資源簡介

4.2 指數(shù)函數(shù)
課程標準 學習目標
（1）通過具體實例, 了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,
（1）理解指數(shù)函數(shù)的定義;
理解指數(shù)函數(shù)的概念;
（2）了解指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減；
（2）能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)
（3） 掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質；
函數(shù)的圖象, 探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與
（4）掌握指數(shù)函數(shù)圖象與性質的應用.（難點)
特殊點。
知識點 01 指數(shù)函數(shù)的概念
（1）概念
一般地，函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域為 .
解釋
(1)指數(shù)函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)中系數(shù)為1，底數(shù)是不為1的正實數(shù)的常數(shù)，指數(shù)是變量x.注意與冪函數(shù)的
區(qū)別，如y = 2 是指數(shù)函數(shù)，y = x3是冪函數(shù).
(2)指數(shù)函數(shù)中為什么要限制 > 0且 ≠ 1呢？
① 若a < 0 1 1，則對于x的某些值a 無意義，如( ―2) ，此時x取 、2 4…等沒意義；其函數(shù)圖象沒明顯特點；
② 若a = 0或a = 1時，函數(shù)沒研究價值.
（2）指數(shù)爆炸和指數(shù)增長
①當?shù)讛?shù)a > 1時，指數(shù)函數(shù)的值歲自變量的增長而增大，底數(shù)較大時指數(shù)函數(shù)的值增長速度驚人，被稱為
指數(shù)爆炸；
+
② 指數(shù)函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1) a ―a在長為T的周期區(qū)間[ , + ]中函數(shù)值增長a + ― a ，增長率為 a =
―1，它是個常量，我們稱之為指數(shù)式增長，也稱指數(shù)增長。
（3）指數(shù)衰減
當?shù)讛?shù)a滿足0 < < 1時，指數(shù)函數(shù)值歲自變量的增長而縮小以至無限接近于0，這叫做指數(shù)衰減.
指數(shù)衰減的特點是：在一個既定的時間周期中，其縮小百分比是一個常量.
【即學即練 1】
若指數(shù)函數(shù) ( )的圖象過點(3,8)，則 ( )的解析式為（ ）
1
A． ( ) = B． ( ) = 3 C． ( ) = 2 D． ( ) = 12
【答案】C
【分析】設出解析式，用待定系數(shù)法可得結果.
【詳解】設 ( ) = > 0且 ≠ 1 ，因 ( )的圖象過點(3,8)，
則 3 = 8，得 = 2，所以 ( ) = 2 ，
故選：C.
知識點 02 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質
函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù)
定義 函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)叫做指數(shù)函數(shù)
> 1 0 < < 1
圖象
定義域
值域 (0, + ∞)
過定點 圖象過定點(0,1)，即當 = 0時， = 1．
奇偶性 非奇非偶
單調性 在 上是增函數(shù) 在 上是減函數(shù)
變化對圖 在第一象限內(nèi)， 越大圖象越高；在第二象限內(nèi)， 越大圖象越低．
象的影響
【即學即練 2】

已知 ( ) = 2, ( ) = ( 1 ) ― ， 若對 1 ∈ [ ―1,3]， 2 ∈ [0,2]， ( 1) ≥ ( 2 2)，則實數(shù) 的取值范圍是
（ ）
[1A． 4, + ∞)
35
B．[ ― 4 , + ∞) C．[1, + ∞) D．[ ― 8, + ∞)
【答案】A
1 2
【分析】根據(jù)函數(shù)最值的性質得出 ( )min ≥ ( )min，求出 ( )min = (0) = 0, ( )min = ― 2 ，得出實
數(shù) 的取值范圍.
【詳解】解：因為 1 ∈ [ ― 1,3], 2 ∈ [0,2]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，所以 ( )min ≥ ( )min
2
因為 ( )min = (0) = 0, ( ) =
1 ― 1 1min 2 ，所以0 ≥ 4 ― ,解得 ≥ 4，
故選：A
【題型一：指數(shù)函數(shù)的判定與求值】
例 1． 已知函數(shù) ( )為指數(shù)函數(shù)， ( )為冪函數(shù)，若 ( ) = ( ) + ( )，且 (1) = 3，則 ( ―1) = ．
1
【答案】2/0.5
【分析】設出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出 ( ) = 2 ，直接代入求解.
【詳解】因為 ( )為指數(shù)函數(shù)， ( )為冪函數(shù)，
所以可設 ( ) = （ > 0，且 ≠ 1）， ( ) = （ 是常數(shù)）.
∵ ( ) = ( ) + ( )， (1) = 3，
∴ 1 + 1 = 3，∴ = 2，
∴ ( ) = 2 ，
∴ 1( ―1) = 2―1 = 2．
1
故答案為：2.
變式 1-1．若指數(shù)函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點(2，9)，則 f(－1)＝ .
1
【答案】3
【分析】設冪函數(shù)的解析式為 f(x)＝ax，根據(jù)函數(shù)過點(2，9)，求出 ，進而可求出結果.
【詳解】設 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)，將點(2，9)代入，得 a2＝9，解得 a＝3 或 a＝－3(舍去).
所以 f(x)＝3x.
所以 f(－1)＝3－1 1＝3.
1
故答案為：3
變式 1-2．已知指數(shù)函數(shù) ( )圖象過點(3,27)，則 (2)等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】C
【分析】先求得 ( )的解析式，進而求得 (2).
【詳解】設 ( ) = , > 0且 ≠ 1，
將(3,27)代入得 (3) = 3 = 27，
解得 = 3，所以 ( ) = 3 ，
所以 (2) = 32 = 9.
故選：C
【方法技巧與總結】
1 一般地，函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域為 .
2 可用待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)的解析式.
【題型二：指數(shù)型函數(shù)圖像過定點問題】
例 2．函數(shù) ( ) = +2 ―3的圖象過定點 ，且定點 的坐標滿足方程 + + 2 = 0，其中 > 0，
> 0 1 4，則 + 的最小值為（ ）
A．6 + 4 2 B．9 C．5 + 2 2 D．8
【答案】B
【分析】先利用指數(shù)函數(shù)的性質求得定點 ，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】對于函數(shù) ( ) = +2 ―3，令 + 2 = 0，得 = ―2， ( ―2) = ―2+2 ―3 = ―2，
所以函數(shù) ( ) = +2 ―3的圖象恒過定點 ( ―2, ― 2)，
又定點 的坐標滿足方程 + + 2 = 0，所以 ―2 ― 2 + 2 = 0，即 + = 1，
> 0 > 0 1 + 4

= 4 又 ， ，所以 ( + )
1 + 4 = 5 + + ≥ 5 + 2
4 = 9，


當且僅當 =
4 1 2
，即 = 3， = 3時取等號，
∴ 1 +
4
的最小值為9.
故選：B.
變式 2-1．函數(shù) ( ) = ―2 +3( > 0且 ≠ 1)的圖象必經(jīng)過定點（ ）
A．(0,1) B．(1,1) C．(2,3) D．(2,4)
【答案】D
【分析】指數(shù)型函數(shù)過定點，令 = 2即可得到結果
【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)恒過定點(0,1)，
則 ( ) = ―2 +3( > 0且 ≠ 1)恒過定點，令 = 2， (2) = 2―2 +3 = 4，
所以函數(shù) ( ) = ―2 +3( > 0且 ≠ 1)的圖象必經(jīng)過定點(2,4)，
故選：D.
變式 2-2．已知函數(shù) ( ) = ―2 +1( > 0, ≠ 1)恒過定點 ( , )，則函數(shù) ( ) = ― 不經(jīng)過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質可知 ( )恒過定點(2,2)，再由指數(shù)函數(shù)的性質可知 ( )不過第二象限.
【詳解】由已知條件得當 = 2時， (2) = 2，則函數(shù) ( )恒過點(2,2)，
即 = 2, = 2，此時 ( ) = 2 ―2，
由于 ( )由 = 2 向下平移 2 個單位得到，且過點(0, ― 1)，
由此可知 ( )不過第二象限.
故選：B
【方法技巧與總結】
指數(shù)型函數(shù)y = a ― + (m, 是常數(shù))過定點( , + 1)，過定點指的是該函數(shù)不管a取什么數(shù)，函數(shù)均過的點.
【題型三：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖像判斷參數(shù)的范圍】
例 3．若直線 = 2 與函數(shù) = | ― 1|（ > 0，且 ≠ 1）的圖象有兩個公共點，則 的取值可以是（ ）
1 1
A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】對 分類討論，利用數(shù)形結合分析得解.
【詳解】（1）當 > 1時，畫出兩個函數(shù)在同一坐標系下的圖像
若有兩個交點，則0 < 2 < 1, ∴ 0 < < 12，
因為 > 1，所以此種情況不存在；
（2）當0 < < 1時，畫出兩個函數(shù)在同一坐標系下的圖像
1
若有兩個交點，則0 < 2 < 1, ∴ 0 < < 2，
因為0 < < 1，所以0 < < 12.
1
綜上， 的取值范圍是0 < < 2
故選：A
變式 3-1．若函數(shù) = 2― +1 + 的圖象不經(jīng)過第一象限，則 的取值范圍是（ ）
A． ≤ ―2 B． ≥ ―2 C． ≤ ―1 D． ≥ ―1
【答案】A
【分析】由指數(shù)冪的運算化簡后再結合指數(shù)函數(shù)的單調性及題意解析即可；
1 ―1
【詳解】 = 2― +1 + = + 2 ，
由指數(shù)函數(shù)的單調性可得函數(shù)為遞減函數(shù)，因為圖象不經(jīng)過第一象限，
1 ―1
所以當 = 0時， + ≤ 02 ，解得 ≤ ―2，
故選：A.

