資源簡介

1.1.1 集合
課程標準 學習目標
（1）了解集合的概念，理解元素與集合的關系;
（1）通過實例, 了解集合的含義, 理解元素與
（2）理解集合的三要素：互異性、確定性和無序性；
集合的屬于關系;
（3）掌握常見數集的表示；
（2）針對具體問題, 能在自然語言和圖形語言
（4）掌握集合的表示方法：列舉法、描述法.（難
的基礎上, 用符號語言刻畫集合。
點)
知識點 01 集合的概念
元素與集合的概念
一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或
集)，構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).
集合的元素特征
① 確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.
Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個頭，帥哥沒有明確的標準，故“帥哥”不能組成集合.
② 互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.
Eg：兩個學生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名""""，以視區別.
若集合 = {1，2， }，就意味 ≠ 1且 ≠ 2.
③ 無序性：集合中的元素無順序，可以任意排列、調換.
Eg：高一(1)班每月都換座位也改變不了它是(1)班的事實， 1，2，3 = {2，3，1}.
元素與集合的關系
若 是集合 的元素，則稱 屬于集合 ，記作 ∈ ；
若 不是集合 的元素，則稱 不屬于集合 ，記作 .
Eg：菱形 ∈ {平行四邊形}，0 ∈ ，0 {1，2，3，4}.
常用數集
自然數集(或非負整數集)，記作 ；正整數集，記作 或 +；整數集，記作 ；
有理數集，記作 ；實數集，記作 .
【例】3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ．
集合的分類
有限集，無限集，空集 .
Eg：奇數集 │ = 2 + 1 , ∈ 屬于無限集， ∈ │ 2 + 1 = 0 = .
【即學即練 1】 下列各組對象不能構成集合的是（　　）
A．參加卡塔爾世界杯比賽的全體球員 B．小于 2的正整數
C．數學必修第一冊課本上的難題 D．所有有理數
知識點 02 集合的表示方法
1 列舉法
把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫列舉法.
2 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.
方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫
出這個集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：{ ∈ | ( )}.
用符號描述法表示集合時應注意：
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數還是點、還是集合、還是其他形式？
(2) 元素具有怎么的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表
面的字母形式所迷惑.
【即學即練 2】用列舉法或描述法表示下列集合：
(1) 11以內偶數的集合；
(2) 不等式 2 ―2 ―3 < 0的解集；
(3) (陰影部分的點(包括邊界上的點)的坐標的集合)
3 區間
區間的幾何表示如下表所示：
定義 名稱 符號 數軸表示
{ | ≤ ≤ } 閉區間 [ , ]
{ | < < } 開區間 ( , )
{ | ≤ < } 半開半閉區間 [ , )
{ | < ≤ } 半開半閉區間 ( , ]
{ | ≥ } 半開半閉區間 [ , + ∞)
{ | ＞ } 開區間 ( , + ∞)
{ | ≤ } 半開半閉區間 (－∞, ]
{ | < } 開區間 (－∞, )
開區間 (－∞, + ∞)
【題型一：判斷所給對象是否構成集合】
例 1． 下列所給的對象能構成集合的是__________．
(1)所有直角三角形；(2)全國高聳的山脈；(3)比較接近1的正整數全體；
(4)某校高一年級的 16 歲以下的學生；(5) 12，3， 30°， 7．
變式 1-1．下列各組對象能構成集合的是（ ）
A．充分接近 5的所有實數 B．所有的正方形
C．著名的數學家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
變式 1-2．給出四個結論：
①{1,2,3,1}是由 4 個元素組成的集合；
②集合{1}表示僅由一個“1”組成的集合；
③{2,4,6}與{6,4,2}是兩個不同的集合；
④集合{大于 3 的無理數}是一個有限集．
其中正確的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②
變式 1-3．給出下列說法：①在一個集合中可以找到兩個相同的元素；②好聽的歌能組成一個集合；③高
一（1）班所有姓氏能構成集合；④把 1，2，3 三個數排列，共有 6 種情況，因此由這三個數組成的集合
有 6 個.其中正確的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【方法技巧與總結】
判斷判斷所給對象是否構成集合，要注意集合元素特征：① 確定性，② 互異性，③ 無序性.
【題型二：元素與集合的關系】

例 2．非空集合 A 具有下列性質：（1）若 x、y∈A，則 ∈A；（2）若 x、y∈A，則 x+y∈A，下列判斷一定
成立的是（ ）
1 A 2020①﹣ ；②2021∈A；③若 x、y∈A，則 xy∈A；④若 x、y∈A，則 x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
變式 2-1．已知集合 中的元素 滿足 ― 1 > 2，則下列選項正確的是（ ）
A．5 ∈ ，且 ―4 B．5 ∈ ，且 ―4 ∈
C．5 ，且 ―4 D．5 ，且 ―4 ∈

變式 2-2．已知 ， ， 為非零實數，代數式| | + | | + | | + | |的值所組成的集合是 ，則下列判斷正確的
是（ ）
A．4 ∈ B．2 ∈ C．0 D． ―4
1
變式 2-3．若對任意 ∈ ， ∈ ，則稱 A 為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A．{1,3} B．{ ―1,0,1}
C．{ | > 1} D．{ | > 0}
變式 2-4．以某些整數為元素的集合 P 具有以下性質：
（1）P 中元素有正數，也有負數；（2）P 中元素有奇數，也有偶數；
（3） ―1 ；（4）若 、 ∈ ，則 + ∈ ．
則下列選項哪個是正確的（ ）
A．集合 P 中一定有 0 但沒有 2 B．集合 P 中一定有 0 可能有 2
C．集合 P 中可能有 0 可能有 2 D．集合 P 中既沒有 0 又沒有 2
【方法技巧與總結】
1 元素與集合之間的關系是屬于或不屬于，并且只能是其中一種可能；
2 要判斷元素是否屬于集合，要確定集合中元素的要求；對于新定義的題目，其中的定義很重要，要能理
解其中的含義方能判斷，考核你對數學抽象概念的理解.
【題型三：利用元素與集合互異性求參數】
例 3．已知集合 = {0, , 2 ― 3 + 2}，且2 ∈ ，則實數 為（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
變式 3-1．已知集合 = { ,| |, ― 2}，若2 ∈ ，則實數 a 的值為（ ）
A． ± 2或 4 B．2 C．-2 D．4
變式 3-2．已知集合 = {12, 2 + 4 , ― 2}， ―3 ∈ ，則 = （ ）
A． ―1 B． ―3或 1 C．3 D． ―3
變式 3-3．若{ 2,0, ― 1} = { , ,0}，則 的值是（ ）
A．0 B．1 C． ―1 D． ± 1
【方法技巧與總結】
1 集合的元素是不能相同的，若有集合 = { , , }，它的潛臺詞就是 ≠ ≠ ；
2 在求涉及到集合中元素的參數時，要注意把所求值代回集合進行檢驗。
【題型四：集合的表示方法—列舉法】
例 4．用列舉法表示下列給定的集合：
(1)大于 1 且小于 6 的整數組成的集合 A；
(2)方程 2 ―9 = 0的實數根組成的集合 B；
(3)一次函數 = + 2與 = ―2 + 5的圖象的交點組成的集合 C.
變式 4-1 + = 3．方程組 ― = ―1 的解構成的集合是（ ）
A．{1,2} B．{ = 1, = 2} C．(1,2) D．{(1,2)}
變式 4-2．用列舉法表示小于 4 的自然數構成的集合，正確的是（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2,3,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,2,3}
變式 4-3．用列舉法表示下列集合：
(1)大于 1 且小于 6 的整數；
(2) = { |( ― 1)( + 2) = 0 }；
(3) = { ∈ | ―3 < 2 ― 1 < 3 }．
(4){( , )|0 ≤ ≤ 2,0 ≤ < 2, , ∈ }．
(5) | | | |由 ＋ （a， b∈R）所確定的實數組成的集合.
【方法技巧與總結】
1 當集合的元素是有限個的時候，我們可以用列舉法表示集合，此時要注意集合元素的類型；
2 當集合元素是無限個時，有時候也可以用列舉法，比如集合 是2的整數冪， = {2,4,8,16…}。
【題型五：集合的表示方法—描述法】
例 5．已知集合 = { | = 2 ― 1, ∈ Z}, = { | = 2 , ∈ Z}且 1, 2 ∈ , 3 ∈ ，則下列判斷不正確的是
（ ）
A． 1 2 ∈ B． 2 3 ∈
C． 1 + 2 ∈ D． 1 + 2 + 3 ∈
變式 5-1．集合{ | ― 1 < 2 + 1 < 7 }化簡為（ ）
A．{ ―1,0,1,2} B．{1,2} C．{ ―2,3} D．( ―2,3)
變式 5-2．若集合 = {2,4,8} ， = | ∈ , ∈ ，則 中所有元素的和為（ ）

