4、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）如圖，在上取一點H，使得 ，連接,
因為 ，所以,平面,平面,
故平面，
因為 , ，再由條件知，所以是平行四邊形，
所以 ，平面,平面,故平面，
又平面 ， 所以平面平面.
由條件可知 ，
又因為平面平面 ，交線為 ，平面,
所以平面，所以平面，平面, 所以.
（2）由（1）知平面，而，故平面，
故分別以 所在直線為 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則 ， 則 ,
設平面的法向量為 ，
則 ， 令 ，得 ，
平面的一個法向量為 ，
設平面與平面 的夾角為 ， 則 .
隨堂練習：答案： （1）證明詳見解析 （2）
解：（1）設是的中點，連接.
由于，所以， 由于平面平面且交線為，
平面，所以平面，
由于平面，所以，則， 所以，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以.
（2）在三角形中，延長，過作，交的延長線于，
由于，所以，
，所以，
，則，
所以.
平面平面且交線為，， 以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
則平面的法向量可設為， ，
，
設平面的法向量為， 則，故可設，
設平面和平面的夾角為，
則，所以.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）或
解：（1）在直角梯形ABCD中，連接AC交BE于F，
由題意知：且，四邊形CEAB是平行四邊形，
又 ，，四邊形CEAB是菱形
故，即在折疊后端的圖形中，又 ，面
面，又平面，
（2）由 可得，又
設二面角的平面角為，則，或
過作于則面 ，則可過點作軸
如圖建系：或，
設面的一個法向量為，則 則
或取 而面ABD的一個法向量為
或
由圖可知二面角為銳角 則二面角余弦值為或.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，如下圖：
由直三棱柱的性質可知，，
因為，， 所以平面． 因為平面，所以，
因為，則四邊形為正方形， 所以，
又因為，平面，平面， 所以平面，
因為平面， 所以．
（2）由（1）得平面，從而點到平面的距離為，
故，即.
以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系:
則，，，，
設平面的法向量為，，
則，
令，則，即，
設平面的法向量為，，，
則，
令，則，，即，
設平面與平面夾角為， 則，
故平面與平面夾角的余弦值為．
典例6、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點，連接，由，故，
而平面平面，平面平面，平面，
平面，而平面，，
而，故，故，
而平面，平面，，平面，
又平面，，
（2）如圖所示建立空間直角坐標系，
則，，，設，
則，，，
設平面的一個法向量為，則，令得，
而與平面所成的角為，故， 解得，
而，，，，
設平面的一個法向量為，則，令得，
同理得平面的一個法向量為 則，
而二面角為鈍角，故二面角大小為
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取BC中點H，分別連結EH，FH，因為F為的中點，所以，
因為三棱柱為直棱柱，所以平面ABC，所以FH⊥平面ABC，
由平面ABC，所以FH⊥BC，
又E為AB的中點，則，且，所以，
因為EH，平面EFH，，
所以BC⊥平面EFH，因為平面EFH，所以．
（2）由（1）知∠FEH為EF與平面ABC所成的角，所以，由，得．
如圖，以CA，CB，分別為x軸，y軸，z軸正向，建立空間直角坐標系．
則，，，，，，，，
，，，
設平面CEF的一個法向量為， 由得，取，
平面的法向量為， 由得，取，
設平面CEF與平面的夾角為，則．
所以平面CEF與平面夾角的余弦值為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題十三
知識點一 多面體與球體內切外接問題,由導數求函數的最值（不含參）,棱錐表面積的有關計算
典例1、在高為、底面半徑為的圓錐內作一內接圓柱體．則圓柱體的半徑為多大時：
（1）圓柱體的體積最大？ （2）圓柱體的表面積最大？
隨堂練習：如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為5，該紙片上的正方形的中心為，，，，
為圓上的點，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得，，，重合，得到四棱錐，設．
（1）試把四棱錐的體積表示為的函數； （2）多大時，四棱錐的體積最大？
典例2、如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
（1）證明：平面；
（2）若，設為棱的中點，求當幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.