變式 3-2．若直線 = 2與函數(shù) = |
― 1|（ > 0且 ≠ 1）的圖象有兩個公共點，則 的取值不可以是
（ ）
3 3 3
A．8 B．4 C．2 D．3
【答案】D
【分析】分別將 > 1和0 < < 1兩種情況作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合根據(jù)交點個數(shù)即可求得 的取值范
圍，即可得出選項.
【詳解】 = | ― 1|的圖象由 = 的圖象向下平移一個單位，再將 軸下方的圖象翻折到 軸上方得到，
分 > 1和0 < < 1兩種情況分別作圖.
當 > 1時，圖象如下圖所示：

此時需要0 < 2 < 1，即0 < < 2，
所以1 < < 2；
當0 < < 1時，圖象如下圖所示：

此時需滿足0 < 2 < 1，0 < < 1都符合條件；
綜上可知, 的取值范圍為0 < < 1或1 < < 2，
所以 的取值不可以是 D.
故選：D
|2
― 1|, < 2,
變式 3-3．已知函數(shù) ( ) = 3 , ≥ 2, 若函數(shù) = ( )圖象與直線 = 有且僅有三個不同的交點，則實
―1
數(shù) k 的取值范圍是（ ）
A． > 0 B．0 < < 1 C．0 < < 3 D．1 < < 3
【答案】B
【分析】畫出函數(shù) = ( )的圖象，結合圖象求解即可.
【詳解】將 = 2 的圖象向下平移 1 個單位得到 = 2 ―1，再將 = 2 ―1的圖象的 軸下方的圖象以 軸為
對稱軸翻轉至 軸上方可得到 = |2 ―1|，
將 = 3 3 的圖象向右平移 1 個單位得到 = ―1，
|2 ― 1|, < 2,
所以 ( ) = 3 , ≥ 2, 的圖象如圖所示，
―1
由圖可知，當0 < < 1時，函數(shù) = ( )與 = 圖象有且僅有三個不同的交點.
故選：B.
【方法技巧與總結】
函數(shù)圖象的變換
（1）平移變換，口訣：左加右減，上加下減
（2）對稱變換
軸
= ( ) = ― ( )
例： = ― 圖像可看成 = 圖像關于 軸對稱得到.
軸
= ( ) = ( ― )
例： = ― 圖像可看成 = 圖像關于 軸對稱得到.
（3） 翻折變換
去掉 y 軸左邊圖像
= ( )保留 y 軸右邊圖像，并作其關于 y 軸對稱圖像 = (| |)
例： = | |的圖像可看成由 = 圖像對稱變換得到.
保留 x 軸上方圖像
= ( )將 x 軸下方圖像翻折上去 = | ( ) |
例： = | |的圖像可看成由 = 圖像對稱變換得到.
【題型四：比較指數(shù)冪的大小】
例 4．設 = 0.1e0.2, = 110, = 0.2e
0.1，則下列選項正確的是（ ）
A． < < B． < <
C． < < D． < <
【答案】B
【分析】先由指數(shù)函數(shù)的單調性比較 , 與 的大小，再作商比較 , 的大小即可得解.
1 1 1
【詳解】 = 0.1e0.2 = e0.2 > e010 10 = 10 = ，
= 0.2e0.1 = 1e0.1 > 15 5e
0 = 1 15 > 10 = ，而

= 1而 e0.1 2 ，因為e < 2
10，所以e0.1 < 2，
1 1
所以 = e0.1 2 < 2 × 2 = 1，故 < ，
所以 < < .
故選：B
2 3 3
變式 4-1．已知 = 4 3， = 2 4， = 4 55 3 9 ，則 a，b，c 的大小關系是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性判定大小即可.
3 3 6
4 25 5
【詳解】易知 = = 2 = 2 59 3 3 ，

= 2 3 < 1 < 6 > 2又 3 定義域上單調遞減，4 5，所以 3 > ，
2
= 4易知 3( > 0)單調遞增，5 >
3
4 >
2
3，
2 2 3
= 4 3 > 2 3 > 2 4則 = 5 3 3 ，
綜上 > > .
故選：A
變式 4-2．已知 = 0.32， = 20.1， = 30.2，則 ， ， 的大小關系是（ ）
A． < < B． < <
C．b【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調性分析判斷.
【詳解】因為 = 0.3 在 內(nèi)單調遞減，則0 < 0.32 < 0.30 = 1，即0 < < 1；
且 = 2 在 內(nèi)單調遞增，則20 < 20.1 < 20.2，1 < < 20.2；
且 = 0.2在(0, + ∞)內(nèi)單調遞增，20.2 < 30.2，即20.2 < ；
綜上所述： < < .
故選：B.
1
變式 4-3 = 2 3．設 ， = 1.5―0.2， = 0.80.23 ，則（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
【答案】D
【分析】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性即可得出答案.
1 0 ―0.2 0.2
【詳解】因為0 < = 2 3 < 2 = 1， = 1.5―0.2 = 3 = 23 3 2 3 ，
2
因為 = 在R3 上單調遞減，
1
0.2 < 1 2
0.2
所以 3，所以 >
2 3 >
3 3 ，所以 ，
0.2
因為 = 0.2 2在(0, + ∞)上單調遞增，由0.8 > 3，可得0.8
0.2 > 2
3 ，
所以 > ，故 < < .
故選：D.
【方法技巧與總結】
比較指數(shù)冪數(shù)值大小的方法很多，當?shù)讛?shù)相等的指數(shù)冪可利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較，當指數(shù)相等的指數(shù)
冪可利用冪函數(shù)利用中間值(常常是 0 或 1)比較，利用作差作商比較等等.
【題型五：求指數(shù)型函數(shù)的值域】
例 5．已知 ( ) = 2 ―2 + , ( ) = e2 ―1 ―1，若對 1 ∈ [0,3], ∈ 12 , 3 ，使得 ( 2 2 1) = ( 2)，則實數(shù)
的取值范圍是（ ）
A．[2,e2 ― 4] B．[1,e2 ― 5] C．[2,e2 ― 5] D．[1,e2 ― 4]
【答案】D
【分析】由題意可知 ( )的值域是 ( )的值域的子集，所以求出兩函數(shù)的值域，再根據(jù)子集的關系列不等
式組，從而可求出 的取值范圍.
【詳解】因為 ( ) = 2 ―2 + = ( ― 1)2 + ― 1， ∈ [0,3]，
所以 ( )在[0,1)上遞減，在(1,3]上遞增，
所以 ( )的最小值為 (1) = ― 1，
因為 (0) = , (3) = + 3， + 3 > ，所以 ( )的最大值為 + 3，
所以 ( )的值域為[ ― 1, + 3]，
因為 ( ) = e2 ―1 ―1在 ∈ 1 , 3 上遞增，
2 2
所以 ( )的值域為[0,e2 ―1]，
因為對 1 ∈ [0,3], 2 ∈ 1 , 3 ，使得 ( 1) = ( 2)，2 2
所以[ ― 1, + 3]是[0,e2 ―1]的子集，
― 1 ≥ 0
所以 + 3 ≤ e2 ― 1 ，解得1 ≤ ≤ e
2 ―4，
即 的取值范圍1 ≤ ≤ e2 ―4
故選：D
變式 5-1．已知函數(shù) = (2 ― ) + 3 , < 1( ) 2 2+2 ―2 ― 1, ≥ 1 的值域為 R，則 a 的取值范圍是（ ）
A．[ ―1,2) B．( ―1,2)
C ― 1． ,2 D． ― 1 ,2
2 2
【答案】C
【分析】求出函數(shù) ( ) = 2 2+2 ―2 ―1, ≥ 1的函數(shù)值集合，再由分段函數(shù)值域的意義求出 a 的范圍作答.
【詳解】當 ≥ 1時， ( ) = 2 2+2 ―2 ―1，而函數(shù) = 2 +2 ― 2在[1, + ∞)上單調遞增，又 = 2 是增函
數(shù)，
因此函數(shù) ( )在[1, + ∞)上單調遞增， ( ) ≥ (1) = 1，即函數(shù) ( )在[1, + ∞)上的值域為[1, + ∞)，
當 < 1時，函數(shù) ( )的值域為 ，而函數(shù) ( )的值域為 R，因此( ― ∞,1) ，
而當 < 1時， ( ) = (2 ― ) + 3 2 ― > 0 1，必有 2 ― + 3 ≥ 1 ，解得 ― 2 ≤ < 2，
a [ ― 1所以 的取值范圍是 2,2).
故選：C
變式 5-2．已知函數(shù) ( ) = 2 2― +1的值域為 ．若(1, + ∞) ，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A ―∞, 1 B 0, 1 C 1 1． ． ． ―∞, ― ∪ , + ∞ D 1． , + ∞
4 4 4 4 4
【答案】B
【分析】對實數(shù) 分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質及指數(shù)函數(shù)的值域可得結果.
【詳解】當 = 0時， ( ) = 2― +1 ∈ (0, + ∞)，符合題意；
當 ≠ 0 2時，因為函數(shù) ( ) = 2 ― +1的值域為 滿足(1, + ∞) ，
由指數(shù)函數(shù)的單調性可知，即二次函數(shù) = 2 ― + 1的最小值小于或等于零；
> 0 4 ―1 1若 時，依題意有 = 2 ― + 1的最小值 4 ≤ 0，即0 < ≤ 4，
若 <0時，不符合題意；
綜上：0 ≤ ≤ 14，
故選：B.
【方法技巧與總結】
利用指數(shù)函數(shù)的單調性可求指數(shù)型式子的值域。
【題型六：指數(shù)函數(shù)最值與不等式綜合問題】
例 6．已知 ( )為奇函數(shù)， ( )為偶函數(shù)，且滿足 ( ) + ( ) = 2― ，若對任意的 ∈ [ ―1,1]都有不等式
( ) ― ( ) ≥ 0成立，則實數(shù) 的最小值為（ ）.
1 3 3
A．3 B．5 C．1 D． ― 5
【答案】B
2
【分析】由題意得出 ( )、 ( )的解析式，不等式恒成立，采用分離參數(shù)法，可得 ≥ 1 ― 4 +1轉化為求函
2
數(shù)的最值，求出函數(shù) = 1 ― 4 +1的最大值即可.
【詳解】解： ∵ ( )為奇函數(shù)， ( )為偶函數(shù)，且 ( ) + ( ) = 2― ①
∴ ( ― ) + ( ― ) = ― ( ) + ( ) = 2 ②
2― ― ①② ( ) = ―2兩式聯(lián)立可得 2 ， ( ) =
2 +2
2 .
― ―
由 ( ) ― ( ) ≥ 0 2 +2 ― 2 ―2，即 2 2 ≥ 0，
2 ―2― ≥ 4
―1 2
得 2 +2― = 4 +1 = 1 ― 4 +1，
∵ = 4 +1在 ∈ 2[ ―1,1]是增函數(shù)，且 ∈ 5 ,5 ， = ― 在 ∈
5 ,5 上是單調遞增，
4 4
∴ 2由復合函數(shù)的單調性可知 = 1 ― 4 +1在 ∈ [ ―1,1]為增函數(shù)，
∴ 1 ― 2 = 1 ― 2 34 +1 max 4+1
= 5，
∴ ≥ 3 35，即實數(shù) 的最小值為5.
故選：B.
變式 6-1．已知函數(shù) ( ) = 22 ― 2 +4，若 ( ) ≥ 0恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為（ ）
A．( ― ∞,4] B．( ― ∞,2] C．[4, + ∞) D．[2, + ∞)
【答案】A
【分析】參變分離可得 ≤ 2 + 4 42 恒成立，結合基本不等式求出2
+ 2 的最小值，即可求出參數(shù)的取值范
圍.
【詳解】因為 ( ) ≥ 0恒成立，即22 ― 2 +4 ≥ 0恒成立，
所以 ≤ 2 + 42 恒成立，又由2
+ 42 ≥ 2 2
× 4 = 4 （當且僅當 = 1時取等號），2
所以 ≤ 4．
故選：A．