A 27 B 31． 4 ． 4 C
39
． 4 D
49
． 4
變式 5-3．已知集合 = { | = 3 , ∈ }， = { | = 3 + 1 , ∈ }， = { | = 3 ― 1 , ∈ }，且
∈ ， ∈ ， ∈ ，若 = ― + ，則．
A． ∈ B． ∈
C． ∈ D． ∈ 且 ∈
變式 5-4．若 = { ∣ = 2 + , ∈ , ∈ }，則下列結論中正確結論的個數為（ ）
1
① ∈ 3―2 2 ；
② ；
③若 1, 2 ∈ ，則 1 + 2 ∈ ；
1
④若 1, 2 ∈ 且 2 ≠ 0，則 ∈ ；2
⑤存在 ∈ 且 ，滿足 ―2022 ∈ .
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧與總結】
1 集合的表示方法—描述法，一般格式：{ ∈ | ( )}.
2 理解描述法表示集合
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數還是點、還是集合、還是其他形式？
(2) 元素具有怎么的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表
面的字母形式所迷惑.
【題型六：綜合運用】
例 6．若集合 具有以下性質：
①0 ∈ ,1 ∈ ；
②若 , ∈ ，則 ― ∈ ，且 ≠ 0 1時， ∈ .
則稱集合 是“好集”.
(1)分別判斷集合 = { ―1,0,1}，有理數集 是否是“好集”，直接寫出結論；
(2)設集合 是“好集”，求證：若 , ∈ ，則 + ∈ ；
(3)設集合 是“好集”，求證：若 ∈ ，則 2 ∈ ；
變式 6-1．若集合 A={ | 2 + ― 1 = 0}只有一個元素，則 = （ ）
A．-4 B．0 C．4 D．0 或-4
變式 6-2．已知非空數集 滿足：對任意給定的 、 ∈ （ 、 可以相同），有 + ∈ 且 ― ∈ .若集合
中最小的正數為 6，則集合 = .
變式 6-3．設集合 S 中的元素全是實數，且滿足下面兩個條件：
①1 ；②若 ∈ 1，則1― ∈ .
(1)求證：若 ∈ ，則1 ― 1 ∈ ；
(2)若2 ∈ ，則在 S 中必含有其他的兩個元素，試求出這兩個元素．
變式 6-4．已知數集 含有 （ ∈ *）個元素，定義集合 * = { + | , ∈ }．
(1)若 = {1,2,3}，寫出 *；
(2)寫出一個集合 ，使得 = *；
(3)當 = 4時，是否存在集合 ，使得 * = {2,3,4,6,7,8,10}？若存在，寫出一個符合條件的集合 ；若不存
在，說明理由．
【方法技巧與總結】
1 對于集合中新定義的題型，特別是注意理解集合元素的要求，在解題的過程中一切從定義出發；注意前
一問對下一問的“提示”，注意特殊情況到一般情況的延伸推理.
2 證明否定問題，我們可采取反證法.
一、單選題
1．下面有四個結論:①集合N中最小數為 1；②若 ― N，則 ∈ N；③若 ∈ N， ∈ N，則 + 的最小值
為 2；④所有的正數組成一個集合.其中正確結論的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.下列對象不能組成集合的是（ ）
A．不超過 20 的質數
B．π的近似值
C．方程 =1的實數根
D．函數 = , ∈ R的最小值
3.已知集合 = { ∈ Z| < 3 }，則（ ）
A．2 ∈ B．3 ∈
C．0 D． ∈
3.設 1， 2， 3， 4是 4 個正整數，從中任取3個數求和所得的集合為{25,26,27}，則這4個數中最小的數為
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4. 若集合 = { |2 ― 3 > 0, ∈ R}，其中2 ∈ 且1 ，則實數 m 的取值范圍是（ ）
A 3 , 3． B 3 3． , C 3． , 3 D 3． , 3
4 2 4 2 4 2 4 2
2 2
5.已知集合 = { ―2, ― 1,1,2}, = | = + , ∈ , ∈ ，則集合 等于（ ）
A．{ ―2, ― 1,0,1,2} B．{ ―2, ― 1,1,2} C． ―1, ― 5 ,1, 5
2 2
D． ― 5 , ― 2,2, 5
2 2
6.若集合 = | = 3 , ∈ N* ， = | = 3 ― 1, ∈ N* ， = | = 3 ― 2, ∈ N* ，且
∈ , ∈ , ∈ ，則下列結論中可能成立的是（ ）
A．2023 = + + B．2023 =
C．2023 = ( + ) D．2023 = +
7.若集合 = ∈ R| 2 ― 2 + 1 = 0 中只有一個元素，則實數 = （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0 或 1
8. ( ) A = ( ) ― ( ), ( ) ≥ ( )記 為非空集合 中的元素個數，定義 ( ) ― ( ), ( ) < ( ) .若 = {1,2}， =
|( 2 + )( 2 + + 5) = 0 ，且 = 1，設實數 a 的所有可能取值組成的集合是 S，則 ( )等于
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
9．給出下列說法，其中不正確的是（ ）
A．集合{ ∈ N| 3 = }用列舉法表示為{0,1}
B．實數集可以表示為{ | 為所有實數}或{R}
C + = 0 1 1．方程組 ― = ―1 的解組成的集合為 = ― , =2 2
D．集合{ | = 2}與{( , )| = 2}是同一個集合
10.已知集合 = | 2 + 2 + 1 = 0, ∈ R ，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．若 A 中只有一個元素，則 = 1 B．若 A 中至少有一個元素，則 ≤ 1
C．若 A 中至多有一個元素，則 ≥ 1 D．若 A 中恰有兩個元素，則 < 1
11.設 S 為實數集R的非空子集．若對任意 , ∈ ，都有 + , ― , ∈ ，則稱 S 為封閉集．下列命題正
確的是（ ）
A．自然數集 N 為封閉集
B．整數集 Z 為封閉集
C．集合 = { + 2| , 為整數}為封閉集
D．若 S 為封閉集，且1 ∈ ，則 S 一定為無限集
三、填空題
12．已知集合 = { ,| |}，若2 ∈ ，則 = ．
13. 含有三個實數的集合可表示為 , ,1 ，也可以示為{ 2, + ,0}，則 2013 + 2014的值為 .

14.集合 = { |( ― 1)( 2 ― 4 + ) = 0, ∈ R }中恰好有兩個元素，則實數 滿足的條件是 .
四、解答題
15．用適當的方法表示下列集合：
(1)大于 0 且不超過 10 的全體偶數組成的集合 ；
(2)被 3 除余 2 的自然數全體組成的集合 ；
(3)直角坐標平面上由第二象限與第四象限中的所有點組成的集合 .
16. 1設集合 A 中的元素均為實數，且滿足條件：若 ∈ ，則1― ∈ ( ≠ 1, ≠ 0).求證：
(1)若2 ∈ ，則 A 中必還有另外兩個元素；
(2)集合 A 不可能是單元素集.
17.對于集合 A，B，我們把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}記作 A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，則有
A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，
B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，據此，試回答下列問題．
(1)已知 C＝{a}，D＝{1，2，3}，求 C×D；
(2)已知 A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合 A，B；
(3)A 有 3 個元素，B 有 4 個元素，試確定 A×B 有幾個元素．
18. 1已知由實數組成的集合 ，1 ，又滿足：若 ∈ ，則1― ∈ .
(1) 能否是僅含一個元素的單元素集，試說明理由；
(2) 中含元素個數一定是3 ( ∈ N )個嗎？若是，給出證明，若不是，說明理由.
19.已知集合 = { 1, 2, , }中的元素都是正整數，且 1 < 2 < < ．若對任意 , ∈ ，且 ≠ ，都有

