資源簡介

4.4.2 計算函數零點的二分法
課程標準 學習目標
（1）結合具體連續函數及其圖象的特點, 了解
函數零點存在定理,探索用二分法求方程近似
（1）理解二分法的概念;
解的思路并會畫程序框圖, 能借助計算工
（2）會用二分法求方程近似解.（難點)
具用二分法求方程近似解, 了解用二分法求方
程近似解具有一般性。
知識點 01 二分法的概念
對于在區間[ , ]上連續不斷且 ( ) ( ) < 0的函數 = ( )，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使
區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
解釋 求 ( ) = 2 ― ―2， ( ) = 2 ―1的零點很容易，因為我們會求其方程的解，而函數 ( ) = 3 + 2 ―1
或 ( ) = + ― 2的零點怎么求呢？我們求不出來會退而求其次，能否能知道零點的近似值呢？應該會想
到函數零點存在性定理，沒錯這它就是二分法的理論基礎.
【即學即練 1】
下列函數中，不能用二分法求零點的是（ ）
A． = 2 B． = ( ― 2)2 1C． = + ―3 D． = ln
【答案】B
【分析】依次判斷各個選項中函數的零點及在零點左右兩側函數值是否異號即可.
【詳解】對于 A， = 2 有唯一零點 = 0，且函數值在零點兩側異號，則可用二分法求零點；
對于 B， = ( ― 2)2有唯一零點 = 2，但函數值在零點兩側同號，則不可用二分法求零點；
1
對于 C， = + ―3有兩個不同零點 =
3± 5，且在每個零點左右兩側函數值異號，則可用二分法求零
2
點；
對于 D， = ln 有唯一零點 = 1，且函數值在零點兩側異號，則可用二分法求零點.
故選：B.
知識點 02 用二分法求方程近似解的步驟
(1) 確定區間[ , ]，驗證 ( ) ( ) < 0，給定精確度 ；
(2) 求區間( , )的中點 ;
(3) 計算 ( )，
( ) 若 ( ) = 0 , 則 就是函數的零點；
( ) 若 ( ) ( ) < 0，則令 = (此時零點 0 ∈ ( , ))
( ) 若 ( ) ( ) < 0，則令 = (此時零點 0 ∈ ( , ))
(4) 判斷是否達到精確度 ：即若| ― | < ，則得到零點近似值為 (或 )；否則重復(2)~(4)
解釋
（1）使用二分法的前提是函數在所選定的區間[ , ]上的圖象是連續不斷的，且 ( ) ( ) < 0；
（2）所選的區間[ , ]的范圍盡量小，且 ( ), ( )比較容易求;
(3)利用二分法時，滿足精確度便可停止計算.
【即學即練 2】
用二分法求函數 ( ) = 5 +7 ― 2的一個零點的近似值，其參考數據如下：
x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875
( ) -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647
根據上述數據，可得 ( ) = 5 +7 ― 2的一個零點近似值（誤差不超過 0.025）為（ ）
A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125
【答案】B
【分析】根據二分法的性質即可求解.
【詳解】已知 (0.09375) < 0， (0.125) > 0，則函數 ( )的零點的初始區間為[0.09375，0.125]，
所以零點在區間[0.09375,0.125]上，|0.125 ― 0.09375| = 0.03125 < 0.025 × 2，
0.125+0.09375
所以 2 = 0.109375可以作為 ( )的一個零點近似值，
故選：B
【題型一：用二分法求近似解的條件】
例 1．下列方程中不能用二分法求近似解的為（ ）
A．ln + = 0 B．e ―3 = 0
C． 3 ―3 + 1 = 0 D．4 2 ―4 5 + 5 = 0
【答案】D
【分析】利用二分法的定義一一判定即可.
【詳解】根據二分法的要求，在( , )上，有 ( ) ( ) < 0才能用二分法，
A ( ) = ln + 1對于 ，顯然 在定義域上單調遞增，且 = ―1 +
1
e < 0, (1) = 1 > 0，e
可以使用二分法，故 A 錯誤；
對于 B， ( ) = e ―3 在定義域上連續，
有 (0) = 1 > 0, (1) = e ―3 < 0, (2) = e2 ―6 > 0，可以使用二分法，故 B 錯誤；
對于 C， ( ) = 3 ―3 + 1在定義域上連續，
且有 ( ―2) = ―1 < 0, (0) = 1 > 0, (1) = ―1 < 0, (3) = 19 > 0，
可以使用二分法，故 C 錯誤；
2
對于 D，4 2 ―4 5 + 5 = 2 ― 5 = 0 = 5，2
且 ( ) = 4 2 ―4 5 + 5只有一個零點，故不可以使用二分法，故 D 正確.
故選：D
變式 1-1．下列函數圖象與 軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二分法的要求結合零點存在性定理分析判斷.
【詳解】由題意可知：二分法求零點要求函數連續不斷且滿足零點存在性定理，即 ( ) ( ) < 0成立，
對比選項可知：ACD 均符合，
但選項 B： ( ) ( ) ≥ 0恒成立，不滿足零點存在性定理，故 B 錯誤.
故選：B.
變式 1-2．下列函數中，不能用二分法求零點的是（　　）
A． ( ) = 2 B． ( ) = 2 +2 2 + 2
C． 1( ) = + ―3 D． ( ) = ln + 3
【答案】B
【分析】利用二分法求零點的要求，逐一分析各選項即可得解.
【詳解】不能用二分法求零點的函數，要么沒有零點，要么零點兩側同號；
對于 A， ( ) = 2 有唯一零點 = 0，且函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點；
對于 B， ( ) = 2
2
+2 2 + 2 = ( + 2) 有唯一零點 = ― 2，
2
但 = ( + 2) ≥ 0恒成立，故不可用二分法求零點；
對于 C， ( ) = +
1
―3有兩個不同零點 =
3± 5，且在每個零點左右兩側函數值異號，故可用二分法求零
2
點；
對于 D， ( ) = ln + 3有唯一零點 = e―3，且函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點.
故選：B.
【方法技巧與總結】
1 對于在區間[ , ]上連續不斷且 ( ) ( ) < 0的函數 = ( )，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，
使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
2 不能用二分法求零點的函數，要么沒有零點，要么零點兩側同號.
【題型二：用二分法求近似解的過程】
例 2．用二分法求函數 ( ) = ln( + 1) + ― 1 1在區間 ,1 上的零點，要求精確度為 0.01 時，所需二分區
2
間的次數最少為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
1 1
【分析】由于長度等于1 ― 2 = 2的區間，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，那么經過 ( ∈
)
1 1
次操作后，區間長度變為2 +1，若要求精確度為 0.01 時則2 +1 < 0.01，解不等式即可求出所需二分區間的最
少次數.
1 1
【詳解】因為開區間 ,1 的長度等于2，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，2
1
所以經過 ( ∈ )次操作后，區間長度變為2 +1，
1
令 2 +1 < 0.01，解得 ≥ 6，且 ∈ ，故所需二分區間的次數最少為 6.
故選：B.
變式 2-1．用“二分法”求方程 3 ―2 ― 5 = 0在區間[2,3]內的實根，取區間中點為 0 = 2.5，那么下一個有根
的區間是（ ）
A．[2,2.5] B．[2.5,3] C．[2,2.25] D．[2.75,3]
【答案】A
【分析】設 ( ) = 3 ―2 ― 5，其中 (2) < 0, (3) > 0，及 (2.5) < 0，即可求解．
【詳解】由題意，設 ( ) = 3 ―2 ― 5，
其中 (2) = 23 ―2 × 2 ― 5 = ―1 < 0, (3) = 33 ―2 × 3 ― 5 = 16 > 0，
又由 (2.5) = (2.5)3 ―5 ― 5 = 5.625 > 0，則 (2) (2.5) < 0，
可得方程根在區間[2,2.5]．
故選：A．
變式 2-2．用二分法求方程 + lg ― 3 = 0的近似解，以下區間可以作為初始區間的是（ ）
A．[1,2] B．[2,3] C．[3,4] D．[4,5]
【答案】B
【分析】利用零點存在定理計算求解.
【詳解】設 ( ) = + lg ― 3，顯然函數圖象是連續的，
則有 (1) = ―2 < 0， (2) = lg2 ― 1 < 0， (3) = lg3 > 0， (4) = 1 + lg4 > 0， (5) = 2 + lg5 > 0，
所以 (1) (2) > 0， (2) (3) < 0， (3) (4) > 0， (4) (5) > 0，
故區間[2,3]可以作為初始區間，故 A，C，D 錯誤.
