資源簡介

4.4.1 方程的根與函數的零點
課程標準 學習目標
（1）理解函數零點的概念;
（1）結合學過的函數圖象, 了解函數零點與方
（2）掌握函數零點存在性定理.；
程解的關系。
（3）掌握函數與方程思想（難點)
知識點 01 函數的零點
對于函數 = ( )，使 ( ) = 0的實數 叫做函數的零點.
注 零點是個數，不是個點.
【即學即練 1】
函數 = 3 2 + ― 2的零點為（ ）
2 2 1 1
A．1， ― 3 B． ―1，3 C．2， ― 3 D． ―2，3
【答案】B
【分析】解一元二次方程，利用方程根與零點的關系即可求解.
【詳解】令 = 0，即3 2 + ― 2 = (3 ― 2)( + 1) = 0 2，解得： 1 = 3， 2 = ―1，
所以函數 = 3 2 + ― 2 2的零點為 ―1和3.
故選：B
知識點 02 方程根與函數零點的關系
1 方程根與函數零點的關系
方程 ( ) = 0 有實數根 0
函數 = ( )有零點 0
函數 = ( )的圖象與 軸有交點，且交點橫坐標為 0.
如 方程2 ―4 = 0的實數根是 = 2，
函數 ( ) = 2 ―4與 軸的交點橫坐標是2，
函數 ( ) = 2 ―4的零點是2，而不是(2 , 0).
2 拓展
方程 ( ) = ( )有實數根 0 函數 = ( )與函數 = ( )有交點，且交點橫坐標為 0.
【例】 研究方程 2 ― 2 = 0的解.
解 方程 2 ― 2 = 0的實數根 函數 ( ) = 2與函數 ( ) = 2 的交點橫坐標，
如圖較容易得到，方程 2 ― 2 = 0實數根有3個 1 ∈ ( ―1 , 0) , 2 = 2 , 3 = 4.
3 求函數零點方法
① (代數法) 求方程 ( ) = 0的實數根.
② (幾何法) 利用函數的圖象，根據函數的性質判斷零點是否存在或找出零點位置.
【即學即練 2】
+ 2 , ≤ 1
已知函數 ( ) = ― + 4, > 1 ，若方程 ( ) = 有兩個不同的實數根，則 的取值范圍為（ ）
A．( ―∞,1) B．( ―∞,3) C．(1,3) D．(3, + ∞)
【答案】B
【分析】結合函數的單調性畫出 ( )的大致圖象，由此求得 的取值范圍.
【詳解】由函數的解析式可知，當 ≤ 1時， ( )單調遞增， ( ) ≤ 3；當 > 1時， ( )單調遞減， ( )
< 3.
函數 ( )的大致圖象如下，故 ( )的最大值為 (1) = 3，結合圖象可得 < 3.
故選：B
知識點 03 函數零點存在定理
如果函數 = ( )在[ , ]上的圖象是連續不斷的，且 ( ) ( ) < 0，那么函數 = ( )在( , )至少有一個零
點 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，這個 也就是方程 ( ) = 0的解.
【即學即練 3】
研究函數 ( ) = 3 + 2 ―1在(0,1)上的零點個數.
解 ∵ = ( )是連續函數，且 (0) (1) = ―1 × 1 = ―1 < 0，
∴ 由函數零點存在定理可得， = ( )在(0,1)上至少存在一個零點，
而函數 = ( ) 在(0,1)又是增函數，
故函數 ( ) = 3 + 2 ―1在(0,1)上只有一個零點.
【題型一：求函數的零點】
例 1．函數 = 4 ― 2 +3 +16的零點是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．(2,0)
【答案】C
【分析】令 = 0，求解方程即得.
【詳解】由4 ― 2 +3 +16 = 0，設 = 2 ，則得 2 ―8 + 16 = 0，
解得 = 4，從而2 = 4，所以 = 2.
故選：C.
變式 1-1．下列函數中，是奇函數且存在零點的是（ ）
A． = | | B． = 2 2 ―3 C． = 3 ― D． =
3

【答案】C
【分析】根據函數的奇偶性和零點等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對于選項 A， = | |是偶函數，與題意不符；
對于選項 B， = 2 2 ―3是偶函數，與題意不符；
對于選項 C， = 3 ― 是奇函數，
由 3 ― = ( 2 ― 1) = ( + 1)( ― 1) = 0，
解得 = ―1,0,1，故存在零點 ―1,0,1與題意相符；
3
對于選項 D， = 是奇函數，但不存在零點，與題意不符．
故選：C
變式 1-2．函數 ( ) = log3( ― 1) ―2的零點為（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【分析】令 ( ) = 0，解對數方程，求出 x＝10.
【詳解】令 ( ) = log3( ― 1) ―2 = 0，即log3( ― 1) = 2 = log332，所以 ― 1 = 32，因此 x＝10，所以函
數 ( ) = log3( ― 1) ―2的零點為 10，
故選：A.
1
變式 1-3．已知定義在R上的函數 ( )為單調函數，且對任意 ∈ R，恒有 ( ( ) ― 2 ) = ― 2，若 ( 0) = 0，
則 0的值是（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】運用換元法轉化求解 = ( ) ― 2 ， ( ) = ― 12，2
+ = ― 12，求出 的值即可求出 ( )的解析
式，再求出零點即可．
【詳解】因為 ( ( ) ― 2 ) = ― 12，且 ( )在 R 上為單調函數，
設 = ( ) ― 2 ，則 ( ) = 2 + ，
∵ ( ) = ― 1 ∴ 2 + = ― 12， 2，解得： = ―1
所以 ( ) = 2 ―1，
當 ( ) = 0時，解得 = 0，
函數 ( )的零點是 0 = 0，
故選：B．
【方法技巧與總結】
1 對于函數 = ( )，使 ( ) = 0的實數 叫做函數的零點.零點是個數，不是個點；
2 求或判斷函數y = ( )的零點的方法：（1）求解方程 ( ) = 0，（2）數形結合，看函數圖像與x軸交點.
【題型二：根據函數零點求參數】
例 2．關于 的函數 = 2 ―2 ― 8 2( > 0)的兩個零點為 1, 2，且 2 ― 1 = 15，則 ＝（　　）
5 7
A．2 B．2
15 15
C． 4 D． 2
【答案】A
【分析】根據韋達定理列式可求出結果.
【詳解】依題意得 1, 2是方程 2 ―2 ― 8 2 = 0的兩不等實根，
所以Δ = 4 2 +32 2 = 36 2 > 0，
21 + 2 = 2 ， 1 2 = ―8 ，
所以( 2 2 2 22 ― 1) = ( 1 + 2) ―4 1 2 = 4 +32 = 36 2 = 225，即 2 =
225
36 ，
又 > 0，所以 = 156 =
5
2.
故選：A
變式 2-1 ( ) = {log2( + ), ≥ 2．已知 12 是函數 2 , < 2 的一個零點，則 [4 (19)]的值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D． 2+1
【答案】B
【分析】由 (12) = 0求得 = ―11，再由分段函數的性質求 (19)的值，進而求 [4 (19)]即可.
【詳解】由題意知： (12) = log2(12 + ) = 0，可得 = ―11，
∴ ( ) = {log2( ― 11), ≥ 22 , < 2 ，則 (19) = log2(19 ― 11) = 3.
∴ [4 (19)] = (4 × 3) = (12) = 0.
故選：B
變式 2-2．已知函數 ( ) = ― e ln 存在兩個零點 1， 2，且滿足 2 = 2 1，其中 e 為自然對數的底數，則
實數 t 的值為（ ）
1 2 1 2
A．ln2 B．ln2 C．eln2 D．eln2
【答案】D
ln 1
【分析】根據函數零點的等價轉化可得 = e，代入 1， 2，且利用 2 = 2 1即可求解 1 = 2，進而可求
解.
= ― e ln = 0 ln = 1【詳解】 ( ) 等價于 e，
ln 1 = ln(2 1) = 1 ln 1 ln(2 1) ln2 1 2所以 2 e，由1 1 = 2 ，解得 1 = 2，所以 =1 1 2 e，即 = eln2，
故選:D．

2-3 ( ) = 2 ― ,0 ≤ < 2變式 ．關于函數 ― , ≥ 2 ，其中 ， ∈ R，給出下列四個結論：
甲：6 是該函數的零點；
乙：4 是該函數的零點；
丙：該函數的零點之積為 0；
丁：方程 ( ) = 52有兩個根.
若上述四個結論中有且只有一個結論錯誤，則該錯誤結論是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】由已知函數的單調性判斷甲 乙中有一個錯誤，由其中一個正確，結合丙正確求得 與 的值，得
到函數解析式，再判斷丁是否正確，則答案可求.
【詳解】當 ∈ [0，2]時， ( ) = 2 ― 為增函數，
當 ∈ [2， + ∞)時， ( ) = ― 為減函數，故 6 和 4 只有一個是函數的零點，
即甲乙中有一個結論錯誤，一個結論正確，而丙 丁均正確.
由兩零點之積為 0，則必有一個零點為 0，則 (0) = 20 ― = 0，得 = 1，
若甲正確，則 (6) = 0，即 ― 6 = 0， = 6，

( ) = 2 ― 1,0 ≤ < 2 5可得 6 ― , ≥ 2 ，由 ( ) = 2，
0 ≤ < 2 ≥ 2 7 7
可得 2 ― 1 = 5 或 6 ― = 5 ，解得 = log22或 = 2，方程 ( ) =
5
2有兩個根，故丁正確.
2 2
故甲正確，乙錯誤.
若乙正確，甲錯誤，則 (4) = 0，則 ― 4 = 0， = 4，
( ) = 2
― 1,0 ≤ < 2 5
可得 4 ― , ≥ 2 ，由 ( ) = 2，
0 ≤ < 2 ≥ 2
可得 2 ― 1 = 5 或 4 ― = 5 ，解得 = log
7 3 5
22或 = 2（舍去），方程 ( ) = 2只有一個根，則丁錯誤，不合
2 2
題意．.
故選：B.
【方法技巧與總結】
若m是函數 ( )零點，則得到方程 ( ) = 0或明確函數與x軸交點的位置.
【題型三：零點存在性定理的應用】
―
例 3．函數 3( ) = 1 ― + 2 的一個零點在區間(1,2)內，則實數 的取值范圍是（ ）
A．(1, + ∞) B ― 5． ,1 C． ―∞, ― 5 ∪ (1, + ∞) D． ―∞, ― 5
2 2 2
【答案】B
1 ― 3
【分析】先判斷出 ( ) = ― + 2 在(0, + ∞)上是增函數，利用零點存在定理列不等式可求 a 的范圍.
3
【詳解】 ∵ = 2 和 = ― 在(0, + ∞)上是增函數，
∴ ( ) = 2 ―
3
+ 在(0, + ∞)上是增函數，
∴ 只需 (1) (2) < 0
5
即可，即( ―1 + ) 5 + < 0，解得 ― 2 < < 1．2
故選：B.
變式 3-1．函數 ( ) = 3 + 2 ―50的零點所在區間為（ ）
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
【答案】C
【分析】運用零點的存在性定理判斷即可.
【詳解】對于 ( ) = 3 + 2 ―50，則 ( )為R上的增函數，
而 (1) = ―47， (2) = ―38， (3) = ―15， (4) = 30， (5) = 107，由于 (3) (4) < 0，
根據零點存在性定理，知道函數 ( ) = 3 + 2 ―50的零點所在區間為(3,4).
故選：C.
變式 3-2．函數 ( ) = log2 + 2 + 在區間(2,4)上存在零點，則實數 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞, ― 18) B．(5, + ∞)
C．(5,18) D．( ―18, ― 5)
【答案】D
【分析】由函數的單調性，根據零點存在性定理可得.
【詳解】若函數 ( ) = log2 + 2 + 在區間(2,4)上存在零點，
由函數 ( )在(2,4)的圖象連續不斷，且為增函數，
則根據零點存在定理可知，只需滿足 (2) (4) < 0，
即( + 5)( + 18) < 0，
解得 ―18 < < ―5，
所以實數 的取值范圍是( ―18, ― 5).
故選：D.
變式 3-3．若方程( ― 1)lg( + 1) = 1的實根在區間( , + 1)( ∈ Z)上，則 = （ ）
A． ―1 B．2 C． ―1或 2 D．1
【答案】C
【分析】根據方程的根與函數零點的關系轉化為函數的零點來求解，畫出函數圖象觀察交點范圍，再用零
點存在性定理證明即可.
1
【詳解】方程化為lg( + 1) = ―1，
分別做出方程左右兩邊的圖象，
從圖象可知，方程( ― 1)lg( + 1) = 1，
方程有兩個分別在( ―1,0)和(2,3)之間的根，
下面證明：方程( ― 1)lg( + 1) = 1在( ―1,0)和(2,3)之間各有一個實根，
設 ( ) = ( ― 1)lg( + 1) ―1，
根據函數性質得在區間(2,3)上是增函數，
又 (2) = lg3 ― 1 < 0， (3) = 2lg4 ― 1 = lg16 ― 1 > 0，
則 (2) (3) < 0，
由零點存在性定理知，
( ) = ( ― 1)lg( + 1) ―1在區間(2,3)上僅有一個零點，
即方程( ― 1)lg( + 1) = 1區間(2,3)上僅有一個實根，
同理可得方程( ― 1)lg( + 1) = 1區間( ―1,0)上僅有一個實根，
結合題意可知， = ―1或 = 2，
故選：C.
【方法技巧與總結】
1 如果函數 = ( )在[ , ]上的圖象是連續不斷的，且 ( ) ( ) < 0，那么函數 = ( )在( , )至少有一個
零點 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，這個 也就是方程 ( ) = 0的解.
2 若連續函數具有單調性，則函數最多只有一個零點，若在某[ , ]上滿足 ( ) ( ) < 0，則該函數只有一
個零點.
【題型四：根據函數零點的個數求參數范圍】