| ― | ≥ 25成立，則稱集合 A 具有性質 ．
(1)判斷集合{1,2,3,4}是否具有性質 ；
1 1
(2) ― 已知集合 A 具有性質 ，求證： ― ≥ 25 ( = 1,2, , )；
(3)證明： 3是無理數．1.1.1 集合
課程標準 學習目標
（1）了解集合的概念，理解元素與集合的關系;
（1）通過實例, 了解集合的含義, 理解元素與
（2）理解集合的三要素：互異性、確定性和無序性；
集合的屬于關系;
（3）掌握常見數集的表示；
（2）針對具體問題, 能在自然語言和圖形語言
（4）掌握集合的表示方法：列舉法、描述法.（難
的基礎上, 用符號語言刻畫集合。
點)
知識點 01 集合的概念
元素與集合的概念
一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或
集)，構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).
集合的元素特征
① 確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.
Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個頭，帥哥沒有明確的標準，故“帥哥”不能組成集合.
② 互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.
Eg：兩個學生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名""""，以視區別.
若集合 = {1，2， }，就意味 ≠ 1且 ≠ 2.
③ 無序性：集合中的元素無順序，可以任意排列、調換.
Eg：高一(1)班每月都換座位也改變不了它是(1)班的事實， 1，2，3 = {2，3，1}.
元素與集合的關系
若 是集合 的元素，則稱 屬于集合 ，記作 ∈ ；
若 不是集合 的元素，則稱 不屬于集合 ，記作 .
Eg：菱形 ∈ {平行四邊形}，0 ∈ ，0 {1，2，3，4}.
常用數集
自然數集(或非負整數集)，記作 ；正整數集，記作 或 +；整數集，記作 ；
有理數集，記作 ；實數集，記作 .
【例】3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ．
集合的分類
有限集，無限集，空集 .
Eg：奇數集 │ = 2 + 1 , ∈ 屬于無限集， ∈ │ 2 + 1 = 0 = .
【即學即練 1】 下列各組對象不能構成集合的是（　　）
A．參加卡塔爾世界杯比賽的全體球員
B．小于 2的正整數
C．數學必修第一冊課本上的難題
D．所有有理數
【答案】C
【分析】根據集合的概念，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于 A 中，參加的全體球員，是確定的，沒有重復的，所以能構成集合；
對于 B 中，小于 2的正整數，是確定的，沒有重復的，所以能構成集合；
對于 C 中，多難的題才算是難題，有一定的不確定性，不符合集合中元素的確定性，故不能構成集合；
對于 D 中，所有有理數，所研究的有理數，是確定的，沒有重復的，所以能構成集合，故選 C.
故選：C.
知識點 02 集合的表示方法
1 列舉法
把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫列舉法.
2 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.
方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫
出這個集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：{ ∈ | ( )}.
用符號描述法表示集合時應注意：
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數還是點、還是集合、還是其他形式？
(2) 元素具有怎么的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表
面的字母形式所迷惑.
【即學即練 2】用列舉法或描述法表示下列集合：
(1) 11以內偶數的集合；
(2) 不等式 2 ―2 ―3 < 0的解集；
(3) (陰影部分的點(包括邊界上的點)的坐標的集合)
解析 (1) 用列舉法表示為{2,4,6,8,10}；
(2) 用描述法表示為{ ∈ | 2 ―2 ―3 < 0}；
(3)用描述法表示為{( , )| ― 2 ≤ ≤ 0且 ―2 ≤ ≤ 0}.
3 區間
區間的幾何表示如下表所示：
定義 名稱 符號 數軸表示
{ | ≤ ≤ } 閉區間 [ , ]
{ | < < } 開區間 ( , )
{ | ≤ < } 半開半閉區間 [ , )
{ | < ≤ } 半開半閉區間 ( , ]
{ | ≥ } 半開半閉區間 [ , + ∞)
{ | ＞ } 開區間 ( , + ∞)
{ | ≤ } 半開半閉區間 (－∞, ]
{ | < } 開區間 (－∞, )
開區間 (－∞, + ∞)
【題型一：判斷所給對象是否構成集合】
例 1． 下列所給的對象能構成集合的是__________．
(1)所有直角三角形；(2)全國高聳的山脈；(3)比較接近1的正整數全體；
(4) 1某校高一年級的 16 歲以下的學生；(5) 2，3， 30°， 7．
【答案】(1)(4)
【詳解】 (1)能，集合元素是直角三角形；
(2)不能，“高聳”的標準是模糊的、不確定的，所以元素不確定，故不能構成集合；
(3)不能，“比較接近1”的標準不明確，所以元素不確定，故不能構成集合；
(4)能，集合元素是“16 歲以下的學生”；
(5)不能， 30° = 12，有兩個數字重復，不符合元素的互異性.
故答案是(1)(4)
變式 1-1．下列各組對象能構成集合的是（ ）
A．充分接近 5的所有實數 B．所有的正方形
C．著名的數學家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【分析】根據構成集合元素的特征滿足確定性、互異性判斷各選項即可.
【詳解】對于 A，充分接近 5的所有實數不能滿足集合元素的確定性，故 A 錯誤；
對于 B，所有的正方形可以構成一個集合，故 B 正確；
對于 C，著名的數學家不能滿足集合元素的確定性，故 C 錯誤；
對于 D，元素有重復，不滿足集合元素的互異性，故 D 錯誤.
故選：B.
變式 1-2．給出四個結論：
①{1,2,3,1}是由 4 個元素組成的集合；
②集合{1}表示僅由一個“1”組成的集合；
③{2,4,6}與{6,4,2}是兩個不同的集合；
④集合{大于 3 的無理數}是一個有限集．
其中正確的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②
【答案】D
【分析】根據集合元素的特征逐一判斷各選項.
【詳解】對于①，集合{1,2,3,1}不滿足集合元素的互異性，故①錯誤；
對于②，集合{1}僅有 1 個元素，故②正確；
對于③，集合{2,4,6}與{6,4,2}元素相同，是兩個相同的集合，故③錯誤；
對于④，集合{大于 3 的無理數}是無限集，故④錯誤.
故選：D.
變式 1-3．給出下列說法：①在一個集合中可以找到兩個相同的元素；②好聽的歌能組成一個集合；③高
一（1）班所有姓氏能構成集合；④把 1，2，3 三個數排列，共有 6 種情況，因此由這三個數組成的集合
有 6 個.其中正確的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據集合元素的互異性、無序性和定義逐一判斷即可.
【詳解】①集合中的元素不能相同，所以在一個集合中不可以找到兩個相同的元素，因此本序號說法不正
確；
②因為好聽的歌標準不確定，
所以好聽的歌不能組成一個集合，因此本序號的說法不正確；
③因為高一（1）班所有姓氏是確定的，
所以可以構成一個集合，因此本序號的說法是正確的；
④根據集合元素的無序性，由這三個數組成的集合只有一個，因此本序號說法不正確，
因此正確的個數為 1，
故選：B
【方法技巧與總結】
判斷判斷所給對象是否構成集合，要注意集合元素特征：① 確定性，② 互異性，③ 無序性.
【題型二：元素與集合的關系】

例 2．非空集合 A 具有下列性質：（1）若 x、y∈A，則 ∈A；（2）若 x、y∈A，則 x+y∈A，下列判斷一定
成立的是（ ）
1 A 2020①﹣ ；②2021∈A；③若 x、y∈A，則 xy∈A；④若 x、y∈A，則 x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】對于①：假設 ―1 ∈ ，令 = = ―1，由已知推出矛盾，可判斷①；
2020
對于②：由題意知，1 ∈ ，再得1 + 1 = 2 ∈ ,2 + 1 = 3 ∈ , ,2020 ∈ ，2021 ∈ ，從而判斷②；
1
對于③：由1 ∈ , ∈ ，得 ∈ ， ∈ ，結合性質可判斷③；
對于④：1 ∈ ,2 ∈ ，由 = 2, = 1， ― = 1 ∈ ，可判斷④.

【詳解】解：對于①：假設 ―1 ∈ ，則令 = = ―1，則 = 1 ∈ ， + = ―2 ∈ ，

令 = ―1, = 1，則 = ―1 ∈ , + = 0 ∈ ，令 = 1, = 0，不存在 ，即 ≠ 0，矛盾，所以 ―1 ，故
①對；
對于②：由題意知，1 ∈ ，則1 + 1 = 2 ∈ ,2 + 1 = 3 ∈ , ,2020 ∈ 2020，2021 ∈ ，故②正確；

對于③：1 ∈ , ∈ , ∴ 1 ∈ ， ∈ , ∴ 1 = ∈ ，故③正確；
對于④：1 ∈ ,2 ∈ ，若 = 2, = 1，則 ― = 1 ∈ ，故④錯誤，
所以一定成立的是①②③，
故選：C.
變式 2-1．已知集合 中的元素 滿足 ― 1 > 2，則下列選項正確的是（ ）
A．5 ∈ ，且 ―4 B．5 ∈ ，且 ―4 ∈
C．5 ，且 ―4 D．5 ，且 ―4 ∈
【答案】A
【分析】由元素和集合的關系判斷.
【詳解】由 ― 1 > 2解得 > 3，
因為5 > 3， ―4 < 3，
故5 ∈ ，且 ―4 ，
故選：A

變式 2-2．已知 ， ， 為非零實數，代數式| | + | | + | | + | |的值所組成的集合是 ，則下列判斷正確的
是（ ）
A．4 ∈ B．2 ∈ C．0 D． ―4
【答案】A
【分析】分別對 ， ， 的符號進行討論，計算出集合 的所有元素，再進行判斷.
【詳解】根據題意，分 4 種情況討論；