變式 6-2．已知函數(shù) ( ) = e + , < 2 + 2 , ≥ ， ( )不存在最小值，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A．( ― 1,0) B 1． , + ∞ C ( ― 1,0) ∪ 1． , + ∞ D． ― 1 ,0 ∪ (1, + ∞)
3 3 3
【答案】C
【分析】分別在 < 0, ≥ 0條件下結合指數(shù)函數(shù)單調性及二次函數(shù)性質，確定函數(shù) ( )的取值規(guī)律，由條
件列不等式求 的范圍，可得結論.
【詳解】（1）當 < 0時，若 < ，則 ( ) = e + ，
因為函數(shù) ( ) = e + 在( ―∞, )上單調遞增，所以 < ( )若 ≥ ，則 ( ) = 2 +2 = ( + )2 ― 2 ≥ ― 2，當且僅當 = ― 時取等號，
因為 ( )不存在最小值，
所以 ― 2 > ，所以 ―1 < < 0，
（2）當 ≥ 0時，若 < ，則 ( ) = e + ，
因為函數(shù) ( ) = e + 在( ―∞, )上單調遞增，所以 < ( )若 ≥ ，則 ( ) = 2 +2 = ( + )2 ― 2 ≥ ( ) = 3 2，當且僅當 = 時取等號，
因為 ( )不存在最小值，
所以3 2 > ，所以 > 13，
1
所以實數(shù) 的取值范圍是( ― 1,0) ∪ , + ∞ ，
3
故選：C.
變式 6-3．若 ∈ ( ―∞, ― 1]，不等式( ― 2)4 + 2 +1 > 0恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是（ ）
A． < ―2或 > 3 B． ≤ 0或 ≥ 1
C． ―2 < < 3 D．0 ≤ ≤ 1
【答案】C
21 1 1
【分析】分離參數(shù)得 ― 2 > ― + +2 2 4恒成立，由復合型指數(shù)函數(shù)的最值得 ―
2 > ―6，解一
元二次不等式即可得解.
2 2
【詳解】不等式可化為 ― 2 > ― 2 +1 = ― 1 1 14 + = ―
1 + 1 +
2 2 4.2 2
2
≤ ―1 1

≥ 2 ― 1

因為 ，所以 ，所以 + 1 + 12 2 2 4的最大值為 ―6.
所以 ― 2 > ―6，所以 ―2 < < 3.
故選：C.
【方法技巧與總結】
1 恒成立問題常常可轉化為最值問題:
① ∈ , ( ) < 恒成立，則 ( ) < ；
② ∈ , ( ) > 恒成立，則 ( ) > ；
③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，則 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，則 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0;
2 處理恒成立問題方法很多，可直接求解函數(shù)最值或分類參數(shù)法等；
a +
3 遇到求類似 + 形式的最值，可用分離常數(shù)法活換元法處理.
【題型七：指數(shù)型函數(shù)圖象變換的應用】
+1
例 7．設函數(shù) ( ) = |3 ― 1|, ≤ 1 9 ― , > 1 ，若實數(shù) , , 滿足： < < ，且 ( ) = ( ) = ( )，則 = 3 +
3 + 的取值范圍為（ ）
A．(2,9) B．(9,11) C 5 , 28 D 26 29． ． ,
3 3 3 3
【答案】D
【分析】作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合，計算求解即可.
( ) = |3
+1 ― 1|, ≤ 1
【詳解】作函數(shù) 9 ― , > 1 的圖象，如圖，
設 ( ) = ( ) = ( ) = ， ∈ (0,1)，
所以1 ― 3 +1 = ，3 +1 ―1 = ，9 ― = ，
3 = 1― 所以 ，3 = +13 3 ， = 9 ― ，
故 = 3 + 3 + = 23 +9 ― ∈
26 , 29 ，
3 3
故選：D
變式 7-1．對于函數(shù) ( ) = 2| |, ( ) = 2| ―1|，則（ ）
A． ( )與 ( )具有相同的最小值
B． ( )與 ( )在(0, + ∞)上具有相同的單調性
C． ( )與 ( )都是軸對稱圖形
D． ( )與 ( )在( ―∞,0)上具有相反的單調性
【答案】AC
【分析】在同一坐標系中，作出函數(shù) ( ) = 2| |， ( ) = 2| ―1|的圖像，進而對四個選項一一作出判斷.
【詳解】A 選項，在同一坐標系中，作出函數(shù) ( ) = 2| |， ( ) = 2| ―1|的圖像如圖所示，
由圖可知 ( )與 ( )的最小值都為 1，A 項正確；
B 選項， ( )在(0, + ∞)上單調遞增， ( )在(0, + ∞)上不單調，B 項錯誤；
C 選項， ( )的圖像關于直線 = 0對稱， ( )的圖像關于直線 = 1對稱，C 項正確；
D 選項， ( )與 ( )在( ―∞,0)上均單調遞減，D 項錯誤.
故選：AC
變式 7-2．已知函數(shù) ( ) = |3 ― 1|, < < 且 ( ) > ( ) > ( )，則下列結論中，一定成立的是（ ）
A． < 0, < 0, < 0 B． < 0, ≥ 0, > 0
C． < 0, = ― , > 0 D．3 + 3 > 2
【答案】D
【分析】作出函數(shù)圖象，結合圖象判斷 AB，再由 ( ) > ( )討論 去掉絕對值號化簡可判斷 CD．
【詳解】由圖示可知 <0， 的符號不確定， > 0，故 A、B 錯；
( ) = |3 ―1|, ( ) = |3 ―1|，
如上圖， < < 0 < 滿足 ( ) > ( ) > ( )，故 C 不一定成立，
當 < 0時，由 ( ) > ( )得 |3 ―1| > |3 ―1|，則3 ―1 > 1 ― 3 ，所以3 + 3 > 2，故 D 正確．
故選：D
變式 7-3．已知定義在 R 上的偶函數(shù) ( )，當 ≤ 0時， ( ) = |e +1 ― 1|，則不等式 ( ) ― 2 e + 1 > 0的
解集為（ ）
A 0, 1． B． ―∞, 1 C． 2 , + ∞ D． ―∞, 2
2 2 2 2
【答案】B
【分析】利用函數(shù)是偶函數(shù)求 > 0的解析式，再利用偶函數(shù)的性質，畫出函數(shù)的圖像，利用圖像求解不等
式.
【詳解】當 > 0時， ― < 0， ( ) = ( ― ) = |e― +1 ― 1|，令 ( ) = 2 e ― 1，
依題意 ( ) > ( )，則 ( )圖象在 ( )圖象上方，
畫出函數(shù) ( )和 ( )的圖像，
由e― +1 ―1 = 2 ― 1 = 1e ，得 2，
則 ( ) > 2 e ― 1 1的解集為 ―∞, ．
2
故選：B
【題型八：指數(shù)函數(shù)的實際應用】
例 8．有容積相等的桶 和桶 ，開始時桶 中有 升水，桶 中無水．現(xiàn)把桶 中的水注入桶 中， 分鐘
后，桶 的水剩余 1 = （升），其中 為正常數(shù)．假設 5 分鐘后，桶 和桶 中的水相等，要使桶 中的

水只有16升，必須再經(jīng)過（ ）
A．12 分鐘 B．15 分鐘 C．20 分鐘 D．25 分鐘
【答案】B
1
【分析】由題意可得桶中水的體積 2 = ― ，由 1 = 2，可得 5 = 2，利用
5+ 1 = 16，結合指數(shù)運
算可得答案.
【詳解】由題意，桶 中水的體積 2 = ― ，
因為 = 5時， 1 = 2，所以 5 = ― 5，得 5 =
1
2．

設再經(jīng)過 1分鐘后桶 中的水只有16升，則
5+ 1 = 16，
5+ = 1
4
所以 1 = 202 ，

所以 1 = 15，即再經(jīng)過 15 分鐘，桶 中的水只有16升．
故選：B
變式 8-1．某試驗小組研究某種植物在一定條件下的生長規(guī)律，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可知，在相同條件下，這種
3
植物每周以 %的增長率生長.若經(jīng)過4周后，該植物的長度是原來的2倍，則再經(jīng)過6周，該植物的長度大約
是原來的（ ）
A 9 6． 倍 B 9 6 C 9 6 9 6． 倍 ． 倍 D． 倍
2 4 8 16
【答案】C
3
【分析】設植物原來的長度為 ，由已知可得出(1 + %)4 = 2，求出1 + %的值，利用指數(shù)運算可求得結
果.
3
【詳解】設植物原來的長度為 ，經(jīng)過4周后，該植物的長度為原來的2倍，
1
即 (1 + %)4 = 32 ，即(1 + %)
4 = 3 1 + % = 3 42，即 2 ，
1 10 5
再過6周后該植物的長度為 (1 + %)10 = 3 4 = 3 2 = 9 64 =
9 6
2 2 .2 8
9 6
因此，再經(jīng)過6周，該植物的長度大約是原來的 倍.
8
故選：C.
變式 8-2．核酸檢測在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依據(jù)之一，核酸檢測是用熒光定量 PCR
法進行的，通過化學物質的熒光信號，對在 PCR 擴增過程中的靶標 DNA 進行實時檢測．已知被標靶的
DNA 在 PCR 擴增期間，每擴增一次，DNA 的數(shù)量就增加 %．若被測標本 DNA 擴增 5 次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?br/>的 10 倍，則 p 的值約為（ ）．（參考數(shù)據(jù)：100.2 ≈ 1.585，10﹣0.2 ≈ 0.631）
A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1
【答案】C
【分析】
設 DNA 數(shù)量沒有擴增前數(shù)量為 a，由題意可得， (1 + %)5 = 10 ，化簡得(1 + %)5 = 10，再根據(jù)指數(shù)函
數(shù)的運算，即可求解．
【詳解】
設 DNA 數(shù)量沒有擴增前數(shù)量為 a，
由題意可得， (1 + %)5 = 10 ，即(1 + %)5 = 10，
所以1 + % = 100.2，即 % = 100.2﹣1 ≈ 1.585 ― 1 = 0.585，
故 = 58.5．
故選：C．
【題型九：指數(shù)型函數(shù)的綜合運用】
例 9．（多選）已知定義域為R的偶函數(shù) ( )滿足 ( + 2) = ― ( ― )，當 ∈ (1,2]時 ( ) = 2 ―2，則下列
結論正確的有（ ）
A． ( ―1) = 0
B． ( )的圖象關于點(3,0)成中心對稱
C． (2024) > (2025)
D ≤ 1．
2+1 2
【答案】ABD
【分析】對 A，利用賦值法再結合偶函數(shù)即可求解；對 B，先推出 ( )的周期，再結合中心對稱的結論即
可求解；對 C，利用周期性即可求解；對 D，利用函數(shù)的奇偶性，單調性，再結合函數(shù)的對稱性即可求解.
【詳解】對 A， ∵ ( )滿足 ( + 2) = ― ( ― )，
令 = ―1，
則 (1) = ― (1)，即 (1) = 0，
又 ∵ ( )為偶函數(shù)， ∴ ( ―1) = (1) = 0，故 A 對；
對 B， ∵ ( + 2) = ― ( ― ) = ― ( )，
∴ ( + 4) = ― ( + 2) = ( ) ，
故 ( )的周期 = 4，
再根據(jù) ( + 2) = ― ( ― )，即 ( + 6) = ― ( ― )，
∴ ( )的圖象關于點(3,0)成中心對稱，故 B 對；
對 C，由 B 知： ( )的周期 = 4，
故 (2024) = (506 × 4) = (0)，
∵ ( + 2) = ― ( ― )，
令 = 0，
則 (2) = ― (0)，
又 ∵ 當 ∈ (1,2]時 ( ) = 2 ―2，
∴ (2) = 22 ―2 = 2，
即 (0) = ― (2) = ―2，
即 (2024) = (0) = ―2，
(2025) = (506 × 4 + 1) = (1) = 0，
故 (2024) < (2025)，故 C 錯誤；
對 D， ( )滿足 ( + 2) = ― ( ― )，
∴ ( )關于(1,0)中心對稱，
又 ∵ 當 ∈ (1,2]時 ( ) = 2 ―2，
∴ ( )在[0,2]上單調遞增；
1
當 = 0時， (0) = ―2 < 1 = 22 ―2 = 2 ―2，
2
當 ≠ 0時， ∵ ( )為偶函數(shù)，
∴ = | = | | = 1 ， 2+1 2+1| | |2+1 | |+ 1
| |
1
∵ 0 < 1| |+ 1 ≤ 2，| |
1
當且僅當| | = | |時，即 = 1時等號成立，
∴ ≤ 1 ，故 D 對.
2+1 2
故選：ABD.
【點睛】關鍵點點睛：解答此類有關函數(shù)性質的題目，關鍵點在于要結合函數(shù)性質，利用賦值法以及代換
法，推出函數(shù)相應的性質.