4 ( ) = 2 ― , < 1例 ．若函數 ( ― ), ≥ 1 恰有2個零點，則 的取值范圍是 （ ）
A．( ― ∞ ， 1 ) B．(0 ， 2 ) C．( 0 ， + ∞) D．[ 1 ， 2 )
【答案】D
【分析】由分段函數可知必須每段有且只有 1 個零點，寫出零點建立不等式組即可求解.
【詳解】因為 ( ) = ( ― ), ≥ 1時至多有一個零點，單調函數 ( ) = 2 ― , < 1至多一個零點，
( ) = 2
― , < 1
而函數 ( ― ), ≥ 1 恰有2個零點，
所以需滿足 ( ) = ( ― ), ≥ 1有 1 個零點， ( ) = 2 ― , < 1有 1 個零點，
log2 < 1所以 ≥ 1 ，
解得1 ≤ < 2，
故選：D
變式 4-1．已知函數 ( ) = 2| | + 2 + 有唯一的零點，則實數 a 的值為（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
【答案】B
【分析】探討函數 ( ) = 2| | + 2 + 的奇偶性及在[0, + ∞)上的單調性即可判斷作答.
【詳解】函數 ( ) = 2| | + 2 + 定義域為 R，函數 ( ― ) = 2|― | + ( ― )2 + = ( )，即函數 ( )為偶函
數，
當 ≥ 0時， ( ) = 2 + 2 + ，則 ( )在[0, + ∞)上單調遞增，在( ―∞,0)上單調遞減，
則當 = 0時， ( )min = + 1，因函數 ( ) = 2| | + 2 + 有唯一的零點，于是得 + 1 = 0，解得 = ―1，
所以實數 a 的值為 ―1.
故選：B
2―
變式 4-2．已知函數 ( ) = > 0 2 + + 1 ≤ 0 若函數 ( ) = ( ) ― 有三個不同的零點，則實數 的取值范
圍是（ ）．
A 3 3． ,1 B． ,1
4 4
C 3． ,1 D 3． , + ∞
4 4
【答案】A
【分析】把函數零點個數轉化為兩個函數的交點個數,數形結合即可求出 的范圍.
【詳解】若函數 ( ) = ( ) ― 有三個不同的零點,則 ( ) ― = 0有三個根.
即函數 = ( )與 = 有三個交點,如圖,先畫出 ( )的圖像,
2
當 ≤ 0時 ( ) = 2 + + 1 = + 1 +
3 3
2 4，即
― 1 = 4，2

當 > 0時, ( ) = 2― = 1 ,0 < ( ) < 12
3
數形結合可以得到4 < < 1
故選: A
變式 4-3．已知 ( ) = |e ― 1| ―1，若函數 ( ) = [ ( )]2 ― ( ) ―1有三個零點，則 的取值范圍為（ ）
A．(0, + ∞) B．( ―1,0) ∪ (0, + ∞) C．( ―1,0) ∪ (0,1) D．(1, + ∞)
【答案】A
【分析】首先畫出函數 ( ) = |e ― 1| ―1的圖象，利用函數與方程之間的關系轉化為兩個圖象的交點個數
問題進行求解即可．
【詳解】函數 ( ) = |e ― 1| ―1的圖象如下圖所示：
令 ( ) = ，若函數 ( ) = [ ( )]2 ― ( ) ―1有三個零點，
①方程 ( ) = 2 ― ― 1 = 0有一根在 ―1，0 上，一根在[0, + ∞)上，
( ―1) > 0 > 0
則 (0) ≤ 0 ，即 ―1 ≤ 0 ，解得 > 0，
②方程 ( ) = 2 ― ― 1 = 0有一根在 ―1，0 上，一根等于-1，
( ―1) = 0
則 (0) > 0 ，此時無解，
綜上： > 0，
故選：A.
【方法技巧與總結】
1 理解方程與函數間的關系，
方程 ( ) = 0 有實數根 0
函數 = ( )有零點 0
函數 = ( )的圖象與 軸有交點，且交點橫坐標為 0.
2 方程 ( ) = ( )有實數根 0 函數 = ( )與函數 = ( )有交點，且交點橫坐標為 0;
3 問題轉化為函數問題，則多利用數形結合的方法求解.
【題型五：二次函數零點的分布問題】
例 5．已知關于 x 的方程 2 +2( ― 1) + 2 + 6 = 0．
(1)若方程有兩個實根，且一個比 2 大，一個比 2 小，求實數 m 的取值范圍；
(2)若方程有兩個實根 α，β，且滿足0 < < 1 < < 4，求實數 m 的取值范圍；
【答案】(1)( ―∞, ― 1)
(2) ― 7 , ― 5
5 4
【分析】（1）構建函數 ( ) = 2 +2( ― 1) + 2 + 6，根據二次函數圖象列式求解；
（2）根據二次函數圖象結合零點分布分析求解；
【詳解】（1）設 ( ) = 2 +2( ― 1) + 2 + 6，
若方程有兩個實根，且一個比 2 大，一個比 2 小，
則 ( )的大致圖象如圖 1 所示，
可得 (2) < 0，即4 + 4( ― 1) +2 + 6 < 0，解得 < ―1，
所以實數 m 的取值范圍為( ―∞, ― 1)．
（2）若方程有兩個實根 α，β，且滿足0 < < 1 < < 4， ( )的大致圖象如圖 2 所示，
(0) = 2 + 6 > 0
可得 (1) = 4 + 5 < 0 ，解得 ― 75 < < ―
5
，
(4) = 10 + 14 > 0 4
7 5
所以實數 m 的取值范圍為 ― , ― ．
5 4
變式 5-1．若函數 ( ) = ―3 2 +4 ― 1在區間( ―1,1)內恰有一個零點，則實數 的取值范圍為（ ）
A ― 5． ,1 B． ― 5 , 4 C ― 5 ,1 ∪ 4 D ― 2 4． ． ,1 ∪
3 3 3 3 3 3 3
【答案】C
【分析】對 進行討論，即可結合二次函數的性質以及零點存在性定理求解.
【詳解】若 = 0時，4 ― 1 = 0 1，則 = 4，滿足題意，
若 ≠ 0，當 5(1) ( ―1) = ( ―3 ― 5)( ―3 + 3) < 0，解得 ― 3 < < 1且 ≠ 0，此時滿足題意，
若 (1) = ―3 ― 5 = 0時， = ―
5
3，此時 ( ) = 5
2 +4 ― 1 = (5 ― 1)( + 1) = 0，
1
此時方程在( ―1,1)只有一根 = 5，滿足題意，
若 ( ―1) = ―3 + 3 = 0時， = 1，此時 ( ) = ―3 2 +4 ― 1 = ― (3 ― 1)( ― 1) = 0，
1
此時方程在( ―1,1)只有一根 = 3，滿足題意，
當Δ = 16 ― 12 = 0 4，得 = 3時，此時 ( ) = ―4
2 +4 ― 1 = ― (2 ― 1)2 = 0，
1
此時方差的根為 = 2，滿足題意，
5 4
綜上可得 ― 3 ≤ ≤ 1或 = 3
故選：C
變式 5-2．已知函數 ( ) = 2 ― + 2在區間(1,2)有零點，則 的取值范圍是 .
【答案】[2 2,3)
= 2 ― + 2 = = + 2【分析】函數 ( ) 的零點可以轉化為 與函數 放入圖象有交點即可，因此只需確
定 = + 2 再區間(1,2)的范圍即可.
2 2
【詳解】令 ( ) = 0，當 ∈ (1,2)時， = + ≥ 2 = 2 2，
當且僅當 = 2時取等，
且 + 2 < 3，
2
所以若 ( )在區間(1,2)有零點，只需 = 與函數 = + 有交點即可,
所以 的取值范圍是[2 2,3).
故答案為：[2 2,3)
變式 5-3．設函數 ( ) = 2 ― (2 + 1) + 2 ―2( ∈ [ ―2, + ∞))
(1)當 = 1時，對 ∈ [0,2], ( ) > 恒成立，求 m 的取值范圍；
(2)若函數 ( )在 ∈ [2, + ∞)時有兩個零點，求兩個零點之間距離的最小值，并求此時 a 的值．
13
【答案】(1) < ― 4
(2)最小值為5， = 4
【分析】（1）根據條件得到 ( ) = 2 ―3 ― 1，再利用二次函數的性質即可求出結果；
2 +1
2 > 2（ ）根據條件得到Δ = (2 + 1)2 ―4( 2 ―2) > 0且 2 ，從而得到 ≥ 4，再利用| ― |
(2) = 2 ― 4 ≥ 0 2 1
= 9 + 4 ，即可求出結果.
【詳解】（1）當 = 1時， ( ) = 2 ―3 ― 1 =
3
，對稱軸為 2，
3
又因為 ∈ [ ―2, + ∞)，所以，當 = 2時， ( ) ―
13
取到最小值為 4 ，
13
所以 < ― 4 .
（2）因為 ( )在 ∈ [2, + ∞)時有兩個零點，設兩個零點為 1, 2，且 1, 2是方程 2 ― (2 + 1) + 2
―2 = 0的兩根，
2 +1
所以Δ = (2 + 1)2 ―4( 2 ―2) > 0 > 2且 2 ，
(2) = 2 ― 4 ≥ 0
4 + 9 > 0
3
整理得到 > 2 ，所以 ≥ 4，
≥ 4或 ≤ 0
又| ― | = |2 +1― 9+4 ― 2 +1+ 9+4 2 1 = 9 + 4 ，2 2 |
所以| 2 ― 1| ≥ 9 + 4 × 4 = 5，此時 = 4.
【方法技巧與總結】
二次函數零點的分布問題，某些題型可用一元二次方程的韋達定理求解或分類參數法等方法，更一般的方
法是利用二次函數的圖象進行分析求解（多考慮二次函數的開口方向、對稱性、判別式、一些特殊點等
等）
【題型六：比較零點大小】
例 6．已知 + e = e, + 3 = e，則（ ）
A．1 < < < e B．1 < < < e
C．0 < < < 1 D．0 < < < 1
【答案】C
【分析】構造函數 ( ) = + e ， ( ) = + 3 ，由其單調性結合圖象得出大小關系.
【詳解】構造函數 ( ) = + e ， ( ) = + 3 ，
所以 ( ) = + e = e， ( ) = + 3 = e，
因為 = , = e , = 3 均為R上增函數，則函數 ( )， ( )為增函數.
函數 ( )， ( )與函數 = e的圖象，如下圖所示：
由圖可知，0 < < .
又 (1) = 1 + e > ( )， (1) = 1 + 3 > ( )，
所以 < 1, < 1.
綜上，0 < < < 1.
故選：C
變式 6-1．設 > 0，函數 = 2 + ― 7, = 2 + ― 7, = log2 + ― 7的零點分別為 , , ，則（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
【答案】A
【分析】由題意 , , 分別為函數 = ― + 7與函數 = 2, = 2 , = log2 圖象交點的橫坐標，作出函數 =
2, = ― + 7, = 2 , = log2 的圖象，結合函數圖象即可得解.
【詳解】分別令 = 2 + ― 7 = 0, = 2 + ― 7 = 0, = log2 + ― 7 = 0，
則 2 = ― + 7,2 = ― + 7,log2 = ― + 7，
則 , , 分別為函數 = ― + 7與函數 = 2, = 2 , = log2 圖象交點的橫坐標，
分別作出函數 = 2, = ― + 7, = 2 , = log2 的圖象，如圖所示，
由圖可知， < < .
故選：A.
變式 6-2．若 e = ln = lg = 1，則 ， ， 的大小關系為（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
【答案】A
【分析】先由 e = ln = lg = 1可得0 < < 1， > 1， > 1，由 ln = lg = 1，得ln = 1 ，lg =
1
，
在同一個平面直角坐標系作出 = ln ， = lg 和 = 1 的圖象，結合圖象可得結果.
【詳解】因為 e = 1，而當 ≥ 1時， e > 1，當 ≤ 0時， e ≤ 0，
所以0 < < 1，
因為 ln = 1，而當0 < ≤ 1時， ln ≤ 0，所以 > 1，
因為 lg = 1，而當0 < ≤ 1時， lg ≤ 0，所以 > 1，
由 ln = lg = 1，得ln = 1 ，lg =
1
，
所以 為 = ln 和 = 1 1 圖象交點的橫坐標， 為 = lg 和 = 圖象交點的橫坐標，
1
在同一個平面直角坐標系作出 = ln ， = lg 和 = 的圖象，如圖所示，
由圖可得 > > 1
綜上 > > ，
故選：A