①、 、 、 全部為負數時，則 也為負數，則| | + | | + | | + | | = ―4；

②、 、 、 中有一個為負數時，則 為負數，則| | + | | + | | + | | = 0；

③、 、 、 中有兩個為負數時，則 為正數，則| | + | | + | | + | | = 0；

④、 、 、 全部為正數時，則 也正數，則| | + | | + | | + | | = 4；
則 = {4,0, ― 4}；分析選項可得 符合．
故選：A.
變式 2-3 1．若對任意 ∈ ， ∈ ，則稱 A 為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A．{1,3} B．{ ―1,0,1}
C．{ | > 1} D．{ | > 0}
【答案】D
【分析】對于 ABC：舉反例說明即可；對于 D：分局題意分析即可.
1
【詳解】對于選項 A：因為3 ∈ {1,3}，但3 {1,3}，不符合題意，故 A 錯誤；
1
對于選項 B：因為0 ∈ { ―1,0,1}，但0無意義，不符合題意，故 B 錯誤；
1
對于選項 C：例如2 ∈ { | > 1}，但2 { | > 1}，不符合題意，故 C 錯誤，
對于選項 D：對任意 ∈ 1{ | > 0}，均有 ∈ { | > 0}，符合題意，故 D 正確；
故選：D.
變式 2-4．以某些整數為元素的集合 P 具有以下性質：
（1）P 中元素有正數，也有負數；（2）P 中元素有奇數，也有偶數；
（3） ―1 ；（4）若 、 ∈ ，則 + ∈ ．
則下列選項哪個是正確的（ ）
A．集合 P 中一定有 0 但沒有 2 B．集合 P 中一定有 0 可能有 2
C．集合 P 中可能有 0 可能有 2 D．集合 P 中既沒有 0 又沒有 2
【答案】A
【分析】由（4）得 ∈ ，則 ∈ （k 是正整數），由（1）可設 , ∈ ，且 > 0， < 0，可得0 ∈ .利用
反證法可得若2 ∈ ，則 P 中沒有負奇數，若 P 中負數為偶數，得出矛盾即可求解.
【詳解】解：由（4）得 ∈ ，則 ∈ （k 是正整數）．
由（1）可設 , ∈ ，且 > 0， < 0，則 、( ― ) ∈ ，而0 = + ( ― ) ∈ ．
假設2 ∈ ，則2 ∈ ．由上面及（4）得 0，2，4，6，8，…均在 P 中，
故2 ― 2 ∈ （k 是正整數），
不妨令 P 中負數為奇數 ―2 + 1（k 為正整數），
由（4）得(2 ― 2) + ( ― 2 + 1) = ―1 ∈ ，矛盾．
故若2 ∈ ，則 P 中沒有負奇數．
若 P 中負數為偶數，設為 ―2 （k 為正整數），則由（4）及2 ∈ ，
得 ―2, ― 4, ― 6, 均在 P 中，即 ―2 ― 2 ∈ （m 為非負整數），
則 P 中正奇數為2 + 1，由（4）得( ― 2 ― 2) + (2 + 1) = ―1 ∈ ，矛盾．
綜上，0 ∈ ， 2 .
故選:A．
【方法技巧與總結】
1 元素與集合之間的關系是屬于或不屬于，并且只能是其中一種可能；
2 要判斷元素是否屬于集合，要確定集合中元素的要求；對于新定義的題目，其中的定義很重要，要能理
解其中的含義方能判斷，考核你對數學抽象概念的理解.
【題型三：利用元素與集合互異性求參數】
例 3．已知集合 = {0, , 2 ― 3 + 2}，且2 ∈ ，則實數 為（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
【答案】B
【分析】由題意可得 = 2或 2 ―3 + 2 = 2，分類討論，結合集合元素的互異性，即可求得答案.
【詳解】因為 = {0, , 2 ― 3 + 2}且2 ∈ ，
所以 = 2或 2 ―3 + 2 = 2，
①若 = 2，此時 2 ―3 + 2 = 0，不滿足元素的互異性；
②若 2 ―3 + 2 = 2，解得 = 0或 3，
當 = 0時不滿足元素的互異性，當 = 3時， = {0,3,2}符合題意.
綜上所述， = 3.
故選：B
變式 3-1．已知集合 = { ,| |, ― 2}，若2 ∈ ，則實數 a 的值為（ ）
A． ± 2或 4 B．2 C．-2 D．4
【答案】C
【解析】由集合元素的特性和 2 屬于集合 A，直接計算判斷求解即可得出答案.
【詳解】由集合 = { ,| |, ― 2}，可得 ≠ | | ≠ ― 2，則得 < 0， ― 2 < 0，又因為2 ∈ 可得| | = 2，
解得 = ―2，即 C 選項正確.
故選：C.
【點睛】本題考查了集合元素特性的利用，考查了由元素屬于集合求參數的問題，屬于一般難度的題.
變式 3-2．已知集合 = {12, 2 + 4 , ― 2}， ―3 ∈ ，則 = （ ）
A． ―1 B． ―3或 1 C．3 D． ―3
【答案】D
【分析】根據元素與集合的關系求出 值，然后代入檢驗即得.
【詳解】因 = {12, 2 + 4 , ― 2}， ―3 ∈ ，故有： 2 +4 = ―3或 ― 2 = ―3，
由 2 +4 = ―3解得： = ―1或 = ―3，由 ― 2 = ―3解得： = ―1，
又因 = ―1時， 2 +4 = ― 2 = ―3，與集合元素互異性矛盾，故舍去，而 = ―3時 = {12, ― 3, ― 5}，
符合題意.
故選：D.
變式 3-3．若{ 2,0, ― 1} = { , ,0}，則 的值是（ ）
A．0 B．1 C． ―1 D． ± 1
【答案】C
2 2
【分析】根據{ 2,0, ― 1} = { , ,0} = = 得到 = ―1 或 = ―1 ，然后解方程根據元素的互異性進行取舍即可.
2 = 2 = = 0 = 1
【詳解】因為{ 2,0, ― 1} = { , ,0}，所以① = ―1 或② = ―1 ，由①得 = ―1 或 = ―1 ，其中
= 0 = 1 = 1
= ―1 與元素互異性矛盾，舍去， = ―1 符合題意，由②得 = ―1 ，符合題意，兩種情況代入得
= ―1.
故選：C.
【方法技巧與總結】
1 集合的元素是不能相同的，若有集合 = { , , }，它的潛臺詞就是 ≠ ≠ ；
2 在求涉及到集合中元素的參數時，要注意把所求值代回集合進行檢驗。
【題型四：集合的表示方法—列舉法】
例 4．用列舉法表示下列給定的集合：
(1)大于 1 且小于 6 的整數組成的集合 A；
(2)方程 2 ―9 = 0的實數根組成的集合 B；
(3)一次函數 = + 2與 = ―2 + 5的圖象的交點組成的集合 C.
【答案】(1) = {2,3,4,5}
(2) = { ― 3,3}
(3) = {(1,3)}
【分析】利用集合的描述法與列舉法求解即可.
【詳解】（1）因為大于 1 且小于 6 的整數包括 2，3，4，5，所以 = {2,3,4,5}.
（2）因為方程 2 ―9 = 0的實數根為 ―3,3，所以 = { ― 3,3}.
3 = + 2 = 1（ ）聯立 = ―2 + 5 ，解得 = 3 ，
所以一次函數 = + 2與 = ―2 + 5的交點為(1,3)，所以 = {(1,3)}.
變式 4-1 + = 3．方程組 ― = ―1 的解構成的集合是（ ）
A．{1,2} B．{ = 1, = 2} C．(1,2) D．{(1,2)}
【答案】D
【分析】首先解出方程組，再由列舉法表示出解集.
+ = 3 = 1
【詳解】由 ― = ―1 ，解得 = 2 ，
+ = 3
所以方程組 ― = ―1 的解構成的集合是 ( , )|
+ = 3
― = ―1 = {(1,2)}.
故選：D
變式 4-2．用列舉法表示小于 4 的自然數構成的集合，正確的是（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2,3,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,2,3}
【答案】A
【分析】直接根據列舉法即可得結果.
【詳解】小于 4 的自然數構成的集合為{0,1,2,3}，
故選：A.
變式 4-3．用列舉法表示下列集合：
(1)大于 1 且小于 6 的整數；
(2) = { |( ― 1)( + 2) = 0 }；
(3) = { ∈ | ―3 < 2 ― 1 < 3 }．
(4){( , )|0 ≤ ≤ 2,0 ≤ < 2, , ∈ }．
(5) | | | |由 ＋ （a， b∈R）所確定的實數組成的集合.
【答案】(1){2,3,4,5}
(2){1, ― 2}
(3){0,1}
(4){(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}
(5){ ―2,0,2}
【分析】（1）寫出大于 1 且小于 6 的整數即可；（2）求出方程( ― 1)( + 2) = 0的根即可；（3）解不等式
即可求解；（4）寫出符合條件的坐標即可；（5）分類討論即可.
【詳解】（1）大于 1 且小于 6 的整數組成的集合為{2,3,4,5}；
（2） = { |( ― 1)( + 2) = 0 } = {1, ― 2}
（3） = { ∈ | ―3 < 2 ― 1 < 3 } = { ∈ | ―1 < < 2 } = {0,1}
（4）{( , )|0 ≤ ≤ 2,0 ≤ < 2, , ∈ } = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}
（5）由題意， ≠ 0, ≠ 0
> 0, > 0 | | | |當 時， ＋ = 1 + 1 = 2；
當 > 0, < 0 | | | |時， ＋ = 1 ― 1 = 0；
當 < 0, > 0 | | | |時， ＋ = ―1 + 1 = 0；
當 < 0, < 0 | | | |時， ＋ = ―1 ― 1 = ―2，
| | | |
故由 ＋ （a， b∈R）所確定的實數組成的集合為{ ―2,0,2}.
【方法技巧與總結】
1 當集合的元素是有限個的時候，我們可以用列舉法表示集合，此時要注意集合元素的類型；
2 當集合元素是無限個時，有時候也可以用列舉法，比如集合 是2的整數冪， = {2,4,8,16…}。
【題型五：集合的表示方法—描述法】
例 5．已知集合 = { | = 2 ― 1, ∈ Z}, = { | = 2 , ∈ Z}且 1, 2 ∈ , 3 ∈ ，則下列判斷不正確的是
（ ）
A． 1 2 ∈ B． 2 3 ∈
C． 1 + 2 ∈ D． 1 + 2 + 3 ∈
【答案】D
【分析】根據題意可知集合 表示奇數集，集合 表示偶數集， 1, 2是奇數， 3是偶數，然后依次對 1
2， 2 3， 1 + 2， 1 + 2 + 3進行判斷即可得出結果.
【詳解】根據集合 = { | = 2 ― 1, ∈ Z}, = { | = 2 , ∈ Z}可知，
集合 表示奇數集，集合 表示偶數集，又 1, 2 ∈ , 3 ∈ ，所以 1, 2是奇數， 3是偶數；
對于 A，因為兩個奇數的乘積為奇數，所以 1 2 ∈ ，即 A 正確；
對于 B，因為一個奇數和一個偶數的乘積為偶數，所以 2 3 ∈ ，即 B 正確；
對于 C，因為兩個奇數的和為偶數，所以 1 + 2 ∈ ，即 C 正確；
對于 D，因為兩個奇數與一個偶數的和為偶數，所以 1 + 2 + 3 ∈ ，所以 D 錯誤；
故選：D
變式 5-1．集合{ | ― 1 < 2 + 1 < 7 }化簡為（ ）
A．{ ―1,0,1,2} B．{1,2} C．{ ―2,3} D．( ―2,3)
【答案】D
【分析】利用不等式性質進行計算的結果
【詳解】由 ― 1 < 2 + 1 < 7得 ―2 < < 3，則
{ | ― 1 < 2 + 1 < 7 } = { | ―2 < < 3 } = ( ―2,3)．
故選：D
變式 5-2．若集合 = {2,4,8} = ， | ∈ , ∈ ，則 中所有元素的和為（ ）