變式 9-1．已知函數(shù) 2( ) = 2 ―1+1，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù) ( )單調遞增 B．函數(shù) ( )值域為(0,2)
C．函數(shù) ( )的圖象關于(0,1)對稱 D．函數(shù) ( )的圖象關于(1,1)對稱
【答案】C
【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷方法，即可判斷 A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函
數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷 B；根據(jù)對稱性的定義， (2 ― )與 ( )的關系，即可判斷 CD.
2 2 +2―2 2
【詳解】 ( ) = 2 ―1+1 = 2 ―1+1 = 2 ― 2 ―1+1，
= 2 ― 2函數(shù) ， = 2
―1 +1，則 > 1，
又內(nèi)層函數(shù) = 2 ―1 +1在R 2上單調遞增，外層函數(shù) = 2 ― 在(1, + ∞)上單調遞增，
所以根據(jù)復合函數(shù)單調性的法則可知，函數(shù) ( )單調遞增，故 A 正確；
2 2
因為2 ―1 +1 > 1，所以0 < 2 ―1+1 < 2，則0 < 2 ― 2 ―1+1 < 2，
所以函數(shù) ( )的值域為(0,2)，故 B 正確；
22― = = 4 = 2(2 ― ) 21― +1 2+2 2 ―1+1， (2 ― ) + ( ) = 2，
所以函數(shù) ( )關于點(1,1)對稱，故 C 錯誤，D 正確.
故選：C.
變式 9-2．若實數(shù) 1， 2， 3滿足 1 2 2 = 1 3 3 = 5，則下列不等關系不可能成立的是（ ）
A． 1 < 2 < 3 B． 2 < 3 < 1
C． 1 < 3 < 2 D． 3 < 1 < 2
【答案】A
5
【分析】根據(jù)已知可得2 2 = 3 3 = ， 作出函數(shù)圖象，結合圖象即可判斷.1
5
【詳解】由題意知， 1 > 0，所以2 2 = 3 3 = ， 1
設2 2 = 3
5
3 = = （ > 0），1
5
在同一坐標系中作出函數(shù) = 2 ， = 3 ， = （ > 0）， = （ > 0），如圖所示，
當平移 = （ > 0）時，由圖可得 1， 2， 3的大小關系可能為 2 < 3 < 1， 2 = 3 < 1， 3 < 2 <
1， 3 < 2 = 1， 3 < 1 < 2， 3 = 1 < 2， 1 < 3 < 2，
故 B 項、C 項、D 項正確，A 項不可能成立.
故選：A.
變式 9-3．已知定義在 R 上的偶函數(shù) ( )滿足 ( ) = (2 ― )，當 ∈ [0,1]時， ( ) = 2 .函數(shù) ( ) =
e―| ―1|( ― 1 < < 3)，則 ( )與g( )的圖象所有交點的橫坐標之和為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】在同一坐標系內(nèi)作出 ( )與g( )的圖象，再利用圖象的對稱性即可求得 ( )與g( )的圖象所有交
點的橫坐標之和.
【詳解】函數(shù) ( ) = e―| ―1|( ― 1 < < 3)的圖象有對稱軸 = 1，
定義在 R 上的偶函數(shù) ( )滿足 ( ) = (2 ― )，
則函數(shù) ( )有對稱軸 = 0, = 1，又當 ∈ [0,1]時， ( ) = 2 ，
在同一坐標系在( ― 1,3)內(nèi)作出 ( )與g( )的圖象，
由圖象可得， ( )與g( )的圖象有 4 個交點，
又 ( )與g( )的圖象均有對稱軸 = 1，
則兩函數(shù)所有交點的橫坐標之和為 4.
故選：B

變式 9-4 2 + ．已知 ( ) = 2 + 是定義在 上的奇函數(shù)．
(1)試判斷函數(shù) ( )的單調性；
1+ ( ) 1
(2) ( ) = 1已知 1― ( )，若對任意 ∈ 且 ≠ 0，不等式 (2 ) + (2 ) ≥ ( ) + ―18恒成立，求實數(shù) ( )
m 的取值范圍．
【答案】(1)函數(shù) ( )是 上的增函數(shù)
(2) ≤ 8

【分析】（1）由 ( )是上R的奇函數(shù)求出 = ―1， = 1，然后 ( ) = 2 ―12 +1，即可判斷出其單調性；
（2）先化簡得 ( ) = 2 ，根據(jù)題意(2 + 2― )2 ―2 ≥ (2 + 2― ) ―18恒成立，利用換元法和基本不等式
可得實數(shù) m 的取值范圍．
2 + 2― +
【詳解】（1）因為 ( )是奇函數(shù)，則 ( ) + ( ― ) = 2 + + 2― + = 0，
整理得：( + )(2 + 2― ) +2 + 2 = 0，
要使上式對任意的 x 成立，
+ = 0 = 1 = ―1
則 2 + 2 = 0 ，解得 = ―1 或 = 1 ，
= 1
當 = ―1 時， ( ) =
2 +1
2 ―1的定義域為{ | ≠ 0 }，不合題意，
= ―1 ( ) = 2
―1
當 = 1 時， 2 +1的定義域為 ，符合題意，

所以 ( ) = 2 ―12 +1，對任意的 1， 2 ∈ ，( 1 < 2)

有 ( 1) ― =
2 1―1 ― 2 2―1 = 2(2 1―2 )( 22) 2 +1 2 1 2+1 (2 1+1)(2 +1) < 0，2
所以 ( 1) < ( 2)，故函數(shù) ( )是 上的增函數(shù)；
1+ ( )
（2） ( ) = 1― ( ) = 2 ，
1
因為 (2 ) + 1 (2 ) ≥ ( ) + ―18恒成立， ( )
等價為(2 + 2― )2 ―2 ≥ (2 + 2― ) ―18恒成立，
令 = 2 + 2― ， ≠ 0，
則 = 2 + 2― > 2 2 2― = 2，則 2 ―2 ≥ ― 18，
可得 ≤ + 16 在 > 2時恒成立，
16
由基本不等式 + ≥ 8，當且僅當 = 4時，等號成立，故 ≤ 8．
變式 9-5 + ( )．設函數(shù) = ( )在區(qū)間 上有定義，若對任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈ 使得： 1 22 = ，則稱函
數(shù) = ( )在區(qū)間 上具有性質 ( ).
(1)判斷函數(shù) ( ) = 2 在R上是否具有性質 (0)，并說明理由；
(2)若函數(shù) ( ) = 3 ― 1在區(qū)間[0, ]( > 0)上具有性質 (1)，求實數(shù) 的取值范圍；
(3)設 ∈ [0,2]，若存在唯一的實數(shù) ，使得函數(shù) ( ) = ― 2 +2 + 3在[0,2]上具有性質 ( )，求 的值.
【答案】(1)不具有性質 (0),理由見解析
(2)[1,3]
(3)2 ― 2， 2．
【分析】（1）原式可化為對任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈ 使得 ( 2) = ― 1 +2 ，即函數(shù) = ― 的值域為
= ( )值域的子集即可，
（2）根據(jù) = ― + 2 的值域為 = ( )值域的子集即可列不等式求解，
（3）根據(jù) = ― + 2 的值域為 = ( )值域的子集即可分類討論求解，
【解答】解：由已知得對任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈ 使得 ( 2) = ― 1 +2 ，即函數(shù) = ― + 2 ， ∈ 的
值域為 = ( )， ∈ 值域的子集，
1 1+ ( 2)【詳解】（ ）由 2 = 可得 ( 2) = ― 1 +2 ，
因為 ( ) = 2 的值域為(0, + ∞)， = ― 的值域為R，顯然R不是(0, + ∞)的子集，即函數(shù) ( ) = 2 在R上不
具有性質 (0)；
（2）函數(shù) ( ) = 3 ― 1在區(qū)間[0, ]( > 0)的值域為[ ― 1,3 ― 1]，函數(shù) = ― + 2在[0, ]上的值域為
[ ― + 2,2]，
( ) ― + 2 ≥ ―1要使函數(shù) 具有性質,只需 2 ≤ 3 ― 1 ，解得1 ≤ ≤ 3，即 的取值范圍為[1,3]；
（3）由題意 = ― + 2 的值域為[2 ― 2,2 ]，
因為 ∈ [0,2]，所以 ( ) = ― 2 +2 + 3的對稱軸 = ∈ [0,2]，且開口向下，
所以 ( )的最大值為 ( ) = 2 +3，又 (0) = 3， (2) = 4 ― 1，
當3 ≤ 4 ― 1，即2 ≥ ≥ 1時， ( )的值域為[3, 2 +3] 2 ― 2 = 3 5，要滿足題意，只需 2 = 2 + 3 ，解得 = 2， =
2 > 1，符合題意；
2 ― 2 = 4 ― 1
當4 ― 1 < 3，即0 ≤ < 1時， ( )的值域為[4 ― 1, 2 +3]，要滿足題意，只需 2 = 2 + 3 ，解得
= 2 ± 2，所以 = 2 ― 2符合題意，
綜上， 的取值為2 ― 2， 2．
一、單選題
1．已知 = 0.60.5， = 0.50.5， = 0.50.6.則（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
【答案】C
【分析】由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調性即可判斷 , , 大小關系.
【詳解】設 ( ) = 0.5 ，由指數(shù)函數(shù)的性質知 ( ) = 0.5 在 R 上單調遞減，
所以 = (0.5) = 0.50.5 > = (0.6) = 0.50.6，
令 ( ) = 0.5，由冪函數(shù)的性質知 ( ) = 0.5在[0, + ∞)單調增，
所以 = (0.6) = 0.60.5 > = (0.5) = 0.50.5，
所以 > > .
故選：C
2.已知實數(shù) a，b 滿足等式3 = 6 ，則下列關系式中不可能成立的是（ ）
A． = B．0 < <
C． < < 0 D．0 < <
【答案】D
【分析】在同一坐標系內(nèi)分別畫出函數(shù) = 3 和 = 6 的圖象，結合圖象即可判斷.
【詳解】由題意，在同一坐標系內(nèi)分別畫出函數(shù) = 3 和 = 6 的圖象，如圖所示：
由圖象知，當 = = 0時，3 = 6 = 1，所以選項A正確；
作出直線 = ，當 > 1時，若3 = 6 = ，則0 < < ，所以選項B正確；
當0 < < 1時，若3 = 6 = ，則 < < 0，所以選項C正確．
所以不可能成立的是D，
故選：D．
3.已知某程序研發(fā)員開發(fā)的小程序在發(fā)布時有 500 名初始用戶，經(jīng)過 t 天后，用戶人數(shù) ( ) = 2 ，其中
a 和 k 均為常數(shù)．已知小程序發(fā)布 5 天后有 2000 名用戶，則發(fā)布 10 天后有用戶（ ）名
A．10000 B．8000 C．4000 D．3500
【答案】B
【分析】由已知列出方程組，求解得出參數(shù)值，代入 = 10，即可得出答案.
(0) = = 500
【詳解】由題意得： (5) = 25 = 2000 ，
= 500
解得 25 = 4 ，
所以， (10) = 210 = (25 )2 = 8000．
故選：B．
4.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”
為：設 ∈ ，用[ ]表示不超過 的最大整數(shù)，則 = [ ]稱為高斯函數(shù).例如：[ ―2.1] = ―3，[3.1] = 3，已