變式 6-3．（多選）已知實數 1, 2是函數 ( ) =
1 ―
2 |log2( ― 1)|的兩個零點，則下列結論正確的是
（ ）
A．( 11 ― 1)( 2 ― 1) ∈ 0, B．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈
1 ,1
2 2
C．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈ (1,2) D．( 1 ― 2)( 2 ― 2) ∈ ( ―∞,0)
【答案】BD
( ) = 0 1

【分析】由 得到 =2 |log2( ― 1)|
1
，由 = 2 與 = |log2( ― 1)|的圖象，可以直接判斷1 < 1
< 2 < ( ― 2)( ― 2) < 0 log [( ― 1)( ― 1)] = ― 1
1 1 2
2， 1 2 ；再由 2 1 2 + < 02 2 得到0 < ( 1 ― 1)
3
1
( ― 1) < 1 1 22 ，結合 < 1,2 |log 32 ― 1 | = 1進一步得到2 < ( 1 ― 1)( 2 ― 1) < 1.2

【詳解】令 ( ) = 0 1，則 =2 |log2( ― 1)|
1
，分別作函數 = 與 =2 |log2( ― 1)|的圖象，如圖所示.
不妨設 1 < 2，則由圖可得1 < 1 < 2 < 2，所以( 1 ― 2)( 2 ― 2) < 0成立，故 D 正確.
1 2
因為log2[( 1 ― 1)( 2 ― 1)] = log (
1 1
2 1 ― 1) + log2( 2 ― 1) = ― + < 02 2 ，所以0 < ( 1 ― 1)( 2 ― 1)
< 1，故 C 錯誤.
3
1 2
又因為 < 1 = | 3log 32 ― 1 |，所以2 < 1 < 2 1，即2 < 1 ―1 < 1, 2 ―1 > 1 12 ，所以2 < ( 1 ― 1)( 2 ― 1)2
< 1，故 A 錯誤，B 正確.
故選：BD.
【題型七：嵌套函數零點問題】
例 7．設 ∈ | ― 1|, ≥ 0，函數 ( ) = ― 2 + , < 0 ，當 = 1時，函數 = ( ( ))有 個零點；若函數 =
( ( ))恰有 3 個零點，則實數 的取值范圍為 ．
【答案】 2 ( ― 2,0)
【分析】根據方程的根，結合復合函數，即可求根求解空 1，令 = ( )，先考慮 ≥ 0時，函數
= ( ( ))在[0, + ∞)上有 2 個零點，再考慮 < 0，分 ≥ 0與 < 0兩種情況，結合函數圖象，得到不等
式，求出答案．
【詳解】當 = 1時， ( ) = | ― 1|, ≥ 0― 2 + , < 0 ，令 ( ) = 0，解得 = 1，
令 = ( ( )) = 0，則 ( ) = 1，故 = 0或 = 2，此時 = ( ( ))有 2 個零點，
設 = ( )，當 ≥ 0時， ( ) = | ― 1|，此時 ≥ 0，
由 ( ) = 0得 = 1，即 ( ) = | ― 1| = 1，解得 = 0或 = 2，
所以 = ( ( ))在[0, + ∞)上有 2 個零點，

< 0時，若 ≥ 0， ( ) = ― 2 + ，對稱軸為 = 2，
函數 = ( )的大致圖象如下：
此時 ( ) = ― 2 + < 0，即 < 0，則 ( ) < 0，
所以 ( ) = 0無解，則 = ( )無零點， = ( ( ))無零點，
綜上，此時 = ( ( ))只有兩個零點，不符合題意，
若 < 0，此時 ( )的大致圖象如下：
令 ― 2 + = 0，解得 = < 0，
顯然令 ( ) = 在( ― ∞,0)上存在唯一負解，
要使 = ( ( ))恰有 3 個零點，
只需 = ( ( ))在(0, + ∞)上除 = 0或 = 2外不能再有其他解，
即 ( ) = 1不能再有除 = 0或 = 2外的其他解，
2 2
故 (2) ∈ (0,1) 0 < ―

，即 4 +

2 < 1，解得 ―2 < < 2，所以 ∈ ( ― 2,0)．
故答案為：2，( ― 2,0)
變式 7-1．(多選)已知 > > > 0，定義域和值域均為[ ― , ]的函數 = ( )和 = ( )的圖像如圖所
示，給出下列四個結論，正確結論的是（ ）
A．方程 [ ( )] = 0有且僅有三個解 B．方程 [ ( )] = 0有且僅有二個解
C．方程 [ ( )] = 0有且僅有五個解 D．方程 [ ( )] = 0有且僅有一個解
【答案】ACD
【分析】將內層函數看作一個變量，先由外層函數確定其解的個數情況，再根據內層函數的圖象即可確定
復合函數的解的個數，由此一一判斷各選項，即得答案.
【詳解】對于 A，由題意可知 ( ) = 0時， = 或 = 0或 = ― ，
故方程 [ ( )] = 0時，則 ( ) = 或 ( ) = 0或 ( ) = ― ，
∵ > > 0, ∴ ∈ [ ― , ], ― ∈ [ ― , ]，
又 = ( )在[ ― , ]上單調遞減，故 ( ) = , ( ) = 0, ( ) = ― 都有唯一解，
即方程 [ ( )] = 0有且僅有三個解，故 A 正確；
對于 B，當 ( ) = 0時， = ，
故 [ ( )] = 0時，即 ( ) = ，而 > > > 0，
故由 = ( )圖象可知 ( ) = 有一個解，
即方程 [ ( )] = 0有且僅有一個解，故 B 錯誤；
對于 C， ( ) = 0時， = 或 = 0或 = ― ，
故由 [ ( )] = 0可得 ( ) = 或 ( ) = 0或 ( ) = ― ，
而 > > > 0, ∴ ― > ― > ― ，
故 ( ) = 和 ( ) = ― 各有唯一一個解， ( ) = 0有 3 個解，
故方程 [ ( )] = 0有且僅有五個解，故 C 正確；
對于 D， ( ) = 0時， = ，
故由 [ ( )] = 0可得 ( ) = ，而 > > 0， = ( )在[ ― , ]上單調遞減，
故 ( ) = 有唯一解，
故方程 [ ( )] = 0有且僅有一個解，故 D 正確，
故選：ACD
變式 7-2． = ( )滿足 (2 ― )= ( )，且當 ≥ 1時， ( ) = 2 ―4 + 3
1
，則方程 [ ( )] = ― 2的所有根
之和為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
1
【分析】畫出函數圖象，求出 ( ) = ― 2的解對照圖象求得根之和.
【詳解】由題意得，則 = ( )關于 = 1對稱，其圖像如下
令 = 1( )，則關于 的方程 ( ) = ― 2由 4 個解 1, 2, 3, 4，其中 1 ∈ ( ―1,0), 2 ∈ (0,1), 3 ∈ (1,2), 4 ∈ (2,3)，
關于 的方程 ( ) = 1有四個解，由對稱性可知，其和為 4，
同理：
關于 的方程 ( ) = 2有兩個解，由對稱性可知，其和為 2，
關于 的方程 ( ) = 3有兩個解，由對稱性可知，其和為 2，
關于 的方程 ( ) = 4有兩個解，由對稱性可知，其和為 2，
所以方程 1[ ( )] = ― 2的所有根之和為 10.
故選:D
2
7-3 ( ) = + , ≤ 0,變式 ．已知函數 ― , > 0. 若 ( ( )) = 1恰有三個不同實根，則 的取值范圍是（ ）
A． ―1, 1― 5 B． ―1, 5―3
2 2
C． 3― 5 ,1 D． 5―1 ,1
2 2
【答案】D
【分析】對于嵌套函數的零點問題，一般需要用換元法，再結合函數圖象進行討論.
【詳解】令 ( ) = ，則 ( ) = 1，
①當 > 0時， ( )的圖象如圖所示
若 ( ( )) = 1恰有三個不同實根，則 ( ) = 1一定要有兩個不同的根，
所以0 < ≤ 1，設 ( ) = 1的兩根為 1, 2,且 1 < 2,則一定有 1 ≤ 0, 2 > 0
所以 21 + = 1, 2 ― = 1
解得 = ― 1 ― , = (1 + )21 2
當 > 0時， ( )如圖所示，
若 ( ( )) = 1恰有三個不同實根，
1 ∈ ( ― ,0]則必須有 ― < ― 1 ― ≤ 0 2 ∈ [ , + ∞) ，即 (1 + )2 ≥
解得―1+ 5 < ≤ 1
2
②當 < ―1時，或 > 1時， ( ) = 1只有一個根，
此時 ( ( )) = 1不能有三個不同實根.
③當 ―1 ≤ < 0時，0 < ― ≤ 1，
( )、 ( )的圖象如圖所示，
若 ( ( )) = 1有三個不同的實根