A 27 31 39 49． 4 B． 4 C． 4 D． 4
【答案】B
【分析】根據元素與集合的關系，求出集合即可得解.

【詳解】當 = 2時， 分別取2，4，8， 分別為1，2，4；

當 = 4 1時， 分別取2，4，8， 分別為2，1，2；

= 8 2 4 8 1 1當 時， 分別取 ， ， ， 分別為4，2，1，
= 1 1 31故 , ,1,2,4 ，所有元素之和為 .
4 2 4
故選：B.
變式 5-3．已知集合 = { | = 3 , ∈ }， = { | = 3 + 1 , ∈ }， = { | = 3 ― 1 , ∈ }，且
∈ ， ∈ ， ∈ ，若 = ― + ，則．
A． ∈ B． ∈
C． ∈ D． ∈ 且 ∈
【答案】B
【分析】設 = 3 , = 3 + 1, = 3 ― 1，得到 = 3( ― + ) ―2，結合集合的表示，即可求解，得到
答案．
【詳解】由題意，設 = 3 ， ∈ ， = 3 + 1， ∈ ， = 3 ― 1， ∈ ，
則 = 3 ― (3 + 1) +3 ― 1 = 3( ― + ) ―2，
令 = ― + ，則 ∈ ，且 = 3 ― 2 = 3 ― 3 + 1 = 3( ― 1) +1， ∈ ，
則 ∈ ，故選 B．
【點睛】本題主要考查了集合的表示方法及其應用，其中解答中根據集合的元素形式，合理運算，結合集
合表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．
變式 5-4．若 = { ∣ = 2 + , ∈ , ∈ }，則下列結論中正確結論的個數為（ ）
1
① ∈ 3―2 2 ；
② ；
③若 1, 2 ∈ ，則 1 + 2 ∈ ；

④若 1, 2 ∈ 且 2 ≠ 0
1
，則 ∈ ；2
⑤存在 ∈ 且 ，滿足 ―2022 ∈ .
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用集合的特征性質對選項進行判斷.
【詳解】若 = { ∣ = 2 + , ∈ , ∈ }，
1
對于①， = 3 + 23―2 2 2 ∈ ，①正確；
對于②，當 = 2 + , ∈ , ∈ 中 = 0時， ∈ ，所以 ，②正確；
對于③，若 1, 2 ∈ ，不妨設 1 = 2 + , 2 = 2 + ，
則 1 + 2 = ( + ) 2 + + ， + ∈ , + ∈ ，所以 1 + 2 ∈ ，③正確；