故選：B.
變式 2-3．若 ( ) = 3 + 2 ―2 ― 2的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，數據如下表：
(1) = ―2 (1.5) = 0.625
(1.25) = ―0.984 (1.375) = ―0.260
(1.438) = 0.165 (1.4065) = ―0.052
那么方程 3 + 2 ―2 ― 2 = 0的一個近似根（精確到 0.1）為（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【分析】根據二分法，結合表中數據，由于 (1.438) > 0, (1.4065) < 0，方程的一個近似根所在區間為
(1.4065,1.438)內，進而得到結果.
【詳解】根據二分法，結合表中數據，
由于 (1.438) = 0.165 > 0, (1.4065) = ―0.052 < 0
所以方程 3 + 2 ―2 ― 2 = 0的一個近似根所在區間為(1.4065,1.438)
所以符合條件的解為 1.4
故選:C.
變式 2-4．用二分法求方程ln(2 + 6) +2 = 3 的根的近似值時，令 ( ) = ln(2 + 6) +2 ― 3 ，并用計算器
得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
( ) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
則由表中的數據，可得方程ln(2 + 6) +2 = 3 的一個近似解（誤差不超過 0.05）為（ ）
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
【答案】B
【分析】由圖表知 (1.25) (1.375) < 0，故由二分法思想再取(1.25,1.375)的中點，當區間長度小于精確
度時便得到近似解.
【詳解】因為 (1.25) (1.375) < 0，故根據二分法的思想，知函數 ( )的零點在區間(1.25,1.375)內，
但區間(1.25,1.375)的長度為0.125 > 0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中點 1.312 5，
兩個區間(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一個滿足區間端點的函數值符號相異，
又區間的長度為0.0625 < 0.1，因此 1.312 5 是一個近似解．
故選：B.
變式 2-5．在使用二分法計算函數 ( ) = 2 ―2 + ― 2的零點的近似解時，現已知其所在區間為(1,2)，如果
要求近似解的精確度為 0.1，則接下來至少需要計算（ ）次區間中點的函數值．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根據二分法的性質可知，開區間(1,2)的長度等于 1，每經過一次二分法計算，區間長度為原來的
1
一半，經過 次二分法計算后，區間長度變為2 ，根據精確度即可求得關于 的不等式，從而得到答案.
【詳解】開區間(1,2)的長度等于 1，每經過一次二分法計算，區間長度為原來的一半，
經過 1次二分法計算后，區間長度變為2 ，
又使用二分法計算函數 ( ) = 2 ―2 + ― 2的在區間(1,2)上零點的近似解時，要求近似解的精確度為 0.1，
1
所以2 ≤ 0.1，則 ≥ log10.1
1
，又16 < 0.1 <
1
8，所以log10.1 ∈ (3,4)，又 ∈ N
，故 ≥ 4，
2 2
所以接下來至少需要計算你4次區間中點的函數值．
故選：C.
【方法技巧與總結】
1 用二分法求方程近似解的步驟
(1) 確定區間[ , ]，驗證 ( ) ( ) < 0，給定精確度 ；
(2) 求區間( , )的中點 ;
(3) 計算 ( )，
( ) 若 ( ) = 0 , 則 就是函數的零點；
( ) 若 ( ) ( ) < 0，則令 = (此時零點 0 ∈ ( , ))
( ) 若 ( ) ( ) < 0，則令 = (此時零點 0 ∈ ( , ))
【題型三：用二分法求方程的近似解】
例 3．求曲線 = ln 和直線 + = 2的交點的橫坐標（誤差不超過 0.01）．
【答案】1.555．
【分析】將問題轉化為交點的橫坐標是函數 = ( ) = ln + ― 2的零點，然后利用二分法求解即可
【詳解】直線方程 + = 2可改寫為函數形式 = 2 ― ，于是交點的橫坐標 應滿足等式ln = 2 ― ，即ln
― 2 + = 0，即交點的橫坐標是函數 = ( ) = ln + ― 2的零點，
由 (1) = ―1 < 0和 (2) = ln2 > 0可知 ( )在區間(1,2)內有一個零點；由 ( )單調遞增可知它只有這一個零
點．用二分法計算，列表如下：
次數 ，- + + ， = ( )的近似值 區間長 ― 2
1 1 2 1.5 ―0.09 1
2 1.5 2 1.75 0.31 0.5
3 1.5 1.75 1.625 0.11 0.25
4 1.5 1.625 1.5625 0.009 0.125
5 1.5 1.5625 1.53125 ―0.04 0.0625
6 1.53125 1.5625 1.546875 ―0.02 0.03125
7 1.546875 1.5625 1.5546875 ―0.004 0.015625
得出零點的近似值為 1.555，誤差不超過 0.008．因此曲線 = ln 和直線 + = 2的交點的橫坐標約為
1.555．
變式 3-1．判斷方程 3 ― ― 1 = 0在區間[1,1.5]內是否有解；如果有，求出一個近似解．（精確度為 0.1）
【答案】1.3
【分析】求函數 ( ) = 3 ― ― 1在區間[1,1.5]內的一個零點，利用二分法可得答案.
【詳解】設 ( ) = 3 ― ― 1，
利用二分法，列表計算如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375
( ) ―1 0.875 ―0.2969 0.2246 ―0.05151 0.0826
由表中數據可得 (1.34375) > 0, (1.3125) < 0，
因為題中要求精確度為 0.1，而左右端點的近似值都為 1.3.
所以近似解為 1.3.
變式 3-2．已知函數 ( ) = + 1 ―3．
(1)判斷函數 ( )在區間(1, + ∞)上的單調性，并用定義證明；
(2)用二分法求方程 ( ) = 0在區間(1, + ∞)上的一個近似解（精確度為 0.1）．
【答案】(1) = ( )在(1, + ∞)單調遞增，證明見解析
(2)2.6（(2.5625,2.625)內任意一個實數都是對應方程符合精確度要求的一個近似解）
【分析】（1）根據題意結合單調性的定義分析證明；
（2）根據單調性以及零點存在性定理可知 ( )在(1, + ∞)內有且僅有一個零點 0 ∈ (2,3)，結合二分法分析
求解.
【詳解】（1） = ( )在(1, + ∞)單調遞增；證明如下：
1 1
, ∈ ( 2― 1)( 1 2―1)任取 1 2 (1, + ∞)，不妨設 1 < 2， ( 2) ― ( 1) = 2 ― 1 + ― = ，2 1 1 2
因為1 < 1 < 2，則 2 ― 1 > 0， 1 2 ―1 > 0， 1 2 > 0，
可得 ( 2) ― ( 1) > 0，即 ( 2) > ( 1)，
所以 = ( )在(1, + ∞)上單調遞增.
( ) = + 1（2）因為函數 ―3在區間(1, + ∞)上是連續且單調的，
可知其在區間(1, + ∞)上的零點即為方程 ( ) = 0在區間(1, + ∞)上的解，
且 (2) < 0， (3) > 0，可得 ( )在(1, + ∞)內有且僅有一個零點 0 ∈ (2,3)，
在區間(1, + ∞)上利用二分法列表如下：
區間 中點 0 中點函數值 ( 0) 區間長度
5 5
(2,3)
2 = 2.5
1
2 < 0
5 11 11 1
2 ,3 4 = 2.75 4 > 0 2
5 11 21 21 1
2 , 4 8 = 2.625 8 > 0 4
5 21 41 41 1
2 , 8 16 = 2.5625 16 < 0 8
41 , 21
1 1 1 41 21
此時解在區間 ，此區間長度為16，16 < 10，滿足精確度為 0.1，故區間 , ，16 8 16 8
即(2.5625,2.625)內任意一個實數都是對應方程符合精確度要求的一個近似解，比如 2.6 是方程 ( ) = 0在
(1, + ∞)上的一個近似解．
變式 3-3．利用計算器，求方程lg = 3 ― 的近似解（精確到0.1）.
【答案】2.6
【分析】利用二分法求方程的近似解.
【詳解】求方程lg = 3 ― 的解，可以轉化為求函數 ( ) = lg + ― 3的零點，
分別畫出函數 = lg 和 = 3 ― 的圖像，如圖所示，
在兩個函數圖象的交點處，函數值相等，
因此，這個點的橫坐標就是方程lg = 3 ― 的解.