則 1
∈ ( ,0] < ― 1 ― ≤ 0
2 ∈ ( ― , + ∞) ，即 (1 + )2 > ― ，此不等式無解
綜上所述：―1+ 5 < ≤ 1
2
故選：D.
【方法技巧與總結】
求解復合函數 = ( ( ))的零點個數或方程解的個數與范圍問題的策略：
1、先換元解“套”，令 = ( )，則 = ( )，再作出 = ( )和 = ( )的圖象；
2、由函數 = ( )的圖象觀察有幾個 的值滿足條件，結合 的值觀察 = ( )的圖象，求出每一個 被 對
應，將 的個數匯總后，即為 = ( ( ))的根的個數，即“從外到內”.
3、由零點的個數結合 = ( )與 = ( )的圖象特點，從而確定 的取值范圍，進而決定參數的范圍，即“從
內到外”，此法成為雙圖象法（換元+數形結合）.
【題型八：函數零點的綜合問題】
例 8．已知函數 ( ) =
1
2 + ．
(1)是否存在 ∈ ，使得 ( ) + (2 ― )為定值，若存在，求出 m 的值；若不存在，說明理由；
(2)若 = 1 1，方程| ( ) ― | = ( )( ∈ )有兩個根 1， 2，且 1 < 0， 2 > 0，求 1 + 2的取值范圍．2
【答案】(1) =± 2
(2)( ― ∞,0)
【分析】（1）直接計算 ( ) + (2 ― )，則得到關于 的方程，解出即可；
1
（2）首先整理得|2 ― 1| = 2 ，數形結合得0 < < 2，再表示出 1, 2，計算之和即可.

【詳解】（1） ( ) + (2 ― ) = 1 12 + + 22― + =
1 + 22 + 4+ 2
(4+ 2 )+2 (2 = + ) 4
+2 2 +4
(2 + )(4+ 2 ) = 4 +(4+ 2)2 +4 ，
若 ( ) + (2 ― ) 1 2 4為定值則應 = 2 4+ 2 = 4 ，解得 = 4，即 =± 2.
當 = 2時， ( ) + (2 ― ) = 12，當 = ―2時， ( ) + (2 ― ) = ―
1
2.
所以存在 =± 2符合要求.

（2 = 1 1 1 1―2） 時，方程即為| = ― | 2 +1，整理得2 +1 2 |2(2 +1)| = 2 +1，即|2 ― 1| = 2 ，
1
因為方程有兩個根 1 < 0, 2 > 0，由圖象可知，0 < 2 < 1，即0 < < 2，
且 ― 2 1 +1 = 2 ，得 1 = log2(1 ― 2 )，同理有2 2 ―1 = 2 ，得 2 = log2(1 + 2 )，
所以 1 + 2 = log2(1 ― 2 ) + log2(1 + 2 ) = log2(1 ― 4 2)，
由0 < < 12，得 1 + 2 < 0，所以 1 + 2的取值范圍是( ― ∞,0).
變式 8-1．已知函數 ( ) = 3 + 2 + + ，且 ―3 < ( ―1) = (1) = (2) ≤ 0，則 的取值范圍是 .
【答案】( ―1,2]
【分析】設 ( ―1) = (1) = (2) = ，由此可得 ( ) ― = ( + 1)( ― 1)( ― 2)，比較可得 = + 2，
由條件可求其范圍.
【詳解】由題意，設 ( ―1) = (1) = (2) = ，則 ―1,1,2是方程 ( ) ― = 0的3個根，
又 ( ) = 3 + 2 + + ，則 ( ) ― = ( + 1)( ― 1)( ― 2)，
即 ( ) = ( + 1)( ― 1)( ― 2) + ，且 ―3 < ≤ 0，
所以 ( ) = 3 ―2 2 ― + + 2，故 = ―2, = ―1, = + 2，
由 ―3 < ≤ 0，得 ―1 < + 2 ≤ 2，即 ―1 < ≤ 2，
故 的取值范圍是( ―1,2].
故答案為：( ―1,2].
變式 8-2．函數 ( ) = + log2 ― 4的零點為 1，函數 ( ) = + log ( ― 1) ―5( > 1)的零點為 2，若 2 ―
1 > 1，則實數 的取值范圍是（ ）
A．(1, 2) B．(1,2) C．( 2, + ∞) D．(2, + ∞)
【答案】D
【分析】
根據函數單調性,再由 2 ― 1 > 1確定范圍,即可確定實數 的取值范圍.
【詳解】
已知 ( ) = + log2 ― 4, ( ) = + log ( ― 1) ―5( > 1),
函數 ( ) = + log2 ― 4的零點為 1，可得 1 > 2,
函數 ( ) = + log ( ― 1) ―5( > 1)的零點為 2，
則 1 + log2 1 ―4 = 2 + log ( 2 ― 1) ―5 = 0
1 + log2 1 ― 4 = 2 ― 1 + log ( 2 ― 1) ― 4
1 + log2 1 = 2 ― 1 + log ( 2 ― 1)
1 < 2 ― 1
又因為 = + log2 , = + log ( ― 1) ―1( > 1)這兩函數均單調遞增，
當 1 < 2 ―1時，log2( 2 ― 1)>log2 1>log ( 2 ― 1),解得 > 2.
故選:D.
變式 8-3．函數 ( ) = e ( ― 1) ― ― 1的所有零點之和為（ ）
A．0 B．-1 C． 3 D．2
【答案】A
【分析】令 ( ) = 0，即e ( ― 1) ― ― 1 = 0，構造函數 = e =
+1
與函數 ―1，畫出函數圖象，可知兩個函
數圖象相交于兩點，設為 1, 2，得 ( 1) = ( ― 1) = 0，進而得到 2 = ― 1，即 1 + 2 = 0
【詳解】由零點定義可知，函數的零點，就是方程 ( ) = 0的實數根，令 ( ) = 0，
則e ( ― 1) ― ― 1 = 0，顯然 ≠ 1，所以e =
+1
―1，
+1 +1
構造函數 = e 與函數 = ―1，則方程e
= ―1的根，
可轉化為兩個函數圖象的交點問題，根據圖象可知，兩個函數圖象相交于兩點，
所以此方程有兩個實數根，即函數 ( ) = e ( ― 1) ― ― 1有兩個零點，
+1 +1
設為 1, 2，所以e 1 =
1 2 2
1―1
，e = 2―1，
即 ( 1) = e 1( 1 ― 1) ― 1 ―1 = 0, ( ) = e 22 ( 2 ― 1) ― 2 ―1 = 0，
另外發現，將 ― 1代入，可得 ( ― 1) = e― 1( ― 1 ― 1) ― ( ― 1) ―1 =
―( 1+1) + ―1 = ―( 1+1) + 1+1e 1 1 e 1 e 1
= 0，
所以 ― 1也是函數 ( )的零點，說明 2 = ― 1，即 1 + 2 = 0.
故選:A.
變式 8-4．若實數 ， 滿足 e = 2， ln = 2，則 = （ ）
A．e 1B．1 C．2 D．2
【答案】D
2 2 2
【分析】由已知可得 是方程e = 的解， 是 = e
與 = 圖象交點的橫坐標，同理 是 = ln 與 = 圖象
2
交點的橫坐標，在同一直角坐標系中作出 = e ， = ln ， = 的圖象，根據互為反函數的兩個函數圖象
關于直線 = 對稱以及 = 2 的圖象也關于直線 = 對稱，可得兩個交點也關于直線 = 對稱，即可得求
解.
【詳解】由 e = 2可得e = 2 2 ，所以 是方程e = 的解，
即 是 = e = 2與 圖象交點的橫坐標，
2
由 ln = 2可得ln = ，所以 是方程ln =
2
的解，
即 是 = ln 與 = 2 圖象交點的橫坐標，
2
在平面直角坐標系中分別作出 = e ， = ln ， = 的圖象如圖所示，
因為 = e 與 = ln 互為反函數，圖象關于直線 = 對稱，
而 = 2 的圖象也關于直線 = 對稱，
, 2 2所以兩個交點 ， , 關于直線 = 對稱，