對于④，若 1, 2 ∈ 且 2 ≠ 0
1
， ∈ 不正確，例如 1 = 2, = 3
1 2
2 ， = 3 ，④不正確；2 2
對于⑤，存在 ∈ 且 ，滿足 ―2022 ∈ ，
例如 = 3 ― 2 2 ∈ ， ―1 = 3 + 2 2 ∈ ， ―2 = 17 + 12 2 ∈ ，
若 ― = 2 + ∈ ( ∈ N )，則 ―( +1) = ( 2 + )(3 + 2 2) = (3 + 2 ) 2 +3 + 4 ∈ ，
故 ―2022 ∈ ，⑤正確.
①②③⑤正確.
故選：C.
【方法技巧與總結】
1 集合的表示方法—描述法，一般格式：{ ∈ | ( )}.
2 理解描述法表示集合
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數還是點、還是集合、還是其他形式？
(2) 元素具有怎么的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表
面的字母形式所迷惑.
【題型六：綜合運用】
例 6．若集合 具有以下性質：
①0 ∈ ,1 ∈ ；
②若 , ∈ ，則 ― ∈ ，且 ≠ 0 1時， ∈ .
則稱集合 是“好集”.
(1)分別判斷集合 = { ―1,0,1}，有理數集 是否是“好集”，直接寫出結論；
(2)設集合 是“好集”，求證：若 , ∈ ，則 + ∈ ；
(3)設集合 是“好集”，求證：若 ∈ ，則 2 ∈ ；
【答案】(1)B 不是“好集”； 是“好集”
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用定義，判斷集合 B 和有理數集 是否是“好集”；
（2）由0 ∈ ，若 , ∈ ，則 ― ∈ ，從而得出 + ∈ ；
（3 1 1）任取 ∈ ，若 = 0或 = 1時，顯然 2 ∈ ； ≠ 0且 ≠ 1時，有 ― 1, ―1, ∈
1 1
，則 ―1 ― ∈ ，得
( ― 1) ∈ ，有 ( ― 1) + ∈ ，即 2 ∈ .
【詳解】（1）B 不是“好集”, 理由是：
―1 ∈ ，1 ∈ ，而 ―1 ― 1 = ―2 ，∴B 不是“好集”；
是“好集”， 理由是：0 ∈ Q，1 ∈ Q；對任意 ∈ Q， ∈ Q，有 ― ∈ Q，
且 ≠ 0 1時， ∈ Q，∴有理數集 Q 是“好集”.
（2）因為集合 是“好集”，所以0 ∈ .
若 , ∈ ，則0 ― ∈ ，即 ― ∈ .
所以 ― ( ― ) ∈ ，即 + ∈ .
（3）對任意一個“好集” ，任取 ∈ ，
若 = 0或 = 1時，顯然 2 ∈ .
≠ 0且 ≠ 1時，由定義可知： ― 1, 1 ,1 ―1 ∈ .
1 1
所以 ―1 ―
1
∈ ，即 ( ―1) ∈ .
所以 ( ― 1) ∈ .
由（2）可得： ( ― 1) + ∈ ，即 2 ∈ .
變式 6-1．若集合 A={ | 2 + ― 1 = 0}只有一個元素，則 = （ ）
A．-4 B．0 C．4 D．0 或-4
【答案】A
【分析】根據方程只有一個根，結合函數圖象確定 的值
【詳解】由題意得 2 + ― 1 = 0
≠ 0 ≠ 0
只有一個實根，所以{ = 0,{ 2 + 4 = 0, = ―4，選 A.
【點睛】本題考查方程的根與集合元素關系，考查基本分析求解能力.
變式 6-2．已知非空數集 滿足：對任意給定的 、 ∈ （ 、 可以相同），有 + ∈ 且 ― ∈ .若集合
中最小的正數為 6，則集合 = .
【答案】{ | = 6 , ∈ Z}
【分析】應用定義，推導出集合中的數是 6 的倍數.
【詳解】由對任意給定的 、 ∈ （ 、 可以相同），有 + ∈ 且 ― ∈ ，
又 6 是集合中的最小正整數，則6 , ∈ Z也在集合 里，
假設 里有形如6 + , ∈ Z, ∈ {1,2,3,4,5}，那么(6 + ) ― 6 = ∈ ，
與 6 是集合中的最小正整數矛盾，
故答案為： = { | = 6 , ∈ Z}
變式 6-3．設集合 S 中的元素全是實數，且滿足下面兩個條件：
1 ∈ 1① ；②若 ，則1― ∈ .
(1) 1求證：若 ∈ ，則1 ― ∈ ；
(2)若2 ∈ ，則在 S 中必含有其他的兩個元素，試求出這兩個元素．
【答案】(1)證明見解析
(2)集合 S 中必含有 ―1,12兩個元素.
【分析】（1）根據集合 S 中元素的性質，循環迭代即可得出證明；
（2）由2 ∈ 可得 ―1 ∈ ，由 ―1 ∈ 1可得2 ∈
1
，由2 ∈ 可得2 ∈ ，由此可知會循環出現2, ― 1,
1
2三個數，所
以集合 S 1中必含有 ―1,2兩個元素.
1
【詳解】（1）證明：因為1 ，所以1 ― ≠ 0，由 ∈ ，則1― ∈ ，
1 1 1― 1
可得1― 1 ∈ ，即1― 1 = = 1 ― ∈ ，
1― 1― ―
1
故若 ∈ ，則1 ― ∈ .
（2）由2 ∈ 1，得1―2 = ―1 ∈ ；
1
由 ―1 ∈ 1，得1―(―1) = 2 ∈ ；
1 1
而當 12 ∈ 時，1― = 2 ∈ ，…，2
因此當2 ∈ 時，集合 S 中必含有 ―1,12兩個元素.
變式 6-4．已知數集 含有 （ ∈ *）個元素，定義集合 * = { + | , ∈ }．
(1)若 = {1,2,3}，寫出 *；
(2)寫出一個集合 ，使得 = *；
(3)當 = 4時，是否存在集合 ，使得 * = {2,3,4,6,7,8,10}？若存在，寫出一個符合條件的集合 ；若不存
在，說明理由．
【答案】(1){2,3,4,5,6}
(2){0}
(3)不存在，理由見解析.
【分析】（1）根據集合的新定義，寫出 中元素即可得解；
（2）根據條件分析集合中元素即可得解；
（3）根據題意可得不存在，利用反證法證明即可.
【詳解】（1）因為 = {1,2,3}， * = { + | , ∈ }，
所以1 + 1 = 2,1 + 2 = 3,1 + 3 = 4,2 + 2 = 4,2 + 3 = 5,3 + 3 = 6為 中元素，
故 * = { + | , ∈ } = {2,3,4,5,6}.
（2）取 = {0}，此時 * = { + | , ∈ } = {0}，
滿足 = *.
（3）當 = 4時，不存在集合 ，使得 * = {2,3,4,6,7,8,10}.
（反證法）
假設 = 4時，存在集合 ，使得 * = {2,3,4,6,7,8,10}，
不妨設 = { , , , }，且 < < < ，
則2 < + < + < + < + < + < 2 ，
所以2 , + , + , + , + , + ,2 為 *中 7 個不同的元素，
所以2 = 2, + = 3, + = 4, + = 6, + = 7, + = 8,2 = 10，
由2 = 2, + = 3, + = 4解得 = 1, = 2, = 3.
此時， + = 5 ∈ 與5 矛盾，
所以假設不成立，
故不存在這樣的集合 .
【方法技巧與總結】
1 對于集合中新定義的題型，特別是注意理解集合元素的要求，在解題的過程中一切從定義出發；注意前
一問對下一問的“提示”，注意特殊情況到一般情況的延伸推理.
2 證明否定問題，我們可采取反證法.
一、單選題
1．下面有四個結論:①集合N中最小數為 1；②若 ― N，則 ∈ N；③若 ∈ N， ∈ N，則 + 的最小值
為 2；④所有的正數組成一個集合.其中正確結論的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】直接由元素與集合的關系逐一判斷即可.
【詳解】①集合N中最小數為0，故①錯誤；
②取 ―1.5 N，則1.5 N，故②錯誤；
③若 ∈ N， ∈ N，則 + 的最小值為 2，錯誤，當 = = 0時， + = 0，故③錯誤；
④所有的正數組成一個集合，故④正確；
故選：B.
2.下列對象不能組成集合的是（ ）
A．不超過 20 的質數
B．π的近似值
C．方程 =1的實數根
D．函數 = , ∈ R的最小值
【答案】B
【分析】根據集合中元素的性質逐項判斷即可.
【詳解】對于 A，不超過 20 的質數是明確可知的，滿足確定性，可以組成集合；
對于 B，π的近似值是不明確的，不滿足確定性，不可以組成集合；
對于 C，方程 =1的實數根是明確的，滿足確定性，可以組成集合；
對于 D，函數 = , ∈ R不存在最小值，可以組成空集；
故選：B
3.已知集合 = { ∈ Z| < 3 }，則（ ）
A．2 ∈ B．3 ∈
C．0 D． ∈
【答案】A
【分析】根據元素與集合的關系即可求解.
【詳解】因為 = { ∈ Z| < 3 }，所以3 ,0 ∈ ，而 是集合，與 的關系不應該是屬于關系，而應該是
包含關系.
故選:A
3.設 1， 2， 3， 4是 4 個正整數，從中任取3個數求和所得的集合為{25,26,27}，則這4個數中最小的數為
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】依題意從4個正整數中任取3個數求和后可得4個和，則4個和值之和必為3的倍數，從而得到這4個
和為25、26、27、27，即可得到 1 + 2 + 3 + 4，即可求出這四個數.
【詳解】從4個正整數中任取3個數求和后可得4個和，則4個和值之和為3( 1 + 2 + 3 + 4)，必為3的倍
數，
又27 ÷ 3 = 9，25 ÷ 3 = 8 1，26 ÷ 3 = 8 2，
所以這4個和為25、26、27、27，
則 1 + 2 + + =
1
3 4 3(25 + 26 + 27 + 27) = 35，
所以35 ― 25 = 10，35 ― 26 = 9，35 ― 27 = 8，
即這4個數分別為8、8、9、10，
故這4個數中最小的數為8.
故選：C
4. 若集合 = { |2 ― 3 > 0, ∈ R}，其中2 ∈ 且1 ，則實數 m 的取值范圍是（ ）
A 3 , 3． B 3 , 3 C 3 3 3 3． ． , D． ,
4 2 4 2 4 2 4 2
【答案】A
【分析】借助元素與集合的關系計算即可得.
2 × 2 ― 3 > 0 3 3
【詳解】由題意可得 2 × 1 ― 3 ≤ 0 ，解得4 < ≤ 2.
故選：A.
2
5.已知集合 = { ―2, ― 1,1,2}, = | = + 2 , ∈ , ∈ ，則集合 等于（ ）
A 5 5．{ ―2, ― 1,0,1,2} B．{ ―2, ― 1,1,2} C． ―1, ― ,1,
2 2
D 5 5． ― , ― 2,2,
2 2
【答案】D

【分析】根據 , 的取值分情況討論，代入 = + 計算即可.