隨堂練習：如圖，已知是以的直角三角形鐵皮，米，分別是邊上不與端點重合的動點，且.現將鐵皮沿折起至的位置，使得平面平面，連接，如圖所示.現要制作一個四棱錐的封閉容器，其中鐵皮和直角梯形鐵皮分別是這個封閉容器的一個側面和底面，其他三個側面用相同材料的鐵皮無縫焊接密封而成（假設制作過程中不浪費材料，且鐵皮厚度忽略不計）．
（1）若為邊的中點，求制作三個新增側面的鐵皮面積是多少平方米？
（2）求這個封閉容器的最大體積．
典例3、蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側面積一定，當蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值．
隨堂練習：雙層的溫室大棚具有很好的保溫效果，某農業合作公司欲制作這樣的大棚用于蔬菜的種植，
如圖（1）所示，工人師傅在地面上畫出一個圓，然后用鋼絲網編織出一個網狀空心球的上部分鋼結
構，使得地面上的圓為空心球的一個截面圓，同時在其外部用塑料薄膜覆蓋起來作外部保溫.如圖（1）
所示，用塑料薄膜覆蓋起來的內部保溫層鋼結構為一個圓柱面，制作方法如下：工人師傅將圓柱
面的下底面圓置于球O在地面上的截面圓內（可與截面圓重合），把下底面的圓心固定在球
O在地面上截面圓的圓心位置上，圓柱面的上底面圓的圓周固定在球的內壁上，已知球O的半
徑為3．如圖（2），取圓柱的軸截面為矩形PQRS，．
（1）設為圓上任意一點，RO與底面所成的角為，將圓柱體積V表示為的函數并判斷的范圍； （2）求V的最大值．
知識點二 證明線面平行,面面角的向量求法
典例4、如圖所示的幾何體中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分別為，的中點．
（1）證明：面ABCD；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
隨堂練習：已知將圓柱沿著軸截面分割，得到如圖所示的幾何體，若四邊形是邊長為2的正方形，E，F分別是上的點，H是的中點，與交于點O，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
典例5、四棱雉 中， 平面， 底面 是 等腰梯形，
且， 點 在棱 上.
（1）當 是棱 的中點時， 求證: 平面;
（2）當直線 與平面 所成角 最大時， 求二面角 的大小.
隨堂練習：在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，、、 都是圓柱的母線．
（1）求證：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
典例6、如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，，M，N分別是對角線BD，AE上異于端點的動點，且．
（1）求證：直線平面CDE；
（2）當MN的長最小時，求二面角A-MN-D的正弦值．
隨堂練習：如圖，等腰直角△ACD的斜邊AC為直角△ABC的直角邊，E是AC的中點，F在BC上．將三角形ACD沿AC翻折，分別連接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，
（1）證明：平面ABD；
（2）若，求二面角的余弦值．
空間向量和立體幾何高考復習專題十三答案
典例1、答案】：（1）；（2）.
解:（1）當圓柱的底面半徑為時，設圓柱體的高為，
可得，所以，
圓柱的體積 ，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以圓柱的最大體積為.
（2）由（1）可得：圓柱體的表面積
則，
①當時，，所以在上是增函數，所以函數 沒有最大值；
②當時，令，解得，
當時，；當時，，
所以當時，取得最大值．
隨堂練習：答案： （1）；（2）．
解：（1）連接，交于點，
，， 四棱錐的高，
∴．
（2）， 令，，
， 令得， 當時，，在上遞增，
當時，，在上遞減，
∴當且僅當時，有最大值，．
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）6
解：（1）過點作交與點，
平面平面，且兩平面的交線為
平面 又平面
又且 平面
（2）過點作交與點,連接
平面平面，且兩平面的交線為
平面 又平面 到平面的距離相等
且，平面
又， 令
則，.
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
即，當且僅當時取得最大值.
如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標系，
則，
所以.
設與所成角為，則，則，
即當幾何體體積最大時，與所成角的正切值為6.
隨堂練習：答案：（1） （2）
解:（1）由于，且，則，即，
又平面平面，且平面平面，所以平面，
易得，又為邊的中點，
則米，米，
于是得米，米，米，
取的中點為，則，且米，
則（平方米），（平方米），
（平方米），
故制作三個新增側面的鐵皮面積是平方米．
（2）依題意，設米，則米，且．
由，知與相似，則，得米．
由（1）知，底面，
則四棱錐的體積（），
則，
易知在上單調遞增，在上單調遞減，則立方米．
故這個封閉容器的最大體積是立方米．
典例3、答案： （1）；（2）；
解:（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個菱形的7個頂點的曲率之和，根據定義其度量值等于 減去三個菱形的內角和，再減去6個直角梯形中的兩個非直角內角和，
即蜂房曲頂空間的彎曲度為.