知函數(shù) ( ) = 2 +42 +1，則函數(shù) = [ ( )]的值域為（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
【答案】C
3
【分析】先對 ( )分離常數(shù)得到 ( ) = 1 + 2 +1，即可研究函數(shù) ( )的值域，進而根據(jù)高斯函數(shù)定義求解即
可.
2 +4 3 1 3
【詳解】 ( ) = 2 +1 = 1 + 2 +1，因為2
> 0，所以2 +1 > 1，所以0 < 2 +1 < 1，即0 < 2 +1 < 3，
所以1 < ( ) < 4，即 ( ) ∈ (1,4)，所以 = [ ( )] = {1,2,3}.
故選：C
5.設 ∈ R，若函數(shù) ( )為單調函數(shù)，且對任意實數(shù) ，都有 ( ( ) ― 2 ) = 1，則 ( ―2)的值等于（ ）
― 1 ― 1 1 1A． 2 B． 4 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到 ( 1) ― ( 2) = 2 1 ― 2 2，設 ( ) = 2 + ，結合 題意求得 = 0，得到函數(shù)
( ) = 2 ，即可求得 ( ― 2)的值.
【詳解】對任意的 1, 2，總有 ( ( 1) ― 2 1) = 1且 ( ( 2) ― 2 2) = 1，
所以( ( 1) ― 2 1) = ( ( 2) ― 2 2)，
又因為函數(shù) ( )為單調函數(shù)，可得 ( 1) ― 2 1 = ( 2) ― 2 2，即 ( 1) ― ( 2) = 2 1 ― 2 2，
可設 ( ) = 2 + （其中 為常數(shù)），
所以 ( ( ) ― 2 ) = (2 ― 2 + ) = ( ) = 2 + ，
所以 ( ) = 2 + = 1 = 20 +0，所以 = 0，所以 ( ) = 2 ，可得 ( ― 2) = 14.
故選：D.
2 ―16.已知函數(shù) ( ) = ―1 32 ―1+1圖象與函數(shù) ( ) = ( ― 1) 圖象有三個交點，分別為( 1, 1),( 2, 2),( 3, 3)，則 1
+ 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = （ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
―1
【分析】求出 ( ) = 2 ―1 32 ―1+1的圖象關于(1,0)中心對稱， ( ) = ( ― 1) 關于(1,0)中心對稱，且 (1) = (1)
= 0，設( 2, 2) = (1,0)，則( 1, 1),( 3, 3)關于點(1,0)中心對稱，從而求出答案.
= 2
―1―1 = 1 ― 2【詳解】 ( ) 2 ―1+1 2 ―1+1，且 (1) = 0，
由于 (1 + ) + (1 ― ) = 1 ―
2
21+ ―1+1 +1 ―
2
21― ―1+1 = 2 ―
2
+
2
2 +1 2― +1
= 2 ― 2 + 2 = 2 ― 2 + 2×2

= 2 ― 2 = 0
1 ，2 +1 +1 2 +1 2 +12
―1
( ) = 2 ―1故 2 ―1+1的圖象關于(1,0)中心對稱，
又 ( ) = ( ― 1)3關于(1,0)中心對稱，且 (1) = 0，
不妨設( 2, 2) = (1,0)，
2 ―1 ( ) = ―1 32 ―1+1與 ( ) = ( ― 1) 的交點( 1, 1),( 3, 3)關于點(1,0)中心對稱，
即 1 + 3 = 2, 1 + 3 = 0，
故 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 2 + 1 = 3.
故選：B

7. 3 + 已知函數(shù) ( ) = 3 +1，若對任意 1、 2、 3 ∈ R，總有 ( 1)、 ( 2)、 ( 3)為某一個三角形的邊長，則
實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A 1． ,1 B．[0,1] C．[1,2] D 1． ,2
2 2
【答案】D

= 3 + = 1 + ―1【分析】根據(jù) ( ) 3 +1 3 +1，分三種情況當 = 1時，當 > 1時，當 < 1時，求得函數(shù)的值域，
問題轉化為 ( 1) + ( 2) > ( 3)，對任意 1， 2， 3 ∈ R，恒成立求解．
【詳解】解：因為 ( 1)， ( 2)， ( 3)為某一個三角形的三條邊長，
所以 ( 1) + ( 2) > ( 3)，對任意 1， 2， 3 ∈ R，恒成立，

( ) = 3 + = 3 +1+ ―1 = 1 +
―1
函數(shù) 3 +1 3 +1 3 +1，
當 = 1時， ( ) = 1，滿足 ( 1) + ( 2) > ( 3)，符合題意；
當 > 1時， ( )在R上遞減，
所以函數(shù)的值域為(1, )，
所以 ( 1) + ( 2) > 2且 ( 3) < ，
所以 ≤ 2，又 > 1，所以1 < ≤ 2，
當 < 1時， ( )在R上遞增，
函數(shù) ( )的值域為( ,1)，
所以 ( 1) + ( 2) > 2 且 ( 3) < 1，
1 1
所以1 ≤ 2 ，解得 ≥ 2，所以2 ≤ < 1，
1綜上 的取值范圍是 ,2 ．
2
故選：D．
8.設4 +3( ― 1) 2 ―1 = 0，4 +3 2 +1 ―4 = 0，則 + = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】變形得到2 ― 2― +3( ― 1) = 0和 ― 2 ―1 + 21― ―3 = 0，構造 ( ) = 2 ― 2― +3( ― 1)，
由函數(shù)單調性得到 = 1 ― ，求出答案.
【詳解】由題意得4 +3( ― 1) 2 ―1 = 0，方程兩邊同除以2 得，
2 ― 2― +3( ― 1) = 0，
同理4 +3 2 +1 ―4 = 0同時除以2 +1得，2 ―1 ― 21― +3 = 0，即 ― 2 ―1 + 21― ―3 = 0，
設 ( ) = 2 ― 2― +3( ― 1)，則 ( ) = 0， (1 ― ) = 0，
因為 ( ) = 2 ― 2― +3( ― 1)在 R 上單調遞增，
故 = 1 ― ，所以 + = 1.
故選：B
二、多選題
9．已知函數(shù) = ― （ > 0且 ≠ 1）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
A． > 1 B． + > 1 C． > 1 D．2 ― < 1
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出 、 的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的基本性質可判斷 ACD 選項，利用不等式的
基本性質可判斷 B 選項.
【詳解】由圖象可知，函數(shù) = ― （ > 0且 ≠ 1）在 上單調遞增，則 > 1，
且當 = 0時， = 1 ― ∈ (0,1)，可得0 < < 1.
對于 A 選項， > 0 = 1，A 對；
對于 B 選項， + > > 1，B 對；
對于 C 選項， < 0 = 1，C 錯；
對于 D 選項，由題意可知，0 < < 1 < ，則 ― < 0，所以，2 ― < 20 = 1，D 對.
故選：ABD.
10. 設函數(shù) ( ) = 2 ―1 + 21― ，則下列說法錯誤的是（　　）
A． ( )在(0, + ∞)上單調遞增
B． ( )為奇函數(shù)
C． ( )的圖象關于直線 = 1對稱
D． ( )的圖象關于點(1,0)對稱
【答案】ABD
【分析】對于 B,因為 ( ) = 2 ―1 + 21― 1的定義域為 R,但 (0) = 2 +2 ≠ 0，故 ( )不是奇函數(shù)；對于 C,只需
驗證 (2 ― ) = ( )是否成立即可；對于 D,只需驗證 (2 ― ) + ( ) = 0是否成立即可；結合 C,D 可以判斷
A.
【詳解】∵ ( ) = 2 ―1 + 21― ，
∴ (2 ― ) = 21― + 2 ―1 = ( )，
即 (2 ― ) = ( )，
即 ( )的圖象關于直線 = 1對稱，故 C 正確，A，D 錯誤；
∵因為 ( ) = 2 ―1 + 21― 1的定義域為 R,但 (0) = 2 +2 ≠ 0，
∴ ( )不是奇函數(shù)，故 B 錯誤．
故選：ABD.
11.已知函數(shù) ( ) = |2 ― 1|，當 < < 時，有 ( ) > ( ) > ( )．給出以下命題，則正確命題的有
（ ）
A． + < 0 B． + < 0 C．2 + 2 > 2 D．2 + 2 > 2
【答案】AD
【分析】作出函數(shù) ( )的圖象，由數(shù)形結合判斷四個選項的正誤.
【詳解】 ( )的圖象如下圖所示,由圖可知 ( )在( ― ∞,0)單調遞減，在[0, + ∞)上單調遞增
因為 < < ，
若 < 0，因為 ( )在( ― ∞,0)單調遞減，此時不滿足 ( ) > ( ) > ( )
所以 > 0，同理可得 < 0， ∴ < 0 <
因為 ( ) > ( )，所以| | >
所以 ― > ，即 + < 0，A對.
( ) = |2 ― 1| = 1 ― 2 > ( ) = 2 ― 1
即2 + 2 < 2，C錯.
若 > 0，因為 ( ) > ( ) > ( )
所以| | > > > 0 >
此時 + > 0，C錯，2 + 2 > 20 + 20 = 2，D對.
若 < 0,因為 ( ) > ( ) > ( )
所以| | > | | > > 0 > >
( ) = 2 ― 1 > ( ) = |2 ― 1| = 1 ― 2
即2 + 2 > 2
綜上所述，D對.
故選：
三、填空題
12．指數(shù)函數(shù) = （ > 0且 ≠ 1）的圖像過點(2,4)，若 = 2時， = 1； = 4時， = 2，則 1 2
= ．
【答案】64
【分析】將點(2,4)代入解析式得出 ，進而由解析式得出 1 2.
【詳解】因為指數(shù)函數(shù) = （ > 0且 ≠ 1）的圖像過點(2,4)，
所以 2 = 4, = 2或 = ―2（舍）.
若 = 2時， = 21 = 2 = 4； = 4時， = 2 = 24 = 16，
因此 1 2 = 4 × 16 = 64.
故答案為：64.
13.已知 ( ) = 2― ― 2 ― ，則 ( 2 ―3) + (2 ) < 0的解集為 ．
【答案】( ― ∞, ― 3) ∪ (1, + ∞)
【分析】探討給定函數(shù)的奇偶性及單調性，再解不等式即得.
【詳解】函數(shù) ( ) = 2― ― 2 ― 的定義域為 R， ( ― ) = 2 ― 2― + = ― ( )，則 ( )是 R 上的奇函數(shù)，
函數(shù) = 2― , = ― 2 , = ― 在 R 上都單調遞減，則函數(shù) ( )在 R 上單調遞減，
不等式 ( 2 ―3) + (2 ) < 0 ( 2 ―3) < ― (2 ) = ( ― 2 )，因此 2 ―3 > ―2 ，
即 2 +2 ― 3 > 0，解得 < ―3或 > 1，
所以原不等式的解集為( ― ∞, ― 3) ∪ (1, + ∞).
故答案為：( ― ∞, ― 3) ∪ (1, + ∞)
2 +1
14. 1已知函數(shù) ( ) = 2 ―2 + 2， ( ) = ― ，若對任意 2 1 ∈ [0,3]，都存在 2 ∈ [ ―2, ― 1]，使得
( 1) ≤ ( 2)，則實數(shù) m 的取值范圍是 ．
【答案】( ―∞,3]
【分析】對任意 1 ∈ [0,3]，都存在 2 ∈ [ ―2, ― 1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，只需 ( )max ≤ ( )max即可，分別
2 +1
求出 ( ) = 2 ―2 + 2 = ( ― 1)2 +1 [0,3] ( ) = 1在 的最大值及 ― 2 在[ ―2, ― 1]上的最大值，則答
案可求.
【詳解】 ( ) = 2 ―2 + 2 = ( ― 1)2 +1，
( )在( ―∞,1)上單調遞減，在[1, + ∞)上單調遞增，
所以當 ∈ [0,3]時， ( )max = (3) = 5，
2 +1
( ) = 1 ― 2 在 R 上單調遞減，
所以當 ∈ [ ―2, ― 1]時， ( )max = ( ―2) = 8 ― ，
因為對任意 1 ∈ [0,3]，都存在 2 ∈ [ ―2, ― 1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，
所以只需 ( )max ≤ ( )max即可，即5 ≤ 8 ― ，解得 ≤ 3，
即 m 的取值范圍是( ―∞,3]．
故答案為：( ―∞,3].
四、解答題
15 ( ) = + 1, ≤ 0．已知函數(shù) 2 , > 0
(1) 1求 ― 的值；
2
(2)畫出函數(shù) ( )的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù) ( )的單調區(qū)間；
(3)若 ( ) ≥ 2，求 x 的取值范圍.
【答案】(1) 2；
(2)圖象見解析，遞增區(qū)間為R，無遞減區(qū)間；
(3) ≥ 1.
【分析】（1）根據(jù)解析式求函數(shù)值即可；
（2）由分段函數(shù)解析式，結合指數(shù)函數(shù)性質畫出函數(shù)大致圖象，進而判斷單調性；
（3）根據(jù)（2）所得圖象，數(shù)形結合確定 x 的取值范圍.
1 1 1 1
【詳解】（1 1）由題設 ( ― 2) = ― 2 +1 = 2，則 ― = (2) = 2；2
（2）
所以 ( )的遞增區(qū)間為R，無遞減區(qū)間.
（3）由（2）知： ( ) ≥ 2，即 ≥ 1.
16.已知函數(shù) ( ) = （其中 ， 為常量，且 > 0， ≠ 1， ≠ 0）的圖象經(jīng)過點 (1,10)， (2,50)．
(1)求 ， 的值;