【詳解】 ∵ = + ， ∴ = 時， = 2，
= ― 時， = ―2， = ―2, = ―1或 = 2, = 1 5或 = ―1, = ―2或 = 1, = 2時， = 2， = 2, = ―1
或 = ―2, = 1或 = ―1, = 2或 = 1, = ―2時， = ― 52，
故 = ― 5 , ― 2,2, 5 .
2 2
故選：D.
6.若集合 = | = 3 , ∈ N* ， = | = 3 ― 1, ∈ N* ， = | = 3 ― 2, ∈ N* ，且
∈ , ∈ , ∈ ，則下列結論中可能成立的是（ ）
A．2023 = + + B．2023 =
C．2023 = ( + ) D．2023 = +
【答案】D
【分析】根據已知可得出 是 3 的倍數， 是 3 的倍數減 1， 是 3 的倍數減 2，且 , 奇偶性相反.進而逐項
分析，即可得出答案.
【詳解】根據已知易得， 是 3 的倍數， 是 3 的倍數減 1， 是 3 的倍數減 2，且 , 奇偶性相反.
對于 A 項，由已知可推得， + + 一定是 3 的倍數，而2023 = 3 × 674 + 1，故 A 項錯誤；
對于 B 項，由已知可推得， 一定是 6 的倍數，而2023 = 3 × 674 + 1，故 B 項錯誤；
對于 C 項，由已知可推得， ( + )一定是 3 的倍數，而2023 = 3 × 674 + 1，故 C 項錯誤；
對于 D 項，設 = 3 ， = 3 ― 1， = 3 ― 2，
則 + = 3 ― 2 + 3 (3 ― 1) = 9 2 ―2.
令9 2 ―2 = 2023，可得 =± 15（舍去負值），故 D 項正確.
故選：D.
7.若集合 = ∈ R| 2 ― 2 + 1 = 0 中只有一個元素，則實數 = （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0 或 1
【答案】D
【分析】分類討論，確定方程有一解時滿足的條件求解.
【詳解】當 = 0時，由 2 ―2 + 1 = 0 1可得 = 2，滿足題意；
當 ≠ 0時，由 2 ―2 + 1 = 0只有一個根需滿足Δ = ( ― 2)2 ―4 = 0，
解得 = 1.
綜上，實數 的取值為 0 或 1.
故選：D
8. ( ) A = ( ) ― ( ), ( ) ≥ ( )記 為非空集合 中的元素個數，定義 ( ) ― ( ), ( ) < ( ) .若 = {1,2}， =
|( 2 + )( 2 + + 5) = 0 ，且 = 1，設實數 a 的所有可能取值組成的集合是 S，則 ( )等于
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據給定條件可得 ( ) = 1或 ( ) = 3，再根據集合 中的方程的根的個數，對參數 進行分類討
論即可求得實數 的所有可能取值，即可得出結果.
【詳解】由定義得 ( ) = 2，又 = 1，則 ( ) = 1或 ( ) = 3，
由方程( 2 + )( 2 + + 2) = 0，得 2 + = 0或 2 + + 2 = 0，
當 ( ) = 1時，方程( 2 + )( 2 + + 2) = 0只有一個實數根，
而方程 2 + = 0有一根為 0，則另一根必為 0， ― = 0，此時 2 + + 2 = 0無實根，因此 = 0；
當 ( ) = 3時，必有 ≠ 0，方程 2 + = 0有兩個不相等的實數根 1 = 0, 2 = ― ，
并且 1 = 0, 2 = ― 都不是方程 2 + + 2 = 0的根，
顯然方程 2 + + 2 = 0有兩個相等的實數根，且異于 1 = 0, 2 = ― ，
于是Δ = 2 ―8 = 0，解得 = 2 2或 = ―2 2，
當 = 2 2時，方程( 2 + )( 2 + + 2) = 0的根為0, ― 2 2, ― 2，滿足題意，
當 = ―2 2時，方程( 2 + )( 2 + + 2) = 0的根為0,2 2, 2，滿足題意，
因此 = 2 2或 = ―2 2，所以 = {0,2 2, ― 2 2}， ( ) = 3.
故選：C
二、多選題
9．給出下列說法，其中不正確的是（ ）
A．集合{ ∈ N| 3 = }用列舉法表示為{0,1}
B．實數集可以表示為{ | 為所有實數}或{R}
C + = 0 1 1．方程組 ― = ―1 的解組成的集合為 = ― , =2 2
D．集合{ | = 2}與{( , )| = 2}是同一個集合
【答案】BCD
【分析】根據集合的表示法可以依次判斷.
【詳解】對于 A，集合{ ∈ N| 3 = }中只含有兩個元素 0 和 1，所以用列舉法表示為{0,1}，故 A 正確；
對于 B，R 就表示實數集，實數集用{R}為錯誤表示，另外花括號具有所有的意義，描述內容中不能再出現
所有字眼，故 B 錯誤；
對于 C 1，解集應為 ― , 1 ，原表示錯誤，故 C 錯誤；
2 2
對于 D，集合{ | = 2}為 y 的取值集合，集合{( , )| = 2}表示 = 2上點的集合，所以兩個集合不是同
一個集合，故 D 錯誤；
故選：BCD.
10.已知集合 = | 2 + 2 + 1 = 0, ∈ R ，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．若 A 中只有一個元素，則 = 1 B．若 A 中至少有一個元素，則 ≤ 1
C．若 A 中至多有一個元素，則 ≥ 1 D．若 A 中恰有兩個元素，則 < 1
【答案】ACD
【分析】根據集合中元素的個數以及方程的解即可判斷選項.
【詳解】對于選項 A：若 A 中只有一個元素，
即方程 2 +2 + 1 = 0有一個根，或兩個相等實根，
當 = 0 1時，原方程變為2 + 1 = 0，此時 = ― 2符合題意，
當 ≠ 0時，方程 2 +2 + 1 = 0有兩個相等實根，
所以Δ = 4 ― 4 = 0，即 = 1，
所以當 A 中只有一個元素時，則 = 0或 = 1，故 A 錯誤；
對于選項 B：若 A 中至少有一個元素，即 A 中有一個元素或兩個元素，
當 A 中有一個元素時，由前面可知， = 0或 = 1；
當 A 中有兩個元素時，方程 2 +2 + 1 = 0有兩個不等實根，
≠ 0
所以 Δ = 4 ― 4 > 0 即 < 1且 ≠ 0，
所以若 A 中至少有一個元素，則 ≤ 1，故 B 正確；
對于選項 C：若 A 中至多有一個元素，即 A 中有一個元素或沒有元素，
當 A 中有一個元素時，由前面可知， = 0或 = 1；
當 A 中沒有元素時，即方程 2 +2 + 1 = 0無實根，
≠ 0
所以 Δ = 4 ― 4 < 0 即 > 1，
所以若 A 中至多有一個元素，則 = 0或 ≥ 1；故 C 錯誤；
對于選項 D：若 A 中恰有兩個元素，由前面可知， < 1且 ≠ 0，故 D 錯誤；
故選：ACD
11.設 S 為實數集R的非空子集．若對任意 , ∈ ，都有 + , ― , ∈ ，則稱 S 為封閉集．下列命題正
確的是（ ）
A．自然數集 N 為封閉集
B．整數集 Z 為封閉集
C．集合 = { + 2| , 為整數}為封閉集
D．若 S 為封閉集，且1 ∈ ，則 S 一定為無限集
【答案】BCD
【分析】根據封閉集的定義，舉反例判斷 A；根據封閉集定義可判斷 B，C；由封閉集定義可推出所有整
數都屬于 S，判斷 D.
【詳解】對于 A，取1,2 ∈ N，則1 + 2 ∈ N,1 ― 2 = ―1 N，故自然數集 N 不是封閉集；
對于 B，任意兩個整數的和、差、積仍是整數，故整數集 Z 為封閉集；
對于 C，設 = 1 + 1 2, = 2 + 2 2, 1, 1, 2, 2都是整數，
則 1 + 2 ∈ Z, 1 + 2 ∈ Z，故 + = 1 + 2 +( 1 + 2) 2 ∈ ，
同理 ― = 1 ― 2 +( 1 ― 2) 2 ∈ ，
= ( 1 + 1 2)( 2 + 2 2) = ( 1 2 +2 1 2) + ( 1 2 + 2 1) 2 ∈ ,
故集合 = { + 2| , 為整數}為封閉集，C 正確；
對于 D，若 S 為封閉集，且1 ∈ ，則1 + 1 = 2 ∈ ,1 ― 1 = 0 ∈ ,
則0 ― 1 ∈ ,1 + 2 = 3 ∈ ，依此類推可得所有整數都屬于 S，
則 S 一定為無限集，D 正確，
故選：BCD
三、填空題
12．已知集合 = { ,| |}，若2 ∈ ，則 = ．
【答案】 ―2
【分析】根據題意結合元素與集合之間的關系結合集合的互異性分析求解.
【詳解】因為 = { ,| |}，且2 ∈ ，
= 2 ≠ 2
則 | | ≠ 2 或 | | = 2 ，解得 = ―2.
故答案為： ―2.
13.含有三個實數的集合可表示為 , ,1 ，也可以示為{ 2, + ,0}，則 2013 + 2014的值為 .