= 2
所以 2 ，可得 = 2，=

故選：D
變式 8-5．已知函數 ( ) = log2(2 + ) ― ．
(1)若 (2) < 0，求 的取值范圍；
(2)若 ( ) = 有兩個不相等的實根 1, 2，且 1 < 2
①求 的取值范圍；
②證明： ( 1 + 1) + ( 2 ― 1) < ―1．
【答案】(1) ―4 < < 0
(2)① ∈ ― 1 ,0 ；②證明見解析
4
【分析】（1）得到不等式log2(4 + ) ― 2 < 0，結合函數單調性得到不等式，求出答案；
（2）①變形得到(2 )2 ― 2 = ，即 = 與 = 2 ― 有兩個不同的交點，根據 = 2 ― 的單調性和圖
象，數形結合得到答案
②根據①得到2 1 + 2 2 = 1，2 1 2 2 = 2 1+ 2 = ― 1，且滿足 ∈ ― ,0 ，即 < ―1 < < 0，計算出
4 1 2
( 1 + 1) + ( 2 ― 1) = log
3
2 2 2 ― 1 ― ，2
又(2 2)2 ― 2 2 = 1，代入后求出 ( 1 + 1) + ( 2 ― 1) = log ― 22 +
5
2 2 2 2 ― 1 < log22 = ―1.2
【詳解】（1）由 (2) < 0可得log2(4 + ) ― 2 < 0，所以log2(4 + ) < log24，
4 + > 0
即 4 + < 4 ，解得 ―4 < < 0．
（2）①因為 ( ) = 有兩個不相等的實根，即log (2 2 + ) = 2 有兩個不相等的實根，
log (2 + ) = 2 log (2 2 2 + ) = log222 ，
即(2 )2 ― 2 = ，設 = 2 ∈ (0, + ∞)，即 = 與 = 2 ― 有兩個不同的交點，
其中當 ∈ (0,12)時， =
2 ― 單調遞減，
當 ∈ 1 , + ∞ 時， = 2 ― 單調遞增，
2
1
其中 min = ― 4，當 = 0時， = 0，
1
結合圖像可知 ∈ ― ,0 ；
4
②由①可知(2 )2 ― 2 ― = 0，所以2 1 + 2 2 = 1，2 1 2 2 = 2 1+ 2 = ― ，
∈ ― 1且滿足 ,0 ，0 < 2 1 <
1 < 2 22 < 1，即 1 < ―1 < 2 < 0．4
( 1 + 1) + ( 2 ― 1) = log (2( 1+1)2 + ) ― ( 1 + 1) + log (2( 2―1)2 + ) ― ( 2 ― 1)
1
= log2 (2 2 1 + ) 2 22 + ― ( 1 + 2)
= log2 2 1 2 2 + 2 2 1 + 1 2 2 + 2 ― log2 2( ― )，
= log 2 + 1 ― 32 2 2 ― log2( ― ) = log 32 2 2 ― 1 ― ，2 2
又(2 2)2 ― 2 2 = ，
所以 ( + 1) + ( ― 1) = log 3 2 2 2 ― 1 + 2 2 ― 22 1 2 22
2
= log2 ― 22 + 52 2 2 ― 1 = log ― 2 2 ― 5 + 92 2 ，4 16
1 2
因為2 < 2
2 < 1 ― 3 < 2 2 ― 5 < ― 1 1 5 9，所以 4 4 4，
2
16 < 2 ― <4 16，
2
故log 12 ― 2 2 ― 5 + 9 < log4 16 22 = ―1．
【點睛】函數零點問題：將函數零點問題或方程解的問題轉化為兩函數的圖象交點問題，將代數問題幾何
化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數圖象，包括指數函數，對數函數，冪函
數，三角函數等，還要熟練掌握函數圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，
通?？紤]圖象的對稱性進行解決.
一、單選題
1．已知函數 = 2 2 + + 的兩個零點分別為 ―2，1，則函數的解析式為（ ）
A． = 2 2 ―2 ― 4 B． = 2 2 +2 ― 4
C． = 2 2 ―2 + 4 D． = 2 2 +2 + 4
【答案】B
【分析】根據題意， = ―2, = 1是方程2 21 2 + + = 0的兩個根，進而可以求 , .
【詳解】依題意， 1 = ―2, 2 = 1是方程2 2 + + = 0的兩個根
8 ― 2 + = 0
代入可得 2 + + = 0 ，
解得 = 2, = ―4
所以 = 2 2 +2 ― 4
故選：B
2.函數 ( ) = 2 +4ln ― 10的零點所在區間為（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】C
【分析】先驗證函數 ( )的單調性，再代入 (2), (3)驗證，由零點存在定理得到零點所在區間.
【詳解】當 > 0時，設 1 > 2，
則 ( 21) ― ( 2) = 1 ― 22 +4(ln 1 ― ln 2) > 0，
故 ( )在(0, + ∞)上是單調遞增函數；
又 (2) = 4 + 4ln2 ― 10 < 4 + 4lne ―10 < 0， (3) = 9 + 4ln3 ― 10 > 0，
由零點存在定理可知，函數 ( )的零點所在的區間為(2,3).
故選：C.
1, > 0
3.已知符號函數sgn( ) = 0, = 0 ，則函數 ( ) = sgn(2ln ) ― ln(2 ― 1)的零點個數為（ ）
―1, < 0
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先分段寫出 = sgn(2ln )的解析式，然后分類求方程sgn(2ln ) = ln(2 ― 1)的根即可.
【詳解】令 ( ) = 0，則sgn(2ln ) = ln(2 ― 1)
1, > 1
= sgn(2ln ) = 0, = 1 ，
―1,0 < < 1
當 > 1時，若ln(2 ― 1) = 1，得 = e+12 ，符合；
當 = 1時，若ln(2 ― 1) = 0，得 = 1，符合；
當0 < < 1 1 1時，若ln(2 ― 1) = ―1，得 = 2e + 2，符合；
故函數 ( ) = sgn(2ln ) ― ln(2 ― 1)的零點個數為3.
故選：C.
4.已知函數 ( ) = min 1 + 2 ,log 2 ，若函數 ( ) = ( ) ― 恰有兩個零點，則 的取值范圍為（ ）
A．(0,1) B．(0,1] C．[1,2) D．(1,2)
【答案】D
2
【分析】畫出 ( ) = min 1 + ,log 2 圖像,數形結合即可求解.
【詳解】作函數 ( )的圖像如下，
函數 ( ) = ( ) ― 恰有兩個零點可轉化為 = ( )與 = 有兩個不同的交點，
故1 < < 2.
故選:D.
5.已知函數 ( )的定義域為 R，且 ( ) = (2 ― )．若函數 ( ) = ( ) + | 2 ― 2 |有唯一零點，則 (1) =
（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】轉化為兩函數圖象交點問題，函數圖象對稱軸都為 = 1且兩函數圖象只有唯一交點即可知交點橫
坐標為 1 得解.
【詳解】因為函數 ( )的定義域為 R，且 ( ) = (2 ― )，
所以函數 ( )的圖象關于 = 1軸對稱，
由 ( ) = ( ) + | 2 ― 2 |有唯一零點知， ( ) = ― | 2 ― 2 |有唯一根，
即 = ( )與 ( ) = ― | 2 ― 2 |的圖象有唯一交點，
而 ( ) = ― | 2 ― 2 |圖象關于 = 1對稱，
所以 (1) = (1) = ―1.
故選：A
6.已知 1是函數 ( ) = + 1 + ln( + 2)的零點， 2是函數 ( ) = 2 ―2 + 4 + 4的零點，且滿足| 1 ―
2| ≤ 1，則實數 的最小值為（ ）
A． ―2 B． ―1
C．0 D．1
【答案】B
【分析】根據題意得出 1 = ―1，從而可得出方程 2 ―2 + 4 + 4 = 0在[ ―2,0]上有解，然后轉化為2 =
2+4
―2 在[ ―2,0]上有解.通過換元 = ― 2，轉化為求函數的最小值即可.
【詳解】由題意可知 1 = ―1，
因為| 1 ― 2| ≤ 1，所以| ―1 ― 2| ≤ 1，即 ―2 ≤ 2 ≤ 0，
即方程 2 ―2 + 4 + 4 = 0在[ ―2,0]上有解，
2
2
―2 + 4 + 4 = 0 2 = +4由 ，得 ―2 ，
= ― 2 2 = ( +2)
2+4 8
令 ，則 = + +4， ∈ [ ― 4, ― 2]，
令 ( ) = + 8 +4， ∈ [ ― 4, ― 2]，
由對勾函數性質可知 ( )在[ ― 4, ― 2 2]上遞增，在[ ― 2 2, ― 2]上遞減，
所以 ( )min = ( ― 4) = ( ― 2) = ―2，
所以(2 )min = ―2，即 min = ―1.
故選：B.
7.已知函數 ( ) = 2 + ， ( ) = log2 + ， ( ) = 3 + 的零點分別為 a，b，c，則（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
【答案】D
【分析】利用數形結合思想來作圖分析零點大小.
【詳解】由函數零點可知：2 + = 0 2 = ― ，log2 + = 0 log = ― ， 32 + = 0 3 = ―
利用數形結合，構造三個函數 1 = 2 , 2 = log2 , 3 = 3,它們與 = ― 的交點橫坐標就是對應的三個零點
, , .
由圖可知： < < ，
故選：D.
8.已知函數 ( ) = |log2 |,0 < ≤ 2 2 ― 6 + 9, > 2 ，若方程 ( ) = 有四個不同的零點 1， 2， 3， 4且 1 < 2 < 3 <
4，則下列結論錯誤的是（ ）
A．0 < < 1 B．2 1 + 2 ≥ 2 2
C． 1 2 + 3 + 4 = 6 D．3 <
9
1 +2 2 < 2
【答案】C
1
【分析】在同一直角坐標系內作出 = ( )和 = 的圖象，結合圖象，可判定 A 正確；再由圖象得到2 <
1 < 1 < 2 < 2 < 3 < 3 < 4 < 4且 1 2 = 1， 3 + 4 = 6，結合選項，逐項判定，即可求解.
|log |,0 < ≤ 2
【詳解】如圖所示，在同一坐標系內作出函數 ( ) = 2 2 ― 6 + 9, > 2 和 = 的圖象，
由圖象知，要使得方程 ( ) = 有四個不同的零點，只需0 < < 1，所以 A 正確；
1 1
對于 B 中，因為 (2) = |log2 | = 1, (2) = |log22| = 1, (4) = 42 ―6 × 4 + 9 = 1，2
且函數 = 2 ―6 + 9關于 = 3對稱，
1
由圖象得2 < 1 < 1 < 2 < 2 < 3 < 3 < 4 < 4，且 ― log2 1 = log2 2, 3 + 4 = 6，
1
所以log2 2 + log2 1 = log2( 1 2) = 0，可得 1 2 = 1，則 1 = ，2
2
所以2 1 + 2 = + 2，其中1 < 2 < 2，2
令 ( ) = +
2
≥ 2
2 = 2 2，當且僅當 = 2時，取得最小值2 2，