(2) 1若關于 的不等式 ― ≥ + 3 在[ ―2,2]上有解，求 的取值范圍．
【答案】(1) = 5， = 2
(2) ―∞, 24
25
【分析】（1）把 , 兩點坐標代入函數(shù)解析式，求 ， 的值；

（2 1）證明函數(shù) ( ) = ― 在[ ―2,2]上單調遞增，有 (2) ≥ + 3，可求 的取值范圍．
【詳解】（1）函數(shù) ( ) = 的圖象經(jīng)過點 (1,10)， (2,50)，
= 10 = 5
得 2 = 50 ，解得 = 2 ；
（2）由（1）得 = 5， = 2，

因為函數(shù) = = 2 在[ ―2,2] 1 1上單調遞增，函數(shù) = = 5 在[ ―2,2]上單調遞減，

所以 ( ) = ― 1 在[ ―2,2]上單調遞增，
1 2 = 22 ― = 99所以 ( )在[ ―2,2]上的最大值為 (2) 5 25，
1
因為關于 的不等式 ― ≥ + 3 在[ ―2,2]上有解，
所以 + 3 ≤ 9925，解得 ≤
24
25，
即 的取值范圍為 ―∞, 24 .
25
17. 1 已知函數(shù) = ( )的表達式為 ( ) = ( > 0, ≠ 1)，且 ( ―2) = 4，
(1)求函數(shù) = ( )的解析式;
(2)若方程 ( ( )) ― 4 ( ) = ― 1有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù) m 的取值范圍;
【答案】(1) ( ) = 2
(2)( ―3,1)
【分析】（1）代入點的坐標求解即可；
（2）結合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖像求解即可
1
【詳解】（1） ( ―2) = ―2 = 4,故 = 2,
所以 ( ) = 2 .
（2）方程 ( ( )) ― 4 ( ) = ― 1，即( ( ) ― 2)2 = + 3，
∵ ( ) = 2 ， ∴ ( ) ∈ (0, + ∞)，
若方程 ( ( ) ― 2)2 = + 3有兩個不同的實數(shù)解，令 = ( ), ∈ (0, + ∞)
所以方程 ( ― 2)2 = + 3, ∈ (0, + ∞)有兩個不同的實數(shù)解
所以 + 3 ∈ (0,4)，即 ∈ ( ―3,1)
此時方程 ( ( )) ― 4 ( ) = ― 1有兩個不同的實數(shù)解，
故 ∈ ( ―3,1).
18.已知函數(shù) ( ) = 2 ― 2― 是定義在 上的奇函數(shù).
(1)求 的值，并證明： ( )在 上單調遞增；
(2)求不等式 (3 2 ― 5 ) + ( ― 4) > 0的解集；
(3)若 ( ) = 4 + 4― ―2 ( )在區(qū)間[ ―1, + ∞)上的最小值為 ―2，求 的值.
【答案】(1) = 1
{ | > 2 < ― 2(2) 或 3}；
= 2 ― 25(3) 或 12．
【分析】（1）由奇函數(shù)性質得 (0) = 0，解出 ；由單調性的定義即可求解，
（2）由函數(shù)單調性、奇偶性可把不等式轉化為具體不等式，解出即可；
（3） ( ) = 22 + 2―2 ―2 (2 ― 2― ) = (2 ― 2― )2 ―2 (2 ― 2― ) + 2，令 = ( ) = 2 ― 2― ， ( )可
化為關于 的二次函數(shù)，分情況討論其最小值，令最小值為 ―2，解出即可；
【詳解】（1） ∵ ( )是定義域為R上的奇函數(shù)，
∴ (0) = 0， ∴ 20 ― 2―0 = 0， ― 1 = 0， ∴ = 1，
此時 ( ) = 2 ― 2― , ( ― ) = 2― ― 2 = ― ( )，
經(jīng)檢驗， = 1符合題意；
函數(shù)的定義域為R，在R上任取 1， 2，且 1 ― 2 < 0，
1
( 2) ― ( 1) = 2 2 ― 2― 2 ― 2 1 + 2― 1 = (2 2 ― 2 1)(1 + 2 1+ ) > 02
∴ 函數(shù)在R上單調遞增，
（2）由（1）可知 ( ) = 2 ― 2― ，且在R上單調遞增的奇函數(shù)，
由 (3 2 ― 5 ) + ( ― 4) > 0可得 (3 2 ― 5 ) > (4 ― )，
∴ 3 2 ―5 > 4 ― ，即3 2 ―4 ― 4 = (3 + 2)( ― 2) > 0，
∴ > 2或 < ― 23，
∴ 不等式的解集為{ | > 2或 < ― 23}；
（3） ∵ ( ) = 2 ― 2― ， ( ) = 4 + 4― ―2 ( )
∴ ( ) = 22 + 2―2 ―2 (2 ― 2― ) = (2 ― 2― )2 ―2 (2 ― 2― ) + 2．
令 = ( ) = 2 ― 2― ， ∵ ≥ ―1， ∴ ≥ 3( ―1) = ― 2，
∴ ( ) = 2 ―2 + 2 = ( ― )2 +2 ― 2，
當 ≥ ― 32時，當 = 時， ( ) = 2 ―
2
min = ―2，則 = 2（ = ―2舍去）；
當 < ― 3 3 17 25 32時，當 = ― 2時， ( )min = 4 +3 = ―2，解得 = ― 12 < ― 2，符合要求，
綜上可知 = 2或 ― 2512．
19 ( ) =
+
．已知 ― （ > 0且 ≠ 1
1
）是 上的奇函數(shù)，且 (1) = 3
(1)求 ( )的解析式；
(2)把區(qū)間(0,2)等分成2 份，記等分點的橫坐標依次為 , = 1,2,3, ,2 ― 1， ( ) =
5 2
4 ― 2 ―1+1，記 ( )
(2 )
= ( 1) + ( 2) + ( 3) + + ( 2 ―1)( ∈ )，是否存在正整數(shù) n，使不等式 ( ) ≥ ( )有解？若存
在，求出所有 n 的值，若不存在，說明理由；
(3)函數(shù) ( )在區(qū)間[ , ]( < ) 上的值域是 , ( ∈ )，求 的取值范圍．2 2
2 ―1
【答案】(1) ( ) = 2 +1
(2)存在， = 1,2,3,4
(3) ―3+2 2 ,0
2
【分析】（1）根據(jù) (0) = 0， (1) =
1
3，即可求出 , 的值，從而可求函數(shù)的解析式；
1
（2）設等分點的橫坐標為 = ， = 1,2,3, ,2 ― 1.首先根據(jù) ( ) = ( ― 1) + 4，可得到函數(shù) ( )的圖
1 + = 1 = 1,2,3 ,2 ― 1 = 2 ―1象關于點 1, 對稱，從而可得到 ( ) (2 ― ) 2， ；進而可求出 ( ) 2 ；再4
(2 ) 2 2 ―1
根據(jù) ( ) = 1 + 2 +2― ≤ 2，從而只需求 ( ) = 2 ≤ 2即可；
（3）利用區(qū)間的定義以及指數(shù)函數(shù)的單調性，得到 < 0，利用函數(shù) ( )的單調性，將問題進行轉化，利
用換元法，將問題進一步轉化為二次方程根的分布問題，列出方程組，求解即可.
【詳解】（1）∵ ( )是 上的奇函數(shù)，∴ (0) = 0，
1+ = 0
由 1― + 1 ，可得 = ―1， 2 = 4，=
― 3

∵ > 0，∴ = ―1， = 2，所以 ( ) = 2 ―12 +1.
1
―
( ― ) = 2 ―1
―1
又 2
2 ―1 2 ―1
2― +1 = 1 +1 = ― 2 +1 = ― ( )，所以 ( ) = 2 +1為奇函數(shù).
2
2 ―1
所以 ( ) = 2 +1.