【答案】0
【分析】結合已知條件，利用集合元素的互異性，即可求得本題答案.

【詳解】因為 , ,1 = { 2, + ,0}，且 ≠ 0，所以 = 0，

則有{ ,0,1} = { 2, ,0}，
所以 2 = 1，且 ≠ 1，得 = ―1，
所以， 2013 + 2014 = ( ― 1)2013 + ( ― 1)2014 = ―1 + 1 = 0
故答案為：0
14.集合 = { |( ― 1)( 2 ― 4 + ) = 0, ∈ R }中恰好有兩個元素，則實數 滿足的條件是 .
【答案】 = 3或4
【分析】根據一元二次方程求解，結合集合元素的特征，可得答案.
【詳解】由方程( ― 1)( 2 ― 4 + ) = 0，則 = 1或 2 ―4 + = 0，
當 2 ―4 + = 0存在兩個相等的實數根時，Δ = ( ―4)2 ―4 × 1 × = 0，解得 = 4，
此時方程 2 ―4 + 4 = 0的解為 = 2 ≠ 1，符合題意；
當 2 ―4 + = 0存在兩個不相等的實數根且其中一個根為1時，12 ―4 × 1 + = 0，解得 = 3，
此時Δ = ( ―4)2 ―4 × 1 × 3 = 4 > 0，則方程另一個解為3，符合題意.
綜上所述，當 = 4或3時，集合 中恰有兩個元素.
故答案為： = 3或4.
四、解答題
15．用適當的方法表示下列集合：
(1)大于 0 且不超過 10 的全體偶數組成的集合 ；
(2)被 3 除余 2 的自然數全體組成的集合 ；
(3)直角坐標平面上由第二象限與第四象限中的所有點組成的集合 .
【答案】(1) = {2,4,6,8,10}
(2) = { | = 3 + 2, ∈ }
(3) = {( , )| < 0}
【分析】結合集合的表示方法分別求解（1）（2）（3）即可．
【詳解】（1）用列舉法： = {2,4,6,8,10}.
（2）用描述法： = { | = 3 + 2, ∈ N}.
（3）因為第二象限中所有點( , )具有的特征是 < 0且 > 0，
而第四象限中所有點具有的特征是 > 0且 < 0，
所以第二象限與第四象限中所有點具有的特征可統一地寫為 < 0，
故用描述法： = {( , )| < 0}.
16. 1設集合 A 中的元素均為實數，且滿足條件：若 ∈ ，則1― ∈ ( ≠ 1, ≠ 0).求證：
(1)若2 ∈ ，則 A 中必還有另外兩個元素；
(2)集合 A 不可能是單元素集.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
1 2 ∈ ―1 ∈ 1（ ）根據題意，由 ，得 ，進而2 ∈ ，得證；
（2）反證法證明.
【詳解】（1）
若 ∈ 1，則1― ∈ ( ≠ 1, ≠ 0),
又因為2 ∈ 1，所以1―2 = ―1 ∈ .
1 1
因為 ―1 ∈ ，所以1―(―1) = 2 ∈ .
1
因為2 ∈
1
，所以1 ― 2 = 2 ∈ .
1
所以 A 中另外兩個元素為 ―1,2.
（2）
若 A 1為單元素集，則 = 1― ，
即 2 ― + 1 = 0，方程無實數解．
所以 ≠ 11― ，所以集合 A 不可能是單元素集．
17.對于集合 A，B，我們把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}記作 A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，則有
A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，
B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，據此，試回答下列問題．
(1)已知 C＝{a}，D＝{1，2，3}，求 C×D；
(2)已知 A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合 A，B；
(3)A 有 3 個元素，B 有 4 個元素，試確定 A×B 有幾個元素．
【答案】(1) × = {( ,1),( ,2),( ,3)}
(2) = {1,2}， = {2}.
(3)12
【分析】（1）根據 A×B 的定義求解即可.
（2）根據 A×B 的定義求解即可.
（3）根據 A×B 的定義求解即可.
【詳解】（1）因為 C＝{a}，D＝{1，2，3}，根據已知有：
× = {( ,1),( ,2),( ,3)}.
（2）因為 A×B＝{(1，2)，(2，2)}，
所以 = {1,2}， = {2}.
（3）根據已知可知，集合 A 中的任何一個元素與 B 中任何一個元素對應后，
得到 A×B 中的一個新元素. A 有 3 個元素，B 有 4 個元素，
則 A×B 有3 × 4 = 12個元素．
18. 1已知由實數組成的集合 ，1 ，又滿足：若 ∈ ，則1― ∈ .
(1) 能否是僅含一個元素的單元素集，試說明理由；
(2) 中含元素個數一定是3 ( ∈ N )個嗎？若是，給出證明，若不是，說明理由.
【答案】(1)A 不可能是單元素集合，理由見解析；
(2)A 中所含元素個數一定是3 ( ∈ N )，證明見解析．
【分析】（1 x 1 1）由 與1― 都在集合 A 中，結合集合 A 只含有一個元素，得 = 1― ，再判斷方程有無實數
根，若有解則存在，若無解則不存在；
1
（2）A 1 ―1 1中所含元素個數一定是3 ( ∈ N )個．由 ∈ ，則1― ∈ ，得到1― 1 = ∈ ，然后推導出 ,1― 1―
―1
， 互不相等即可證明 A 中所含元素個數一定是3 ( ∈ N
)個．
1
【詳解】（1）假設 A 中僅含一個元素，不妨設為 a，則 ∈ ，有1― ∈ ，
又 A 1中只有一個元素， ∴ = 21― ，即 ― + 1 = 0，
但此方程Δ < 0，即方程無實數根，
∴不存在這樣的實數 a，故 A 不可能是單元素集合．
（2） 中所含元素個數一定是3 ( ∈ N )個．
1 1 ―1 1
證明： ∈ ，則 ∈ ，1― 1 = ∈ ，而1― ―11― = ，1―
∵ ∈ R 1且 ≠ 1， ∴ 當 = 時， 21― ― + 1 = 0，
Δ = 1 ― 4 < 0 1，方程 2 ― + 1 = 0無解， ∴ ≠ 1― ；
= ―1當 時，
2 ― + 1 = 0，Δ = 1 ― 4 < 0，方程 2 ― + 1 = 0 ―1無解， ∴ ≠ ；
1 ―1
當 2 21― = 時， ― + 1 = 0，Δ = 1 ― 4 < 0，方程 ― + 1 = 0 ∴
1 ≠ ―1無解， 1― ，
∴ 中所含元素個數一定是3 ( ∈ N )個．
19.已知集合 = { 1, 2, , }中的元素都是正整數，且 1 < 2 < < ．若對任意 , ∈ ，且 ≠ ，都有

| ― | ≥ 25成立，則稱集合 A 具有性質 ．
(1)判斷集合{1,2,3,4}是否具有性質 ；
1 1
(2) ― 已知集合 A 具有性質 ，求證： ― ≥ ( = 1,2, , )； 25
(3)證明： 3是無理數．
【答案】(1)具有
(2)證明見詳解
(3)證明見詳解
【分析】（1）根據所給性質及集合，全部元素驗證所給即可得解；
1 1 1
（2）由所給性質變形可得 ― ≥ 25，利用累加相消法即可得解； +1
（3）根據無理數和有理數的定義利用反證法分析說明.
【詳解】（1 1×2）由題意可得：|1 ― 2| > 25 ,|1 ― 3| >
1×3
25 ,|1 ― 4| >
1×4
25 ,|2 ― 3| >
2×3
25 ,|2 ― 4| >
2×4
25 ,|3 ― 4| >
3×4
25 ，
所以集合{1,2,3,4}具有性質 .
（2）因為 = 1,2, , ，則有：
當 = 時，0 ≥ 0，符合題意；
+1
當 < 時，因為| ― +1| ≥ 25 ( = 1,2,3, , ― 1)，且0 < 1 < 2 < < ，
+1 1 1
所以 +1 ― ≥ 25 ( = 1,2,3, , ― 1) ― ≥
1
，可得： +1 25，
1 1 1 1 1 1
所以 ― + ― + ... + ― ≥
―
，
+1 +1 +2 ―1 25
1 1 ―
即 ― ≥ 25 ( = 1,2,3, , ― 1)；
1 1 ―
綜上所述： ― ≥ 25 ( = 1,2, , ).

（3）反證：假設 3是有理數，則 3 = （ , 為互質的正整數），
2
可得 2 = 3，即
2 = 3 2，
可知 為 3 的倍數，設 = 3 , ∈ *，
即9 2 = 3 2，可得 2 = 3 2，可知 為 3 的倍數，
這與 , 為互質相矛盾，故 3是無理數.

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