所以2 1 + 2 ≥ 2 2，所以 B 正確；
對于 C 中， 1, 2是|log2 | = (0 < < 1)的兩個根，
所以 ― log2 1 = log2 2，即log2 1 + log2 2 = 0，所以 1 2 = 1，
由 23, 4是 ―6 + 9 = 0(0 < < 1)的兩個根，所以 3 + 4 = 6，
所以 1 2 + 3 + 4 = 7，所以 C 不正確；
1
對于 D 中，由 1 2 = 1，可得 1 +2 2 = +2 2,(1 < 2 < 2)，2
令 ( ) = 2 +
1
,(1 < 2 < 2)，可得函數 ( )在(1,2)上單調遞增，
所以 9( ) > (1) = 3，即 1 +2 2 > 3， ( ) < (2) = 2，所以 D 正確.
故選：C.
二、多選題
9 2．下列區間上，函數 ( ) = ln( + 1) ― 有零點的是（ ）
A．( ― 1,0) B． 0, 1 C 1． ,1 D．(1, + ∞)
2 2
【答案】AD
【分析】根據零點存在定理結合函數單調性分析即可.
【詳解】由題意得 + 1 > 0且 ≠ 0，解得 > ―1且 ≠ 0，
則該函數的定義域為( ―1,0) ∪ (0, + ∞)，
當 ∈ ( ―1,0)時， → ― 1時， ( )→ ― ∞；當 →0時， ( )→ + ∞，
2
又因為函數圖象在( ―1,0)連續不間斷，且 = ln( + 1), = ― 在( ―1,0)上均單調遞增，
則 ( ) = ln( + 1) ― 2 在( ―1,0)上單調遞增，
則 ( )在( ―1,0)上存在唯一零點 1，使得 ( 1) = 0；
當 ∈ (0, + ∞)時，因為 (1) = ln2 ― 2 < 0，且 → + ∞時， ( )→ + ∞，
2
又因為函數圖象在(0, + ∞)連續不間斷，且 = ln( + 1), = ― 在(0, + ∞)上均單調遞增，
則 ( ) = ln( + 1) ― 2 在(0, + ∞)上單調遞增，
則 ( )在(1, + ∞)上存在唯一零點 2，使得 ( 2) = 0；
綜上，AD 正確，BC 錯誤.
故選：AD.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是靈活運用零點存在定理和函數單調性相關結論，同時需要有一定的極限
思想，最后即可得到函數零點所在區間.
2
10. ( ) = ( ― 1) ― 4, < 已知函數 ln( ― 1), > > 1 ，下列敘述正確的有（ ）且
A．若 < ―1，則 ( )只有一個零點
B．若 > ―1，則 ( )有兩個零點
C．若 = 2，則方程2[ ( )]2 +5 ( ) = 0有兩個實根
D．若 = 1，則方程[ ( )]2 +8 ( ) ― = 0有兩個實根
【答案】AC
【分析】由分段函數的性質，根據二次函數、對數函數的圖象，結合各選項的參數 m 及數形結合的思想，
判斷零點情況，以及關于 ( )的方程根的情況即可.
( ― 1)2 ― 4, ≤
【詳解】對 A， < ―1有 ( ) = ln( ― 1), > 1 ，在 ≤ 上， ( )無零點；
在 > 1上，當 = 2時 ( ) = 0，故 ( )只有一個零點，故 A 正確；
2
對 B，當 = 2 ( ) = ( ― 1) ― 4, ≤ 2時有 ln( ― 1), > 2 ，在 ≤ 2上， ( ― 1) = 0；
在 > 2上 ( )無零點；故 > ―1時 ( )可能只有一個零點，故 B 錯誤；
對 C， = 2時，2[ ( )]2 +5 ( ) = 0可得 ( ) = 0或 ( ) = ― 52，而 ( )的圖象如下圖示，
由圖象知 ( ) = 0或 ( ) = ― 52各有 1 個根，故方程有兩個實根，故 C 正確；
對 D， = 1時，[ ( )]2 +8 ( ) ― 1 = 0可得 ( ) = ―4 ± 17，
又 ―4 + 17 > 0 > ―4 > ―4 ― 17，且 ( )的圖象如下圖示，
故此方程有三個實根，故 D 錯誤.
故選：AC
11.已知方程e + = 0與 + ln = 0的根分別為 1, 2，則下列說法正確的是（ ）
1
A． 1 + 2 = 0 B．2 < 2 < 1
C．ln 2 = 1 D．4 1 2 ―1 > 2( 1 ― 2)
【答案】ABC
【分析】對于 A：利用函數圖象的對稱性來判斷；對于 B：利用零點存在定理來判斷；對于 C：直接計算可
得答案；對于 D：做差判斷大小.
【詳解】對于 AC，方程e + = 0與 + ln = 0的根分別為 1, 2，
即 = e 與 = ― 的交點橫坐標為 1， = ln 與 = ― 的交點橫坐標為 2，
由題知e 1 = ― 1，ln 2 = ― 2，
= e 與 = ln 的圖象關于 = 對稱，與 = ― 相交可得點( 1,e 1)與點( 2,ln 2)關于 = 對稱，
所以 1 = ln 2 = ― 2，即 1 + 2 = 0，故 AC 正確；
1
設 ( ) = e + ，明顯其單調遞增，又 ― 1 = e―
1
2 ― 2 > 0,
1
( ―1) = e ―1 < 02
1 1
對于 B，由零點存在定理可知 ―1 < 1 < ― 2，根據對稱性可得2 < 2 < 1，B 正確；
對于 D，由 B 選項知，2 1 +1 < 0,2 2 ―1 > 0
則4 1 2 ―1 ― 2 1 +2 2 = (2 1 + 1)(2 2 ― 1) < 0，所以4 1 2 ―1 < 2( 1 ― 2)，D 錯誤，
故選：ABC.
三、填空題
12．已知方程lg = 3 ― 的解所在區間為( , + 1)( ∈ N*)，則 = .
【答案】2
【分析】構造函數 ( )，代入 (2), (3)，再結合零點存在定理解答即可；
【詳解】構造函數 ( ) = lg ― 3 + ，則 ( )在(0, + ∞)為增函數，
則 (2) = lg2 ― 1 < 0, (3) = lg3 > 0，
由零點存在定理可得函數的零點在(2,3)之間，
所以 = 2，
故答案為：2.
13.已知函數 ( ) = 2 ―2 + 2 ―1的兩個零點都在 ―2，4 內，則實數 的取值范圍為 ．
【答案】 ―1，3
【分析】把函數兩點零點都在 ―2，4 轉化為函數值正負,列不等式求解即可.
【詳解】因為函數 ( ) = 2 ―2 + 2 ―1的兩個零點都在 ―2，4 內，
> 0， 4 2 ― 4( 2 ― 1) > 0，
( ― 2) > 0， 4 + 4 + 2 ― 1 > 0所以 ， (4) > 0 即， 16 ― 8 + 2 ― 1 > 0，
―2 < < 4， ―2 < < 4，
解得 ―1 < < 3，所以 的取值范圍為 ―1，3
故答案為: ―1，3
14.已知偶函數 ( )滿足 ( + 1) = ( ― 1)，當 ∈ [ ―1,0]時， ( ) = 2，方程 ( ) ― log | | = 0有 10 個
根，則實數 的取值范圍是 .
【答案】(5,7)
【分析】先給出 ( + 2) = ( )，故 2 為函數的周期，因為函數 ( ) = ( ) ― log | |為偶函數，所以方程
( ) = log 在(0, + ∞)上有 5 個根，結合圖象求解．
【詳解】解：由題意知偶函數 ( )滿足 ( + 1) = ( ― 1)，
即 ( + 2) = ( )，故 2 為函數的周期；
因為函數 ( ) = ( ) ― log | |為偶函數，所以方程 ( ) = log 在(0, + ∞)上有 5 個根，
作出函數 = ( )在(0, + ∞)上的圖象，如圖：
> 1
結合圖象可知需滿足 log 5 < 1 ，即實數 a 的取值范圍是(5,7)
log 7 > 1
故答案為：(5,7)
四、解答題
15．已知集合 = { | 2 +(2 ― 2) ― 2 + 3 = 0}, = { | ―3 < < 2 }，且 ∩ = ，求實數 的取值范
圍.
【答案】 ― 2 < <
9
4.
【分析】按集合 A 是空集和不是空集分類，結合一元二次方程實根分布規律求出 的范圍.
【詳解】由 ∩ = ，得 ，令 ( ) = 2 +(2 ― 2) ― 2 + 3，
當 = 時，Δ = (2 ― 2)2 ―4( ― 2 + 3) = 4 2 ―8 < 0，解得 ― 2 < < 2，
( ― 3) > 0 ―8 + 18 > 0
當Δ = 4 2 ―8 ≥ 0，即 ≤ ― 2或 ≥ 2時， (2) > 0 ，則 2 + 3 > 0 ，
―3 < ― + 1 < 2 ―4 < ― < 1
解得 ―1 < < 9 94，因此 2 ≤ < 4，
9
所以實數 的取值范圍是 ― 2 < < 4.
16.已知函數 = ( )，其中 ( ) = | 2 ― 2 ― 3|．
(1)直接寫出 ( )的零點；
(2)討論關于 x 的方程 ( ) = 的解的個數；
(3)若方程 ( ) = 有四個不同的根 1， 2， 3， 4，直接寫出這四個根的和．
【答案】(1)－1 和 3；
(2)答案見解析
(3) 1 + 2 + 3 + 4 = 4．
【分析】（1）利用函數零點的定義直接解方程求解即可；
（2）將問題轉化為 = ( )與直線 = 的交點個數，畫出 ( )的圖象，結合圖象求解即可；
（3）由圖象可知，函數 = ( )的圖象關于直線 = 1對稱，從而可求得結果.
【詳解】（1）解方程 ( ) = 0，即| 2 ― 2 ― 3| = 0，
解得 = ― 1或 = 3，
所以，函數 = ( )的零點為－1 和 3；
（2）則函數 = ( ) = | 2 ― 2 ― 3|的圖象如下圖所示：
方程 ( ) = 的解的個數等于函數 = 和 = ( )圖象的交點個數，如下圖所示：
當 < 0時，方程 ( ) = 無實根；
當 = 0或 > 4時，方程 ( ) = 有 2 個實根；
當0 < < 4時，方程 ( ) = 有 4 個實根；
當 = 4時，方程有 3 個實根．
（3）由圖象可知，函數 = ( )的圖象關于直線 = 1對稱，
因此 1 + 2 + 3 + 4 = 4．
17.已知 ( ) = 2 + + 2, ∈ .定義點集 與 = ( )的圖象的公共點為 在 ( )上的截點.
(1)若 = ―1, = {( , )∣ = 3, ∈ }, 在 ( )上的截點個數為0.求實數 的取值范圍；
(2)若 = 1, = {( , )∣ = 2, ∈ (0,2)}, 在 ( ) + | 2 ― 1|上的截點為( 1,2)與( 2,2).
（i）求實數 的取值范圍；
1 1
（ii）證明：2 < + < 4.1 2
【答案】(1) ―∞, ― 1
4
(2)（i） ― 72 < < ―1；（ii）證明見解析
【分析】（1）由題意轉化為 2 ― + 2 = 3無解，判斷可得 ≠ 0，則Δ < 0，即可求出 的取值范圍；
（2）（i）依題意可得方程 ( ) + | 2 ― 1| = 2在(0,2)上有兩個解，可化為函數 ( ) = 2 + + | 2 ―1|在
(0,2)上有兩個零點的問題，去掉絕對值，討論函數的單調性，求出 ( )在(0,2)上存在兩個零點時 的取值
1 1 1 1
范圍；（ii）由（i）可得 = ― 和 = ―2 2，消去 ，即可得到 + = 2 2，結合 2的范圍即可證明.1 2 1 2
【詳解】（1）當 = ―1時， ( ) = 2 ― + 2，
因為 = {( , )∣ = 3, ∈ }, 在 ( )上的截點個數為0，
關于 的方程 2 ― + 2 = 3無實數解，即 2 ― ― 1 = 0無實數解，
易知 ≠ 0，所以Δ = 1 + 4 < 0，解得 < ― 14，
即 的取值范圍是 ―∞, ― 1 .
4
（2）（i）當 = 1時， ( ) = 2 + + 2，
因為 = {( , )∣ = 2, ∈ (0,2)}, 在 ( ) + | 2 ― 1|上的截點為( 1,2)與( 2,2)，
所以關于 的方程 ( ) + | 2 ― 1| = 2在(0,2)上有兩個解 1， 2，
即 2 + + | 2 ― 1| = 0在(0,2)上有兩個解 1， 2，
不妨設0 < 1 < 2 < 2，
( ) = 2 + + | 2 ― 1| = + 1,| | ≤ 1,令 2 2 + ― 1,| | > 1.
因為 ∈ (0,1]時， ( ) = + 1，所以 ( ) = 0在(0,1]上至多一個解，
若 1, 2 ∈ (1,2)，則 1， 2就是2 2 + ― 1 = 0的解，
從而 1 2 = ―
1
2 < 0，這與題設矛盾.
因此 1 ∈ (0,1]， 2 ∈ (1,2)，
1
由 ( 1) = 0得 = ― ，所以 ≤ ―1，1
1
= 0 = ―2 ― 7由 ( 2) 得 2，所以 2 < < ―1，2
― 7當 2 < < ―1時，方程 ( ) + |
2 ― 1| = 2在(0,2)上有兩個解.
1 1 1 1
（ii）由 = ― 和 = ―2 2消去 得 +1 2 1 = 2 ，2 2
1 1
因為 2 ∈ (1,2)，所以2 < +1 < 4.2
【點睛】關鍵點點睛：令 ( ) = 2 + + | 2 ― 1| = + 1,| | ≤ 1,2 2 + ― 1,| | > 1. 去掉絕對值號，根據一次函數及
二次函數的圖象與性質，分析函數零點，求出參數 的取值范圍是解題的關鍵.
18.已知函數 ( ) = 2 ―2 + 1．
1
(1)當 = 2， ∈ [0,2]時，求函數 ( )的值域；
(2)當 = 1時
(2 )
（?。┤舨坏仁?4 ≥ 對任意的 ∈ [1, + ∞)恒成立，求實數 m 的取值范圍；
（ⅱ）若函數 ( ) = (|log2 |) ― (|log2 | ― 1)有 3 個零點，求實數 k 的值．
【答案】(1)[34,3]；
≤ 1(2)（?。?4；（ⅱ） ―1.
【分析】（1）求出二次函數在閉區間上的最值即可得函數的值域.
（2）（?。┝? = ≥ 2，求出關于 的函數的最小值即可；（ⅱ）由 ( ) = 0求出|log2 |，再由零點個數求
出 值.
1 2
【詳解】（1）當 = 2時， ( ) =
2 ― + 1 = ( ― 1 ) + 3
2 4，
當 ∈ [0,2]時， ( )min = (
1 3
2) = 4， ( )max = (2) = 3，
所以函數 ( ) 3的值域為[4,3].
（2）（ⅰ）當 = 1時， ( ) = 2 ―2 + 1，
2
當 ∈ [1, + ∞) (2 )時，令2 = ≥ 2， 4 =
( ) = 1 ― 2 + 1 2 2 = (1 ―
1 ) ，0 < 1 ≤ 1 2，
1 1 1 2= = 2 [(1 ― ) ] = 1 (2
) 1 1
于是當 2，即 時， 4，即 4 在
∈ [1, + ∞)的最小值為4，則 ≤min 4，
m ≤ 1所以實數 的取值范圍是 4.
（ⅱ）依題意， ( ) = |log2 |2 ―2|log2 | + 1 ― |log2 | + = (|log2 | ― 1)(|log2 | ― ― 1)，
由 ( ) = 0，得|log 12 | = 1或|log2 | = + 1，由|log2 | = 1，解得 = 2或 = 1，
1
顯然2和 1 是函數 ( )的兩個零點，由函數 ( )有 3 個零點，知 + 1 ≠ 1，
因此|log2 | = + 1只有 1 個根，則 + 1 = 0，解得 = ―1，
所以實數 k 的值為 ―1.
19．已知函數 ( ) = 3 ―4 + 3 2．
(1)當 = 1 5時，求 ，并判斷函數 ( )零點的個數；
4
2
(2) 1 2當 ∈ ,1 時， ( )有三個零點 1, 2, 3,( 1 < 2 < 3)，記 ― = 3 ， = 1，2，3．證明：①2 < 3 1
+2 2 +3 3 < 5
11
；② 1 3 + 2 3 < 81．
參考公式：( ― 1)( ― 2)( ― 3) = 3 ― ( 1 + 2 + ) 23 + ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ― 1 2 3．
【答案】(1)3
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）用零點的定義直接轉化為方程的根，或者根據零點的存在性定理判斷即可．
（2）①先運用零點知識確定 1, 2, 3范圍，再運用不等式的性質算出即可.
2
②由 3
2
―4 +3 2 = 0
― 4 變形為 2 3 + 3 = 0，綜合 = ―
2 = 4―3 ，將
3 9 轉化為
，然后將證明 的