由函數 = lg 和 = 3 ― 的圖象可以發現，方程lg = 3 ― 有唯一解，記為 1，
并且這個解在區間(2,3)內，
設 ( ) = lg + ― 3，用計算器計算，
得 (2) = lg2 + 2 ― 3 ≈ ―0.69897 < 0， (3) = lg3 + 3 ― 3 ≈ 0.47712 > 0，
所以 1 ∈ (2,3)，
(2.5) = lg2.5 + 2.5 ― 3 ≈ ―0.10206 < 0，
所以 1 ∈ (2.5,3)，
(2.75) = lg2.75 + 2.75 ― 3 ≈ 0.18933 > 0，
所以 1 ∈ (2.5,2.75)，
(2.625) = lg2.625 + 2.625 ― 3 ≈ 0.04413 > 0，
所以 1 ∈ (2.5,2.625)，
(2.5625) = lg2.5625 + 2.5625 ― 3 ≈ ―0.02884 < 0，
所以 1 ∈ (2.5626,2.625).
因為2.5625與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，
所以原方程的近似解為 1 ≈ 2.6.
變式 3-4．已知函數 ( ) = 2 2 ―8 + + 3為 上的連續函數．
(1)若函數 ( )在區間[ ―1,1]上存在零點，求實數 的取值范圍．
(2)若 = ―4，判斷 ( )在( ―1,1)上是否存在零點？若存在，請在誤差不超過 0.1 的條件下，用二分法求出
這個零點所在的區間；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)[ ―13,3]；
(2) 1存在，區間為 ― ,0 .
8
【分析】（1）根據 ( ) = 2 2 ―8 + + 3，結合二次函數的圖象與性質，可知 ( )在區間[ ―1,1]上單調遞
減，結合條件 ( )在區間[ ―1,1] ( ―1) ≥ 0上存在零點，則有 (1) ≤ 0 ，解不等式組即可求出實數 的取值范圍；
（2）當 = ―4時，得 ( ) = 2 2 ―8 ― 1，可知 ( )在區間( ―1,1)上單調遞減，并求得 ( ―1) (1)
< 0，根據零點存在性定理可知 ( )在( ―1,1)上存在唯一零點 0，最后利用二分法和零點存在性定理，求
出在誤差不超過 0.1 的條件下的零點所在的區間.
【詳解】（1）解： ∵ ( ) = 2 2 ―8 + + 3為二次函數，開口向上，對稱軸為 = 2，
可知函數 ( )在區間[ ―1,1]上單調遞減，
∵ ( ) [ ―1,1] ∴ ( ―1) ≥ 0在區間 上存在零點， (1) ≤ 0 ，
2 + 8 + + 3 ≥ 0
即 2 ― 8 + + 3 ≤ 0 ，解得： ―13 ≤ ≤ 3，
∴實數 的取值范圍是[ ―13,3]．
（2）解：當 = ―4時， ( ) = 2 2 ―8 ― 1為二次函數，開口向上，對稱軸為 = 2，
所以 ( )在區間( ―1,1)上單調遞減，
∴ ( ―1) = 9， (1) = ―7，則 ( ―1) (1) < 0，
∴函數 ( )在( ―1,1)上存在唯一零點 0，
又 ( )為 上的連續函數，
∵ (0) = ―1 < 0，∴ ( ―1) (0) < 0，∴ 0 ∈ ( ―1,0)，
∵ 1 = 7― 2 > 0，∴ ―
1 (0) < 0，∴ 0 ∈ ― 1 ,0 ，2 2 2
∵ ― 1 =
9 1
8 > 0，∴ ― (0) < 0，∴ 0 ∈ ―
1 ,0 ，
4 4 4
∵ 1― 1 = 32 > 0，∴ ―
1 (0) < 0，∴ 0 ∈ ― 1 ,0 ，8 8 8
此時誤差為|―1―08 | = 116 < 0.1，即滿足誤差不超過 0.1，2
∴ 1零點所在的區間為 ― ,0 ．
8
【方法技巧與總結】
1 二分法求零點區間：( 1, 2)中 ( 1) ( 2) < 0取
1+ 2
3 = 2 ，并確定 ( 3)符號，若 ( 1) ( 3) < 0在( 1, 3
)繼續上一步驟；若 ( 3) ( 2) < 0在( 3, 2)繼續上一步驟，直到得到合適區間;
2 所選的區間[ , ]的范圍盡量小，且 ( ), ( )比較容易求;
3 利用二分法時，滿足精確度便可停止計算.
【題型四：二分法思想的其他應用】
例 4．在一個風雨交加的夜里,某水庫閘房(設為 A)到某指揮部(設為 B)的電話線路有一處發生了故障.這是一
條10km長的線路,想要盡快地查出故障所在.如果沿著線路一小段小段地查找,困難很多,每查一小段需要很
長時間.
(1)維修線路的工人師傅隨身帶著話機,他應怎樣工作,才能每查一次,就把待查的線路長度縮減一半
(2)要把故障可能發生的范圍縮小到50m ―100m,最多要查多少次
【答案】（1）見解析（2）7 次
【解析】（1）運用“二分法”的原理進行查找，即可得出結論．
1
（2）二分法求方程的近似解的定義和方法，由10000 × 1002 且 ∈
，求得 的最小值，從而得出
結論．
【詳解】解:(1)如圖所示,他首先從中點 C 查,用隨身帶的話機向兩端測試時,假設發現 段正常,可斷定故障
在 段,再到 段中點 D 查,這次若發現 段正常,可斷定故障在 段,再到 段中點 E 來查,依次類推即可.
1 1 (2)每一次二等分，區間長度變為原來的2，由10000 × 100 且 ∈

2 ，
解得 7，
故每查一次,可以把待查的線路長度縮減一半,因此最多查7次就夠了.
【點睛】本題主要考查用二分法求方程的近似解的定義和方法，屬于基礎題．
變式 4-1．在 12 枚嶄新的硬幣中，有一枚外表與真幣完全相同的假幣（質量小一點），現在只有一臺天
平，則應用二分法的思想，最多稱 次就可以發現假幣.
【答案】3
【分析】寫出利用天平最少 3 次找到那枚假幣的過程即得解.
【詳解】將 12 枚金幣平均分成兩份，放在天平上，假幣在輕的那 6 枚金幣里面，將這 6 枚平均分成兩
份，
則假幣一定在輕的那 3 枚金幣里面，將這 3 枚金幣任拿出 2 枚放在天平上，
若平衡，則剩下的那一枚即是假幣，若不平衡，則輕的那一枚即是假幣．
依據上述分析，最少稱 3 次就可以發現這枚假幣．
故答案為：3．
變式 4-2．一塊電路板的 AB 線路之間有 100 個串聯的焊接點，知道電路不通的原因是焊接點脫落造成的，
要想借助萬用表，利用二分法的思想檢測出哪處焊接點脫落，最多需要檢測（ ）
A．4 次 B．6 次 C．7 次 D．50 次
【答案】C
【分析】由題意，根據二分法的思想，即可得出結論.
【詳解】第一次，可去掉 50 個結果，從剩余的 50 個中繼續二分法；
第二次，可去掉 25 個結果，從剩余的 25 個中繼續二分法；
第三次，可去掉 12 或 13 個結果，考慮至多的情況，所以去掉 12 個結果，從剩余的 13 個中繼續二分法；
第四次，可去掉 6 或 7 個結果，考慮至多的情況，所以去掉 6 個結果，從剩余的 7 個中繼續二分法；
第五次，可去掉 3 或 4 個結果，考慮至多的情況，所以去掉 3 個結果，從剩余的 4 個中繼續二分法；
第六次，可去掉 2 個結果，從剩余的 2 個中繼續二分法；
第七次，可去掉 1 個結果，得到最終結果.
所以最多需要檢測 7 次.
故選：C
變式 4-3．現有 12 個小球，從外觀上看完全相同，除了 1 個小球質量不合標準外，其余的小球質量均相
同．用一架天平，限稱三次，把這個“壞球”找出來，并說明此球是偏輕還是偏重．如何稱？
【答案】答案見解析
【分析】先在天平左右各放4球，然后根據出現的情況進行分類討論，從而確定“壞球”.