（2）把區(qū)間(0,2)等分成2 份，則等分點的橫坐標為 = ， = 1,2,3, ,2 ― 1，
= 5 ― 2 2 1 1又 ( ) 4 2 ―1+1 = 1 ― 2 ―1+1 + 4 = ( ― 1) + 4， ( )為奇函數(shù)，
1
所以 ( )的圖象關于點 1, 1 對稱，所以 ( ) + (2 ― 4 ) = 2， = 1,2,3 ,2 ― 1，
( ) = 1 + 2 + + 2 ―2 + 2 ―1所以

1 2 ― 1 2 2 ― 2 ― 1 + 1
= + + + + + + +
= 1 + 1 + + 1 + 1 = 2 ―1
2 2 2 4 4 ，

― 1項
22 ―1
(2 ) 2
因為 = 22 +1 ( ) 2 ―1 =
(2 +1) 2
(2 )2+1 = 1 + 2 +2― ≤ 2，所以 ( ) =
2 ―1 ≤ 2 94 ，即 ≤ 2.
2 +1
(2 )
故存在正整數(shù) = 1,2,3,4，使不等式 ( ) ≥ ( )有解.
（3）因為 < 1 1，所以 2 < 2 ，從而 2 > 2 ,

又 , 知 2 2 2 < 2 ，所以 < 0,
2 ―1
由（1）知，函數(shù) ( ) = 2 +1 = 1 ―
2
2 +1為( ― ∞, + ∞)上的單調增函數(shù).

因為函數(shù) ( )在區(qū)間[ , ]( < )上的值域是 , ,
2 2

( ) = 2 ―1 =

所以 2 ,即 2 +1 2
( ) = 2 ―1 =
2 2 +1 2
2
―1
從而關于 的方程2 +1 = 2 有兩個互異實根.
令 = 2 > 0，所以方程 2 ― (1 + ) ― = 0有兩個互異正根.
+ 1 > 0
所以 (1 + )2 + 4 > 0 ，解得， ―3 + 2 2 < < 0.
< 0
∴ =
∈ ―3+2 22 ,0 .2
【點睛】關鍵點點睛：第（3）小問，解題的關鍵是通過函數(shù)的單調性，利用函數(shù) ( )在區(qū)間[ , ]( < )

上的值域是 , ，列出關系式，兩式相結合求解 的范圍，考查數(shù)學轉化思想和計算能力.2 24.2 指數(shù)函數(shù)
課程標準 學習目標
（1）通過具體實例, 了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,
（1）理解指數(shù)函數(shù)的定義;
理解指數(shù)函數(shù)的概念;
（2）了解指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減；
（2）能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)
（3） 掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質；
函數(shù)的圖象, 探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與
（4）掌握指數(shù)函數(shù)圖象與性質的應用.（難點)
特殊點。
知識點 01 指數(shù)函數(shù)的概念
（1）概念
一般地，函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域為 .
解釋
(1)指數(shù)函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)中系數(shù)為1，底數(shù)是不為1的正實數(shù)的常數(shù)，指數(shù)是變量x.注意與冪函數(shù)的
區(qū)別，如y = 2 是指數(shù)函數(shù)，y = x3是冪函數(shù).
(2)指數(shù)函數(shù)中為什么要限制 > 0且 ≠ 1呢？
① 若a < 0 1 1，則對于x的某些值a 無意義，如( ―2) ，此時x取 、2 4…等沒意義；其函數(shù)圖象沒明顯特點；
② 若a = 0或a = 1時，函數(shù)沒研究價值.
（2）指數(shù)爆炸和指數(shù)增長
①當?shù)讛?shù)a > 1時，指數(shù)函數(shù)的值歲自變量的增長而增大，底數(shù)較大時指數(shù)函數(shù)的值增長速度驚人，被稱為
指數(shù)爆炸；
+
② 指數(shù)函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)在長為T的周期區(qū)間[ , + ]中函數(shù)值增長a + ― a a ―a，增長率為 a =
―1，它是個常量，我們稱之為指數(shù)式增長，也稱指數(shù)增長。
（3）指數(shù)衰減
當?shù)讛?shù)a滿足0 < < 1時，指數(shù)函數(shù)值歲自變量的增長而縮小以至無限接近于0，這叫做指數(shù)衰減.
指數(shù)衰減的特點是：在一個既定的時間周期中，其縮小百分比是一個常量.
【即學即練 1】
若指數(shù)函數(shù) ( )的圖象過點(3,8)，則 ( )的解析式為（ ）
1
A． ( ) = B． ( ) = 3 C． ( ) = 2 D． ( ) = 12
知識點 02 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質
函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù)
定義 函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)叫做指數(shù)函數(shù)
> 1 0 < < 1
圖象
定義域
值域 (0, + ∞)
過定點 圖象過定點(0,1)，即當 = 0時， = 1．
奇偶性 非奇非偶
單調性 在 上是增函數(shù) 在 上是減函數(shù)
變化對圖
在第一象限內(nèi)， 越大圖象越高；在第二象限內(nèi)， 越大圖象越低．
象的影響
【即學即練 2】
1
已知 ( ) = 2, ( ) = ( ) ― ， 若對 1 ∈ [ ―1,3]， 2 ∈ [0,2]， ( 1) ≥ ( 2)2 ，則實數(shù) 的取值范圍是
（ ）
A．[14, + ∞)
35
B．[ ― 4 , + ∞) C．[1, + ∞) D．[ ― 8, + ∞)
【題型一：指數(shù)函數(shù)的判定與求值】
例 1． 已知函數(shù) ( )為指數(shù)函數(shù)， ( )為冪函數(shù)，若 ( ) = ( ) + ( )，且 (1) = 3，則 ( ―1) = ．
變式 1-1．若指數(shù)函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點(2，9)，則 f(－1)＝ .
變式 1-2．已知指數(shù)函數(shù) ( )圖象過點(3,27)，則 (2)等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【方法技巧與總結】
1 一般地，函數(shù) = ( > 0且 ≠ 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域為 .
2 可用待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)的解析式.
【題型二：指數(shù)型函數(shù)圖像過定點問題】
例 2．函數(shù) ( ) = +2 ―3的圖象過定點 ，且定點 的坐標滿足方程 + + 2 = 0，其中 > 0，
> 0 1 4，則 + 的最小值為（ ）
A．6 + 4 2 B．9 C．5 + 2 2 D．8
變式 2-1．函數(shù) ( ) = ―2 +3( > 0且 ≠ 1)的圖象必經(jīng)過定點（ ）
A．(0,1) B．(1,1) C．(2,3) D．(2,4)
變式 2-2．已知函數(shù) ( ) = ―2 +1( > 0, ≠ 1)恒過定點 ( , )，則函數(shù) ( ) = ― 不經(jīng)過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧與總結】
指數(shù)型函數(shù)y = a ― + (m, 是常數(shù))過定點( , + 1)，過定點指的是該函數(shù)不管a取什么數(shù)，函數(shù)均過的點.
【題型三：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖像判斷參數(shù)的范圍】
例 3．若直線 = 2 與函數(shù) = | ― 1|（ > 0，且 ≠ 1）的圖象有兩個公共點，則 的取值可以是（ ）
1 1
A．4 B．2 C．2 D．4
變式 3-1．若函數(shù) = 2― +1 + 的圖象不經(jīng)過第一象限，則 的取值范圍是（ ）
A． ≤ ―2 B． ≥ ―2 C． ≤ ―1 D． ≥ ―1

變式 3-2．若直線 = 2與函數(shù) = |
― 1|（ > 0且 ≠ 1）的圖象有兩個公共點，則 的取值不可以是
（ ）
3 3 3
A．8 B．4 C．2 D．3
|2
― 1|, < 2,
變式 3-3．已知函數(shù) ( ) = 3 , ≥ 2, 若函數(shù) = ( )圖象與直線 = 有且僅有三個不同的交點，則實
―1
數(shù) k 的取值范圍是（ ）
A． > 0 B．0 < < 1 C．0 < < 3 D．1 < < 3
【方法技巧與總結】
函數(shù)圖象的變換
（1）平移變換，口訣：左加右減，上加下減
（2）對稱變換
軸
= ( ) = ― ( )
例： = ― 圖像可看成 = 圖像關于 軸對稱得到.
軸
= ( ) = ( ― )
例： = ― 圖像可看成 = 圖像關于 軸對稱得到.
（3） 翻折變換
去掉 y 軸左邊圖像
= ( )保留 y 軸右邊圖像，并作其關于 y 軸對稱圖像 = (| |)
例： = | |的圖像可看成由 = 圖像對稱變換得到.
保留 x 軸上方圖像
= ( )將 x 軸下方圖像翻折上去 = | ( ) |
例： = | |的圖像可看成由 = 圖像對稱變換得到.
【題型四：比較指數(shù)冪的大小】
例 4．設 = 0.1e0.2, = 110, = 0.2e
0.1，則下列選項正確的是（ ）
A． < < B． < <
C． < < D． < <
2 3 3
4-1 = 4 3 = 2 4 4 5變式 ．已知 5 ， =3 ， 9 ，則 a，b，c 的大小關系是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
變式 4-2．已知 = 0.32， = 20.1， = 30.2，則 ， ， 的大小關系是（ ）
A． < < B． < <
C．b1
變式 4-3 2 3．設 = ， = 1.5―0.2， = 0.80.23 ，則（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
【方法技巧與總結】
比較指數(shù)冪數(shù)值大小的方法很多，當?shù)讛?shù)相等的指數(shù)冪可利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較，當指數(shù)相等的指數(shù)
冪可利用冪函數(shù)利用中間值(常常是 0 或 1)比較，利用作差作商比較等等.
【題型五：求指數(shù)型函數(shù)的值域】
例 5．已知 ( ) = 2 ―2 + , ( ) = e2 ―1 ―1，若對 1 ∈ [0,3], 2 ∈ 1 , 3 ，使得 ( 1) = ( 2)，則實數(shù)2 2
的取值范圍是（ ）
A．[2,e2 ― 4] B．[1,e2 ― 5] C．[2,e2 ― 5] D．[1,e2 ― 4]
5-1 = (2 ― ) + 3 , < 1變式 ．已知函數(shù) ( ) 2 2+2 ―2 ― 1, ≥ 1 的值域為 R，則 a 的取值范圍是（ ）
A．[ ―1,2) B．( ―1,2)
C ― 1． ,2 D ― 1． ,2
2 2
變式 5-2 2．已知函數(shù) ( ) = 2 ― +1的值域為 ．若(1, + ∞) ，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A． ―∞, 1 B． 0, 1 C 1 1 1． ―∞, ― ∪ , + ∞ D． , + ∞
4 4 4 4 4
【方法技巧與總結】
利用指數(shù)函數(shù)的單調性可求指數(shù)型式子的值域。
【題型六：指數(shù)函數(shù)最值與不等式綜合問題】
例 6．已知 ( )為奇函數(shù)， ( )為偶函數(shù)，且滿足 ( ) + ( ) = 2― ，若對任意的 ∈ [ ―1,1]都有不等式
( ) ― ( ) ≥ 0成立，則實數(shù) 的最小值為（ ）.
1 3 3
A．3 B．5 C．1 D． ― 5
變式 6-1．已知函數(shù) ( ) = 22 ― 2 +4，若 ( ) ≥ 0恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為（ ）
A．( ― ∞,4] B．( ― ∞,2] C．[4, + ∞) D．[2, + ∞)