（2）設底面正六邊形的邊長為1， 如圖所示，連接AC，SH，則，
設點在上底面ABCDEF的射影為O，則,
令，則， 菱形SAHC的面積，
的面積為，
令正六棱柱的側面積為定值時， 蜂房的表面積為，
，令得到，
經研究函數的單調性， 得到函數在處取得極小值，
此時， 在中，令，
由余弦定理得, 頂點的曲率為，
其余弦值為.
隨堂練習：答案： （1）， （2）
解：（1）由題意，，，
所以，
即，
（2）當P、Q點落在球面被地面所截得的圓周上時，RO與地面所成的角取得最小值為，
此時，所以，所以；
因為，所以令， ，
所以，因為，
所以，
所以在時單調遞減，
所以時，．
典例4、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：取的中點G，連接EG，FG，AC，
因為，平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD，
因為，，所以四邊形AGFC是平行四邊形，
，又平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD，
因為，平面, 所以平面平面ABCD，
因為平面ABCD，所以平面ABCD．
（2）設，
由，得，且，
由題意知CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標原點，分別以CA，CB，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
所以，，
設平面的一個法向量為，
由得，取，得，
連接BD，因為，，，所以平面，
所以平面的一個法向量為，
所以，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：由題意知，又，所以H為的中點．
連接，因為為的中點，所以．
又平面, 平面, 所以平面；
易知，又平面, 平面, 所以平面
又平面， 所以平面平面．
又平面，所以平面．
（2）連接，由題意知平面，故以F為坐標原點，
以所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
由題意知， 所以．
設平面的法向量為．
則即，得，令，則，所以．
設平面的法向量為，
則，即，得，令，則，所以．
故．
所以平面與平面所成角的余弦值．
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點， 的中點為， ，且，
∴四邊形是平行四邊形， ，平面， 平面；
（2）等腰梯形中，，
作于，則中，
由余弦定理得，，，即，
底面，則兩兩垂直
如圖，以為原點，為軸、軸、軸為正方向建立空間直角坐標系，
則， ，
設平面法向量，則
∴平面的一個法向量，
設，則，
，
，∴當時，取得最大值， ，
設平面法向量，則
∴平面的一個法向量，
設平面法向量，則，
∴平面的一個法向量，
， ∴二面角的大小為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：連接、， 在圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，
則，且，
故、、均為等邊三角形，
所以，在底面中，，則，
平面，平面，所以，平面，
因為、、都是圓柱的母線，則，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因為平面，因此，平面.
（2）連接，因為是邊長為的等邊三角形，則，
因為，由余弦定理可得，
，，
因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
易知平面的一個法向量為，所以，，
由圖可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.
典例6、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）過N作與ED交于點，過M作與CD交于點，連接．
由已知條件，可知矩形ABCD與矩形ADEF全等．
∵，，
∴ ∴
又，則四邊形為平行四邊形， 所以．
∵平面CDE，平面CDE， ∴平面CDE．
（2）由平面ABCD⊥平面ADEF，平面平面，
又平面ADEF，AF⊥AD， ∴AF⊥平面ABCD．
以A為原點，分別以AB，AD，AF為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
過M點作MG⊥AD，垂足為G，連接NG，易知NG⊥AD，設
可得，， ∴，
可知當時，MN長最小值為． 此時，，
又，， ∴，，
設平面AMN的法向量為， 由可得，
令，可得
設平面MND的法向量為， 由可得，
令，可得 ∴，
∴ 則二面角A-MN-D的正弦值為．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：過D作，垂足為G，
∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，
∴平面ABC，∵平面ABC，∴，
∵E是等腰直角三角形ADC斜邊AC的中點，
∴，又，DE，平面DEF，
∴平面DEF，∵平面DEF，∴，
∵，∴， ∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．
（2）由題意可知，在等腰直角三角形ADC中， ∵，∴，
由（1）可知，EF為直角三角形BAC的中位線，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴， ∴，．
以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面CDF的法向量，
則，，，，，
由得，令，則，
顯然，平面ABC的法向量，． 二面角的余弦值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題十四
知識點一 證明線面平行,面面角的向量求法
典例1、如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，分別是，的中點.
（1）記平面與平面的交線為，求證：直線平面；
（2）若，點是的中點，求二面角的正弦值.
隨堂練習：如圖，三棱柱中側棱與底面垂直，且，，，M，N，
P，D分別為，BC，，的中點.