【詳解】第一次，天平左右各 4 球．有兩種情況：
（1）若平，則“壞球”在剩下的 4 球中，第二次，取此 4 球中的 3 球為一邊，取 3 個好球為另一邊，放在天
平上．
①若仍平，則“壞球”為 4 球中未取到的那個球．將此球與 1 個好球放上天平一稱，即知“壞球”是輕還是
重．
②若不平，則“壞球”在一邊 3 球之中，且知是輕還是重．從含壞球的三球中任取其中 2 球放在天平上，無
論平還是不平，均可確定“壞球”．
（2）若不平，則“壞球”在天平上的 8 球中，不妨設右邊重．
從右邊 4 球中取出 3 球，置于一容器內，然后從左邊 4 球中取 3 球移入右邊，再從外面好球中取 3 個補入
左邊．看天平，有三種可能．
①若平，則“壞球”是容器內 3 球之一且偏重．
②若左邊重，“壞球”已從一邊換到另一邊．因此，“壞球”只能是從左邊移入右邊的 3 球之一，并且偏輕．
③若右邊重，據此知“壞球”未變動位置，而未被移動過的球只有兩個（左右各一），“壞球”是其中之一
（暫不知是輕還是重）．
顯然對于以上三種情況的任一種，再用一次天平，即可找出“壞球”，且知其是輕還是重．
變式 4-4．求3 3的近似值（精確度為 0.1，參考數據：1.3753 ≈ 2.5996，1.43753 ≈ 2.9705）．
【答案】1.4375
【分析】求3 3的近似值可轉化為求函數 ( ) = 3 ―3的零點的近似值，可用二分法求得．
【詳解】令3 3 = ，則 3 = 3．
令 ( ) = 3 ―3，則3 3就是函數 ( ) = 3 ―3的零點．
因為 (1) = ―2 < 0， (2) = 5 > 0，
所以可取初始區間(1,2)，用二分法計算．
列表如下：
零點所在區
端點（中點） （端點）中點函數值或近似值
間
1，2 (1) = ―2， (2) = 5 (1,2)
1 + 2
1 = = 1.5 ( 1) = 0.375 (1,1.5)2
1 + 1.5
2 = ( 2 = 1.25 2
) ≈ ―1.047 (1.25,1.5)
1.25 + 1.5
3 = = 1.375 ( 3) ≈ ―0.4 (1.375,1.5)2
1.375 + 1.5
4 = = 1.4375 ( 4) ≈ ―0.03 (1.4375,1.5)2
由于|1.5 ― 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以3 3的近似值可取為 1.4375．
一、單選題
1．關于用二分法求方程的近似解，下列說法正確的是（ ）
A．用二分法求方程的近似解一定可以得到 ( ) = 0在[ , ]內的所有根
B．用二分法求方程的近似解有可能得到 ( ) = 0在[ , ]內的重根
C．用二分法求方程的近似解有可能得出 ( ) = 0在[ , ]內沒有根
D．用二分法求方程的近似解有可能得到 ( ) = 0在[ , ]內的精確解
【答案】D
【分析】根據二分法求近似解的定義，可得答案.
【詳解】利用二分法求方程 ( ) = 0在[ , ]內的近似解，即在區間[ , ]內肯定有根存在，而對于重根無法
求解出來，且所得的近似解可能是[ , ]內的精確解．
故選：D.
2.下列方程中，不能用二分法求近似解的為（ ）
A．log2 + = 0 B．e + = 0 C． 2 ―2 + 1 = 0 D． + ln = 0
【答案】C
【分析】轉化為不能用二分法求零點的函數問題，必須滿足函數在零點的左右兩側函數值異號，逐一檢驗
各選項即可得出結論.
1
【詳解】對于 A， ( ) = log 12 + 在(0, + ∞)上單調遞增，且 = ―1 + 2 < 0, (1) = 1 > 0，2
可以使用二分法，故 A 錯誤；
對于 B， ( ) = e + 在 R 上連續且單調遞增，且 (0) = 1 > 0, ( ―1) = e―1 ―1 < 0，可以使用二分法，
故 B 錯誤；
對于 C， 2 ―2 + 1 = ( ― 1)2 ≥ 0，故不可以使用二分法，故 C 正確；
對于 D， ( ) = + ln 在(0, + ∞) 1 1上單調遞增，且 = ―1 < 0, (1) = 1 > 0，
e e
可以使用二分法，故 D 錯誤.
故選：C
3.用二分法求函數 ( ) = 3 +5的零點可以取的初始區間是（ ）
A．[ ―2,1] B．[ ―1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
【答案】A
【分析】由函數單調性判斷各區間端點函數值正負情況，結合零點存在性定理即可得答案.
【詳解】由 ( ―2) = ―3, ( ― 1) = 4, (0) = 5, (1) = 6, (2) = 13，且 ( )在定義域上遞增，
所以區間[ ―1,0]、[0,1]、[1,2]對應函數都為正，只有區間[ ―2,1]中函數值有正有負.
故選：A
4.用二分法求方程 3 ―2 ― 5 = 0在區間[2,3]內的實根，下一個有根區間是（ ）
A．[2,2.5] B．[2.5,3] C．[2,2.25] D．[2.75,3]
【答案】A
【分析】設 ( ) = 3 ―2 ― 5，其中 (2) < 0, (3) > 0，及 (2.5) < 0，求得 (2) (2.5) < 0，即可求解．
【詳解】由題意，設 ( ) = 3 ―2 ― 5，
其中 (2) = 23 ―2 × 2 ― 5 = ―1 < 0, (3) = 33 ―2 × 3 ― 5 = 16 > 0，
又由 (2.5) = (2.5)3 ―2 ― 5 = 5.625 > 0，則 (2) (2.5) < 0，
可得方程根在區間[2,2.5]．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了二分法的應用，其中解答中熟記二分法的概念，以及合理應用零點的存在定理是
解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．
5.利用二分法求方程log3 = 3 ― 的近似解，可以取的一個區間是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】C
【分析】設 ( ) = log3 ― 3 + ，根據當連續函數 ( )滿足 （a）· （b） < 0時， ( )在區間( , )上有零
點，即方程log3 = 3 ― 在區間( , )上有解，進而得到答案．
【詳解】解：設 ( ) = log3 ― 3 + ，
∵ 當連續函數 ( )滿足 （a）· （b） < 0時， ( )在區間( , )上有零點，
即方程log3 = 3 ― 在區間( , )上有解，
又 ∵ （2） = log32 ― 1 < 0， （3） = log33 ― 3 + 3 = 1 > 0，
故 （2）· （3） < 0，
故方程log3 = 3 ― 在區間(2,3)上有解，
即利用二分法求方程log3 = 3 ― 的近似解，可以取的一個區間是(2,3).
故選：C．
6.已知函數 = ( )為[0,1]上的連續函數，且 (0) (1) < 0，使用二分法求函數零點，要求近似值的精確
度達到 0.1，則需對區間至少二分的次數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】區間[0,1]的長度為 1，沒經過一次操作，區間長度變成原來的一半，經過 次后，區間長度變成
1
2 ，據此可列出不等式．
【詳解】區間[0,1]的長度為 1，沒經過一次操作，區間長度變成原來的一半，
1 1
經過 次后，區間長度變成 2 ，則2 ≤ 0.1，即 ≥ 4， ∈ N 故對區間只需要分 4 次即可．
故選：C.
7.在用二分法求函數 ( )的一個正實數零點時，經計算， (0.64) < 0, (0.72) > 0, (0.68) < 0，則函數的一
個誤差不超過 0.025 的正實數零點的近似值可以為（ ）
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
【答案】C
【分析】利用二分法可得出結果.
【詳解】已知 (0.64) < 0, (0.72) > 0，則函數 ( )的零點的初始區間為(0.64,0.72)，
又因為0.68 = 12 × (0.64 + 0.72)，且 (0.68) < 0，
所以零點在區間(0.68,0.72)上，
又|0.72 ― 0.68| = 0.04 < 0.05 = 2 ，
0.72+0.68
所以所求近似值可以為 2 = 0.7.
故選：C.
8.一塊電路板的 線段之間有60個串聯的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法
的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（　　）
A．4次 B．6次
C．8次 D．30次
【答案】B
【分析】利用二分法可得出結果.