變式 6-2．已知函數(shù) ( ) = e + , < 2 + 2 , ≥ ， ( )不存在最小值，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A．( ― 1,0) B 1． , + ∞ C 1 1．( ― 1,0) ∪ , + ∞ D． ― ,0 ∪ (1, + ∞)
3 3 3
變式 6-3．若 ∈ ( ―∞, ― 1]，不等式( ― 2)4 + 2 +1 > 0恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是（ ）
A． < ―2或 > 3 B． ≤ 0或 ≥ 1
C． ―2 < < 3 D．0 ≤ ≤ 1
【方法技巧與總結】
1 恒成立問題常常可轉化為最值問題:
① ∈ , ( ) < 恒成立，則 ( ) < ；
② ∈ , ( ) > 恒成立，則 ( ) > ；
③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，則 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，則 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0;
2 處理恒成立問題方法很多，可直接求解函數(shù)最值或分類參數(shù)法等；
a +
3 遇到求類似 + 形式的最值，可用分離常數(shù)法活換元法處理.
【題型七：指數(shù)型函數(shù)圖象變換的應用】
+1
7 ( ) = |3 ― 1|, ≤ 1例 ．設函數(shù) 9 ― , > 1 ，若實數(shù) , , 滿足： < < ，且 ( ) = ( ) = ( )，則 = 3
+
3 + 的取值范圍為（ ）
A．(2,9) B．(9,11) C 5． , 28 D 26 , 29．
3 3 3 3
變式 7-1．對于函數(shù) ( ) = 2| |, ( ) = 2| ―1|，則（ ）
A． ( )與 ( )具有相同的最小值
B． ( )與 ( )在(0, + ∞)上具有相同的單調性
C． ( )與 ( )都是軸對稱圖形
D． ( )與 ( )在( ―∞,0)上具有相反的單調性
變式 7-2．已知函數(shù) ( ) = |3 ― 1|, < < 且 ( ) > ( ) > ( )，則下列結論中，一定成立的是（ ）
A． < 0, < 0, < 0 B． < 0, ≥ 0, > 0
C． < 0, = ― , > 0 D．3 + 3 > 2
變式 7-3．已知定義在 R 上的偶函數(shù) ( )，當 ≤ 0時， ( ) = |e +1 ― 1|，則不等式 ( ) ― 2 e + 1 > 0的
解集為（ ）
A 0, 1． B． ―∞, 1 C． 2 , + ∞ D． ―∞, 2
2 2 2 2
【題型八：指數(shù)函數(shù)的實際應用】
例 8．有容積相等的桶 和桶 ，開始時桶 中有 升水，桶 中無水．現(xiàn)把桶 中的水注入桶 中， 分鐘
后，桶 的水剩余 1 = （升），其中 為正常數(shù)．假設 5 分鐘后，桶 和桶 中的水相等，要使桶 中的

水只有16升，必須再經(jīng)過（ ）
A．12 分鐘 B．15 分鐘 C．20 分鐘 D．25 分鐘
變式 8-1．某試驗小組研究某種植物在一定條件下的生長規(guī)律，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可知，在相同條件下，這種
3
植物每周以 %的增長率生長.若經(jīng)過4周后，該植物的長度是原來的2倍，則再經(jīng)過6周，該植物的長度大約
是原來的（ ）
A 9 6 B 9 6 C 9 6 D 9 6． 倍 ． 倍 ． 倍 ． 倍
2 4 8 16
變式 8-2．核酸檢測在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依據(jù)之一，核酸檢測是用熒光定量 PCR
法進行的，通過化學物質的熒光信號，對在 PCR 擴增過程中的靶標 DNA 進行實時檢測．已知被標靶的
DNA 在 PCR 擴增期間，每擴增一次，DNA 的數(shù)量就增加 %．若被測標本 DNA 擴增 5 次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?br/>的 10 倍，則 p 的值約為（ ）．（參考數(shù)據(jù)：100.2 ≈ 1.585，10﹣0.2 ≈ 0.631）
A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1
【題型九：指數(shù)型函數(shù)的綜合運用】
例 9．（多選）已知定義域為R的偶函數(shù) ( )滿足 ( + 2) = ― ( ― )，當 ∈ (1,2]時 ( ) = 2 ―2，則下列
結論正確的有（ ）
A． ( ―1) = 0
B． ( )的圖象關于點(3,0)成中心對稱
C． (2024) > (2025)
D． ≤ 1
2+1 2

變式 9-1．已知函數(shù) = 2( ) 2 ―1+1，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù) ( )單調遞增 B．函數(shù) ( )值域為(0,2)
C．函數(shù) ( )的圖象關于(0,1)對稱 D．函數(shù) ( )的圖象關于(1,1)對稱
變式 9-2．若實數(shù) 1， 2， 3滿足 1 2 2 = 1 3 3 = 5，則下列不等關系不可能成立的是（ ）
A． 1 < 2 < 3 B． 2 < 3 < 1
C． 1 < 3 < 2 D． 3 < 1 < 2
變式 9-3．已知定義在 R 上的偶函數(shù) ( )滿足 ( ) = (2 ― )，當 ∈ [0,1]時， ( ) = 2 .函數(shù) ( ) =
e―| ―1|( ― 1 < < 3)，則 ( )與g( )的圖象所有交點的橫坐標之和為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9-4 ( ) = 2
+
變式 ．已知 2 + 是定義在 上的奇函數(shù)．
(1)試判斷函數(shù) ( )的單調性；
1+ ( ) 1
(2) 1已知 ( ) = 1― ( )，若對任意 ∈ 且 ≠ 0，不等式 (2 ) + (2 ) ≥ ( ) + ―18恒成立，求實數(shù) ( )
m 的取值范圍．
變式 9-5．設函數(shù) = ( )在區(qū)間 上有定義，若對任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈
+ ( )
使得： 1 22 = ，則稱函
數(shù) = ( )在區(qū)間 上具有性質 ( ).
(1)判斷函數(shù) ( ) = 2 在R上是否具有性質 (0)，并說明理由；
(2)若函數(shù) ( ) = 3 ― 1在區(qū)間[0, ]( > 0)上具有性質 (1)，求實數(shù) 的取值范圍；
(3)設 ∈ [0,2]，若存在唯一的實數(shù) ，使得函數(shù) ( ) = ― 2 +2 + 3在[0,2]上具有性質 ( )，求 的值.
一、單選題
1．已知 = 0.60.5， = 0.50.5， = 0.50.6.則（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
2.已知實數(shù) a，b 滿足等式3 = 6 ，則下列關系式中不可能成立的是（ ）
A． = B．0 < < C． < < 0 D．0 < <
3.已知某程序研發(fā)員開發(fā)的小程序在發(fā)布時有 500 名初始用戶，經(jīng)過 t 天后，用戶人數(shù) ( ) = 2 ，其中
a 和 k 均為常數(shù)．已知小程序發(fā)布 5 天后有 2000 名用戶，則發(fā)布 10 天后有用戶（ ）名
A．10000 B．8000 C．4000 D．3500
4.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”
為：設 ∈ ，用[ ]表示不超過 的最大整數(shù)，則 = [ ]稱為高斯函數(shù).例如：[ ―2.1] = ―3，[3.1] = 3，已

知函數(shù) ( ) = 2 +42 +1，則函數(shù) = [ ( )]的值域為（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2}
5.設 ∈ R，若函數(shù) ( )為單調函數(shù)，且對任意實數(shù) ，都有 ( ( ) ― 2 ) = 1，則 ( ―2)的值等于（ ）
― 1 ― 1 1 1A． 2 B． 4 C．2 D．4
―1
6. 2 ―1已知函數(shù) ( ) = 2 ―1+1圖象與函數(shù) ( ) = ( ― 1)
3圖象有三個交點，分別為( 1, 1),( 2, 2),( 3, 3)，則 1
+ 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = （ ）
A．1 B．3 C．6 D．9

7. 3 + 已知函數(shù) ( ) = 3 +1，若對任意 1、 2、 3 ∈ R，總有 ( 1)、 ( 2)、 ( 3)為某一個三角形的邊長，則
實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A 1． ,1 B 1．[0,1] C．[1,2] D． ,2
2 2
8.設4 +3( ― 1) 2 ―1 = 0，4 +3 2 +1 ―4 = 0，則 + = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多選題
9．已知函數(shù) = ― （ > 0且 ≠ 1）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
A． > 1 B． + > 1 C． > 1 D．2 ― < 1
10. 設函數(shù) ( ) = 2 ―1 + 21― ，則下列說法錯誤的是（　　）
A． ( )在(0, + ∞)上單調遞增
B． ( )為奇函數(shù)
C． ( )的圖象關于直線 = 1對稱
D． ( )的圖象關于點(1,0)對稱
11.已知函數(shù) ( ) = |2 ― 1|，當 < < 時，有 ( ) > ( ) > ( )．給出以下命題，則正確命題的有
（ ）
A． + < 0 B． + < 0 C．2 + 2 > 2 D．2 + 2 > 2
三、填空題
12．指數(shù)函數(shù) = （ > 0且 ≠ 1）的圖像過點(2,4)，若 = 2時， = 1； = 4時， = 2，則 1 2
= ．
13.已知 ( ) = 2― ― 2 ― ，則 ( 2 ―3) + (2 ) < 0的解集為 ．
2 +1
14.已知函數(shù) ( ) = 2 ―2 + 2 ( ) = 1， ― ，若對任意 2 1 ∈ [0,3]，都存在 2 ∈ [ ―2, ― 1]，使得
( 1) ≤ ( 2)，則實數(shù) m 的取值范圍是 ．
四、解答題
15．已知函數(shù) ( ) = + 1, ≤ 02 , > 0
(1) 1求 ― 的值；
2
(2)畫出函數(shù) ( )的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù) ( )的單調區(qū)間；
(3)若 ( ) ≥ 2，求 x 的取值范圍.
16.已知函數(shù) ( ) = （其中 ， 為常量，且 > 0， ≠ 1， ≠ 0）的圖象經(jīng)過點 (1,10)， (2,50)．
(1)求 ， 的值;

(2) 1若關于 的不等式 ― ≥ + 3 在[ ―2,2]上有解，求 的取值范圍．
17. 1 已知函數(shù) = ( )的表達式為 ( ) = ( > 0, ≠ 1)，且 ( ―2) = 4，
(1)求函數(shù) = ( )的解析式;
(2)若方程 ( ( )) ― 4 ( ) = ― 1有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù) m 的取值范圍;
18.已知函數(shù) ( ) = 2 ― 2― 是定義在 上的奇函數(shù).
(1)求 的值，并證明： ( )在 上單調遞增；
(2)求不等式 (3 2 ― 5 ) + ( ― 4) > 0的解集；
(3)若 ( ) = 4 + 4― ―2 ( )在區(qū)間[ ―1, + ∞)上的最小值為 ―2，求 的值.

19．已知 ( ) = + 1 ― （ > 0且 ≠ 1）是 上的奇函數(shù)，且 (1) = 3
(1)求 ( )的解析式；
(2)把區(qū)間(0,2)等分成2 份，記等分點的橫坐標依次為 , = 1,2,3, ,2 ― 1， ( ) =
5 ― 24 2 ―1+1，記 ( )
(2 )
= ( 1) + ( 2) + ( 3) + + ( 2 ―1)( ∈ )，是否存在正整數(shù) n，使不等式 ( ) ≥ ( )有解？若存
在，求出所有 n 的值，若不存在，說明理由；

(3) 函數(shù) ( )在區(qū)間[ , ]( < )上的值域是 , ( ∈ )，求 的取值范圍．
2 2

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