式子轉為研究 的關系式，充分運用前問證明的 1 + 2 + 3 = 0進行消元，再用 ―3 < 1 < 0 < 2 < 1 < 3
< 2范圍，即可證明．
【詳解】（1）當 = 1時， ( ) = 3 ―4 + 3 5
3
，所以 = ― ．
4 64
( ) = 0 ( ― 1)( 2 + ― 3) = 0 = 1 ―1± 13令 可得 ，所以 或 ，2
所以函數 ( )的零點個數為 3．
5 3
法 2：當 = 1時， ( ) = 3 ―4 + 3，所以 = ―
4 64
．
又 ( ―3) = ―12 < 0， (0) = 3 > 0， (2) = 3 > 0，
所以 ( ―3) (0) < 0， (0) 5 < 0 5， (2) < 0，
4 4
由零點存在性定理知函數 ( )在區間( ―3,0)， 0, 5 5， ,2 上各有一個零點．
4 4
又三次函數最多只有三個零點，所以函數 ( )零點的個數為 3．
（2）①由題可得 1 + 2 + 3 = 0，
法 1：要證 1 +2 2 +3 3 ∈ (2,5)，只需證 2 +2 3 ∈ (2,5)．
又 ( ―3) = 3 2 +12 ― 27 < 0， (0) = 3 2 > 0， (1) = 3 2 ―4 + 1 = (3 ― 1)( ― 1) < 0，
(2) = 3 2 ―8 + 8 > 0，所以 ―3 < 1 < 0 < 2 < 1 < 3 < 2，則2 < 2 3 < 4，
所以2 < 2 +2 3 < 5，得證；
法 2：要證 1 +2 2 +3 3 ∈ (2,5)，只要證 3 ― 1 ∈ (2,5)．又 ( ―3) = 3 2 +12 ― 27 < 0，
( ―1) = 3 2 +4 ― 1 > 0， (1) = 3 2 ―4 + 1 = (3 ― 1)( ― 1) < 0， (2) = 3 2 ―8 + 8 > 0，
所以 ―3 < 1 < ―1 < 2 < 1 < 3 < 2，則2 < 2 3 < 4，所以2 < 2 +2 3 < 5，得證；
②由題可得 3 2 2 ―4 +3 = 0，由前面知道 ≠ 0，兩邊除以所以3 ，
2 4 2 2 4―3
得到 2 ― 3 + 3 = 0，所以 = ― = 3 9 ．
4―3 1 4―3 2 4―3 3 4 1+ 2+ 3 4
所以 1 + 2 + 3 = 9 + 9 + 9 = 3 ― 3 = 3．
因為 3 > 1
4―3 3 1
，所以 3 = 9 < 9．
所以 1 3 + 2
1 11
3 = ( 1 + 2) 3 =
4 ― 4 13 3 < ― 9 = 81，得證．3 3 9
【點睛】關鍵點睛：本題圍繞零點和方程的根來進行考查，第一問可解，可用存在性定理證明，也可以借
助圖像解出．第二問也是考查零點與不等式的綜合，得出 ―3 < 1 < ―1 < 2 < 1 < 3 < 2．最后一問關鍵
3 2
2
是將 ―4 +3 2
4 = 0 2 4―3 變形為 2 ― 3 + = 0，結合 = ― = ，將 轉化為 3 3 9 ，然后將證明 的
式子轉化為研究 的關系式． 1 + 2 + 3 = 0 + + =
4 ― 1+ 2+ 3 = 4， 1 2 3 3 3 3，再將 1 3 + 2 3 = ( 1 + 2)
3，消元即可得到關于 3的式子，根據 3的范圍證明即可，考查學生的能力和轉化、換元、消元、邏輯推
理能力，屬于難題．4.4.1 方程的根與函數的零點
課程標準 學習目標
（1）理解函數零點的概念;
（1）結合學過的函數圖象, 了解函數零點與方
（2）掌握函數零點存在性定理.；
程解的關系。
（3）掌握函數與方程思想（難點)
知識點 01 函數的零點
對于函數 = ( )，使 ( ) = 0的實數 叫做函數的零點.
注 零點是個數，不是個點.
【即學即練 1】
函數 = 3 2 + ― 2的零點為（ ）
― 2 ―1 2 1 1A．1， 3 B． ，3 C．2， ― 3 D． ―2，3
知識點 02 方程根與函數零點的關系
1 方程根與函數零點的關系
方程 ( ) = 0 有實數根 0
函數 = ( )有零點 0
函數 = ( )的圖象與 軸有交點，且交點橫坐標為 0.
如 方程2 ―4 = 0的實數根是 = 2，
函數 ( ) = 2 ―4與 軸的交點橫坐標是2，
函數 ( ) = 2 ―4的零點是2，而不是(2 , 0).
2 拓展
方程 ( ) = ( )有實數根 0 函數 = ( )與函數 = ( )有交點，且交點橫坐標為 0.
3 求函數零點方法
① (代數法) 求方程 ( ) = 0的實數根.
② (幾何法) 利用函數的圖象，根據函數的性質判斷零點是否存在或找出零點位置.
【即學即練 2】
( ) = + 2
, ≤ 1
已知函數 ― + 4, > 1 ，若方程 ( ) = 有兩個不同的實數根，則 的取值范圍為（ ）
A．( ―∞,1) B．( ―∞,3) C．(1,3) D．(3, + ∞)
知識點 03 函數零點存在定理
如果函數 = ( )在[ , ]上的圖象是連續不斷的，且 ( ) ( ) < 0，那么函數 = ( )在( , )至少有一個零
點 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，這個 也就是方程 ( ) = 0的解.
【即學即練 3】
研究函數 ( ) = 3 + 2 ―1在(0,1)上的零點個數.
【題型一：求函數的零點】
例 1．函數 = 4 ― 2 +3 +16的零點是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．(2,0)
變式 1-1．下列函數中，是奇函數且存在零點的是（ ）
A． = | | B． = 2 2 ―3 C． = 3 ― D． =
3

變式 1-2．函數 ( ) = log3( ― 1) ―2的零點為（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
變式 1-3 1．已知定義在R上的函數 ( )為單調函數，且對任意 ∈ R，恒有 ( ( ) ― 2 ) = ― 2，若 ( 0) = 0，
則 0的值是（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
【方法技巧與總結】
1 對于函數 = ( )，使 ( ) = 0的實數 叫做函數的零點.零點是個數，不是個點；
2 求或判斷函數y = ( )的零點的方法：（1）求解方程 ( ) = 0，（2）數形結合，看函數圖像與x軸交點.
【題型二：根據函數零點求參數】
例 2．關于 的函數 = 2 ―2 ― 8 2( > 0)的兩個零點為 1, 2，且 2 ― 1 = 15，則 ＝（　　）
5 7
A．2 B．2
15 15
C． 4 D． 2
2-1 ( ) = {log2( + ), ≥ 2變式 ．已知 12 是函數 2 , < 2 的一個零點，則 [4 (19)]的值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D． 2+1
變式 2-2．已知函數 ( ) = ― e ln 存在兩個零點 1， 2，且滿足 2 = 2 1，其中 e 為自然對數的底數，則
實數 t 的值為（ ）
1 2 1 2
A．ln2 B．ln2 C．eln2 D．eln2

變式 2-3．關于函數 ( ) = 2 ― ,0 ≤ < 2 ― , ≥ 2 ，其中 ， ∈ R，給出下列四個結論：
甲：6 是該函數的零點；
乙：4 是該函數的零點；
丙：該函數的零點之積為 0；
5
?。悍匠?( ) = 2有兩個根.
若上述四個結論中有且只有一個結論錯誤，則該錯誤結論是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【方法技巧與總結】
若m是函數 ( )零點，則得到方程 ( ) = 0或明確函數與x軸交點的位置.
【題型三：零點存在性定理的應用】
―
例 3．函數 ( ) = 1 ―
3
+ 2 的一個零點在區間(1,2)內，則實數 的取值范圍是（ ）
A．(1, + ∞) B 5 5 5． ― ,1 C． ―∞, ― ∪ (1, + ∞) D． ―∞, ―
2 2 2
變式 3-1．函數 ( ) = 3 + 2 ―50的零點所在區間為（ ）
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
變式 3-2．函數 ( ) = log2 + 2 + 在區間(2,4)上存在零點，則實數 的取值范圍是（ ）
A．( ―∞, ― 18) B．(5, + ∞)
C．(5,18) D．( ―18, ― 5)
變式 3-3．若方程( ― 1)lg( + 1) = 1的實根在區間( , + 1)( ∈ Z)上，則 = （ ）
A． ―1 B．2 C． ―1或 2 D．1
【方法技巧與總結】
1 如果函數 = ( )在[ , ]上的圖象是連續不斷的，且 ( ) ( ) < 0，那么函數 = ( )在( , )至少有一個
零點 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，這個 也就是方程 ( ) = 0的解.
2 若連續函數具有單調性，則函數最多只有一個零點，若在某[ , ]上滿足 ( ) ( ) < 0，則該函數只有一
個零點.
【題型四：根據函數零點的個數求參數范圍】
4 2
― , < 1
例 ．若函數 ( ) = ( ― ), ≥ 1 恰有2個零點，則 的取值范圍是 （ ）
A．( ― ∞ ， 1 ) B．(0 ， 2 ) C．( 0 ， + ∞) D．[ 1 ， 2 )
變式 4-1．已知函數 ( ) = 2| | + 2 + 有唯一的零點，則實數 a 的值為（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
―
變式 4-2．已知函數 ( ) = 2 > 0 2 + + 1 ≤ 0 若函數 ( ) = ( ) ― 有三個不同的零點，則實數 的取值范
圍是（ ）．
A 3 ,1 B 3． ． ,1 C 3． ,1 D 3． , + ∞
4 4 4 4
變式 4-3．已知 ( ) = |e ― 1| ―1，若函數 ( ) = [ ( )]2 ― ( ) ―1有三個零點，則 的取值范圍為（ ）
A．(0, + ∞) B．( ―1,0) ∪ (0, + ∞) C．( ―1,0) ∪ (0,1) D．(1, + ∞)
【方法技巧與總結】
1 理解方程與函數間的關系，
方程 ( ) = 0 有實數根 0
函數 = ( )有零點 0
函數 = ( )的圖象與 軸有交點，且交點橫坐標為 0.
2 方程 ( ) = ( )有實數根 0 函數 = ( )與函數 = ( )有交點，且交點橫坐標為 0;
3 問題轉化為函數問題，則多利用數形結合的方法求解.
【題型五：二次函數零點的分布問題】
例 5．已知關于 x 的方程 2 +2( ― 1) + 2 + 6 = 0．
(1)若方程有兩個實根，且一個比 2 大，一個比 2 小，求實數 m 的取值范圍；
(2)若方程有兩個實根 α，β，且滿足0 < < 1 < < 4，求實數 m 的取值范圍；
變式 5-1．若函數 ( ) = ―3 2 +4 ― 1在區間( ―1,1)內恰有一個零點，則實數 的取值范圍為（ ）
A ― 5． ,1 B． ― 5 , 4 C． ― 5 ,1 ∪ 4 D． ― 2 ,1 ∪ 4
3 3 3 3 3 3 3
變式 5-2．已知函數 ( ) = 2 ― + 2在區間(1,2)有零點，則 的取值范圍是 .
變式 5-3．設函數 ( ) = 2 ― (2 + 1) + 2 ―2( ∈ [ ―2, + ∞))
(1)當 = 1時，對 ∈ [0,2], ( ) > 恒成立，求 m 的取值范圍；
(2)若函數 ( )在 ∈ [2, + ∞)時有兩個零點，求兩個零點之間距離的最小值，并求此時 a 的值．
【方法技巧與總結】
二次函數零點的分布問題，某些題型可用一元二次方程的韋達定理求解或分類參數法等方法，更一般的方
法是利用二次函數的圖象進行分析求解（多考慮二次函數的開口方向、對稱性、判別式、一些特殊點等
等）
【題型六：比較零點大小】
例 6．已知 + e = e, + 3 = e，則（ ）
A．1 < < < e B．1 < < < e
C．0 < < < 1 D．0 < < < 1
變式 6-1．設 > 0，函數 = 2 + ― 7, = 2 + ― 7, = log2 + ― 7的零點分別為 , , ，則（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
變式 6-2．若 e = ln = lg = 1，則 ， ， 的大小關系為（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <

變式 6-3 1．（多選）已知實數 1, 2是函數 ( ) = ―2 |log2( ― 1)|的兩個零點，則下列結論正確的是
（ ）
A．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈ 0,
1 B．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈
1 ,1
2 2
C．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈ (1,2) D．( 1 ― 2)( 2 ― 2) ∈ ( ―∞,0)
【題型七：嵌套函數零點問題】
7 ∈ | ― 1|, ≥ 0例 ．設 ，函數 ( ) = ― 2 + , < 0 ，當 = 1時，函數 = ( ( ))有 個零點；若函數 =
( ( ))恰有 3 個零點，則實數 的取值范圍為 ．
變式 7-1．(多選)已知 > > > 0，定義域和值域均為[ ― , ]的函數 = ( )和 = ( )的圖像如圖所
示，給出下列四個結論，正確結論的是（ ）
A．方程 [ ( )] = 0有且僅有三個解 B．方程 [ ( )] = 0有且僅有二個解
C．方程 [ ( )] = 0有且僅有五個解 D．方程 [ ( )] = 0有且僅有一個解
變式 7-2． = ( )滿足 (2 ― )= ( )，且當 ≥ 1時， ( ) = 2 ―4 + 3
1
，則方程 [ ( )] = ― 2的所有根
之和為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2 + , ≤ 0,
變式 7-3．已知函數 ( ) = ― , > 0. 若 ( ( )) = 1恰有三個不同實根，則 的取值范圍是（ ）
A． ―1, 1― 5 B． ―1, 5―3
2 2
C． 3― 5 ,1 D． 5―1 ,1
2 2
【方法技巧與總結】
求解復合函數 = ( ( ))的零點個數或方程解的個數與范圍問題的策略：
1、先換元解“套”，令 = ( )，則 = ( )，再作出 = ( )和 = ( )的圖象；
2、由函數 = ( )的圖象觀察有幾個 的值滿足條件，結合 的值觀察 = ( )的圖象，求出每一個 被 對
應，將 的個數匯總后，即為 = ( ( ))的根的個數，即“從外到內”.
3、由零點的個數結合 = ( )與 = ( )的圖象特點，從而確定 的取值范圍，進而決定參數的范圍，即“從
內到外”，此法成為雙圖象法（換元+數形結合）.
【題型八：函數零點的綜合問題】
例 8 = 1．已知函數 ( ) 2 + ．
(1)是否存在 ∈ ，使得 ( ) + (2 ― )為定值，若存在，求出 m 的值；若不存在，說明理由；
(2) 1若 = 1，方程| ( ) ― | = ( )( ∈ )有兩個根 1， 2，且 1 < 0， 2 > 0，求 1 + 2的取值范圍．2
變式 8-1．已知函數 ( ) = 3 + 2 + + ，且 ―3 < ( ―1) = (1) = (2) ≤ 0，則 的取值范圍是 .
變式 8-2．函數 ( ) = + log2 ― 4的零點為 1，函數 ( ) = + log ( ― 1) ―5( > 1)的零點為 2，若 2 ―
1 > 1，則實數 的取值范圍是（ ）
A．(1, 2) B．(1,2) C．( 2, + ∞) D．(2, + ∞)
變式 8-3．函數 ( ) = e ( ― 1) ― ― 1的所有零點之和為（ ）
A．0 B．-1 C． 3 D．2
變式 8-4．若實數 ， 滿足 e = 2， ln = 2，則 = （ ）
A．e 1B．1 C．2 D．2
變式 8-5．已知函數 ( ) = log (2 2 + ) ― ．
(1)若 (2) < 0，求 的取值范圍；
(2)若 ( ) = 有兩個不相等的實根 1, 2，且 1 < 2
①求 的取值范圍；
②證明： ( 1 + 1) + ( 2 ― 1) < ―1．
一、單選題
1．已知函數 = 2 2 + + 的兩個零點分別為 ―2，1，則函數的解析式為（ ）
A． = 2 2 ―2 ― 4 B． = 2 2 +2 ― 4
C． = 2 2 ―2 + 4 D． = 2 2 +2 + 4
2.函數 ( ) = 2 +4ln ― 10的零點所在區間為（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
1, > 0
3.已知符號函數sgn( ) = 0, = 0 ，則函數 ( ) = sgn(2ln ) ― ln(2 ― 1)的零點個數為（ ）
―1, < 0
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知函數 ( ) = min 1 + 2 ,log 2 ，若函數 ( ) = ( ) ― 恰有兩個零點，則 的取值范圍為（ ）
A．(0,1) B．(0,1] C．[1,2) D．(1,2)
5.已知函數 ( )的定義域為 R，且 ( ) = (2 ― )．若函數 ( ) = ( ) + | 2 ― 2 |有唯一零點，則 (1) =
（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
6.已知 1是函數 ( ) = + 1 + ln( + 2)的零點， 2是函數 ( ) = 2 ―2 + 4 + 4的零點，且滿足| 1 ―
2| ≤ 1，則實數 的最小值為（ ）
A． ―2 B． ―1
C．0 D．1
7.已知函數 ( ) = 2 + ， ( ) = log2 + ， ( ) = 3 + 的零點分別為 a，b，c，則（ ）
A． > > B． > >
C． > > D． > >
8. ( ) = |log2 |,0 < ≤ 2已知函數 2 ― 6 + 9, > 2 ，若方程 ( ) = 有四個不同的零點 1， 2， 3， 4且 1 < 2 < 3 <
4，則下列結論錯誤的是（ ）
A．0 < < 1 B．2 1 + 2 ≥ 2 2
C． 1
9
2 + 3 + 4 = 6 D．3 < 1 +2 2 < 2
二、多選題
9 2．下列區間上，函數 ( ) = ln( + 1) ― 有零點的是（ ）
A ( ― 1,0) B 0, 1 C 1． ． ． ,1 D．(1, + ∞)
2 2
2
10. ( ) = ( ― 1) ― 4, < 已知函數 ln( ― 1), > > 1 ，下列敘述正確的有（ ）且
A．若 < ―1，則 ( )只有一個零點
B．若 > ―1，則 ( )有兩個零點
C．若 = 2，則方程2[ ( )]2 +5 ( ) = 0有兩個實根
D．若 = 1，則方程[ ( )]2 +8 ( ) ― = 0有兩個實根
11.已知方程e + = 0與 + ln = 0的根分別為 1, 2，則下列說法正確的是（ ）
1
A． 1 + 2 = 0 B．2 < 2 < 1
C．ln 2 = 1 D．4 1 2 ―1 > 2( 1 ― 2)
三、填空題
12．已知方程lg = 3 ― 的解所在區間為( , + 1)( ∈ N*)，則 = .
13.已知函數 ( ) = 2 ―2 + 2 ―1的兩個零點都在 ―2，4 內，則實數 的取值范圍為 ．
14.已知偶函數 ( )滿足 ( + 1) = ( ― 1)，當 ∈ [ ―1,0]時， ( ) = 2，方程 ( ) ― log | | = 0有 10 個
根，則實數 的取值范圍是 .
四、解答題
15．已知集合 = { | 2 +(2 ― 2) ― 2 + 3 = 0}, = { | ―3 < < 2 }，且 ∩ = ，求實數 的取值范
圍.
16.已知函數 = ( )，其中 ( ) = | 2 ― 2 ― 3|．
(1)直接寫出 ( )的零點；
(2)討論關于 x 的方程 ( ) = 的解的個數；
(3)若方程 ( ) = 有四個不同的根 1， 2， 3， 4，直接寫出這四個根的和．
17.已知 ( ) = 2 + + 2, ∈ .定義點集 與 = ( )的圖象的公共點為 在 ( )上的截點.
(1)若 = ―1, = {( , )∣ = 3, ∈ }, 在 ( )上的截點個數為0.求實數 的取值范圍；
(2)若 = 1, = {( , )∣ = 2, ∈ (0,2)}, 在 ( ) + | 2 ― 1|上的截點為( 1,2)與( 2,2).
（i）求實數 的取值范圍；
1 1
（ii）證明：2 < +1 < 4.2
18.已知函數 ( ) = 2 ―2 + 1．
1
(1)當 = 2， ∈ [0,2]時，求函數 ( )的值域；
(2)當 = 1時
(2 )
（?。┤舨坏仁?4 ≥ 對任意的 ∈ [1, + ∞)恒成立，求實數 m 的取值范圍；
（ⅱ）若函數 ( ) = (|log2 |) ― (|log2 | ― 1)有 3 個零點，求實數 k 的值．
19．已知函數 ( ) = 3 ―4 + 3 2．
(1)當 = 1時，求 5 ，并判斷函數 ( )零點的個數；
4
2
(2)當 ∈ 1 ,1 時， ( )有三個零點 1, 2, 3,( 1 < 2 < 3)
2
，記 ― = 3 ， = 1，2，3．證明：①2 < 3 1
+2 2 +3 3 < 5；② 1 3 +
11
2 3 < 81．
參考公式：( ― 1)( ― 2)( ― 3) = 3 ― ( 1 + 22 + 3) + ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ― 1 2 3．

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