60
【詳解】利用二分法檢測，每次取中點，焊接點數減半，不妨設需要 次檢測，則2 ≤ 1，
即2 ≥ 60，因為25 < 60 < 26，故 的最小值為6，即至少需要檢測6次.
故選：B.
二、多選題
9．在用“二分法”求函數 ( )零點的近似值時，若第一次所取區間為[ ―2,4]，則第二次所取區間可能是
（ ）
A．[ ―2, ― 1] B．[ ―2,1] C．[2,4] D．[1,4]
【答案】BD
【分析】利用二分法的定義得到答案.
―2+4
【詳解】由題知第一次所取區間為[ ―2,4]，取中間值 2 = 1，
則第二次所取區間可能是[ ―2,1]或[1,4].
故選：BD.
10.某同學用二分法求函數 ( ) = 2 +3 ― 7的零點時，計算出如下結果： (1.5) = 0.33， (1.25)
= ―0.87， (1.375) = ―0.26， (1.4375) = 0.02， (1.4065) = ―0.13， (1.422) = ―0.05，下列說法正確
的有（ ）
A．精確到0.1的近似值為1.375 B．精確到0.01的近似值為1.4065
C．精確到0.1的近似值為1.4375 D．精確到0.1的近似值為1.25
【答案】AC
【分析】根據二分法基本原理判斷即可.
【詳解】 ∵ (1.375) = ―0.26 < 0， (1.4375) = 0.02 > 0，
∴ 零點在(1.375,1.4375)內，又1.4375 ― 1.375 = 0.0625 < 0.1，則 AC 正確，D 錯誤；
∵ (1.4065) = ―0.13 < 0， (1.4375) = 0.02 > 0，|1.4065 ― 1.375| = 0.0315 > 0.01，
則 B 錯誤.
故選：AC.
11.教材中用二分法求方程2 +3 ― 7 = 0的近似解時，設函數 ( ) = 2 +3 ― 7來研究，通過計算列出了
它的對應值表
1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5
( ) ―0.87 ―0.26 ―0.05 0.02 0.33
分析表中數據，則下列說法正確的是：（ ）
A． > 0
B．方程2 +3 ― 7 = 0有實數解
C．若精確度到 0.1，則近似解可取為 1.375
D．若精確度為 0.01，則近似解可取為 1.4375
【答案】BC
【分析】 ( )在 R 上是增函數，根據零點存在性定理進行判斷零點所在的區間，根據二分法基本原理滿足
( ) > 0， ( ) < 0，| ― | < 即可判斷近似值.
【詳解】∵ = 2 與 = 3 ― 7都是 R 上的單調遞增函數，
∴ ( ) = 2 +3 ― 7是 R 上的單調遞增函數，
∴ ( )在 R 上至多有一個零點，由表格中的數據可知： (1.422) < 0， (1.4375) > 0，
∴ ( )在 R 上有唯一零點，零點所在的區間為(1.422,1.4375)，
∴ < 0，A 錯誤；方程2 +3 ― 7 = 0有實數解，B 正確； (1.375) = ―0.26 < 0， (1.4375) = 0.02 > 0，
1.4375 ― 1.375 = 0.0625 < 0.1，即精確度到 0.1，則近似解可取為 1.375，C 正確；
(1.422) = ―0.05 < 0， (1.4375) = 0.02 > 0， 1.4375 ― 1.422 = 0.0155 > 0.01，即精確度為 0.01，則近
似解不可取為 1.4375，D 錯誤.
故選：BC.
三、填空題
12．某同學在借助計算器求“方程lg = 2 ― 的近似解（精確度為 0.1）”時，他用“二分法”又取了 4 個 x 的
值，計算了其函數值的正負，并得出判斷：方程的近似解是 ≈ 1.8．那么他在取的 x 的 4 個值依次
是 ．
【答案】1.5，1.75，1.875，1.8125.
【分析】根據給定條件，構造函數借助單調性，結合“二分法”的定義，求出符合要求的 4個值.
【詳解】令 ( ) = lg + ― 2，則方程lg = 2 ― 的解即為函數 ( )的零點，函數 ( )在(0, + ∞)上單調遞
增，
(1) = ―1 < 0, (2) = lg2 > 0，取(1,2)的中點1.5， (1.5) = lg1.5 ― 0.5 < 0，得區間(1.5,2)；
取(1.5,2)的中點1.75， (1.75) = lg1.75 ― 0.25 ≈ 0.2430 ― 0.25 < 0，得區間(1.75,2)；
取(1.75,2)的中點1.875， (1.875) = lg1.875 ― 0.125 ≈ 0.2730 ― 0.125 > 0，得區間(1.75,1.875)；
取(1.75,1.875)的中點1.8125， (1.8125) = lg1.8125 ― 0.1875 ≈ 0.2583 ― 0.1875 > 0，得區間
(1.75,1.8125)，
所以在取的 x 的 4 個值依次是 1.5，1.75，1.875，1.8125.
故答案為：1.5，1.75，1.875，1.8125
13.在用二分法求方程 ( ) = 0在[0,1]上的近似解時，經計算， (0.5) < 0， (0.75) > 0， (0.625) < 0，即
可得出方程的一個近似解為 （精確度為 0.2）.
【答案】0.6875
【分析】根據二分法的計算過程即可求解.
【詳解】因為|0.75 ― 0.5| = 0.25 > 0.2，|0.75 ― 0.625| = 0.125 < 0.2，
0.75+0.625
所以 2 = 0.6875可作為方程的近似解.
故答案為：0.6875.
14.已知函數 ( ) = 3 2 ―1在區間(0,1)上有唯一零點 0，如果用“二分法”求這個零點(精確度 = 0.05)的近
似值，那么將區間(0,1)等分的次數至少是 .此時規定只要零點的存在區間( , )滿足| ― | < ，則可用
+
2 作為零點的近似值，由此求得 0 = .
37
【答案】 5 64
1
【分析】根據二分法的計算過程可知2 ≤ 0.05，則 ≥ 5；進而依次計算第一、二、三、四、五次的區間，
19 9 1
由32 ― 16 = 32 < 0.05即可求解.
【詳解】開區間(0,1)的長度等于 1，每經過一次操作，區間長度變為原來的一半，
經過 ( ∈ N ) 1 1次操作后，區間長度變為2 ，故有2 ≤ 0.05，即2
≥ 20，
因為24 = 16,25 = 32，所以 ≥ 5.
故計算 5 次就可滿足要求，所以將區間(0,1)等分的次數至少是 5 次.
1 1
因為 (2) < 0，所以第一次得到的區間為 2 ，1 ；
3
因為 (4) > 0 (
1
，所以第二次得到的區間為 2,
3
4)；
因為 (58) > 0
1 5
，所以第三次得到的區間為(2,8)；
因為 ( 916) < 0
9 5
，所以第四次得到的區間為(16,8)；
19
因為 (32) > 0
9 19
，所以第五次得到的區間為(16,32)，
19 9 1
因為32 ― 16 = 32 < 0.05，
9 +19
所以函數零點為16 32 = 37
2 64
.
37
故答案為：5；64.
四、解答題
15．若函數 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1有零點，但不能用二分法求其零點，求實數 的值.
【答案】2 或 ―1.
【分析】根據函數 ( )有零點，且不能用二分法求其零點，判斷函數 ( )圖象在 軸上方或下方（包括
軸），且與 軸有交點，由此討論求出 的值．
【詳解】由題意得，函數 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1有零點，但不能用二分法求其零點，
因為函數 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1有零點，且不能用二分法求其零點，
所以函數 ( )的圖象在 軸上方或下方（包括 軸），且與 軸有交點．
當 + 2 = 0時，得 = ―2，函數 ( ) = ―4 + 1，能用二分法求出零點，不符合題意；
當 + 2 ≠ 0時，得 ≠ ―2，函數 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1為二次函數，
因為函數 ( )有零點，且不能用二分法求其零點，
所以函數 ( )的圖象與 軸有 1 個交點，
所以關于 的一元二次方程( + 2) 2 +2 + 1 = 0有兩個相等實根，
即Δ = 4 2 ―4( + 2) = 0，解得 = 2或 = ―1．
綜上， = 2或 = ―1.
16.已知函數 ( )＝ ＋2 －6.
（1）證明 f(x)有且只有一個零點；
1
（2）求這個零點所在的一個區間，使這個區間的長度不大于4.
5 11
【答案】（1）證明見解析；（2）(2, 4 ).