（1）求證：面；
（2）求平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值.
典例2、如圖所示的幾何體中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，平面，，為等邊三角形，．
（1）求證：平面，且平面．
（2）已知，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
典例3、如圖，是邊長為的等邊三角形，四邊形為菱形，平面平面，，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
隨堂練習：如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．
（1）證明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
知識點二 證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,線面角的向量求法
典例4、如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點是 的中點.
（1）求證：； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習：如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．
（1）求證：； （2）設直線PC與平面PAB所成的角為，求．
典例5、在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為的中點，點P在平面內的投影F恰好在直線上．
（1）證明：． （2）求直線與平面所成角的正弦值．
隨堂練習：如圖，在中，，，為的中點，，.現將 沿翻折至，得四棱錐.
（1）證明：； （2）若，求直線與平面所成角的正切值
典例6、如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，，，是等邊三角形，且.
（1）證明：； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點在上．
（1）求證：； （2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．
空間向量和立體幾何高考復習專題十四答案
典例1、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）因為分別是的中點 所以，
又因為平面，平面 所以平面
又平面，平面與平面的交線為， 所以，
而平面，平面， 所以平面
（2）如圖，因為是圓的直徑，點是的中點，
所以，
因為直線平面 所以
所以以為原點，直線，，分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標系，則 ，，
所以，
設平面的法向量，則，即
令，則 得
因為直線平面 所以為平面的法向量
所以 所以二面角的正弦值為
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）解法一： 以點A為坐標原點，AB AC 所在直線分別為x y z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，.
取向量為平面的一個法向量，，
∴， ∴.
又∵平面， ∴平面.
解法二： ∵P，D分別為，的中點，
∴，且平面，平面， ∴平面，
∵D，N分別為，BC的中點， ∴，且平面，平面，
∴平面，又， ∴平面平面，
又∵平面PDN， ∴平面.
以點A為坐標原點，AB AC 所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，. ∴，,
取向量為平面的一個法向量，
設平面PMN的法向量為，則，即，
令，則，，則， ∴，
由圖示可知平面PMN與平面的夾角為銳角，
∴平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值為.
典例2、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：分別取的中點，連接，
設，則， ，
又平面平面，平面平面平面， 平面，
同理可證平面，，
又因為，所以四邊形是平行四邊形，，
又平面平面，平面；
（2）如圖，取的中點為，則，
以點為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
則，
則， 則，
設平面的一個法向量為， 則，
令，得平面的一個法向量為
設平面的一個法向量為， 則，
令，得平面的一個法向量為，
設平面與平面夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）平面，平面，，
又，，平面，平面；
為等邊三角形，，又，，
平面，平面，平面.
平面，平面，；
（2）以為坐標原點，為軸正方向，作軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，
，，，，
設平面的法向量，
則，令，則，，；
設平面的法向量，
則，令，則，，；
，
平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因為四邊形為菱形，則，
平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因為平面，平面.
（2）取的中點，連接、，
因為四邊形為菱形，則， 因為，則為等邊三角形，
因為為的中點，則，同理可得，
因為平面平面，平面平面，平面，
平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸
建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、，
設平面的向量為，，，
則，取，可得，
易知平面的一個法向量為，則.
因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
隨堂練習：答案： （1）見解析；（2）.
解:（1）連接，
，分別為，中點 為的中位線 且
又為中點，且 且
四邊形為平行四邊形
，又平面，平面 平面
（2）設， 由直四棱柱性質可知：平面
四邊形為菱形
則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：
則：，，，D（0，-1,0）
取中點，連接，則
四邊形為菱形且 為等邊三角形
又平面，平面
平面，即平面
為平面的一個法向量，且
設平面的法向量，又，
，令，則，
二面角的正弦值為：
典例4、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖，連接， ∵四邊形是正方形，∴.
又平面，平面，∴，
∵平面，， ∴平面，
又平面， ∴
（2）易知，，兩兩垂直，以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.
∵，∴，，，，，
∴，，.