【解析】（1）由單調性定義知 ( )為增函數，又 f(2)·f(3)<0，即知函數有且只有一個零點；
1
（2）利用二分法確定區間長度不大于4的零點所在區間即可.
1 1
【詳解】(1)證明：令 1 > 2 > 0，則 ( 1) ― ( 2) = ln +2( 1 ― 2)，且 > 1, 1 ― 2 > 0，2 2
∴ ( 1) > ( 2)，即 f(x)＝lnx＋2x－6 在(0,＋∞)上是增函數，
∴f(x)至多有一個零點．又 f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，即 f(x)在(2,3)內有一個零點．
∴f(x)在(0,＋∞)上只有一個零點．
2+3
(2)∵f 5 5 5(2)<0，f(3)>0，取 1 = 2 = 2， (2) = ln2 ―1 < 0，
5
∴ (3) (52) < 0，即 f(x)零點 ∈ (
5
0 2,3)
+3 11 11 11 1
．取 2 = 2 = 4 ，則 ( 4 ) = ln 4 ― 2 > 0.2
∴ (52) (
11
4 ) < 0.
∴ 50 ∈ (2,
11) |11 54 ，又 4 ― 2| =
1
4 ≤
1
4，
∴ 5 11滿足題意的區間為(2, 4 )．
【點睛】方法點睛：
1、單調函數若能找到 ( 1) ( 2) < 0，即知( 1, 2)存在零點，定義域內有且僅有一個.

2 1
+ 2
、二分法求零點區間：( 1, 2)中 ( 1) ( 2) < 0取 3 = 2 ，并確定 ( 3)符號，若 ( 1) ( 3) < 0在( 1,
3)繼續上一步驟；若 ( 3) ( 2) < 0在( 3, 2)繼續上一步驟，直到得到合適區間.
2
17.用二分法求方程0.9 ― 21 = 0的近似解．（精確度為 0.1，可以使用計算器）
【答案】5.7
【分析】利用二分法求解方程近似解即可.
2
【詳解】畫出 = 0.9 和 = 21 的圖像，
由圖知：函數 = 0.9 和 = 221 只有一個交點.
2
方程0.9 ― 21 = 0的近似解等價于函數 ( ) = 0.9
― 221 的零點.
10(5) = 0.95 ― 21 ≈ 0.114， (6) = 0.9
6 ― 1221 ≈ ―0.040 < 0，
所以取初始區間為(5,6)，用二分法求解，如下表：
次數 左端點 右端點 區間長度
第一次 5 6 1
第二次 5.5 6 0.5
第三次 5.5 5.75 0.25
第四次 5.625 5.75 0.125
第五次 5.6875 5.75 0.0625
因為|5.75 ― 5.6875| = 0.0625 < 0.1，
2
所以方程0.9 ― 21 = 0的近似解可取為 5.7.
18．現有 a 個乒乓球，從外觀上看完全相同，除了 1 個乒乓球質量不符合標準外，其余的乒乓球質量均相
同.你能用一架天平盡快把這個“壞乒乓球”找出來嗎？
(1)當 = 12時，若只稱 3 次就可以找到此“壞乒乓球”，并得出它是偏輕還是偏重，該如何稱？
(2)若已知“壞乒乓球偏輕”，當 = 26時，至少稱幾次就一定可以找到此“壞乒乓球”？
【答案】(1)答案見解析
(2)至少稱 4 次就一定可以找到這個“壞乒乓球”
【分析】（1）（2）由二分法的相關知識即可求解；
【詳解】（1）第一次，天平左右各放 4 個乒乓球，有兩種情況：
①若平，則“壞乒乓球”在剩下的 4 個乒乓球中，第二次，取剩下的 4 個乒乓球中的 3 個乒乓球為一邊，取
3 個“好乒乓球”為另一邊，放在天平上.
（i）若仍平，則“壞乒乓球”為剩下的 4 個乒乓球中未取到的那個乒乓球，將此乒乓球與 1 個“好乒乓球”放
上天平一看，即知“壞乒乓球”是偏輕還是偏重；
（ii）若不平，則“壞乒乓球”在取出的 3 個乒乓球之中，且知是偏輕還是偏重，任取其中 2 個乒乓球放在天
平上，無論平還是不平，均可確定“壞乒乓球”.
②若不平，則“壞乒乓球”在天平上的 8 個乒乓球中，不妨設右邊偏重，從右邊 4 個乒乓球中取出 3 個乒乓
球置于一容器內，然后從左邊 4 個乒乓球中取 3 個乒乓球移入右邊，再從外面“好乒乓球”中取 3 個乒乓球
補入左邊，看天平，有三種可能.
（i）若平，則“壞乒乓球”是容器內 3 個乒乓球之一且偏重；
（ii）若左邊重，則“壞乒乓球”已從一邊換到另一邊，因此，“壞乒乓球”只能是從左邊移入右邊的 3 個乒乓
球之一，并且偏輕；
（ⅲ）若右邊重，據此知“壞乒乓球”未變動位置，而未被移動過的乒乓球只有兩個（左右各一），“壞乒乓
球”是其中之一（暫不知是偏輕還是偏重）.
顯然對于以上兩種情況的任一種，再用一次天平，即可找出“壞乒乓球”，且知其是偏輕還是偏重.
（2）將 26 個乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，則“壞乒乓球”一定在質量小的那 13 個乒乓球里
面；
從這 13 個乒乓球中拿出 1 個，然后將剩下的 12 個乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，若天平平
衡，則“壞乒乓球”一定是拿出的那一個，若天平不平衡，則“壞乒乓球”一定在質量小的那 6 個乒乓球里
面；
將這 6 個乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，則“壞乒乓球”一定在質量小的那 3 個乒乓球里面；
從這 3 個乒乓球中任拿出 2 個，分別放在天平兩端，若天平平衡，則剩下的那一個即是“壞乒乓球”，若天
平不平衡，則質量小的那一個即是“壞乒乓球”.
綜上可知，至少稱 4 次就一定可以找到這個“壞乒乓球”.
19.閱讀材料
求方程 2 ―2 = 0的近似根有很多種算法，下面給出兩種常見算法：
方法一：設所求近似根與精確解的差的絕對值不超過 0.005，算法：
第一步：令 ( ) = 2 ―2．因為 (1) < 0， (2) > 0，所以設 1 = 1， 2 = 2．
1+ 2
第二步：令 = 2 ，判斷 ( )是否為 0．若是，則 為所求；
若否，則繼續判斷 ( 1) ( )大于 0 還是小于 0．
第三步：若 ( 1) ( ) > 0，則 1 = ；否則，令 2 = ．
第四步：判斷| 1 ― 2| < 0.005是否成立？若是，則 1, 2之間的任意值均為滿足條件的近似根；若否，則
返回第二步．
方法二：考慮 2 ―2 = 0的一種等價形式
2 2
變形如下： = ，∴ + = + ，∴ =
1 2
2
+

這就可以形成一個迭代算法：給定 0
根據 1 2 +1 = 2 + ， = 0，1，2，…計算多次后可以得到一個近似值
(1)分別運用方法一和方法二計算 2的近似值（結果保留 4 位有效數字），比較兩種方法迭代速度的快慢；
(2)根據以上閱讀材料，設計合適的方案計算 5的近似值（精確到 0.001）．
【答案】(1) 2的近似值見解析；方法二的迭代速度更快，理由見解析.
(2)選擇方法二進行計算， 5的近似值為 2.236
【分析】（1）按照方法一和方法二進行迭代求解，求出相應的近似值；（2）結合第一問作出的判斷，選擇
方法二進行迭代求解.
1 =
1+ 2 = 3 3 9 1【詳解】（ ） 2 2， = 4 ―2 = 4 > 0 (1)
3 3 3
， < 0，則 =
2 2 2 2
，所以| 1 ― 2| = |1 ― 2|
> 0.005，返回第二步；
1+3 5 5 25 7 5 5
令 = 2 = 4， = 16 ―2 = ― 16 < 0， (1) > 0，令 2 4 4 1 = 4，
所以| 1 ― 2| = |5 ― 3| > 0.005，返回第二步；4 2
5 3
= + = 114 2 11 = 121 ―2 = ― 7 < 0 5 11 > 0 = 11令 8 ， 64 64 ， ，令 1 8 ，2 8 4 8
所以| 1 ― | = |112 ― 3| > 0.005，返回第二步；8 2
11
= +
3 23 529 17
8 2 = 23 = ―2 = > 0 11 23令 16， 256 256 ， < 0，令 2 =
23
2 16 8 16 16
，
所以| 1 ― 2| = |11 ― 23| > 0.005，返回第二步；8 16
11
= +
23
= 45 45 = 2025 23令 8 16 32， 1024 ―2 = ― 256 < 0，
11 45 > 0 = 45，令
2 32 8 32 1 32
，
所以| 1 ― | = |45 ― 232 | > 0.005，返回第二步；32 16
45+23 = = 91 91 = 8281 ―2 = 8932 16 > 0 91 45 < 0 = 91令 64，2 64 4096 4096 ， ，令64 32 2 64，
| ― | = |45所以 1 2 ― 91| > 0.005，返回第二步；32 64
45+91 181
令 = 32 64 = 128，
181 = 32761 7 4516384 ―2 = ― 16384 < 0，
181 > 0 181，令
2 128 32 128 1
= 128，
所以| 1 ― 2| = |181 ― 91| > 0.005，返回第二步；128 64
91 181
令 = + 36364 128 = 363 = 131769 697 181 361256， 65536 ―2 = 65536 > 0， < 0，令 2 =
363
2 256 128 256 256
，
| ― | = |363 ― 181所以 1 2 | < 0.005，256 128
363 181
則 1, 2之間的任意值均為滿足條件的近似值，其中 2 = 256 ≈ 1.418， 1 = 128 ≈ 1.414
取可取 1.414
方法二： = 1 2 +1 2 + ， = 0，1，2，…，
不妨取 0 = 1，則 =
1 2 3
1 2 0 + = 0 2
，
1 1 172 = 2 1 +
2 = 32 +
4 = 12， 1 2 3
= 1 2 1 17 24 5773 2 2 + = + = ， 2 2 12 17 408
577
其中408 ≈ 1.414，
顯然，方法二的迭代速度更快
（2）考慮 2 ―5 = 0的一種等價形式，
= 5 ，∴ + = +
5
，∴ = 12 +
5

這就可以形成一個迭代算法：給定 0 = 2
則 = 1 +1 2 +
5
， = 0，1，2，…，

1 5 9
計算過程如下： 1 = 2 0 + = ， 0 4
= 1 5 = 1612 2 1 + 72 ， 1
1 5 518413 = 2 2 + = ≈ 2.236. 2 231844.4.2 計算函數零點的二分法
課程標準 學習目標
（1）結合具體連續函數及其圖象的特點, 了解
函數零點存在定理,探索用二分法求方程近似
（1）理解二分法的概念;
解的思路并會畫程序框圖, 能借助計算工
（2）會用二分法求方程近似解.（難點)
具用二分法求方程近似解, 了解用二分法求方
程近似解具有一般性。
知識點 01 二分法的概念
對于在區間[ , ]上連續不斷且 ( ) ( ) < 0的函數 = ( )，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使
區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
解釋 求 ( ) = 2 ― ―2， ( ) = 2 ―1的零點很容易，因為我們會求其方程的解，而函數 ( ) = 3 + 2 ―1
或 ( ) = + ― 2的零點怎么求呢？我們求不出來會退而求其次，能否能知道零點的近似值呢？應該會想
到函數零點存在性定理，沒錯這它就是二分法的理論基礎.
【即學即練 1】
下列函數中，不能用二分法求零點的是（ ）
A． = 2 B． = ( ― 2)2 C． = + 1 ―3 D． = ln
知識點 02 用二分法求方程近似解的步驟
(1) 確定區間[ , ]，驗證 ( ) ( ) < 0，給定精確度 ；
(2) 求區間( , )的中點 ;
(3) 計算 ( )，
( ) 若 ( ) = 0 , 則 就是函數的零點；
( ) 若 ( ) ( ) < 0，則令 = (此時零點 0 ∈ ( , ))
( ) 若 ( ) ( ) < 0，則令 = (此時零點 0 ∈ ( , ))
(4) 判斷是否達到精確度 ：即若| ― | < ，則得到零點近似值為 (或 )；否則重復(2)~(4)
解釋
（1）使用二分法的前提是函數在所選定的區間[ , ]上的圖象是連續不斷的，且 ( ) ( ) < 0；
（2）所選的區間[ , ]的范圍盡量小，且 ( ), ( )比較容易求;
(3)利用二分法時，滿足精確度便可停止計算.
【即學即練 2】
用二分法求函數 ( ) = 5 +7 ― 2的一個零點的近似值，其參考數據如下：
x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875
( ) -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647
根據上述數據，可得 ( ) = 5 +7 ― 2的一個零點近似值（誤差不超過 0.025）為（ ）
A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125
【題型一：用二分法求近似解的條件】
例 1．下列方程中不能用二分法求近似解的為（ ）
A．ln + = 0 B．e ―3 = 0
C． 3 ―3 + 1 = 0 D．4 2 ―4 5 + 5 = 0
變式 1-1．下列函數圖象與 軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是（ ）
A． B． C． D．
變式 1-2．下列函數中，不能用二分法求零點的是（　　）
A． ( ) = 2 B． ( ) = 2 +2 2 + 2
C． ( ) = +
1
―3 D． ( ) = ln + 3
【方法技巧與總結】
1 對于在區間[ , ]上連續不斷且 ( ) ( ) < 0的函數 = ( )，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，
使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
2 不能用二分法求零點的函數，要么沒有零點，要么零點兩側同號.
【題型二：用二分法求近似解的過程】
例 2．用二分法求函數 ( ) = ln( + 1) + ― 1 1在區間 ,1 上的零點，要求精確度為 0.01 時，所需二分區
2
間的次數最少為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
變式 2-1．用“二分法”求方程 3 ―2 ― 5 = 0在區間[2,3]內的實根，取區間中點為 0 = 2.5，那么下一個有根
的區間是（ ）
A．[2,2.5] B．[2.5,3] C．[2,2.25] D．[2.75,3]
變式 2-2．用二分法求方程 + lg ― 3 = 0的近似解，以下區間可以作為初始區間的是（ ）
A．[1,2] B．[2,3] C．[3,4] D．[4,5]
變式 2-3．若 ( ) = 3 + 2 ―2 ― 2的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，數據如下表：
(1) = ―2 (1.5) = 0.625
(1.25) = ―0.984 (1.375) = ―0.260
(1.438) = 0.165 (1.4065) = ―0.052
那么方程 3 + 2 ―2 ― 2 = 0的一個近似根（精確到 0.1）為（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
變式 2-4．用二分法求方程ln(2 + 6) +2 = 3 的根的近似值時，令 ( ) = ln(2 + 6) +2 ― 3 ，并用計算器
得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
( ) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
則由表中的數據，可得方程ln(2 + 6) +2 = 3 的一個近似解（誤差不超過 0.05）為（ ）
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
變式 2-5．在使用二分法計算函數 ( ) = 2 ―2 + ― 2的零點的近似解時，現已知其所在區間為(1,2)，如果
要求近似解的精確度為 0.1，則接下來至少需要計算（ ）次區間中點的函數值．
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧與總結】
1 用二分法求方程近似解的步驟
(1) 確定區間[ , ]，驗證 ( ) ( ) < 0，給定精確度 ；
(2) 求區間( , )的中點 ;
(3) 計算 ( )，
( ) 若 ( ) = 0 , 則 就是函數的零點；
( ) 若 ( ) ( ) < 0，則令 = (此時零點 0 ∈ ( , ))
( ) 若 ( ) ( ) < 0，則令 = (此時零點 0 ∈ ( , ))
【題型三：用二分法求方程的近似解】
例 3．求曲線 = ln 和直線 + = 2的交點的橫坐標（誤差不超過 0.01）．
變式 3-1．判斷方程 3 ― ― 1 = 0在區間[1,1.5]內是否有解；如果有，求出一個近似解．（精確度為 0.1）
變式 3-2 1．已知函數 ( ) = + ―3．
(1)判斷函數 ( )在區間(1, + ∞)上的單調性，并用定義證明；
(2)用二分法求方程 ( ) = 0在區間(1, + ∞)上的一個近似解（精確度為 0.1）．
變式 3-3．利用計算器，求方程lg = 3 ― 的近似解（精確到0.1）.