設平面的法向量為，則，
令，得.設直線與平面所成角為，由圖可知，
則
即直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：由題意知：， ∴PO⊥平面AOB，
又∵平面AOB，所以PO⊥AB． 又點C為的中點，所以OC⊥AB，
， 所以AB⊥平面POC， 又∵平面POC，所以PC⊥AB．
（2）以O為原點，，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向
建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，
所以，，．
設平面PAB的法向量為，則取，則
可得平面PAB的一個法向量為，
所以．
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）因為，，E為的中點，所以，
所以四邊形為長方形，，
因為平面，平面，所以，
又因為，所以平面， 平面，所以．
（2）連接，由（1）平面，平面，所以，
因為，所以，
所以，即，，，
所以，即，
過做交于，分別以所在的直線為軸的正方向
建立空間直角坐標系，，，，，，，，
設平面的一個法向量為，
所以，即，令，則， 所以，
設直線PB與平面PAD所成角的為，所以
，
所以直線PB與平面PAD所成角的正弦值為．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）7
解:（1）設為的中點，為的中點，，則，
故，則， 又，則，
所以是的角平分線，且三點共線.
由，且,得面，則；
（2）法一：連結. 由平面得，平面平面，交線為，
所以在面上的射影點在上， 為直線與平面所成角.
在中，，由余弦定理得，
，故，，
又，在得，由余弦定理得，則，
所以，
由（1）得為角平分線，
在中，，由余弦定理得，則，
所以，所以直線與平面所成角的正切值為7.
法二：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系.
，
設，由， 得，
得.,
平面法向量為，設直線與平面所成角為，所以
，,則，
所以直線與平面所成角的正切值為7.
典例6、答案：（1）證明見解析；（2）.
解:（1）取中點，連接，，，所以，
由余弦定理得：，得，
，又，且，則平面，
故，又，所以平面，
則，由等邊三角形得，且，
則平面，故， 又，因此.
（2）連接，過點作平面于點，連接，，
由平面得平面平面，則點在平面內的射影位于直線上，
由等邊三角形得點在平面內的射影位于的中垂線上，
因此，由幾何關系可確定點在平面內的射影位于的重心，
又由（1）知平面，平面，則，，，，五點共面，
如圖，以點為原點，以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標系Gxyz，
不妨設，則，，，
在和中，由余弦定理得，，
則， 解得，
因此，，，
設平面的法向量， 由得，取，
設直線與平面所成角為，則 ，
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析；（2）
解:（1）取的中點，連結，則，
所以四邊形為平行四邊形，，
又，，
又平面，平面，
且，平面，平面
又平面，
（2）以為坐標原點，分別所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
設，易得，
設平面的法向量為，，
則，令則．
又平面的法向量為，
由題知，解得，
即， 而是平面的一個法向量，
設直線與平面所成的角為， 則．
故直線與平面所成的角的正弦值為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）空間向量和立體幾何高考復習專題十五
知識點一 證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,線面角的向量求法
典例1、如圖，在三棱柱中，平面，，．
（1）求證：平面；
（2）記和的交點為M，點N在線段上，滿足平面，求直線與平面所成角的正弦值．
隨堂練習：如圖，在三棱柱中，，F是
的中點．
（1）證明：； （2）求與平面所成角的正弦值．
典例2、在直角梯形中，，，，，M為線段中點，將 沿折起，使平面平面，得到幾何體.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習：如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD為折痕把△ABD折起，使點A到達點P的位置，且PC⊥BC．
（1）證明：PD⊥平面BCD；
（2）若M為PB的中點，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值．
知識點二 證明線面平行,求組合體的體積
典例3、如圖所示，在直三棱柱中，D是的中點．
（1）證明：平面；
（2）設，求三棱錐的體積．
隨堂練習：已知四棱錐中，，平面，點為三等分點（靠近點），，，.
（1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積．
典例4、如圖，已知在長方體中，，，點E是的中點.
（1）求證：平面EBD； （2）求三棱錐的體積.
隨堂練習：如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，梯形滿足，，，為的中點．
（1）求證：平面； （2）若，求三棱錐的體積．
典例5、如圖所示，在直三棱柱中，
（1）當P為的中點時，求證：平面；
（2）當時，求三棱錐的體積.
隨堂練習：如圖，在三棱柱中，側棱平面，，，，，點是的中點．
（1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積．
典例6、如圖，在四棱柱中，點M是線段上的一個動點，E，F分別是的中點.
（1）設G為棱上的一點，問：當G在什么位置時，平面平面？
（2）設三棱錐的體積為，四棱柱的體積為，求.