變式 3-4．已知函數 ( ) = 2 2 ―8 + + 3為 上的連續函數．
(1)若函數 ( )在區間[ ―1,1]上存在零點，求實數 的取值范圍．
(2)若 = ―4，判斷 ( )在( ―1,1)上是否存在零點？若存在，請在誤差不超過 0.1 的條件下，用二分法求出
這個零點所在的區間；若不存在，請說明理由．
【方法技巧與總結】
1 二分法求零點區間：( 1, 2)中 ( 1) ( 2) < 0 =
1+ 2
取 3 2 ，并確定 ( 3)符號，若 ( 1) ( 3) < 0在( 1, 3
)繼續上一步驟；若 ( 3) ( 2) < 0在( 3, 2)繼續上一步驟，直到得到合適區間;
2 所選的區間[ , ]的范圍盡量小，且 ( ), ( )比較容易求;
3 利用二分法時，滿足精確度便可停止計算.
【題型四：二分法思想的其他應用】
例 4．在一個風雨交加的夜里,某水庫閘房(設為 A)到某指揮部(設為 B)的電話線路有一處發生了故障.這是一
條10km長的線路,想要盡快地查出故障所在.如果沿著線路一小段小段地查找,困難很多,每查一小段需要很
長時間.
(1)維修線路的工人師傅隨身帶著話機,他應怎樣工作,才能每查一次,就把待查的線路長度縮減一半
(2)要把故障可能發生的范圍縮小到50m ―100m,最多要查多少次
變式 4-1．在 12 枚嶄新的硬幣中，有一枚外表與真幣完全相同的假幣（質量小一點），現在只有一臺天
平，則應用二分法的思想，最多稱 次就可以發現假幣.
變式 4-2．一塊電路板的 AB 線路之間有 100 個串聯的焊接點，知道電路不通的原因是焊接點脫落造成的，
要想借助萬用表，利用二分法的思想檢測出哪處焊接點脫落，最多需要檢測（ ）
A．4 次 B．6 次 C．7 次 D．50 次
變式 4-3．現有 12 個小球，從外觀上看完全相同，除了 1 個小球質量不合標準外，其余的小球質量均相
同．用一架天平，限稱三次，把這個“壞球”找出來，并說明此球是偏輕還是偏重．如何稱？
變式 4-4．求3 3的近似值（精確度為 0.1，參考數據：1.3753 ≈ 2.5996，1.43753 ≈ 2.9705）．
一、單選題
1．關于用二分法求方程的近似解，下列說法正確的是（ ）
A．用二分法求方程的近似解一定可以得到 ( ) = 0在[ , ]內的所有根
B．用二分法求方程的近似解有可能得到 ( ) = 0在[ , ]內的重根
C．用二分法求方程的近似解有可能得出 ( ) = 0在[ , ]內沒有根
D．用二分法求方程的近似解有可能得到 ( ) = 0在[ , ]內的精確解
2.下列方程中，不能用二分法求近似解的為（ ）
A．log2 + = 0 B．e + = 0 C． 2 ―2 + 1 = 0 D． + ln = 0
3.用二分法求函數 ( ) = 3 +5的零點可以取的初始區間是（ ）
A．[ ―2,1] B．[ ―1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
4.用二分法求方程 3 ―2 ― 5 = 0在區間[2,3]內的實根，下一個有根區間是（ ）
A．[2,2.5] B．[2.5,3] C．[2,2.25] D．[2.75,3]
5.利用二分法求方程log3 = 3 ― 的近似解，可以取的一個區間是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
6.已知函數 = ( )為[0,1]上的連續函數，且 (0) (1) < 0，使用二分法求函數零點，要求近似值的精確
度達到 0.1，則需對區間至少二分的次數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.在用二分法求函數 ( )的一個正實數零點時，經計算， (0.64) < 0, (0.72) > 0, (0.68) < 0，則函數的一
個誤差不超過 0.025 的正實數零點的近似值可以為（ ）
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
8.一塊電路板的 線段之間有60個串聯的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法
的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（　　）
A．4次 B．6次
C．8次 D．30次
二、多選題
9．在用“二分法”求函數 ( )零點的近似值時，若第一次所取區間為[ ―2,4]，則第二次所取區間可能是
（ ）
A．[ ―2, ― 1] B．[ ―2,1] C．[2,4] D．[1,4]
10.某同學用二分法求函數 ( ) = 2 +3 ― 7的零點時，計算出如下結果： (1.5) = 0.33， (1.25)
= ―0.87， (1.375) = ―0.26， (1.4375) = 0.02， (1.4065) = ―0.13， (1.422) = ―0.05，下列說法正確
的有（ ）
A．精確到0.1的近似值為1.375 B．精確到0.01的近似值為1.4065
C．精確到0.1的近似值為1.4375 D．精確到0.1的近似值為1.25
11.教材中用二分法求方程2 +3 ― 7 = 0的近似解時，設函數 ( ) = 2 +3 ― 7來研究，通過計算列出了
它的對應值表
1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5
( ) ―0.87 ―0.26 ―0.05 0.02 0.33
分析表中數據，則下列說法正確的是：（ ）
A． > 0
B．方程2 +3 ― 7 = 0有實數解
C．若精確度到 0.1，則近似解可取為 1.375
D．若精確度為 0.01，則近似解可取為 1.4375
三、填空題
12．某同學在借助計算器求“方程lg = 2 ― 的近似解（精確度為 0.1）”時，他用“二分法”又取了 4 個 x 的
值，計算了其函數值的正負，并得出判斷：方程的近似解是 ≈ 1.8．那么他在取的 x 的 4 個值依次
是 ．
13.在用二分法求方程 ( ) = 0在[0,1]上的近似解時，經計算， (0.5) < 0， (0.75) > 0， (0.625) < 0，即
可得出方程的一個近似解為 （精確度為 0.2）.
14.已知函數 ( ) = 3 2 ―1在區間(0,1)上有唯一零點 0，如果用“二分法”求這個零點(精確度 = 0.05)的近
似值，那么將區間(0,1)等分的次數至少是 .此時規定只要零點的存在區間( , )滿足| ― | < ，則可用
+
2 作為零點的近似值，由此求得 0 = .
四、解答題
15．若函數 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1有零點，但不能用二分法求其零點，求實數 的值.
16.已知函數 ( )＝ ＋2 －6.
（1）證明 f(x)有且只有一個零點；
1
（2）求這個零點所在的一個區間，使這個區間的長度不大于4.
17.用二分法求方程0.9 ― 221 = 0的近似解．（精確度為 0.1，可以使用計算器）
18．現有 a 個乒乓球，從外觀上看完全相同，除了 1 個乒乓球質量不符合標準外，其余的乒乓球質量均相
同.你能用一架天平盡快把這個“壞乒乓球”找出來嗎？
(1)當 = 12時，若只稱 3 次就可以找到此“壞乒乓球”，并得出它是偏輕還是偏重，該如何稱？
(2)若已知“壞乒乓球偏輕”，當 = 26時，至少稱幾次就一定可以找到此“壞乒乓球”？
19.閱讀材料
求方程 2 ―2 = 0的近似根有很多種算法，下面給出兩種常見算法：
方法一：設所求近似根與精確解的差的絕對值不超過 0.005，算法：
第一步：令 ( ) = 2 ―2．因為 (1) < 0， (2) > 0，所以設 1 = 1， 2 = 2．
1+ 2
第二步：令 = 2 ，判斷 ( )是否為 0．若是，則 為所求；
若否，則繼續判斷 ( 1) ( )大于 0 還是小于 0．
第三步：若 ( 1) ( ) > 0，則 1 = ；否則，令 2 = ．
第四步：判斷| 1 ― 2| < 0.005是否成立？若是，則 1, 2之間的任意值均為滿足條件的近似根；若否，則
返回第二步．
方法二：考慮 2 ―2 = 0的一種等價形式
= 2 1變形如下： ，∴ + = +
2
，∴ = 2 +
2

這就可以形成一個迭代算法：給定 0
1
根據 +1 = 2 +
2
， = 0，1，2，…計算多次后可以得到一個近似值
(1)分別運用方法一和方法二計算 2的近似值（結果保留 4 位有效數字），比較兩種方法迭代速度的快慢；
(2)根據以上閱讀材料，設計合適的方案計算 5的近似值（精確到 0.001）．

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