隨堂練習：已知正三棱柱中，，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）點是直線上的一點，當與平面所成的角的正切值為時，求三棱錐的體積．
空間向量和立體幾何高考復習專題十五答案
典例1、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：∵在三棱柱中，平面，因為平面，故，
因為，，所以平面，
∵平面，∴，因為∥，所以，
因為，故四邊形為菱形，故，
∵，∴平面
（2）由平面，平面，平面平面，
故，又M為中點，故N為中點.
以B為坐標原點，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.
則
，，設平面的法向量，
由，得，取，
又，設直線與平面所成的角大小為，
則
即直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點為G，連接，在中，根據勾股定理可得， 因此，
而已知平面，
∴，∴，
由余弦定理可得， 故 ,
因此平面，
而平面， ∴．
（2）由（1）得，，又平面，
故以C為坐標原點，分別 為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標系，
則：， ，
設平面的法向量為，則 ，
令，可取，又，
所以與平面所成角的正弦值
．
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在直角梯形中，，，，
∴，，從而
又平面平面，且平面平面
∴平面，平面，∴.
又，且，∴平面
（2）取的中點O，連接，
由題設知為等腰直角三角形，
又平面平面，且平面平面，平面
連接，因為M，O分別為和的中點，
由（1）可知，以分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，
設平面的法向量為， 則，令，則
設直線與平面所成角為θ，
故直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）∵BC⊥CD，BC⊥PC，且PC∩CD＝C， ∴BC⊥平面PCD，
又∵PD 平面PCD，∴BC⊥PD．
∵PD⊥BD，BD∩BC＝B， ∴PD⊥平面BCD；
（2）∵PC⊥BC，CD⊥BC， ∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣D的平面角，則∠PCD＝60°，
因此， 取BD的中點O，連接OM，OC，
由已知可得OM，OC，OD兩兩互相垂直，
以O為坐標原點，分別以OC，OD，OM所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設OB＝1，則P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），
，，．
設平面MCD的一個法向量為，
由，取z，得． ∴cos．
故直線PC與平面MCD所成角的正弦值為．
典例3、答案： （1）證明見解析 （2）.
解： （1）連，交于，則為的中點，連，
因為為的中點，所以， 因為平面，平面，
所以平面.
（2）因為，，所以， 所以，
所以.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）取三等分點，
所以，，即 又因為，，，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面， 即平面.
（2）因為為三等分點，所以，
，平面，平面平面，
且平面平面，過點作的垂線交延長線于，如下圖所示：
由線面垂直的性質有平面，
所以點到平面的距離為，記，
因為，，，
所以，，，
.
即三棱錐的體積為.
典例4、答案： （1）證明見解析 （2）1
解：（1）因為四邊形ABCD為矩形，且，則O為AC的中點，
又因為E為的中點，則， ∵平面EBD，平面EBD，
因此，平面EBD；
（2）在長方體中，平面，
因此，.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析； （2）
解：（1）取中點，連接，易得且，又，，
則， 則四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，則平面；
（2）取中點，連接，則，又，
則四邊形為平行四邊形，則，
，又，，則，
又平面，，
則平面，又，，
則.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接交于點，連接，因為為棱柱，
所以四邊形為平行四邊形，
所以為的中點，又為的中點，所以，
因為平面，平面 所以∥平面..
（2）因為為直棱柱，所以平面，平面， 所以，
又，交于C點， 平面，
所以平面，同理平面，
又平面，所以，
因為，， 平面，
所以平面，平面，所以
在直棱柱中.，則，
所以，則. 所以，
所以
又，平面，
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）4.
解：（1）證明：設與的交點為，連接，
∵是的中點，是的中點，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）取的中點，連接，，
直三棱柱中，平面，而平面， 故，
∵為的中點，∴且．
又∵，，， ∴平面，∴平面．
∵， ∴．
典例6、答案：（1）G為中點時，平面平面； （2）
解：（1）G為中點時，平面平面，
理由如下：連接，取的中點，連接，
因為E，F分別是的中點，則，
平面，平面，則平面，
同理可得，平面，平面，則平面，
又，平面，則平面平面；
（2）由F是的中點得，
又，平面，平面，則平面，
又點M是線段上的一個動點，則，
則，則.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：連接交于點，連接，
因為四邊形為平行四邊形，，則為的中點，
因為為的中點，則，
平面，平面，故平面.
（2）因為平面，與平面所成的角為，
因為是邊長為的等邊三角形，則，
平面，平面，，則， 所以，，
平面，，
所以，點到平面的距離等于點到平面的距離，
因為為的中點，則，
則.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）

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